文档内容
2012年上海市闸北区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．一条边的中线与另一边的高的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
2．（4分）如图，在△PMN中，点Q、R分别在PN、MN边上，若QR∥PM，则下列
比例式中，一定正确的是（ ）
A．QN：PQ＝MR：RN B．PM：PN＝QR：QN
C．QR：PM＝NR：RM D．MR：MN＝QN：PN
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝ ，BD是斜边AC上的高，那么（ ）
A．AC＝BC•sin B．AC＝AB•cos C．BC＝AC•tan D．BD＝CD•cot
α
5．（4分）下列二次函数中，图象的开口向上的是（ ）
α α α α
A．y＝1﹣x﹣6x2 B．y＝﹣8x+x2+1
C．y＝（1﹣x）（x+5） D．y＝2﹣（5﹣x）2
6．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象是开口向上的抛物线
B．二次函数y＝ax2+1（a≠0）的图象必在x轴上方
C．二次函数图象的对称轴是y轴或与y轴平行的直线
D．二次函数图象的顶点必在图象的对称轴上
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若x：y＝7：3，则（x+y）：y的值为 ．
第1页（共28页）8．（4分）已知：线段MN的长为20厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长
线段MP的长是 厘米．
9．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且DE＝2，BC＝5，
CE＝2，则AC＝ ．
10．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，如果AD＝
2，BC＝8，那么BD＝ ．
11．（4分）如果k＝0，而 ，那么 ＝ ．
12．（4分）计算：cos60°+cot45°＝ ．
13．（4分）如图，直升飞机在离水平地面600米的上空A处测得地面目标点B的
俯角为60°，此时A处与目标点B之间的距离是 米．
14．（4分）若一段斜坡的坡度为 ，则这段斜坡的坡角等于 （度）．
15．（4分）如果二次函数y＝（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝
．
16．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ．
17．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上
水珠的高度 y（米）关于水珠与喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是
．水珠可以达到的最大高度是 （米）．
18．（4分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝20cm，AC＝15cm；AD＝12cm，点E
在AB边上，点F、G在BC边上，点H不在△ABC外．如果四边形EFGH是符
合要求的最大的正方形，那么它的边长是 cm．
三、解答题：（本大题共12题，满分78分）
19．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣
第2页（共28页）6）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出它的
顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的
抛物线与y轴交点的坐标．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB边的中点．
△ABC的面积为126，BC＝21，AC＝20．求：
（1）sinC的值；
（2）cot∠ADE的值．
21．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD边上，且AE＝EF
＝FD，BE与AC交于点G，设 ， ，试用 、 的线性组合表示向量 、
、 ．
22．（10分）已知：如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡BQ上有一棵香樟树PQ，柳明
在A处测得树顶点P的仰角为 ，并且测得水平的AB＝8米，另外BQ＝13米，
tan ＝0.75．点A、B、P、Q在同一平面上，PQ⊥AB．求：香樟树PQ的高度．
α
α
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，与AC交于点E，AD2
＝BD•ED．
第3页（共28页）（1）求证：△ADE∽△BDA
（2）如果BA＝10，BC＝12，BD＝15，求BE的长．
24．（12分）已知：如图，直线y＝x﹣15与x轴、y轴分别相交于点A和点B．抛物
线 经过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C．对称轴与x轴交于点
H，求△DAC的面积；
（3）若点E是线段AD的中点．CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，
△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说
明理由．
25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC
＝12，∠ABO+∠C＝90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在
平面的点为点E．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试
写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
第4页（共28页）第5页（共28页）2012 年上海市闸北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）三角形的重心是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．一条边的中线与另一边的高的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
【考点】K5：三角形的重心．
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【专题】14：证明题．
【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形
三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．
【解答】解：∵三角形的重心是三角形三条边中线的交点，
∴选项D正确．
【点评】此题主要考查三角形重心这一知识点，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
2．（4分）如图，在△PMN中，点Q、R分别在PN、MN边上，若QR∥PM，则下列
比例式中，一定正确的是（ ）
A．QN：PQ＝MR：RN B．PM：PN＝QR：QN
