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2013年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）将抛物线y＝（x+2）2向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
3．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
那么x的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
4．（4分）下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（ ）
A．0和2 B．0和 C．0和1 D．0和0
5．（4分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分
6．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝150°，那么半径长为1的 B和直线AC
的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）计算：2a（3a﹣1）＝ ．
9．（4分）方程x﹣1＝ 的解是 ．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣1）＝ ．
11．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的解析式是
．
第1页（共25页）12．（4分）如图，在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，如果 ＝ ， ＝ ，那
么向量 ＝ ．
13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，如果∠BAC＝120°，那么cosB＝
．
14．（4分）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰
三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等
10个图形，小杰随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称
图形的概率是 ．
15．（4分）为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年
级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下
统计表（给出部分数据，除[90，100]组外每组数据含最低值，不含最高值）：
分数段 [0，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100]
频 数 5 20
频 率 0.12 0.1
根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80分及80分以上）
约为 （填百分数）．
16．（4分）如图， O半径为5，△ABC的顶点在 O上，AB＝AC，AD⊥BC，垂足
是D，cotB＝2，那么AD的长为 ．
⊙ ⊙
第2页（共25页）17．（4分）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是
和 ，试写出符合要求的方程组 （只要填写一个即可）．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，将△ABC绕点A旋转后，点C落
在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于 ．
三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（10分）计算：（ ）0﹣cot30°+ ﹣（ ）2．
20．（10分）解不等式组： ；并将解集在数轴上表示出来．
21．（10分）销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元
∕件时，销售数量y（件）与商品单价x（元∕件）的函数关系的图象如图所示中
的线段AB．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？
22．（10分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝
3，BD＝4，CD＝2．
求：（1）tan∠CAB的值；
第3页（共25页）（2）△AOD的面积．
23．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝
AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（1， ），对称轴是直线x＝2，顶点
是D，与x轴正半轴的交点为点B．
（1）求抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；
（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的
N和以MB为半径的 M相切时，求点M的坐标．
25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝3，AB＝4，点P是边AB上
⊙ ⊙
任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ＝AP，连接AQ，线段AQ
交BC于点D，设AP＝x，DQ＝y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；
（3）当以点C为圆心，CQ为半径的 C和以点B为圆心，BQ为半径的 B相交
的另一个交点在边AB上时，求AP的长．
⊙ ⊙
第4页（共25页）第5页（共25页）2013 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【解答】解：A、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 ＝2 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 ＝2 与 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 ＝3 与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，
这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（4分）将抛物线y＝（x+2）2向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝x2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2的顶点坐标为（﹣2，0），
向下平移2个单位后的顶点坐标是（﹣2，﹣2），
所以，平移后得到的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析
式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减
上加下减”．
3．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
那么x的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
第6页（共25页）【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根”可得△＝
b2﹣4ac＞0，再代入a、b、c的值进行计算即可．
【解答】解：由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝m﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＝4﹣4m+4＝8﹣4m＞0，
解得：m＜2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别
式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
4．（4分）下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（ ）
⇔
A．0和2 B．0和 C．0和1 D．0和0
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
