文档内容
2013年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸的相应题号的选项上用2B铅笔填涂]
1．（4分）与无理数 最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）直线y＝x﹣1的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
4．（4分）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．
若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
5．（4分）对角线相等的四边形是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．不能确定
6．（4分）已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结
论正确的是（ ）
A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5D．0≤d＜1或d＞
5
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算x6÷x2＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣8x+16＝ ．
9．（4分）函数 的定义域是 ．
10．（4分）分式方程 ＝ 的解是 ．
11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则
第1页（共27页）实数m的取值范围是 ．
12．（4分）如果点A、B在同一个反比例函数的图象上，点A的坐标为（2，3），点B
横坐标为3，那么点B的纵坐标是 ．
13．（4分）正多边形的中心角为 72度，那么这个正多边形的内角和等于
度．
14．（4分）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD＝128°，则
∠COE的度数是 度．
15．（4分）如图，已知∠E＝∠C，如果再增加一个条件就可以得到 ，那么
这个条件可以是 （只要写出一个即可）．
16．（4分）梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分别是AD、BC中点，DC＝1，AB＝3，设
，如果用 表示向量 ，那么 ＝ ．
17．（4分）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比
值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则
该等腰梯形的纵横比等于 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanB＝ ，点M是AB边的中点，
将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重
合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是 ．
第2页（共27页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣2|+20100﹣（﹣ ）﹣1+3tan30°．
20．（10分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，若AB＝13，BC＝10，
试求tan∠DBC的值．
22．（10分）我区开展了“关爱老人从我做起”的主题活动．在活动中随机调查了
本区部分老人与子女同住情况，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不
完整）
老人与子女同住情况百分比统计表：
老人与子女 同住 不同住 不同住 其他
同住情况 （子女在本区） （子女在区外）
百分比 a 50% b 4%
老人与子女同住人数条形图：
第3页（共27页）据统计图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次共抽样调查了 老人，老人与子女同住情况百分比统计表中的a＝
；
（2）将条形统计图补充完整；（画在答题纸相对应的图上）
（3）根据本次抽样调查，试估计我区约15万老人中与子女“不同住”的老人总
数是 人．
23．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以
AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点
F，G，联结BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另
一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴
垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
第4页（共27页）（2）在直线BM上有点P（1， ），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置
关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边
形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明
理由．
25．（14分）如图，已知AB是 O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点
O、A不重合），过点C作AB的垂线交 O于点D，联结OD，过点B作OD的平
⊙
行线交 O于点E、交射线CD于点F．
⊙
⊙
（1）若 ，求∠F的度数；
（2）设CO＝x，EF＝y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
第5页（共27页）2013 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸的相应题号的选项上用2B铅笔填涂]
1．（4分）与无理数 最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【分析】由于1＜3＜4，且3更接近4，则1＜ ＜2，于是可判断与 最接近的整
数为2．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴与无理数 最接近的整数为2．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数
的大小进行估算．
2．（4分）下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】利用最简二次根式的定义判断即可得到正确的选项．
【解答】解：A、 为最简二次根式，故本选项正确；
B、 可化为 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、 可化为|a| ，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 可化为3 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，以及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式
的判断方法是解答本题的关键．
第6页（共27页）3．（4分）直线y＝x﹣1的图象经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由y＝x﹣1可知直线与y轴交于（0，﹣1）点，且y随x的增大而增大，可判
断直线所经过的象限．
【解答】解：直线y＝x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点，
且k＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y＝x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的
增减性判断图象经过的象限．
4．（4分）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．
若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【考点】X1：随机事件；X2：可能性的大小．