C．QR：PM＝NR：RM D．MR：MN＝QN：PN
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例，比例式的性质进行分析解答即可．
【解答】解：A、由QR∥PM，不能推出QN：PQ＝MR：RN，故本选项错误，
B、由QR∥PM，推出PM：QR＝PN：QN，根据比例式的性质即可推出PM：PN＝
QR：QN，故本选项正确，
C、由QR∥PM，不能推出QR：PM＝NR：RM，故本选项错误，
第6页（共28页）D、由QR∥PM，不能推出MR：MN＝QN：PN，故本选项错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，比例式的性质等知识点，关键在于熟
练运用各相关的性质定理，正确的对比例式进行变形．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，正切＝对边÷邻边，即tanA＝
．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴tanA＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，用到的知识点有正切＝对边÷邻边．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝ ，BD是斜边AC上的高，那么（ ）
A．AC＝BC•sin B．AC＝AB•cos C．BC＝AC•tan D．BD＝CD•cot
α
【考点】T1：锐角三角函数的定义；T7：解直角三角形．
α α α α
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据sin ＝ ，即可判断A；根据cos ＝ ，即可判断B；根据sin ＝
α α α
，即可判断D、根据三角形的内角和定理求出∠CBD＝∠A＝ ，在△DBC中，
α
根据cot ＝ ，即可判断D．
α
【解答】解：如图所示，
在△ABC中，∠A＝ ，
A、sin ＝ ， α
α
第7页（共28页）∴AC＝ ，故本选项错误；
B、cos ＝ ，
α
∴AC＝ ，
故本选项错误；
C、sin ＝ ，
∴BC＝α ACsin ，故本选项错误；
D、∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
α
∴∠BDC＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，∠C+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝∠A＝ ，
在△DBC中，cot α＝ ，
∴BD＝DCcot ，α故本选项正确；
故选：D．
α
【点评】本题考查了对解直角三角形和锐角三角函数的定义，三角形的内角和定
理等知识点的运用，能熟练地运用锐角三角函数的定义进行推理是解此题的
关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
5．（4分）下列二次函数中，图象的开口向上的是（ ）
A．y＝1﹣x﹣6x2 B．y＝﹣8x+x2+1
C．y＝（1﹣x）（x+5） D．y＝2﹣（5﹣x）2
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】2A：规律型．
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，图象的开口向上；当a＜0时，图象的
开口向下．
【解答】解：A、二次项系数是﹣6，图象的开口向下；
B、二次项系数是1，图象的开口向上；
C、二次项系数是﹣1，图象的开口向下；
D、二次项系数是﹣1，图象的开口向下．
第8页（共28页）故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象开口与二次项系数有
关．
6．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象是开口向上的抛物线
B．二次函数y＝ax2+1（a≠0）的图象必在x轴上方
C．二次函数图象的对称轴是y轴或与y轴平行的直线
D．二次函数图象的顶点必在图象的对称轴上
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数的性
质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）中a＞0，∴其图象是开口向下的抛
物线，故本选项正确；
B、∵二次函数y＝ax2+1（a≠0）中，△＝﹣4a≠0，∴此函数图象与x轴有交点，故
本选项错误；
C、∵二次函数图象的对称轴是x＝﹣ ，∴是y轴或与y轴平行的直线，故本选
项正确；
D、∵二次函数的顶点坐标是（﹣ ， ），∴函数的顶点坐标必在图象的对
称轴上．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐
标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）的开口向上，
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）若x：y＝7：3，则（x+y）：y的值为 ．
【考点】S1：比例的性质．
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第9页（共28页）【专题】11：计算题．
【分析】根据已知设x＝7k，y＝3k，代入得出（7k+3k）：3k，求出即可．
【解答】解：x：y＝7：3，
设x＝7k，y＝3k，
∴（x+y）：y＝（7k+3k）：3k＝10：3＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质的应用，解此题的关键是运用比例的性质采取适
当的方法进行化简和计算，题目较好，难度不大．
8．（4分）已知：线段MN的长为20厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长
线段MP的长是 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】11：计算题．
【分析】设MP＝x，则PN＝20﹣x，根据题意得x：（20﹣x）＝（20﹣x）：x，解出即可
得出答案．
【解答】解：设MP＝x，则PN＝20﹣x，根据题意得x：（20﹣x）＝（20﹣x）：x，
解得：x＝10 ﹣10．
故答案为：10 ﹣10．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，属于基础题，应识记黄金分割的定义：C是
AB上一点，且AC：BC＝BC：AB，那么C点就是AB的黄金分割点，难度一般．
9．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且DE＝2，BC＝5，
CE＝2，则AC＝ ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据DE∥BC，求证 ＝ ，将已知数值代入即可求出EA，再将AE加
EC即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
第10页（共28页）∴ ＝ ，
∵DE＝2，BC＝5，CE＝2，
∴ ＝
解得，AE＝ ，
∴AC＝AE+EC＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定和性质，此题的关键是利用平行
