文档内容
2012年上海市虹口区中考数学一模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2+3 D．y＝x2
2．（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1
C．有最高点（0，1） D．是中心对称图形
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）若 、 均为非零向量，且 ，则在下列结论中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与
△COD相似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．
6．（4分）如图，已知EF∥CD，DE∥BC，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）实数2与0.5的比例中项是 ．
8．（4分）抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标为 ．
9．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向上平移一个单位再向右平移三个单位后，得到的抛
第1页（共27页）物线解析式是 ．
10．（4分）已知向量 、、满足关系式3（ ）﹣2 ＝ ，那么用向量 、表示向
量 ＝ ．
11．（4分）已知：2sin（ +15°）＝ ，则锐角 ＝ ．
12．（4分）如图，若AD＝3AO，则当CO：BO的值为 时，有AB∥CD成立．
α α
13．（4分）已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边
为12，则△A′B′C′的周长是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝3，点G是△ABC的重心，如果DG∥BC，那么
DG＝ ．
15．（4分）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB＝6m，坡
面AC的坡度i＝1： ，则至少需要红地毯 m．
16．（4分）点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上的三点，则
1 2 3
y 、y 、y 的大小是
1 2 3
（用“＜”连接）．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线
DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
第2页（共27页）18．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝m，∠ABC＝72°，BB 平分∠ABC交AC于
1
B ，过B 做B B ∥BC交AB于B ，作B B 平分∠AB B 交AC于B ，过B 作
1 1 1 2 2 2 3 2 1 3 3
B B ∥BC交AB于B ，则线段B B 的长度为 （用含有m的代数式表示）
3 4 4 3 4
三、解答题
19．（10分）计算： ．
20．（10分）已知二次函数y＝ ．
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
21．（10分）已知：如图，AB＝AC，∠DAE＝∠B．
求证：△ABE∽△DCA．
第3页（共27页）22．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图，AD与地面的夹角为60°．为了
提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成
为37°，因此传送带的落地点B到点C向前移动了2米．
（1）求点A与地面的高度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货
物Ⅱ是否需要搬走，并说明理由．
（参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75， 取1.73）
23．（12分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB
交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
（1）求证： ；
（2）若AB＝10，cosB＝ ，求CD的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，
3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上
下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A ，顶点为M ，若点P在平移
1 1
后的抛物线上，且满足△PMM 的面积是△PAA 面积的3倍，求点P的坐标．
1 1
第4页（共27页）25．（14分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝5，tan ，E为射线
BD上一动点，过点 E作EF∥DC交射线BC于点F，连接EC，设BE＝x，
＝y．
（1）求BD的长；
（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范
围；
（3）连接DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长．
第5页（共27页）2012 年上海市虹口区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝﹣x2+3 D．y＝x2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】令x＝0，分别计算四个函数所对应的函数值，即得到它们与y轴的交点坐
标，然后进行判断．
【解答】解：A、令x＝0，得y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3），所
以A选项错误；
B、令x＝0，得y＝﹣3，则抛物线y＝x2﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3），所以B
选项正确；
C、令x＝0，得y＝3，则抛物线y＝﹣x2+3与y轴的交点坐标为（0，3），所以C选项
错误；
D、令x＝0，得y＝0，则抛物线y＝x2与y轴的交点坐标为（0，0），所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象上的点的坐标满足其解析式．
2．（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1
C．有最高点（0，1） D．是中心对称图形
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由二次函数y＝﹣2x2+1，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图
