文档内容
2012年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．（4分）计算a2•2a3的结果是（ ）
A．2a6 B．2a5 C．8a6 D．8a5
3．（4分）已知一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（4分）某单位在两个月内将开支从24000元降到18000元．如果设每月降低开
支的百分率均为x（x＞0），则由题意列出的方程应是（ ）
A．24000（1+x）2＝18000 B．18000（1+x）2＝24000
C．24000（1﹣x）2＝18000 D．18000（1﹣x）2＝24000
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD＝3，DB＝2，DE∥BC，
则DE：BC的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的
半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）4的平方根是 ．
8．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ ．
第1页（共26页）9．（4分）求不等式2x+3＞7的解集 ．
10．（4分）方程 ＝1的解是 ．
11．（4分）已知方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
．
12．（4分）已知反比例函数的图象经过点（m，3）和（﹣3，2），则m的值为 ．
13．（4分）将二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平
移后的二次函数解析式为 ．
14．（4分）已知一个样本4，2，7，x，9的平均数为5，则这个样本的中位数为
．
15．（4分）如图，已知点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，设 ， ，
则向量 ＝ （用向量 、 表示）．
16．（4分）如图，BE为正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ABE＝ °．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上一点，沿AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F点处，若AB＝3，BC＝5，则tan∠EFC的值为 ．
18．（4分）如图，在直角坐标系中， P的圆心是P（a，2）（a＞0），半径为2；直线
y＝x被 P截得的弦长为2 ，则a的值是 ．
⊙
⊙
第2页（共26页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）已知：如图，点D、E分别在线段AC、AB上，AD•AC＝AE•AB．
（1）求证：△AEC∽△ADB；
（2）AB＝4，DB＝5，sinC＝ ，求S ．
△ABD
22．（10分）从2011年5月1日起，我市公安部门加大了对“酒后驾车”的处罚
力度，出台了不准酒后驾车的禁令．某记者在某区随机选取了几个停车场对开
车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A．有酒后开车； B．
喝酒后不开车或请专业司机代驾；C．开车当天不喝酒；D．从不喝酒．将这次调
查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图一和图二，请根据相关信息，解答
下列问题．
第3页（共26页）（1）该记者本次一共调查了 名司机；
（2）图一中情况D所在扇形的圆心角为 °；
（3）补全图二；
（4）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，则他属情况C的概率是
；
（5）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为 人．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交
BC于E，连接ED．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）当∠ABC＝60°，EC＝BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c过点A（﹣1，0）；直
线l：y＝﹣ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点
M；抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标．
（3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E．问：是否存
在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
第4页（共26页）25．（14分）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线
AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？
并证明你的猜想．
（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y
关于x的函数解析式，并指出x的取值范围．
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以
E为圆心以BE为半径的 E和以F为圆心以FD为半径的 F之间的位置关
系．
⊙ ⊙
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2．问△EGF与△EFA
能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，请说明理由．
第5页（共26页）2012 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【考点】15：绝对值．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据绝对值的意义得到答案．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝
﹣a．
2．（4分）计算a2•2a3的结果是（ ）
A．2a6 B．2a5 C．8a6 D．8a5
【考点】49：单项式乘单项式．
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【分析】本题需根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出答案．
【解答】解：a2•2a3
＝2a5
故选：B．
【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则
的灵活应用是本题的关键．
3．（4分）已知一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限求出b的取值范围，
再找出符合条件的b的取值即可．