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【分析】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【解答】解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能
性大，故C选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的
可能性大，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要
第7页（共27页）总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含
的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
5．（4分）对角线相等的四边形是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．不能确定
【考点】L1：多边形．
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【分析】根据多边形中特殊多边形矩形，等腰梯形，正方形的对角线都相等，即可
得出答案无法确定．
【解答】解：根据特殊四边形的性质可知：矩形，等腰梯形的对角线都相等，
所以无法确定，
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊四边形的性质，题目把几种四边形综合起来考查，有
效的考查了同学们对多边形性质的掌握情况．
6．（4分）已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结
论正确的是（ ）
A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5D．0≤d＜1或d＞
5
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】16：压轴题．
【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．
【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d＞5；
内含时的数量关系应满足0≤d＜1．
故选：D．
【点评】考查了两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算x6÷x2＝ x 4 ．
【考点】48：同底数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减解答．
【解答】解：x6÷x2＝x6﹣2＝x4．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握运算性质是解题的关键．
第8页（共27页）8．（4分）分解因式：x2﹣8x+16＝ （ x ﹣ 4 ） 2 ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣8x+16，
＝x2﹣2×4×x+42，
＝（x﹣4）2．
故答案为：（x﹣4）2．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是
解本题的关键．
9．（4分）函数 的定义域是 x ≥﹣ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】33：函数思想．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）分式方程 ＝ 的解是 x ＝ 9 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方
程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣3），得
3x﹣9＝2x，
解得x＝9．
检验：把x＝9代入x（x﹣3）＝54≠0．
∴原方程的解为：x＝9．
第9页（共27页）故答案为：x＝9．
【点评】本题考查了解分式方程，注：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则
实数m的取值范围是 m ＞ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m
的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣ ，
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
12．（4分）如果点A、B在同一个反比例函数的图象上，点A的坐标为（2，3），点B
⇔
横坐标为3，那么点B的纵坐标是 2 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据同一反比例函数图象上的点的横纵坐标的积相等来解答．
【解答】解：点B的纵坐标为m，
则3m＝2×3，
解得m＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的
点的横纵坐标的积应等于比例系数．
13．（4分）正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于 54 0
第10页（共27页）度．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】先根据周角等于360°求出边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°
列式计算即可得解．
【解答】解：∵正多边形的中心角为72度，
∴边数为：360°÷72°＝5，
∴这个正多边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记正多边形中心角的定义求出边数
的是解题的关键．
14．（4分）如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD＝128°，则
∠COE的度数是 3 8 度．
【考点】IL：余角和补角；J2：对顶角、邻补角．
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【分析】首先根据邻补角的定义可得∠COA的度数，再根据垂直可得∠AOE＝
90°，再根据互余两角的关系可计算出答案．
【解答】解：∵∠AOD＝128°，
∴∠COA＝180°﹣128°＝52°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38．
【点评】此题主要考查了邻补角和垂直定义，关键是掌握邻补角的定义．
15．（4分）如图，已知∠E＝∠C，如果再增加一个条件就可以得到 ，那么
这个条件可以是 ∠ B ＝∠ D （或∠ BAD ＝∠ CAE 等） （只要写出一个即可）
第11页（共27页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据两组角对应相等的两个三角形相似，可找出除∠E＝∠C之外的任意
一组对应角即可．
【解答】解：∠B＝∠D或∠BAC＝∠DAE；
∵∠E＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ；
∵∠E＝∠C，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ；
故答案是：∠B＝∠D或∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是找出另一组相等的
对应角．
16．（4分）梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分别是AD、BC中点，DC＝1，AB＝3，设
，如果用 表示向量 ，那么 ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】先表示出 ，然后判断出EF是梯形ABCD的中位线，继而根据中位线的
性质可得出答案．
【解答】解：如图所示：
第12页（共27页）∵AB∥DC，EDC＝1，AB＝3，
∴ ＝ ＝ ，
∵E、F分别是AD、BC中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ （CD+AB），