象开口向下；对每个选项分析、判断即可；
【解答】解：A、由二次函数y＝﹣2x2+1得，a＝﹣1＜0，开口向下；故本项错误；
B、由二次函数y＝﹣2x2+1得，对称轴是x＝0；故本项错误；
C、开口向下有最高点，顶点坐标为（0，1）；故本项正确；
第6页（共27页）D、二次函数的图象是轴对称图形但不是中心对称图形；故本项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及几何变换，应熟练掌握二次函数的性
质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝ ＝13．
∴sinA＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对
边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
4．（4分）若 、 均为非零向量，且 ，则在下列结论中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 、 均为非零向量，且 ∥ ，即可得 与 方向相同，但大小不一定相等，
继而可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵ 、 均为非零向量，且 ∥ ，
∴ 与 方向相同，但大小不一定相等，
∴ ＝m （m≠0）．
故选：A．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意理解平行向量的定义是
解此题的关键．
5．（4分）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与
第7页（共27页）△COD相似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD C． D．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】相似三角形的判定有三种方法， 三边法：三组对应边的比相等的两个三
角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
①
角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项所给条
②
件进行判断即可．
③
【解答】解：A、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，
故本选项错误；
B、若∠ABD＝∠ACD，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错
误；
C、若 ＝ ，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一
定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．
D、若 ＝ ，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得
△AOB∽△COD，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形
判定的三种方法．
6．（4分）如图，已知EF∥CD，DE∥BC，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
第8页（共27页）【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】“平行线分线段成比例”、等量代换对以下选项进行一一分析．
【解答】解：A、∵EF∥CD，
∴ ＝ ；
又∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
故本选项正确；
B、当AE≠AF时， ≠ ；故本选项错误；
C、∵DE∥BC，
∴ ＝ ；
又∵EF∥CD，
∴ ＝ ，
∴ ；
故本选项正确；
D、由A选项知： ＝ ，则 ；
故本选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例．解题时，利用了平行线分线段成比例定
理以及比例的性质进行变形．
二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）实数2与0.5的比例中项是 ± 1 ．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】首先设实数2与0.5的比例中项是x，由比例中项的定义，即可得x2＝
2×0.5＝1，继而求得答案．
第9页（共27页）【解答】解：设实数2与0.5的比例中项是x，
则x2＝2×0.5＝1，
∴x＝±1．
故答案为：±1．
【点评】此题考查了比例中项的定义．此题难度不大，注意解题需细心．
8．（4分）抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标为 （﹣ 1 ， 3 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y＝2（x+1）
2+3写出顶点坐标则可．
【解答】解：顶点坐标是（﹣1，3）．
【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
9．（4分）将抛物线y＝﹣3x2向上平移一个单位再向右平移三个单位后，得到的抛
物线解析式是 y ＝﹣ 3 （ x ﹣ 3 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】11：计算题．
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），向上平移一个单位再向右平移三个单位后，
顶点坐标为（3，1），根据顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线向上平移一个单位再向右平移三个单位后，顶点坐标为（3，1），
∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣3（x﹣3）2+1．
故本题答案为：y＝﹣3（x﹣3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化
为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式．
10．（4分）已知向量 、、满足关系式3（ ）﹣2 ＝ ，那么用向量 、表示向
量 ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】利用一元一次方程的求解方法：先去括号，再移项合并同类项，系数化1，
即可求得向量 ．
【解答】解：∵3（ ）﹣2 ＝ ，
第10页（共27页）∴3 ﹣3 ﹣2 ＝ ，
∴﹣3 ＝2 ﹣3 ，
解得： ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意利用一元一次方程的求
解方法求解是解此题的关键．
11．（4分）已知：2sin（ +15°）＝ ，则锐角 ＝ 45 ° ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