第6页（共26页）【解答】解：∵一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，
∴b＜0，四个选项中只有﹣1符合条件．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）中，
当k＞0，b＜0时函数的图象在一、三、四象限．
4．（4分）某单位在两个月内将开支从24000元降到18000元．如果设每月降低开
支的百分率均为x（x＞0），则由题意列出的方程应是（ ）
A．24000（1+x）2＝18000 B．18000（1+x）2＝24000
C．24000（1﹣x）2＝18000 D．18000（1﹣x）2＝24000
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】根据题意可得出第一个月开支为：24000（1﹣x），第二个月的开支为：
24000（1﹣x）（1﹣x），再由两个月内将开支降到18000，可得出方程．
【解答】解：由题意得，第一个月开支为：24000（1﹣x），第二个月的开支为：24000
（1﹣x）（1﹣x），
故可得方程：24000（1﹣x）2＝18000．
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，关键是根据题意的降
低百分率表示出每个月的开支，难度一般．
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD＝3，DB＝2，DE∥BC，
则DE：BC的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由AD＝3，DB＝2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段
成比例定理，可得DE：BC＝AD：AB，则可求得答案．
【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，
第7页（共26页）∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
∵DE∥BC，
∴DE：BC＝AD：AB＝3：5．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段
的对应关系是解此题的关键．
6．（4分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的
半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】画出图形，根据A的坐标和圆A的半径求出圆与x轴的交点坐标，根据已
知和交点坐标即可求出答案．
【解答】解：如图：
∵A（1，0）， A的半径是2，
∴AC＝AE＝2，
⊙
∴OE＝1，OC＝3，
A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在 A上，正确，故本选项不合题意；
B、当a＝﹣3时，B在 A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合
⊙
题意；
⊙
C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；
D、当﹣1＜a＜3时，B在 A内正确，故本选项不合题意；
故选：B．
⊙
第8页（共26页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当d＝r时，
点在圆上，当d＞r时，点在圆外，当d＜r时，点在圆内．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）4的平方根是 ± 2 ．
【考点】21：平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x
就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（4分）因式分解：x3﹣9x＝ x （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【解答】解：x3﹣9x，
＝x（x2﹣9），
＝x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要
进行二次分解，分解因式要彻底．
9．（4分）求不等式2x+3＞7的解集 x ＞ 2 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】利用不等式的基本性质：先移项再合并同类项即可解答．
第9页（共26页）【解答】解：移项得，
2x＞7﹣3，
合并同类项得，
2x＞4
两边同时除以2得，
x＞2．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意
移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或
整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号
的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
10．（4分）方程 ＝1的解是 x ＝ 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即
可．
【解答】解： ，
两边平方得，2x﹣3＝1，
解得，x＝2；
经检验，x＝2是方程的根；
故答案为x＝2．
【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化
为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理
方程，往往会产生增根，应注意验根．
11．（4分）已知方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k
＜ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由题意可以知道△＞0，列出式子，就可以求出k的取值．
【解答】解：∵x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，
第10页（共26页）∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴9﹣4k＞0，
∴k＜ ．
故答案为k＜ ．
【点评】本题考查了根的判别式，运用△的值确定字母的取值范围，是一元二次方
程中常见的解题形式．
12．（4分）已知反比例函数的图象经过点（m，3）和（﹣3，2），则m的值为 ﹣ 2
．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据反比例函数图象上的点的特征，横坐标与纵坐标的积等于k的值，列
式计算即可得解．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（m，3）和（﹣3，2），
∴k＝3m＝（﹣3）×2，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数解析式
的变形，k＝xy确定出横坐标与纵坐标的积等于k的值是解题的关键．
13．（4分）将二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平