线得出三角形相似，从而求出AC，难度不大，是基础题．
10．（4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，如果AD＝
2，BC＝8，那么BD＝ 4 ．
【考点】LI：直角梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意可知△ABD∽△DCB，利用相似三角形对应边成比例，即可求出
答案．
【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠DCB，
∴△ABD∽△DCB，
∴ ＝ ，
又∵AD＝2，BC＝8，
第11页（共28页）∴BD＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题关键是得出
△ABD∽△DCB，难度一般．
11．（4分）如果k＝0，而 ，那么 ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】因为 ，向量a的系数为0，继而可得出 的值．
【解答】解：∵k＝0，而 ，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量
包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向
量只规定大小没规定方向．
12．（4分）计算：cos60°+cot45°＝ 1 ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角三角函数值解答．
【解答】解：cos60°+cot45°＝ +1＝1 ．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经
常出现，要熟练掌握．
13．（4分）如图，直升飞机在离水平地面600米的上空A处测得地面目标点B的
俯角为60°，此时A处与目标点B之间的距离是 米．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过A作AC⊥BC于C，由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边AC求
斜边AB，可以用60°正弦函数来计算即可．
第12页（共28页）【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 AB＝
＝400 米．
故答案为：400 ．
【点评】考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直
角三角形并解直角三角形．
14．（4分）若一段斜坡的坡度为 ，则这段斜坡的坡角等于 3 0 （度）．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．
【解答】解：设坡角为 ，则tan ＝1： ＝ ，
则 ＝30°． α α
故答案为30．
α
【点评】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．
15．（4分）如果二次函数y＝（m﹣2）x2+3x+m2﹣4的图象经过原点，那么m＝ ﹣
2 ．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】41：待定系数法．
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m
﹣2≠0．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣2）x2+x+（m2﹣4）上，
∴m2﹣4＝0，
解得m＝±2，
又二次项系数m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
第13页（共28页）【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析
式是解题的关键，判断二次项系数不为0是难点．
16．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是 y ＝
3 x 2 +2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】11：计算题．
【分析】抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），向上平移2个单位后，得到的抛物线
顶点坐标为（0，2），利用顶点式求出新抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴新抛物线解析式为y＝3x2+2．
故本题答案为：y＝3x2+2．
【点评】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，
求出新抛物线解析式．
17．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上
水珠的高度 y（米）关于水珠与喷头的水平距离 x（米）的函数解析式是
．水珠可以达到的最大高度是 1 0 （米）．
【考点】H7：二次函数的最值；HE：二次函数的应用．
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【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵
＝﹣ （x2﹣4x）
＝ （x﹣2）2+10，
∴当x＝2时，y有最大值10，
∴水珠可以达到的最大高度为10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大
值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
第14页（共28页）18．（4分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝20cm，AC＝15cm；AD＝12cm，点E
在AB边上，点F、G在BC边上，点H不在△ABC外．如果四边形EFGH是符
合要求的最大的正方形，那么它的边长是 或 3 cm．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；SA：相似三角形的应
用．
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【分析】根据题意画出图形（有两种情况），如果四边形EFGH是符合要求的最大
的正方则点H，在AC上，由勾股定理先求出BD和CD的值，设正方形边长为
x，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出x．
【解答】解： 当AD在三角形内部是，
∵AD⊥BC于点，
①
∴BD＝ ＝ ＝16cm，
∴CD＝ ＝ ＝9cm，
∴BC＝BD+CD＝25，
设正方形边长为x，设正方形交AD于点P，则AP＝（12﹣x）cm，
∵EH∥PG，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ，
解出：x＝ ；
当AD在BC延长线上时，CD＝9，BD＝16，设正方形边长为x，设正方形交AB
于点P，
②
则BF＝（7﹣x）cm，
∴ ，
∴x＝3，
第15页（共28页）故答案为： 或3．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质在实际问题的应用，