α α
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【分析】先将已知等式变形，得sin（ +15°）＝ ，再根据特殊角的三角函数值即
α
可求出x的值．
【解答】解：∵2sin（ +15°）＝ ，
∴sin（ +15°）＝ ，α
又∵ 为α锐角，
∴ +15°＝60°，
α
∴ ＝45°．
α
故答案为：45°．
α
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，考查计算能力，是基础题，比较简单．
12．（4分）如图，若AD＝3AO，则当CO：BO的值为 2 时，有AB∥CD成立．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】先由AD＝3AO，得出DO：AO＝2，则当CO：BO的值为2时，根据两边对
应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△COD∽△BOA，由相似三角形对
应边成比例得出∠C＝∠B，然后根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CD．
【解答】解：如图，当CO：BO的值为2时，有AB∥CD成立．理由如下：
∵AD＝3AO，AD＝AO+DO，
第11页（共27页）∴DO＝2AO，即DO：AO＝2．
在△COD与△BOA中，
∵DO：AO＝CO：BO＝2，∠COD＝∠BOA，
∴△COD∽△BOA，
∴∠C＝∠B，
∴AB∥CD．
故答案为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，难度适中，根据条
件证明△COD∽△BOA，是解题的关键．
13．（4分）已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边
为12，则△A′B′C′的周长是 3 0 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由于△A′B′C′的最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中
边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只
能是△ABC中边长为6的边，
∴△′B′C′的另两边的长为8，10，
故△′B′C′的周长为8+10+12＝30．
故答案为30．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够熟练掌握．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝3，点G是△ABC的重心，如果DG∥BC，那么
DG＝ 1 ．
【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】首先延长BG交AC于点E，取AD的中点F，连接EF，由点G是△ABC的
第12页（共27页）重心，易得BG：BE＝2：3，EF是△ABC的中位线，即可求得EF的长，证得
△BDG∽△BFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG的长．
【解答】解：延长BG交AC于点E，取AB的中点F，连接EF，
∵点G是△ABC的重心，
∴AE＝CE，BG：BE＝2：3，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝ BC＝ ，
∵DG∥BC，
∴DG∥EF，
∴△BDG∽△BFE，
∴DG：EF＝BG：BE＝2：3，
∴DG＝ EF＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及三角形中
位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用．
15．（4分）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB＝6m，坡
面AC的坡度i＝1： ，则至少需要红地毯 1 4 m．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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第13页（共27页）【专题】12：应用题．
【分析】根据坡面AC的坡度i＝1： ，求出BC的长度，从而利用平移的知识可得
地毯的长度＝AB+BC，继而得出答案．
【解答】解：∵AB＝6m，坡面AC的坡度i＝1： ，
∴BC＝6× ＝8m，
故可得地毯的长度＝AB+BC＝6+8＝14m．
故答案为：14．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出BC的长度是解答本题的
关键，另外要掌握平移的运用．
16．（4分）点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上的三点，则
1 2 3
y 、y 、y 的大小是 y ＜ y ＜ y
1 2 3 3 1 2
（用“＜”连接）．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】将点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）代入抛物线y＝﹣x2+2x+3，即可求出
1 2 3
y 、y 、y 的值，进而比较其大小．
1 2 3
【解答】解：将点A（﹣1，y ）、B（2，y ）、C（4，y ）分别代入抛物线y＝﹣x2+2x+3得，
1 2 3
y ＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝﹣1﹣2+3＝0，
1
y ＝﹣22+2×2+3＝﹣4+4+3＝3，
2
y ＝﹣42+2×4+3＝﹣16+8+3＝﹣5，
3
∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故答案为y ＜y ＜y ．
3 1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确，二次函数图象上的点
符合函数解析式．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线
DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
第14页（共27页）【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】设CE＝x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE＝BE＝BC+CE，在
Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．
【解答】解：设CE＝x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，
