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2013年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）
1．（4分）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A． B．（﹣2a3）2＝4a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
2．（4分）用换元法解方程 时，可以设 ，那么原方程可以化为（
）
A．y2+y﹣2＝0 B．y2+y﹣1＝0 C．y2﹣2y﹣1＝0 D．y2﹣y﹣2＝0
3．（4分）数据10、5、7、12、10、8的众数和中位数分别是（ ）
A．10，9 B．10，8 C．8，10 D．10，10
4．（4分）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab
5．（4分）现有两根木棒，它们的长度分别是5dm和8dm．如果不改变木棒的长度，
要钉成一个三角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（ ）
A．3dm长的木棒 B．8dm长的木棒
C．13dm长的木棒 D．16dm长的木棒
6．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸
的相应位置上）
7．（4分）计算：3﹣2＝ ．
8．（4分）因式分解：4﹣a2＝ ．
9．（4分）方程 ＝1的根是 ．
10．（4分）在函数 的图象所在的每个象限中，y的值随x的值增大而 ．
第1页（共24页）（增大或减小）
11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么
m的取值范围是 ．
12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为
．
13．（4分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜
色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为
．
14．（4分）为了解九年级学生体能情况，随机抽查了其中的40名学生，测试了1
分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在
20～25次之间的频率是 ．
15．（4分）已知斜坡的坡度为i＝1：5，如果这一斜坡的高度为2米，那么这一斜坡
的水平距离为 米．
16．（4分）已知 O 和 O 外切，O O ＝8，若 O 的半径为3，则 O 的半径为
1 2 1 2 1 2
．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、DC的中点， ，
，那么 ＝ ．（用 、 表示）．
18．（4分）三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边
第2页（共24页）长为2的等边三角形的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，AC＝15，AB＝25，sin∠CAB＝ ，以CA为半
径的 C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
⊙
（2）求△AED的面积．
22．（10分）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）是气温x（℃）
（0≤x≤30）的一次函数．下表列出了一组不同气温时的音速：
气温x（℃） … 5 10 15 20 …
音速y（米/秒） … 334 337 340 343 …
（1）求 y与x之间的函数关系式；
（2）小明在距烟花燃放地点503.7米处看到烟花燃放1.5秒后才听到声响，求此时
的气温．
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以
AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
第3页（共24页）24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段
AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，点D在边AC上，
△ABD沿BD翻折，点A与BC边上的点E重合，过点B作BG∥AC交AE的延
长线于点G，交DE的延长线于点F．
（1）当∠ABC＝60°时，求CD的长；
（2）如果AC＝x，AD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结CG，如果∠ACB＝∠CGB，求AC的长．
第4页（共24页）2013 年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）
1．（4分）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A． B．（﹣2a3）2＝4a6
C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方公式；78：二
次根式的加减法．
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【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则对
各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵ 与 不是同类二次根式，∴不能合并，故本选项错误；
B、原式＝4a6，故本选项正确；
C、原式＝a6﹣2＝a4，故本选项错误；
D、原式＝a2+9﹣6a，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知合并同类项、幂的乘方与积的乘方
法则、同底数幂的除法法则等知识是解答此题的关键．
2．（4分）用换元法解方程 时，可以设 ，那么原方程可以化为（
）
A．y2+y﹣2＝0 B．y2+y﹣1＝0 C．y2﹣2y﹣1＝0 D．y2﹣y﹣2＝0
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将分式方程中的 换为y， 换为 ，去分母即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：y﹣ ＝1，
去分母得：y2﹣y﹣2＝0．
第5页（共24页）故选：D．
【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较
简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，
注意求出方程解后要验根．
3．（4分）数据10、5、7、12、10、8的众数和中位数分别是（ ）
A．10，9 B．10，8 C．8，10 D．10，10
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中10是出现次数最多的，故众数是10；
这组数据的中位数是（8+10）÷2＝9，故中位数为9．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握其定义是解答本题的
关键．
4．（4分）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．2﹣a＜2﹣b D．a2＞ab
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
故本选项错误；
B、∵a＞b，
∴2a＞2b，
故本选项错误；
C、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴2﹣a＜2﹣b，
故本选项正确；
D、∵a＞b，
∴a2不一定大于ab，