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【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）
1 2
2+…+（x ﹣ ）2]进行计算即可．
n
【解答】解：这组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5＝0；
则方差＝ [（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]＝2；
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，
1 2 n
则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大
1 2 n
小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．（4分）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分
【考点】L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．
第7页（共25页）【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂
直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是
解题的关键．
6．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝150°，那么半径长为1的 B和直线AC
的位置关系是（ ）
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD，和 B的半径比较，即可
得出答案．
⊙
【解答】
解：过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAB＝30°，
∴BD＝ AB＝ ×2＝1，
即B到直线AC的距离等于 B的半径，
∴半径长为1的 B和直线AC的位置关系是相切，
⊙
故选：B．
⊙
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的推理能力．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ ﹣ 1 ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简．
【解答】解： ＝ ＝﹣1．
第8页（共25页）故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心．
8．（4分）计算：2a（3a﹣1）＝ 6 a 2 ﹣ 2 a ．
【考点】4A：单项式乘多项式．
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【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积
相加计算即可．
【解答】解：2a（3a﹣1）＝6a2﹣2a．
故答案为：6a2﹣2a．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算
时要注意符号的处理．
9．（4分）方程x﹣1＝ 的解是 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ．
1 2
【考点】AG：无理方程．
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【分析】先把方程两边分别平方，得到（x﹣1）2＝x﹣1，再求出方程的解，然后进行
检验即可．
【解答】解：x﹣1＝ ，
（x﹣1）2＝x﹣1，
（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
x ＝1或x ＝2；
1 2
经检验x ＝1或x ＝2是原方程的解；
1 2
故答案为：x ＝1或x ＝2．
1 2
【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边分别平方，把无理方程转化
成有理方程，要注意检验．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣1）＝ ．
【考点】E5：函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】把自变量的值x＝﹣1代入函数关系式进行计算即可得解．
【解答】解：f（﹣1）＝ ＝ ．
第9页（共25页）故答案为： ．
【点评】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可，比较简
单．
11．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的解析式是
．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，将A（1，3）代入y＝ 即可得到k的值，从
而得到反比例函数解析式．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝ ，
将A（1，3）代入y＝ 得，
k＝1×3＝3，
则反比例函数解析式为y＝ ，．
故答案为y＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函
数的图象上．
12．（4分）如图，在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，如果 ＝ ， ＝ ，那
么向量 ＝ ．
第10页（共25页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 ， ，利用三角形法则，即可求得 的长，又由在△ABC中，中
线AD和BE相交于点G，可求得 的长，继而求得 的长，又由重心的性质，
即可求得答案．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵在△ABC中，中线AD和BE相交于点G，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ +（ ﹣ ）＝ + ，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
13．（4分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，如果∠BAC＝120°，那么cosB＝
．
【考点】JA：平行线的性质；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据平行线的性质求出∠ACD的度数，根据CB平分∠ACD求出∠BCD
第11页（共25页）的度数，根据∠B＝∠BCD得出∠B的度数即可求出cosB的值．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAC＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD＝ ∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠BCD＝30°，
∴cos∠B＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值及平行四边形的性质，熟练记忆一些特
殊角的三角函数值是关键．
14．（4分）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰
三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等
10个图形，小杰随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称
图形的概率是 ．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形；X4：概率公式．
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【分析】先判断出线段、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、
等腰梯形、正五边形、正六边形、圆中既是中心对称图形，又是轴对称图形的个
数，再根据概率公式进行解答即可．
【解答】解：∵在这一组图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是：线段、正
六边形、菱形、圆共4个，