解得x＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等．
18．（4分）已知△ABC中，AB＝AC＝m，∠ABC＝72°，BB 平分∠ABC交AC于
1
B ，过B 做B B ∥BC交AB于B ，作B B 平分∠AB B 交AC于B ，过B 作
1 1 1 2 2 2 3 2 1 3 3
B B ∥BC交AB于B ，则线段B B 的长度为 m ﹣ 2 m （用含有m的代数
3 4 4 3 4
式表示）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第15页（共27页）【专题】2A：规律型．
【分析】由△ABC中，AB＝AC＝m，∠ABC＝72°，BB 平分∠ABC交AC于B ，过
1 1
B 做B B ∥BC交AB于B ，易证得△BCB 和△B B B是等腰三角形，然后设
1 1 2 2 1 2 1
AB ＝x，可得AB ＝AB ＝BC＝AB﹣BB ＝x，BB ＝B B ＝m﹣x，又由相似三角
2 1 2 2 2 1 2
形的对应边成比例，即可求得x值，同理，可求得线段B B 的长度．
3 4
【解答】解：∵AB＝AC＝m，∠ABC＝72°，BB 平分∠ABC交AC于B ，
1 1
∴∠B BB ＝∠B BC＝ ∠ABC＝36°，∠C＝∠ABC＝72°，
2 1 1
∴∠BB C＝72°＝∠C，
1
∵B B ∥BC，
1 2
∴∠B B B＝∠B BC＝36°，
2 1 1
∴BB ＝B B ，BB ＝BC，
2 1 2 1
∵∠A＝∠ABB ＝36°，
1
∴AB ＝BB ，
1 1
∴设AB ＝x，
2
则AB ＝AB ＝BC＝AB﹣BB ＝x，BB ＝B B ＝m﹣x，
1 2 2 2 1 2
∵ ＝ ，
∴ ，
解得：x＝ m，
∴B B ＝BB ＝ m，
1 2 2
∴AB ＝ m，
2
同理：B B ＝B B ，B B ＝AB ＝AB ，
2 4 3 4 1 2 4 3
设B B ＝y，
3 4
∵ ，
第16页（共27页）则可得： ，
解得：y＝ m﹣2m．
故答案为： m﹣2m．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此
题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据cos45°＝ ，cos60°＝ ，tan30°＝ ，tan60°＝ 得到原式＝
+ ，再进行二次根式的除法运算，然后进行合并即可．
【解答】解：原式＝ +
＝ +
＝ +
＝2 ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：cos45°＝ ，cos60°＝ ，tan30°＝ ，
tan60°＝ ．
20．（10分）已知二次函数y＝ ．
第17页（共27页）（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
【考点】H2：二次函数的图象；H9：二次函数的三种形式．
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【分析】（1）利用配方法求出二次函数的对称轴和顶点坐标即可；
（2）把握抛物线与x轴，y轴的交点，顶点坐标，开口方向等画出图象即可．
【解答】解：（1）
y＝
＝﹣ （x2﹣6x）﹣
＝﹣ （x2﹣6x+9﹣9）﹣
＝﹣ （x﹣3）2+2，
故顶点坐标为（3，2）和对称轴为直线x＝3；
（2）当y＝0，则0＝﹣ （x﹣3）2+2，解得：x＝1或x＝5，则图象与x轴的交点坐标
为：（1，0），（5，0），
当x＝0，则y＝﹣ ，则图象与y轴的交点坐标为：（0，﹣ ），如图所示：
第18页（共27页）．
【点评】此题主要考查了配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标，此题是二次函
数的基本性质也是考查重点，同学们应熟练掌握．
21．（10分）已知：如图，AB＝AC，∠DAE＝∠B．
求证：△ABE∽△DCA．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】由AB＝AC，可证得∠B＝∠C，又由∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDE＝
∠BAD+∠B，∠DAE＝∠B，即可证得∠BAE＝∠CDA，然后根据有两角对应相
等的三角形相似，即可证得△ABE∽△DCA．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDA＝∠BAD+∠B，
又∵∠DAE＝∠B，
∴∠BAE＝∠CDA，
∴△ABE∽△DCA．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质以及三角形外角的性
质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图，AD与地面的夹角为60°．为了
第19页（共27页）提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成
为37°，因此传送带的落地点B到点C向前移动了2米．
（1）求点A与地面的高度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货
物Ⅱ是否需要搬走，并说明理由．
（参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75， 取1.73）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】（1）作AE⊥BC于点E，设AE＝x，在RT△ACE、RT△ABE中，分别表示出
CE、BE，然后根据BC＝CE﹣BE可得出关于x的方程，解出即可；
（2）求出ED、CE的长度，从而得出CD的长度，结合题意即可作出判断．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于点E，
设AE＝x，在RT△ACE中，CE＝AE×cot∠ACE＝ ，
在RT△ABE中，BE＝AE×cot∠ABE＝x，
而BC＝CE﹣BE，即 ﹣x＝2，
解得：x＝6，
答：点A与地面的高度为6米．
（2）结论：货物II不需要挪走．
在RT△ADE中，ED＝AE×cot∠ADE＝6× ＝2 ，CE＝AE×cot∠ACE＝8，
故CD＝CE+ED＝8+2 ≈11.46，14﹣11.46＝2.54＞2，
即货物II不用挪走．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，将
第20页（共27页）实际问题转化为数学模型，继而利用所学的知识求解．
23．（12分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，DE平分∠CDB
交边BC于E，EM是线段BD的垂直平分线．
（1）求证： ；
（2）若AB＝10，cosB＝ ，求CD的长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角
三角形．
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【分析】（1）由EM是线段BD的垂直平分线，可证得∠EDB＝∠B，又由DE平分