移后的二次函数解析式为 y ＝﹣（ x ﹣ 1 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】2B：探究型．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知：将二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象沿
y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣
2+3，即y＝﹣（x﹣1）2+1．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是
第11页（共26页）解答此题的关键．
14．（4分）已知一个样本4，2，7，x，9的平均数为5，则这个样本的中位数为 4
．
【考点】W4：中位数．
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【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵一个样本4，2，7，x，9的平均数为5，
∴ （4+2+7+x+9）＝5，
解得：x＝3，
将该组数据按从小到大的顺序排列：2，3，4，7，9，
∵一共有5个数据，第三个数据为4，
∴中位数是4．
故答案为4．
【点评】本题考查平均数和中位数．平均数等于数据总数除以总个数．求一组数据
的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据
数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据
的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数
据的中位数．
15．（4分）如图，已知点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，设 ， ，
则向量 ＝ （用向量 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据AD＝ AB，DE＝ BC分别得出 、 ，继而根据 ＝ + 即可得
出答案．
【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，
第12页（共26页）∴AD＝ AB，DE＝ BC（中位线定理），
故可得： ＝ ＝ ， ＝ ，
从而可得 ＝ + ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识，解答本题要熟练向量的加减法则，另外要掌
握同一方向上线段与向量之间的转换，难度一般．
16．（4分）如图，BE为正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ABE＝ 3 6 °．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，求出一个内角的度
数，根据△ABE是等腰三角形，一个三角形内角和180°，即可求出∠ABE的大
小．
【解答】解：360°÷5＝72°，
180°﹣72°＝108°，
所以，正五边形每个内角的度数为108°，
即可知∠A＝108°，
又知△ABE是等腰三角形，
则∠ABE＝ （180°﹣108°）＝36°．
故答案为36．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五
边形的内角，此题基础题，比较简单．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上一点，沿AE折叠，点D恰好落
第13页（共26页）在BC边上的F点处，若AB＝3，BC＝5，则tan∠EFC的值为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据折叠的性质得出三角形 ABF的各边长，然后利用等角变换得出
∠BAF＝∠CFE，继而可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：在Rt△ABF中：AB＝3，AF＝AD＝BC＝5，
则BF＝ ＝4，
又∵∠EFC+∠AFB＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CFE，
故tan∠EFC＝tan∠BAF＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是解直角
三角形ABF，另外要得出重要的一点是∠BAF＝∠CFE．
18．（4分）如图，在直角坐标系中， P的圆心是P（a，2）（a＞0），半径为2；直线
y＝x被 P截得的弦长为2 ，则a的值是 2 ﹣ 或 2+ ．
⊙
⊙
【考点】D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】分为两种情况： 当P在直线y＝x的左边时，过P D⊥AB于D，由垂径定
1
①
第14页（共26页）理求出AD、由勾股定理求出P D，过P 作P D∥直线y＝x，交y轴于D，过D
1 1 1
作DB⊥直线y＝x于B，得出DB＝P D＝1，OB＝DB＝1，由勾股定理求出DO，
1
得出直线P D的解析式是y＝x+ ，把P（a，2）代入求出a即可； 与 解法
1
类似，当P在直线y＝x的右边时，同法得出直线的解析式y＝x﹣ ，把p（a，
② ①
2）代入求出a的另一个值．
【解答】解：分为两种情况：
当P在直线y＝x的左边时，过P D′⊥AB于D′，
1
①由垂径定理得：AD′＝ ×2 ＝ ，
∵P A＝2，由勾股定理得：P D′＝1，
1 1
过P 作P D∥直线y＝x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y＝x于B，则DB＝P D＝
1 1 1
1，
∵直线y＝x，
∴∠DOB＝45°，
∴OB＝DB＝1，由勾股定理得：DO＝ ，
∵直线P D∥直线y＝x，
1
∴直线P D的解析式是y＝x+ （即把直线y＝x相上平移 个单位），
1
∴把P（a，2）代入得：2＝a+ ，
∴a＝2﹣ ，
当P在直线y＝x的右边时，与 解法类似，P M＝ON＝1，
2
由勾股定理得OH＝ ，
② ①
把直线y＝x向下平移 个单位得出直线y＝x﹣ ，
把p（a，2）代入求出a的另一个值是2+ ．
故答案为：2﹣ 或2+ ．
第15页（共26页）【点评】本题考查了等腰三角形性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，垂径定
理等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，注意：此题要进行
分类讨论．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值个考
点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求
得计算结果．
【解答】解：原式＝3 ﹣4× ﹣1+2＝3 ﹣2 +1＝ +1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角
函数值等考点的运算．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式