∴10张卡片上的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率公式及中心对称图形和轴对称图形的概念，如果一个
事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那
么事件A的概率P（A）＝ ．
第12页（共25页）15．（4分）为了解某校初三年级学生一次数学测试成绩的情况，从近450名九年
级学生中，随机抽取50名学生这次数学测试的成绩，通过数据整理，绘制如下
统计表（给出部分数据，除[90，100]组外每组数据含最低值，不含最高值）：
分数段 [0，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100]
频 数 5 20
频 率 0.12 0.1
根据上表的信息，估计该校初三年级本次数学测试的优良率（80分及80分以上）
约为 38% （填百分数）．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
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【分析】求出[0，60]与[70，80]的频率之和，再根据各组频率之和等于1求出[80，
90]和[90，100]的频率之和，即可得解．
【解答】解：由图可知，[0，60]与[70，80]的频率之和＝ ＝0.5，
所以，[80，90]和[90，100]的频率之和＝1﹣0.5﹣0.12＝0.38＝38%．
故答案为：38%．
【点评】本题考查了频数分布直方表，用样本估计总体，解答本题的关键在于整体
思想的利用．
16．（4分）如图， O半径为5，△ABC的顶点在 O上，AB＝AC，AD⊥BC，垂足
是D，cotB＝2，那么AD的长为 2 ．
⊙ ⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】由AB＝AC，AD垂直于BC，利用垂径定理得到AD延长线过圆心O，连接
OB，由cotB得到BD与AD的关系，设出AD及BD，由OA﹣AD表示出OD，在
直角三角形OBD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的
值，即可确定出AD的长．
【解答】解：延长AD，由垂径定理得AD的延长线过圆心O，连接OB，
第13页（共25页）∵cotB＝ ＝2，
∴设AD＝x，则有BD＝2x，
∴OD＝OA﹣AD＝5﹣x，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即25＝4x2+（5﹣x）2，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
则AD＝2．
故答案为：2
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理
是解本题的关键．
17．（4分）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是
和 ，试写出符合要求的方程组 （只要填写一个即可）．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】16：压轴题；26：开放型．
【分析】从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍
数关系为二元一次方程，联立方程组即可．
【解答】解：根据方程组的解可看出：xy＝8，y＝2x
所以符合要求的方程组为
．
【点评】根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关
系或倍数关系等）来表示方程组．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，将△ABC绕点A旋转后，点C落
第14页（共25页）在射线BA上，点B落到点D处，那么sin∠ADB的值等于 或 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】作出图形，设BC＝4a，AB＝5a，求出AC，再根据旋转的性质可得AB＝
AD，AC＝AC′，BC＝C′D，然后分 逆时针旋转时，求出BC′，再利用勾股
定理列式求出BD，根据等边对等角求出∠ADB＝∠ABD，然后根据锐角的正
①
弦等于对边比斜边列式计算即可得解； 顺时针旋转时，求出BC′，再利用勾
股定理列式求出BD，过点A作AE⊥BD于E，根据等腰三角形三线合一的性质
②
求出BE，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜
边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝ ，
∴设BC＝4a，AB＝5a，
则AC＝ ＝3a，
根据旋转的性质，AB＝AD＝5a，AC＝AC′＝3a，BC＝C′D＝4a，
如图1，逆时针旋转时，BC′＝AB+AC′＝5a+3a＝8a，
①根据勾股定理，BD＝ ＝ ＝4 a，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴sin∠ADB＝sin∠ABD＝ ＝ ＝ ；
如图2，顺时针旋转时，BC′＝AB﹣AC′＝5a﹣3a＝2a，
②根据勾股定理，BD＝ ＝ ＝2 a，
过点A作AE⊥BD于E，则BE＝ BD＝ ×2 a＝ a，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝2 a，
∴sin∠ADB＝ ＝ ＝ ；
第15页（共25页）综上所述，sin∠ADB的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边对等角的性质，等腰三角
形三线合一的性质，难点在于要分情况讨论并找出∠ADB所在的直角三角形，
作出图形更形象直观．
三．（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；
满分78分）
19．（10分）计算：（ ）0﹣cot30°+ ﹣（ ）2．
【考点】6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化 ，然后合并即可．
【解答】解：原式＝1﹣ + + ﹣
＝ + ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和特殊
角的三角函数值．
20．（10分）解不等式组： ；并将解集在数轴上表示出来．
第16页（共25页）【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由不等式 解得，x＜2，
由不等式 解得，x≥1，
①
②
在数轴上表示如下：
所以，原不等式组的解集是1≤x＜2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需
要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在
表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点
表示．
21．（10分）销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元∕件，但不超过50元
∕件时，销售数量y（件）与商品单价x（元∕件）的函数关系的图象如图所示中
的线段AB．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据A、B两点的坐标值可求出一次函数的解析式；
（2）设该商品的单价应该定x元，利用：每天的销售额＝商品单价×销售数量，得
到关于x的一元二次方程，计算求出x的值即可．
第17页（共25页）【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
由题意，得
解得 ．
故y关于x的函数关系式为y＝﹣4x+220；
（2）设该商品的单价应该定x元．
由题意，得x（﹣4x+220）＝2400．
化简整理，得x2﹣55x+600＝0．
解得，x ＝40，x ＝15．
1 2
经检验，x ＝15不合题意，舍去．
2
答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一元二次
方程的关系，是中考题中常见题型．
22．（10分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，BD⊥AB，AB＝
3，BD＝4，CD＝2．
求：（1）tan∠CAB的值；
（2）△AOD的面积．
【考点】LH：梯形；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】（1）先求出BO的长度，根据tan∠CAB＝ 即可得出答案．