∠CDB，可证得∠CDE＝∠B，继而可证得△CDE∽△CBD，然后由相似三角形
的对应边成比例，证得结论；
（2）由∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝ ，可求得AC＝6，BC＝8，又由 ，则可
求得CD＝ ，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠EDB，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴ ，
∵ED＝EB，
第21页（共27页）∴ ；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝ ，
∴AC＝6，BC＝8，
∵EM是线段BD的垂直平分线，
∴DM＝BM，
∴ ，
∴ ，
即CD＝ ，
∵cosB＝ ＝ ，
∴CD＝4× ＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线
的定义以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思
想的应用．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，
3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上
下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A ，顶点为M ，若点P在平移
1 1
后的抛物线上，且满足△PMM 的面积是△PAA 面积的3倍，求点P的坐标．
1 1
第22页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）直接将已知点的坐标代入到二次函数的解析式中求得未知系数的值
即可；
（2）根据A、B两点的坐标可以求得OA和OB的长，然后根据旋转的性质求得点
C的坐标，然后向下平移2个单位即可得到平移后的抛物线的解析式；
（3）设P点的坐标为（x ，x 2﹣4x +1），然后分0＜x ＜2时和x ＜0时两种情况利
0 0 0 0 0
用S ＝3S 得到有关x 的方程求得x 即可确定点P的坐标即可．
△PMM1 △PAA1 0 0
【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，
∴
解得：
∴b、c的值分别为﹣4，3；
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
可得旋转后C点的坐标为（4，1），
当x＝4时，由y＝x2﹣4x+3得y＝3，
可知抛物线经过y＝x2﹣4x+3经过点（4，3）
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（3）∵点P在y＝x2﹣4x+1上，可设P点的坐标为（x ，x 2﹣4x +1），
0 0 0
将y＝x2﹣4x+1配方得y＝（x﹣2）2﹣3
∴对称轴为直线x＝2，
∵S ＝3S MM ＝AA ＝2
△PMM1 △PAA1 1 1
∴x ＜2，
0
第23页（共27页）当0＜x ＜2时，
0
∵S ＝3S ，
① △PMM1 △PAA1
×2×（2﹣x ）＝3× ×2×x ，
0 0
解得：x ＝ ，
0
∴x ＝ ，此时x 2﹣4x +1＝﹣
0 0 0
∴点P的坐标为（ ，﹣ ），
当x ＜0时，
0
②
同理可得 ×2×（2﹣x ）＝3× ×2×（﹣x ）
0 0
解得：x ＝﹣1，
0
∴x ＝﹣1，此时x 2﹣4x +1＝6，
0 0 0
∴点P的坐标为（﹣1，6），
综上所述，可知：点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣1，6）．
【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的求二次函数的
解析式更是高频考点，在第（3）题中分两种情况讨论是解决本题的关键．
25．（14分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝5，tan ，E为射线
BD上一动点，过点 E作EF∥DC交射线BC于点F，连接EC，设BE＝x，
＝y．
（1）求BD的长；
（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范
围；
第24页（共27页）（3）连接DF，若△BDF与△BDA相似，试求BF的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB＝AD＝5，可得∠ABD＝
∠ADB＝∠DBC，BH＝HD，再根据tan∠ABD＝tan ，计算出BH＝DH
＝4，进而得到BD＝8；
（2）首先利用平行线的性质得出 ＝ ＝ ，进而得出△FEB∽△CDB，即可
得出y与x的函数关系式；
（3）分别根据当∠BFD＝∠A时，当∠BFD＝∠ABD时，利用相似三角形的性质
求出BF的长即可．
【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB＝AD＝5，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠DBC，BH＝HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD＝tan ，
∴cos∠ABD＝ ＝ ，
∴BH＝DH＝4，
∴BD＝8；
（2）∵EF∥DC，
∴ ＝ ＝ ，
∵△EFC与△EFB同高，
∴ ＝ ＝ ，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
第25页（共27页）∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∴y＝ ＝ • ＝ • ＝﹣ + x（0＜x＜8）；
（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵△BDF与△BDA相似，
如图2，当∠BFD＝∠A时，
则∠ABD＝∠FDB，
①
故AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF＝AD＝5，
如图3，当∠BFD＝∠ABD时，
∵∠ADB＝∠DBC，∠BFD＝∠ABD，
②
∴△ABD∽△DBF，
∴ ＝ ，
∵∠ABD＝∠ADB，∠BFD＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠BFD，
∴DB＝DF＝8，
∴ ＝ ，
∴BF＝ ，
综上所述：当△BDF与△BDA相似时，BF的长为5或 ．
第26页（共27页）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识
利用数形结合、分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:33:30；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