故本选项错误；
第6页（共24页）故选：C．
【点评】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基
本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（4分）现有两根木棒，它们的长度分别是5dm和8dm．如果不改变木棒的长度，
要钉成一个三角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（ ）
A．3dm长的木棒 B．8dm长的木棒
C．13dm长的木棒 D．16dm长的木棒
【考点】K6：三角形三边关系．
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【专题】2B：探究型．
【分析】设第四根木棒的长为l，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．
【解答】解：设第四根木棒的长为l，
则8dm﹣5dm＜l＜5dm+8dm，即3dm＜l＜13dm．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任
意两边之差小于第三边．
6．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】利用特殊四边形的判定方法逐一进行判定即可得到结果．
【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，错误；
B、两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故错误；
C、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，正确；
D、四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故错误，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，牢记这些命题与定理是解决本类问题的
第7页（共24页）关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸
的相应位置上）
7．（4分）计算：3﹣2＝ ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
【解答】解：3﹣2＝ ．故答案为 ．
【点评】本题主要考查了负指数幂的运算，比较简单．
8．（4分）因式分解：4﹣a2＝ （ 2+ a ）（ 2 ﹣ a ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），把4﹣a2写成22﹣a2的形式即可．
【解答】解：4﹣a2＝（2+a）（2﹣a）．
故答案为：（2+a）（2﹣a）．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键，
是一道基础题，比较简单．
9．（4分）方程 ＝1的根是 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】本题思路是两边平方后去根号，解方程．
【解答】解：两边平方得2x﹣1＝1，解得x＝1．
经检验x＝1是原方程的根．
故本题答案为：x＝1．
【点评】平方时可能产生增根，要验根．
10．（4分）在函数 的图象所在的每个象限中，y的值随x的值增大而 减小 ．
（增大或减小）
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】由k＝3＞0，根据反比例函数y＝ （k≠0），当k＞0时，在每一个象限y随
第8页（共24页）x的增大而减小的性质进行解答即可．
【解答】解：∵函数y＝ 中k＝3＞0，
∴该函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝ （k≠0），当k＞0
时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函
数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例
函数的性质是解本题的关键．
11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么
m的取值范围是 m ＞﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据判别式的意义得到△＝12+4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝12+4m＞0，
解得m＞﹣ ．
故答案为：m＞﹣ ．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
12．（4分）把抛物线y＝x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为 y ＝
（ x ﹣ 1 ） 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】25：动点型．
【分析】易得原抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出新的抛物线解析式，把新的顶
点代入即可．
【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），把抛物线y＝x2向右平移1个单位，
第9页（共24页）∴新抛物线的顶点为（1，0），
设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，
∴所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2．
故答案为：y＝（x﹣1）2．
【点评】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的
系数；平移看顶点的平移即可．
13．（4分）一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜
色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为
【考点】X4：概率公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为6+9+3＝18，黑球的数目为3．
① ②
【解答】解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到黑球的概率是＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14．（4分）为了解九年级学生体能情况，随机抽查了其中的40名学生，测试了1
分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧起坐的次数在
20～25次之间的频率是 0. 3 ．
第10页（共24页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】首先利用总人数40减去其它各组的人数求得20～25次的频数，然后根据
频率公式：频率＝ ，即可求解．
【解答】解：在20～25次之间的频数是：40﹣16﹣8﹣4＝12，
则次数在20～25次之间的频率是： ＝0.3．
故答案是：0.3．
【点评】本题考查了频率公式：频率＝ ，即可求解．
15．（4分）已知斜坡的坡度为i＝1：5，如果这一斜坡的高度为2米，那么这一斜坡
的水平距离为 1 0 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据题意做出图形，可得 ＝1：5，把BC＝2m，代入即可算出AC的长．
【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：5，
∴ ＝1：5，
∵BC＝2m，
∴ ＝1：5，
∴AC＝10m，
故答案为：10．