方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得：2+（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
第16页（共26页）解得：x＝2或﹣1，
经检验：x＝2是原方程的解．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简
公分母．解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
21．（10分）已知：如图，点D、E分别在线段AC、AB上，AD•AC＝AE•AB．
（1）求证：△AEC∽△ADB；
（2）AB＝4，DB＝5，sinC＝ ，求S ．
△ABD
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【专题】2B：探究型．
【分析】（1）根据AD•AC＝AE•AB，可得到 ＝ ，再根据∠DAB＝∠EAC即可
得出结论；
（2）由（1）可知△AEC∽△ADB，故∠B＝∠C，再过点A作BD的垂线，垂足为F，
由锐角三角函数的定义可求出AF的长，再由三角形的面积即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•AB，
∴ ＝ ，
又∵∠DAB＝∠EAC，
∴△AEC∽△ADB；
（2）解：∵△AEC∽△ADB，
∴∠B＝∠C，
过点A作BD的垂线，垂足为F，则AF＝AB•sinB＝4× ＝ ，
∴S ＝ ×DB•AF＝ ×5× ＝ ．
△ABD
第17页（共26页）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意判断出△AEC∽△ADB
是解答此题的关键．
22．（10分）从2011年5月1日起，我市公安部门加大了对“酒后驾车”的处罚
力度，出台了不准酒后驾车的禁令．某记者在某区随机选取了几个停车场对开
车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A．有酒后开车； B．
喝酒后不开车或请专业司机代驾；C．开车当天不喝酒；D．从不喝酒．将这次调
查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图一和图二，请根据相关信息，解答
下列问题．
（1）该记者本次一共调查了 20 0 名司机；
（2）图一中情况D所在扇形的圆心角为 16 2 °；
（3）补全图二；
（4）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，则他属情况C的概率是
；
（5）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为 2970 0 人．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X4：概率公式．
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【分析】（1）从扇形图可看出A种情况占1%，从条形图知道有2人，可求出总人
数；
（2）求出D所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数；
（3）分别求出情况B、C的人数即可补全图二；
第18页（共26页）（4）C种情况的概率为C中调查的人数除以调查的总人数；
（4）3万人数乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的百分比即可求出答案．
【解答】解：（1）该记者本次一共调查的司机数是：2÷1%＝200名；
（2）图一中情况D所在扇形的圆心角为 360°× ＝162°；
（3）如图：
（4）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，则他属情况C的概率是
＝ ；
（5）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为30000×99%＝
29700 人．
故答案为：200，162， ，29700．
【点评】本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整
体的百分比，条形图告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交
BC于E，连接ED．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）当∠ABC＝60°，EC＝BE时，证明：梯形ABCD是等腰梯形．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形
的判定；LK：等腰梯形的判定．
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第19页（共26页）【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线定义求出∠ABD＝∠ADB，推出AB＝
AD，AB＝BE，推出AD＝BE，得出平行四边形ABED，根据菱形的判定推出即
可；
（2）推出等边三角形ABE，得出AE＝AB，推出平行四边形AECD，推出AE＝CD，
推出AB＝CD即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
同理：AB＝BE，
∴AD＝BE，
又∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又∵AB＝BE，
∴平行四边形ABED为菱形．
（2）证明：∵AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE．
又∵AD＝BE＝EC，AD∥EC．
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE＝DC，
∴AB＝DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
【点评】本题考查的知识点是等腰梯形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质和
判定、等边三角形的性质和判定，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，
本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c过点A（﹣1，0）；直
第20页（共26页）线l：y＝﹣ x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点
M；抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标．
（3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E．问：是否存
在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可得出c的值，从而得出了函数解
析式，化为顶点式可直接得出点D的坐标；
（2）先求出OB、BC，然后根据△ABP∽△OBC，求出PB，再由P ＝PBsin∠CBO，
y
可得出点P的纵坐标，代入函数解析式可得出横坐标；