∴ ＝ （ + ）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量及梯形的知识，注意掌握梯形的中位线的性质，属于
基础题．
17．（4分）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比
值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则
该等腰梯形的纵横比等于 ．
【考点】LJ：等腰梯形的性质；LL：梯形中位线定理．
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【分析】利用勾股定理求出高，根据面积求出中位线的长度，然后按照题目所给信
息即可求出纵横比．
【解答】解：根据题意做出图形，过A作BC边的高AE，
由题意得：BC﹣AD＝6，
则BE＝3，
∵AB＝5，
∴AE＝ ＝4，
又∵面积为24，
第13页（共27页）∴ （AD+BC）•AE＝24，
代入AE可得： ＝6，
故等腰梯形的中位线长度为6，
则该等腰梯形的纵横比＝ ＝
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，难度适中，认真读题求出高及中位线的长度
是关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanB＝ ，点M是AB边的中点，
将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重
合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】连接PM，根据∠B的正切值设AC＝3k，BC＝4k，利用勾股定理列式求出
k值，得到AC、BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
AM＝DM＝EM，再根据等边对等角的性质可得∠EAM＝∠E，然后求出∠EAM
＝∠B，根据等腰三角形三线合一的性质可得 PM⊥AB，然后求出△ABC和
第14页（共27页）△PMB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PB的长，再根据CP＝
BC﹣PB代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：连接PM，∵tanB＝ ，
∴设AC＝3k，BC＝4k，
则（3k）2+（4k）2＝102，
解得k＝2，
∴AC＝3×2＝6，BC＝4×2＝8，
∵点M是AB边的中点，△DEA是△ABC绕点M旋转得到，
∴AM＝MB＝DM＝EM＝5，
∴∠EAM＝∠E，
又∵∠B＝∠E，
∴∠EAM＝∠B，
∴△APB是等腰三角形，
∵点M是AB的中点，
∴PM⊥AB，
∴△ABC∽△PMB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得PB＝ ，
∴CP＝BC﹣PB＝8﹣ ＝ ．
故答案为： ．
第15页（共27页）【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性
质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形
是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣2|+20100﹣（﹣ ）﹣1+3tan30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值
4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法
则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣ +1+3+3×
＝6．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角
的三角函数值等考点的运算．
20．（10分）解不等式组 ，并将它的解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解： ，
由 得：x＞2.5
第16页（共27页）
①由 得：x≤4，
∴不等式组的解集为：2.5＜x≤4，
②
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集应遵循
“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，若AB＝13，BC＝10，
试求tan∠DBC的值．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；T1：锐
角三角函数的定义．
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【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，与BD交点为E，
则E是三角形的重心，再根据三角形重心的性质求出EH，∠DBC的正切值即
可求出．
（2）作出底边上的高，在过D作DF⊥BC，先根据勾股定理求出AH的长，再根据
三角形中位线定理求出DF的长，BF的长就等于BC的 ，∠DBC的正切值即
可求出．
【解答】解：方法一：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E（1分）
∵AB＝AC＝13，BC＝10
∴BH＝5（1分）
在Rt△ABH中，AH＝12（2分）
∵BD是AC边上的中线
所以点E是△ABC的重心
∴EH＝ ＝4（2分）
第17页（共27页）∴在Rt△EBH中， ．（2分）
方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F（1分）
∵BC＝10，AH⊥BC，AB＝AC，
∴BH＝5（1分）
∵AB＝13，
∴AH＝ ＝12，
在Rt△ABH中，AH＝12（2分）
∵AH∥DF
∴DF＝
BF＝ ＝ （2分）
∴在Rt△DBF中， ．（2分）
【点评】本题利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，第一种方法还运用三
角形的重心把中线分成2：1的两段，第二种方法还运用三角形中位线定理都
需要熟练掌握．
22．（10分）我区开展了“关爱老人从我做起”的主题活动．在活动中随机调查了
本区部分老人与子女同住情况，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不
第18页（共27页）完整）
老人与子女同住情况百分比统计表：
老人与子女 同住 不同住 不同住 其他
同住情况 （子女在本区） （子女在区外）
百分比 a 50% b 4%
老人与子女同住人数条形图：
据统计图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次共抽样调查了 5 0 老人，老人与子女同住情况百分比统计表中的a＝
32% ；
（2）将条形统计图补充完整；（画在答题纸相对应的图上）
（3）根据本次抽样调查，试估计我区约15万老人中与子女“不同住”的老人总
数是 9600 0 人．
【考点】V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由条形统计图中不同住子女在本区的人数除以所占的百分比，求出
调查的总人数，进而求出不同住（子女在区外）所占的百分比，即可求出a的值
（2）求出其他的人数，即可求出同住的人数，补充条形统计图即可；
（3）由不同住的人数为25+7＝32人，利用比例即可求出我区约15万老人中与子
女“不同住”的老人总数．
【解答】解：（1）25÷50%＝50，
不同住（子女在区外）的所占的比例是 ×100%＝14%，
第19页（共27页）则a＝1﹣50%﹣14%﹣4%＝32%；
（2）如图所示；
（3）根据题意得：150000× ＝96000．
故答案为：（1）50；32%；（3）96000
【点评】此题考查了条形统计图，弄清题意是解本题的关键．
23．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以
AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点
F，G，联结BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；L9：菱形的判定．
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【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝60°，