第11页（共24页）【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡
面的铅直高度h和水平宽度l的比．
16．（4分）已知 O 和 O 外切，O O ＝8，若 O 的半径为3，则 O 的半径为
1 2 1 2 1 2
5 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，进行计算．
【解答】解：根据题意，两圆外切得： O 的半径＝8﹣3＝5．
2
故答案为：5．
⊙
【点评】本题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、DC的中点， ，
，那么 ＝ 2 ﹣ ．（用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先判断EF是梯形ABCD的中位线，得出BC与AD、EF的数量关系后，
即可表示出 ．
【解答】解：∵点E、F分别是AB、DC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，
∴ + ＝2 ，
又∵ ， ，
∴ ＝2 ﹣ ．
故答案为：2 ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量及梯形的知识，解答本题的关键是判断EF是梯形
ABCD的中位线，由中位线定理得出BC与AD、EF的数量关系．
第12页（共24页）18．（4分）三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边
长为2的等边三角形的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为 2 ．
【考点】KK：等边三角形的性质．
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【分析】根据△ABC是等边三角形，边长为2，得出OA＝OB＝OC，AF＝CE＝1，根
据勾股定理求出AE的值，根据Rt△AOF∽Rt△ACE，求出AO的值，从而求出
答案．
【解答】解：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵AB＝AC＝BC＝2，
∴AF＝CE＝1，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∵Rt△AOF∽Rt△ACE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AO＝ ＝ ，
∴OA+OB+OC＝3× ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是等边三角形的性质，勾股
定理，相似三角形的判断及性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据垂
第13页（共24页）心的定义求解．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】首先把分式进行化简，把括号内的分式通分相减，然后把除法转化成乘法，
计算乘法即可化简，最后代入数值计算即可求解．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝1﹣ ．
【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】由2x﹣y＝6，移项得y＝2x﹣6，再把y＝2x﹣6代入方程x2﹣5xy+6y2＝0把
它化为一个关于x的方程从而解出x，然后再代入2x﹣y＝6求出y，从而求出
方程的解．
【解答】解：由2x﹣y＝6，移项得
y＝2x﹣6，
把y＝2x﹣6代入方程x2﹣5xy+6y2＝0，
∴x2﹣5x（2x﹣6）+6（2x﹣6）2＝0，
解得：x＝4或x＝3.6，
当x＝4时，y＝2，
当x＝3.6时，y＝1.2．
∴方程组的解为： 或 ．
第14页（共24页）【点评】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再
代入来求解，只是计算麻烦点．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，AC＝15，AB＝25，sin∠CAB＝ ，以CA为半
径的 C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
⊙
（2）求△AED的面积．
【考点】M2：垂径定理；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）过点作CF⊥AB于点F，由AC＝15，sin∠CAB＝ 求出CF的长，由
勾股定理求出AF的长，故可得出BF的长，在Rt△BCF中，根据勾股定理可求
出BC的长；
（2）由（1）中CF⊥AB可知AD＝2AF，根据BC的长可得出BE的长，过点E作
EG⊥AB于点G，由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF，故可得出
EG的长，再根据S ＝ AD•EG即可得出结论．
△AEG
【解答】解：（1）过点作CF⊥AB于点F，
∵AC＝15，sin∠CAB＝ ，
∴CF＝AC•sin∠CAB＝15× ＝12，
在Rt△ACF中，
∵AC＝15，CF＝12，
∴AF＝ ＝ ＝9，
∴BF＝AB﹣AF＝25﹣9＝16，
在Rt△BCF中，
第15页（共24页）∵BF＝16，CF＝12，
∴BC＝ ＝ ＝20；
（2）∵CF⊥AB，AF＝9，
∴AD＝2AF＝18，
∵BC＝20，CE＝AC＝15，
∴BE＝BC﹣CE＝20﹣15＝5，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴ ＝ ， ＝ ，解得EG＝3，
∴S ＝ AD•EG＝ ×18×3＝27．
△AEG
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相
似三角形是解答此题的关键．
22．（10分）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）是气温x（℃）
（0≤x≤30）的一次函数．下表列出了一组不同气温时的音速：
气温x（℃） … 5 10 15 20 …
音速y（米/秒） … 334 337 340 343 …
（1）求 y与x之间的函数关系式；
（2）小明在距烟花燃放地点503.7米处看到烟花燃放1.5秒后才听到声响，求此时
的气温．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；
第16页（共24页）（2）先根据路程÷时间＝速度求出音速，然后代入（1）的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得： ，
故y与x之间的函数关系式为：y＝0.6x+331；
（2）由题意得音速为：503.7÷1.5＝335.8米/秒，
∴335.8＝0.6x+331，
解得：x＝8．
∴此时的气温为8℃．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，速度＝路程÷时
间的运用，根据函数值求自变量的值的运用，解答时求出一次函数的解析式是
关键．
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以
AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质
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【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，求出∠FAC
＝∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B＝∠FCA即可；
（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD＝CF＝AC，求出∠DAC＝∠EFC，根据SAS推