（3）根据题意可得要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需
NE＝DM即可，从而得出方程，求解即可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
得0＝﹣1﹣2+c，
解得：c＝3．
故可得抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
将抛物线的解析式化为顶点式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
故顶点D的坐标为（1，4）；
第21页（共26页）（2）由y＝﹣ x+3，可得点B坐标为（4，0），
设点P的坐标为（x，y），
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5．
又∵△ABP∽△CBO，
∴ ＝ ，
故PB＝ ×AB＝ ×5＝4，
又∵P ＝PBsin∠CBO，
y
∴P ＝4× ＝ ，
y
代入y＝﹣ x+3可得： ＝﹣ x+3，
解得 x＝ ．
所以点P坐标为（ ， ）；
（3）将x＝1代入y＝﹣ x+3，得y＝ ，故点M的坐标为（1， ），
即可得DM＝D ﹣M ＝4﹣ ＝ ，
纵坐标 纵坐标
要使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形，只需NE＝DM即可，
即只要NE＝ 即可，
设点N坐标为（x，﹣ x+3），点E坐标为（x，﹣x2+2x+3），
由NE＝E ﹣N ＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣ x+3）＝ ，得4x2﹣11x+7＝0，
纵坐标 纵坐标
①
解之得x＝ 或x＝1（此时点N和D、M共线，不合题意，舍去），
由NE＝N ﹣E ＝（﹣ x+3）﹣（﹣x2+2x+3）＝ ，得4x2﹣11x﹣7＝0，
纵坐标 纵坐标
② 第22页（共26页）解得：x＝ ，
综上所述，满足题意的点N的横坐标为x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ．
1 2 3
【点评】此题考查了二次函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四
边形的判定及解方程的知识，解答此类大综合题关键是能够将所学的知识融
会贯通．
第23页（共26页）25．（14分）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线
AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？
并证明你的猜想．
（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y
关于x的函数解析式，并指出x的取值范围．
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以
E为圆心以BE为半径的 E和以F为圆心以FD为半径的 F之间的位置关
系．
⊙ ⊙
（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2．问△EGF与△EFA
能否相似？若能相似，求出BE的值；若不可能相似，请说明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、
B、E在一直线上．证得AF′E≌△AFE．从而得到EF＝F′E＝BE+DF；
（2）由（1）得 EF＝x+y再根据 CF＝1﹣y，EC＝1﹣x，得到（1﹣y）2+（1﹣x）2＝
（x+y）2．化简即可得到y＝ （0＜x＜1）．
（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF＝BE+DF，故此时 E与 F外切；当
点E在点C时，DF＝0， F不存在．当点E在BC延长线上时，将△ADF绕着
⊙ ⊙
点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，证得△AF′E≌△AFE．即可得到EF
⊙
＝EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣FD．从而得到此时 E与 F内切．
（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可．这时有 CF＝
⊙ ⊙
第24页（共26页）CE．设BE＝x，DF＝y，由（3）有EF＝x﹣y．由 CE2+CF2＝EF2，得（x﹣1）
2+（1+y ）2＝（x﹣y）2．
化简可得 y＝ （x＞1）．又由 EC＝FC，得x﹣1＝1+y，即x﹣1＝1+ ，化简
得x2﹣2x﹣1＝0，解之即可求得BE的长．
【解答】解：（1）猜想：EF＝BE+DF．理由如下：
将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在一直
线上．如图1．
∵AF′＝AF，
∠F′AE＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF＝F′E＝BE+DF；
（2）由（1）得 EF＝x+y
又 CF＝1﹣y，EC＝1﹣x，
∴（1﹣y）2+（1﹣x）2＝（x+y）2．
化简可得y＝ （0＜x＜1）；
（3） 当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF＝BE+DF，故此时 E与 F外切；
当点E在点C时，DF＝0， F不存在．
① ⊙ ⊙
当点 E 在 BC 延长线上时，将△ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90°，得
② ⊙
△ABF′，图2．
③
有 AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝FD，
∴∠F′AF＝90°．
∴∠F′AE＝∠EAF＝45°．
又 AE＝AE，
∴△AF′E≌△AFE．
∴EF＝EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣FD．
∴此时 E与 F内切．
第25页（共26页）
⊙ ⊙综上所述，当点E在线段BC上时， E与 F外切；当点E在BC延长线上时，
E与 F内切；
⊙ ⊙
⊙ ⊙
（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可．
这时有 CF＝CE．…（1分）
设BE＝x，DF＝y，由（3）有EF＝x﹣y．
由 CE2+CF2＝EF2，得（x﹣1）2+（1+y）2＝（x﹣y）2．
化简可得 y＝ （x＞1）．
又由 EC＝FC，得x﹣1＝1+y，即x﹣1＝1+ ，化简得
x2﹣2x﹣1＝0，解之得
x＝1+ 或x＝1﹣ （不符题意，舍去）．
∴所求BE的长为1+ ．
【点评】本题考查了相似形的综合知识，此类题目往往是中考的压轴题，难度较大．
往往考查初中学段的综合知识，有时候还会与函数知识相结合，无形中提高了
难度．
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日期：2018/12/26 20:35:22；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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