第20页（共27页）求出∠BAE＝∠CAD，根据SAS推出即可；
（2）根据全等得出BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，求出∠CBE＝60°，推出
BE∥AG，得出平行四边形，根据BE＝CD＝BC即可得出菱形．
【解答】
证明：（1）∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝60°，∠DAC+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△AEB和△ADC中
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
（2）解：四边形BCGE的形状是菱形，
理由是：∵△AEB≌△ADC
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠BCG＝120°，
∴∠DBE＝60°，
∴∠BCG+∠DBE＝180°，
∴BE∥CG，
∵BC∥EG，
∴四边形BCGE是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴BE＝BC，
∴四边形平行四边形BCGE是菱形．
第21页（共27页）【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的判定，
平行四边形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另
一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴
垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1， ），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置
关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边
形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明
理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将点B（1，2），代入二次函数y＝﹣x2+2mx，得到关于m的方程，求得
m的值，从而得到二次函数的解析式；
第22页（共27页）（2）根据题意可知点A（3，0），C（2，2），P（1， ），根据两点间的距离公式可得
PA，PC，AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断直线CP与直线CA的位
置关系；
（3）分 当点E在x轴上，PE∥CA， 当点E在y轴上，PC∥AE，两种情况讨论
即可得到使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形的点E的坐标．
① ②
【解答】解：（1）∵点B（1，2）在二次函数y＝﹣x2+2mx的图象上，
∴﹣12+2m＝2
解得m＝ ．
故二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x；
（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直．
∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x，
∴点A（3，0），C（2，2），
∵P（1， ），
∴PA2＝ ，PC2＝ ，AC2＝5，
∴PA2＝PC2+AC2，
∴∠PCA＝90°，即CP⊥CA；
（3）假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，
∵∠PCA＝90°，
则 当点E在x轴上，PE∥CA，
∴△CBP∽△PME，
①
∴ ＝ ，
∴ME＝ ，
∴E （ ，0）；
1
第23页（共27页）当点E在y轴上，PC∥AE，
∴△CBP∽△AOE，
②
∴ ＝ ，
∴OE＝ ，
∴E （0，﹣ ）．
2
即点Q的坐标E（ ，0）、E（0，﹣ ）时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯
1 2
形．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及到：直角梯形的性质、二次函数解析式的确
定、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等重要
知识点．（3）题中，注意要分类讨论，以免漏解．
25．（14分）如图，已知AB是 O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点
O、A不重合），过点C作AB的垂线交 O于点D，联结OD，过点B作OD的平
⊙
行线交 O于点E、交射线CD于点F．
⊙
⊙
（1）若 ，求∠F的度数；
（2）设CO＝x，EF＝y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）首先连接OE，由 ，OD∥BF，易得∠OBE＝∠OEB＝∠BOE＝
60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；
（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO＝BH＝x，求得BE
＝2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得
，则可求得y与x之间的函数解析式；
第24页（共27页）（3）由∠COD＝∠OBE，∠OBE＝∠OEB，∠DOE＝∠OEB，可得∠COD＝
∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB＝
PE，EB＝EP，BE＝BP去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）连接OE．
∵ ＝ ，
∴∠BOE＝∠EOD
∵OD∥BF，
∴∠DOE＝∠BEO，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠OEB＝∠BOE＝60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB＝90°，
∴∠F＝30°；
（2）作OH⊥BE，垂足为H．
在△HBO和△COD中，
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO＝BH＝x，
∴BE＝2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ （0＜x＜4）；
第25页（共27页）（3）∵∠COD＝∠OBE，∠OBE＝∠OEB，∠DOE＝∠OEB，
∴∠COD＝∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PBE为等腰三角形，
设CO＝x，
∴OP＝OC＝x，
则PE＝OE﹣OP＝4﹣x，
由（2）得：BE＝2x，
当PB＝PE，不合题意舍去；
当EB＝EP，2x＝4﹣x，
①
②解得：x＝ ，
当BE＝BP，作BM⊥OE，垂足为M，
③∴EM＝ PE＝ ，
∴∠OEB＝∠COD，∠BME＝∠DCO＝90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴ ，
∴ ，
整理得：x2+x﹣4＝0，
解得：x＝ （负数舍去）
综上所述：当OC的长为 或 时，△PBE为等腰三角形．
第26页（共27页）【点评】此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全
等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较
强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方
程思想的应用．
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日期：2018/12/26 20:26:11；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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