出△DAC≌△EFC即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，
第17页（共24页）∴AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠FAC＝∠BAD，
在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠FCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，
∴FC⊥BC．
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵BD＝AC，
∴AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF，∠DAF＝∠EFA＝90°，
∴∠DAF﹣∠CAF＝∠EFA﹣∠CFA，
∴∠DAC＝∠EFC，
在△DAC和△EFC中
，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD＝CE．
第18页（共24页）【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质
的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段
AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c，即可得解；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，根据点A、B的坐标求出
OA、OC、BC的长，再利用勾股定理列式求出OB，然后求出△AOD和△OBC
相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AD、OD然后求出BD，再根据锐
角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据直线与抛物线的解析式设
出点M、N得到坐标并表示出MN，再根据平行四边形对边相等列式方程求解
即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），
第19页（共24页）∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+ x+1；
（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA＝1，OC＝4，BC＝3，
根据勾股定理，OB＝ ＝ ＝5，
∵∠OAD+∠AOD＝90°，∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠OAD＝∠BOC，
又∵∠ADO＝∠OCB＝90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得OD＝ ，AD＝ ，
∴BD＝OB﹣OD＝5﹣ ＝ ，
∴tan∠ABO＝ ＝ ＝ ；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），
则 ，
第20页（共24页）解得 ，
所以，直线AB的解析式为y＝ x+1，
设点M（a，﹣a2+ a+1），N（a， a+1），
则MN＝﹣a2+ a+1﹣ a﹣1＝﹣a2+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN＝BC，
∴﹣a2+4a＝3，
整理得，a2﹣4a+3＝0，
解得a ＝1，a ＝3，
1 2
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∴a＝1，
∴﹣12+ ×1+1＝ ，
∴点M的坐标为（1， ）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待
定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与 性质，锐
角三角函数，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大，
（2）作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，（3）表示出MN的长是解题
第21页（共24页）的关键．
25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，点D在边AC上，
△ABD沿BD翻折，点A与BC边上的点E重合，过点B作BG∥AC交AE的延
长线于点G，交DE的延长线于点F．
（1）当∠ABC＝60°时，求CD的长；
（2）如果AC＝x，AD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结CG，如果∠ACB＝∠CGB，求AC的长．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似
三角形的判定与性质．
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【分析】（1）通过解Rt△ABC求得AC＝4 ；然后由折叠的性质得到∠ABD＝
30°，则AD＝ABtan30°＝ ，故CD＝AC﹣AD＝ ；
（2）易证△CED∽△CAB，则该相似三角形的对应边成比例： ＝ ；根据折叠
的性质得到：ED＝AD＝y，EC＝BC﹣AB＝BC﹣4，又由勾股定理知 BC＝
＝ ，所以，把相关线段的长度代入比例式可以求得 y＝
（x＞0）；
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．通过△ABD∽△BGA的对应边成比例得到
＝ ，即 ＝ ，解得x＝2 （负值已舍），即AC＝2 ．
第22页（共24页）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∵AB＝4，
∴AC＝ABtan60°＝4 ．
由翻折得∠ABD＝30°，得AD＝ABtan30°＝ ，
∴CD＝AC﹣AD＝ ；
（2）由翻折得∠BED＝∠BAD＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠CAB，
又∵∠DCE＝∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴ ＝ ，
∵根据折叠的性质得到：ED＝AD＝y，EC＝BC﹣AB＝BC﹣4，
又由勾股定理知BC＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ （x＞0）；
（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．
∵BG∥AC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CGB，
∴∠2＝∠CGB，
∴CB＝CG．
∴BH＝HG＝AC＝x，∴BG＝2x．
∵AE⊥BD，
第23页（共24页）∴∠5+∠6＝∠6+∠7＝90°，
∴∠5＝∠7．
又∵∠BAC＝∠ABG＝90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝2 （负值已舍），即AC＝2 ．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，翻转折叠以及待定系数法求
一次函数解析式．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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日期：2018/12/26 20:26:19；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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