解题的关键是正确的画出图形．
三、解答题：（本大题共12题，满分78分）
19．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0）、（2，10）、（﹣2，﹣
6）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出它的
顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的
抛物线与y轴交点的坐标．
【考点】AE：配方法的应用；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图
象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式；H9：二次函数的三种形式．
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【分析】（1）将抛物线经过的三点坐标代入解析式，解三元一次方程组求a、b、c
的值即可；
（2）根据配方法的要求将抛物线解析式写成顶点式，可确定顶点坐标；
（3）抛物线的平移，实际上是顶点的平移，将顶点平移，求出平移后的抛物线顶点
式，再求抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
第16页（共28页）解得
∴这个抛物线的解析式是y＝2x2+4x﹣6；
（2）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6，y＝2（x2+2x+1）﹣2﹣6，
∴y＝2（x+1）2﹣8
∴顶点坐标是（﹣1，﹣8）；
（3）将顶点（﹣1，﹣8）先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，
得顶点坐标为（3，﹣2），
∴平移后得到的抛物线的解析式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
令x＝0，则y＝16，
∴它与y轴的交点的坐标是（0，16）．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法的运用，二次函数图象的
平移与顶点坐标的关系及几何变换．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方
法，配方法的灵活运用，图形的平移与顶点的平移的关系．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB边的中点．
△ABC的面积为126，BC＝21，AC＝20．求：
（1）sinC的值；
（2）cot∠ADE的值．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；K3：三角形的面积；T1：锐角三角函数
的定义；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据△ABC的面积和BC的长度，即可推出AD的长度，再由AC的长
度，根据锐角三角函数的定义即可推出思念C的值，（2）根据勾股定理求出
CD和BD的长度，由E为AB的中点，即可求出EA＝EB，然后推出cot∠ADE
第17页（共28页）＝cot∠BAD，再由cot∠BAD＝ ，即可推出结论．
【解答】解：（1）由条件得S ＝ AD•BC，
△ABC
∵BC＝21，
∴126＝ AD×21，
∴AD＝12，
∵AC＝20，
∴sinC＝ ，
（2）在Rt△ADC中，
∵AC＝20，AD＝12，
∴CD＝16，
∵BC＝21，
∴BD＝5，
在Rt△ADB中，
∵点E是边AB的中点，
∴ED＝EA，
∴cot∠ADE＝cot∠BAD＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，三角形的面积公式，勾股定理等知识
点，关键在于正确的求出AD、CD、BD的长度，熟练的运用相关的性质定理．
21．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AD边上，且AE＝EF
＝FD，BE与AC交于点G，设 ， ，试用 、 的线性组合表示向量 、
、 ．
第18页（共28页）【考点】LM：*平面向量．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据平面向量的概念、性质及其运算法则进行直接求解即可．
【解答】解：（1）∵ ，
∴ ．（2分）
（2）∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AG：CG＝AE：BC＝1：3．（1分）
∴ ．
∴ ．（1分）
∴ ．（2分）
（3）∵ ，
∴ ．（1分）
∵ ．
∴ ＝ + ＝ ．（1分）
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ （ ﹣ ）＝ （ + ）．（2分）
【点评】本题考查平面向量的知识，解题关键是掌握平面向量既有大小又有方向，
并要求熟练掌握其运算法则，难度一般．
22．（10分）已知：如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡BQ上有一棵香樟树PQ，柳明
在A处测得树顶点P的仰角为 ，并且测得水平的AB＝8米，另外BQ＝13米，
tan ＝0.75．点A、B、P、Q在同一平面上，PQ⊥AB．求：香樟树PQ的高度．
α
α
第19页（共28页）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】先延长PQ交直线AB于点H，得直角三角形QBH，根据坡度为i＝1：2.4
和勾股定理求出QH和BH，从而得出AH，再由直角三角形和tan ＝0.75求出
PH，继而求出香樟树PQ的高度．
α
【解答】解：延长PQ交直线AB于点H．（1分）
∵在Rt△QBH中，QH：BH＝1：2.4．（2分）
∴设QH＝x，BH＝2.4x，
∵BQ＝13米，
∴x2+（2.4x）2＝132．（1分）
∴x＝±5（负值舍去）．
∴QH＝5（米），BH＝12（米）．（2分）
∵AB＝8（米），
∴AH＝20（米）．
∵tan ＝0.75，
α
∴ ．（2分）
即 ，
∴PH＝15（米）．
∴PQ＝PH﹣QH＝15﹣5＝10（米）． （2分）
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构造两直角三角形根
据勾股定理和三角函数求解．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，与AC交于点E，AD2
＝BD•ED．
（1）求证：△ADE∽△BDA
第20页（共28页）（2）如果BA＝10，BC＝12，BD＝15，求BE的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据AD2＝BD•ED得出 ，再根据∠ADE＝∠BDA，即可证出
△AED∽△BDA．
（2）根据△AED∽△BDA，得出∠AED＝∠BAD，再通过证明△EBC∽△ABD，得
出 ，再把BA、BC、BD的值代入即可求出BE的长．
【解答】解：（1）证明：∵AD2＝BD•ED，
∴ ，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△AED∽△BDA．
（2）∵△AED∽△BDA，
∴∠AED＝∠BAD．
∵∠BEC＝∠AED，
∴∠BEC＝∠BAD．
∵BD平分∠ABC，即∠EBC＝∠ABD，
∴△EBC∽△ABD．