（2）根据（1）中求得的BO的长度，可得出OD的长度，S ＝ OD×AB，代入数
△AOD
据即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
第18页（共25页）∴ ＝ ＝ ，
∵BD＝4，
∴BO＝ ×4＝ ，
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，
∴tan∠CAB＝ ＝ ；
（2）∵DO＝BD﹣BO＝4﹣ ＝ ，
∴S ＝ AB•DO＝ ×3× ＝ ．
△AOD
【点评】本题考查了梯形、平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是利用比
例的知识求出BO的长度，难度一般．
23．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝
AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）通过相似三角形△ADB∽△AFD的对应角相等知∠ADB＝∠DFA，然后由
▱ABCD、 ▱DBEC的性质以及等量代换证得△CMN∽△CMD，则该对相似三
角形的对应边成比例，即 ，又因为DC＝AB，所以 ，即CM•AB＝
DM•CN．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB．
第19页（共25页）∵BE＝AB，
∴DC＝BE．
又∵DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形；
（2）∵AD2＝AB•AF，
∴ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠ADB＝∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠CDF＝∠DFA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴CE∥DB，
∴∠MCN＝∠DBC，
∴∠MCN＝∠CDF．
又∵∠CMN＝∠DMC，
∴△CMN∽△CMD，
∴ ，
∵DC＝AB，
∴ ，
∴CM•AB＝DM•CN．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．三角形
相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利
用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
第20页（共25页）24．（12分）抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（1， ），对称轴是直线x＝2，顶点
是D，与x轴正半轴的交点为点B．
（1）求抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式和顶点D的坐标；
（2）过点D作y轴的垂线交y轴于点C，点M在射线BO上，当以DC为直径的
N和以MB为半径的 M相切时，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
⊙ ⊙
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【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（1， ），对称轴是直线x＝2，
可得关于a，b的方程组，求得a，b的值，从而得到抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的
解析式；再根据顶点坐标公式即可得到顶点D的坐标；
（2）设 M的半径为r．分两种情况： 当 M和 N外切时，此时点M在线段
BO上； 当 M和 N外切时，此时点M在线段BO的延长线上；列出关于r
⊙ ① ⊙ ⊙
的方程，求得r的值，从而得到点M的坐标．
② ⊙ ⊙
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解得： ．
则抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式 ，顶点D（2，3）．
（2）设 M的半径为r．
由当以DC为直径的 N和以MB为半径的 M相切时，分下列两种情况：
⊙
当 M和 N外切时，此时点M在线段BO上，
⊙ ⊙
可得32+（4﹣r﹣1）2＝（r+1）2．
① ⊙ ⊙
解得 ，
∴ ．
当 M和 N内切时，此时点M在线段BO的延长线上，
② ⊙ ⊙
第21页（共25页）可得32+（r﹣1﹣2）2＝（r﹣1）2．
解得 ，
∴ ．
综合 、 可知，当 M和 N相切时， 或 ．
① ② ⊙ ⊙
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，对
称轴公式、顶点坐标公式；第（2）问注意分内切和外切两种情况讨论求解，综合
性较强．
25．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝3，AB＝4，点P是边AB上
任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ＝AP，连接AQ，线段AQ
交BC于点D，设AP＝x，DQ＝y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；
（3）当以点C为圆心，CQ为半径的 C和以点B为圆心，BQ为半径的 B相交
的另一个交点在边AB上时，求AP的长．
⊙ ⊙
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三
角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的
函数解析式；
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况： 当∠QCD＝∠B时； 当∠QCD
＝∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
① ②
（3）设 C 与 B 相交的另一个交点为 M，连接 QM 交 BC 于点 N．可得
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的
⊙ ⊙
长．
第22页（共25页）【解答】解：（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．
由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴ ；
∵∠CAB＝90°，∠QAP＝45°，
∴∠CAD＝45°，
∵DM⊥AC，
∴△DAM是等腰直角三角形，
易得△CMD∽△CAB，
∴ ；
设CM＝3a，DM＝4a，
∴AM＝4a，
∴a＝ ， ，
∴ ，
∴ ．
定义域是： ≤x≤4．
（注：其它解法参照评分．）
（2）∵∠CDQ＝∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
当∠QCD＝∠B时，
∴CQ∥AB，
①
四边形CAPQ是正方形；
∴x＝AP＝AC＝3．
当∠QCD＝∠QAB时，
②
∴ ，
由上述（1）的解法，可得 ， ，
第23页（共25页）∴ ，
∴ ；
∴ ，
解得 ．
综合 ，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或 ．
①②
（3）如图，设 C与 B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．
∴BC⊥QM，QN＝MN．
⊙ ⊙
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，
∴ ，
设MN＝3t，BN＝4t，
∴BM＝5t；
∴QM＝6t，
∴ ；
∵BQ＝BM＝5t，
∴ ；
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ ．
第24页（共25页）【点评】此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，
求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一
定的难度．
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日期：2018/12/26 20:25:40；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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