∴ ．
∵BA＝10，BC＝12，BD＝15，
∴ ，
∴BE＝8．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；关键是综合利用三角形的判定与
性质列出比例式求出线段的长．
第21页（共28页）24．（12分）已知：如图，直线y＝x﹣15与x轴、y轴分别相交于点A和点B．抛物
线 经过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C．对称轴与x轴交于点
H，求△DAC的面积；
（3）若点E是线段AD的中点．CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，
△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说
明理由．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点；HF：二次
函数综合题；K3：三角形的面积；S8：相似三角形的判定．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）分别把x＝0和y﹣0代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，代入
抛物线得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；
（2）求出顶点D的坐标和C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）求出GH、HO、CH的值，根据相似三角形的性质得出两个比例式，代入即可
求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x﹣15，
y＝0时，0＝x﹣15，
∴x＝15，
当x＝0时，y＝﹣15，
∴A（15，0），B（0，﹣15），
第22页（共28页）代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式：y＝﹣ x2+6x﹣15．
（2）抛物线的解析式可变形为 ，
∴顶点D坐标为（9，12），
设y＝0，则 ，
∴（x﹣9）2＝36．
∴x ＝3，x ＝15，
1 2
∴点C的坐标为（3，0），
∴ ．
（3）∵点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点，．
∴点G是△DAC的重心．如图：
∵顶点D坐标为（9，12），
∴ ，
∴HO＝9，CH＝6．
第23页（共28页）设△POH∽△GHC时，
＝ ，
∴ ＝
∴PO＝6，
∴P （0，6）；
1
△POH∽△CHG时， ＝ ，
＝ ，
∴ ．
∴ ．
∴△POH能够与△CHG相似，相似时点P的坐标为P（0，6）或 ．
1
【点评】本题考查了三角形的面积，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数
图象上点的坐标，相似三角形的性质和判定等知识点的运用，主要培养了学生
综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，但有一定的难度，注意：
分类讨论思想的运用．
25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC
＝12，∠ABO+∠C＝90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在
平面的点为点E．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试
写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
第24页（共28页）【考点】J3：垂线；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）；
S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即
可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB＝BC＝12，再利用 ∠AMN＝∠B时，（如图1）
△AMN∽△ABC， 当∠AMN＝∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即
①
可；
②
（3）首先得出△AMN∽△ABC， 当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F
（如图3）， 当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别
①
求出即可．
②
【解答】解：（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO＝90°．
∵∠ABO+∠C＝90°，
∴∠BAO＝∠C．
∵∠ABO＝∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB＝6，BC＝12，
∴6：OA＝OA：18．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴∠C＝30°．
∵ ，
∴∠ABO＝60°，
∴∠BAC＝30°．
第25页（共28页）∴AB＝BC＝12．
∠AMN＝∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC．
∵AM＝4，
①
∴ ．
当∠AMN＝∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB．
∵AM＝4，
②
∴ ．
（3）可以求得： ．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），
∵MN∥BC，
①
∴∠ANM＝∠C＝30°．
∴∠ANM＝∠BAC．
∴AM＝MN＝x．
∵将△AMN沿MN折叠，
∴∠ENM＝∠ANM＝30°．
∴∠AFN＝90°．
∴ ．
∴S ：S ＝MF：AM．
△FMN △AMN
∴ ．
第26页（共28页）∴ ．
当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），
∵MN∥BC
②
∴CN：AC＝BM：AB．
∴ ．
∴ ．
∵△CNG∽△CBA，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即 ．
说明： 当EN与线段AB相交时，用计算MN边上高的方法求y时，求出高为
①
，得1分；
当EN与线段AB不相交时，用梯形面积公式求y时，求出梯形上底为（3x﹣24），
得1分．
定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分．
②
第27页（共28页）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置
关系进行分类讨论得出是解题关键．
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日期：2018/12/26 20:32:39；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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