文档内容
2012年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列运算，计算结果错误的是（ ）
A．a4•a3＝a7 B．a6÷a3＝a3
C．（a3）2＝a5 D．a3•b3＝（a•b）3
2．（4分）经过点（2，4）的双曲线的表达式是（ ）
A．y＝2x B． C． D．y＝x2
3．（4分）如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分
的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可
推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
6．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖是必然事件
B．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱EF、棱FG都异面的棱是棱DH
第1页（共26页）C．如果一个多边形的内角和等于540°，那么这个多边形是正五边形
D．平分弦的直径垂直于这条弦
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（﹣2）2＝ ．
8．（4分）方程 的根是 ．
9．（4分）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可
以化为关于y的方程是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，那么 a＝
．
11．（4分）已知正比例函数 y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
那么k的取值范围是 ．
12．（4分）某种品牌的笔记本电脑原价为a元，如果连续两次降价的百分率都为
x，那么两次降价后的价格为 元．
13．（4分）已知△ABC的重心G到BC边上中点D的距离为2，那么中线AD长为
．
14．（4分）在梯形的一条底边长为5，中位线长为7，那么另一条底边的长为
．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE＝1，BC＝4，那么△ADE与
△ABC面积的比是 ．
第2页（共26页）16．（4分）如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧
EF上时，弧BC的长度等于 （结果保留 ）．
π
17．（4分）在矩形ABCD中，如果 ， ，那么 ＝ ．
18．（4分）如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边
AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA＝ ，AB＝13，CD＝12，求AD
的长和tanB的值．
22．（10分）下面提供上海楼市近期的两幅业务图：图（甲）所示为2011年6月至
12月上海商品房平均成交价格的走势图（单位：万元/平方米）；图（乙）所示为
2011年12月上海商品房成交价格段比例分布图（其中a为每平方米商品房成
交价格，单位：万元/平方米）．
第3页（共26页）（1）根据图（甲），写出2011年6月至2011年12月上海商品房平均成交价格的中
位数；
（2）根据图（乙），可知x＝ ；
（3）2011年12月从上海市的内环线以内、内中环之间、中外环之间和外环线以外
等四个区域中的每个区域的在售楼盘中随机抽出两个进行分析：共有可售商
品房2400套，其中成交200套．请估计12月份在全市所有的60000套可售商
品房中已成交的并且每平方米价格低于2万元的商品房的套数．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，
交AB于点F，连接DB，∠AFD＝∠DBE，且DE2＝BE•CE．
（1）求证：∠DBE＝∠CDE；
（2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）二次函数y＝ （x+2 ）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB
为边在第二象限内作等边三角形ABC．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．
（2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的
第4页（共26页）圆相切，直接写出点N的坐标．
25．（14分）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上， ．将
三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线
CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）如图，当点F在射线CA上时，
求证：PF＝PE．
设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
①
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
②
第5页（共26页）2012 年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列运算，计算结果错误的是（ ）
A．a4•a3＝a7 B．a6÷a3＝a3
C．（a3）2＝a5 D．a3•b3＝（a•b）3
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则找到
计算错误的选项即可．
【解答】解：A、a4•a3＝a4+3＝a7，正确，不符合题意；
B、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，正确，不符合题意；
C、（a3）2＝a3×2＝a6，错误，符合题意；
D、a3•b3＝（a•b）3，正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】综合考查了同底数幂的乘法法则，除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法
则；用到的知识点为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底
数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的
每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．（4分）经过点（2，4）的双曲线的表达式是（ ）
A．y＝2x B． C． D．y＝x2
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把点的坐标代入双曲线解析式，能使解析式成立的则双曲线经过该点，否
则不在．
【解答】解：A、y＝2x不是双曲线，故本选项错误；
第6页（共26页）B、 ＝ ≠4，故本选项错误；
C、 ＝4，故本选项正确；
D、y＝x2不是双曲线，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把点的坐标代入解析式求
解即可，比较简单，注意本题要求的是双曲线解析式，容易错选A、D而导致出
错．
3．（4分）如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X5：几何概率．
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【分析】先求出阴影部分面积占整个转盘面积的比例，再根据这个比例即可求解．
【解答】解：因为阴影部分占图形靶子的 ，
所以飞镖落在阴影部分的概率是 ；
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一
般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比
例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
第7页（共26页）【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（4分）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可
推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
【考点】LF：正方形的判定．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正
方形．
【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相
等，即可判定为正方形，故选D．
【点评】本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方
形的概念，途经有两种： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形．
①
6．（4分）下列说法中正确的是（ ）
②
A．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖是必然事件
B．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱EF、棱FG都异面的棱是棱DH
C．如果一个多边形的内角和等于540°，那么这个多边形是正五边形
D．平分弦的直径垂直于这条弦
第8页（共26页）【考点】I1：认识立体图形；L3：多边形内角与外角；M2：垂径定理；X3：概率的意
义．
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【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】分别根据垂径定理、立体图形的认识、多边形的内角和定理及随机事件的
定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖是随机
事件，故本选项错误；
B、由图可知，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱EF、棱FG都异面的棱是棱DH，
故本选项正确；
C、如果一个多边形的内角和等于540°，那么这个多边形是五边形，故本选项错误
D、如果这条弦是直径，则不成立，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、立体图形的认识、多边形的内角和定理及随机事
件的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（﹣2）2＝ 4 ．
【考点】1E：有理数的乘方．
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【分析】根据有理数乘方的意义可得．
【解答】解：（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4．
【点评】此题考查有理数乘方的简单运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进
行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，
﹣1的偶数次幂是1．
8．（4分）方程 的根是 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】方程两边平方，即可转化成一元二次方程，从而求得x的值，然后进行检
验．
【解答】解：方程两边平方得：x2﹣1＝4，
则x2＝5，
解得：x＝± ，
第9页（共26页）经检验x＝±都是方程的解．
故答案是：x＝± ．
【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方
法及换元法，本题用了平方法．
9．（4分）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可
以化为关于y的方程是 2 y 2 + 3 y ﹣ 1 ＝ 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据换元法，把 换成y，然后整理即可得解．
【解答】解：∵y＝ ，
∴原方程化为 ﹣2y＝3，
整理得，2y2+3y﹣1＝0．
故答案为：2y2+3y﹣1＝0．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它
能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分
式方程的特点，寻找解题技巧．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，那么a＝ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此
可列出关于a的等式，求出a的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4﹣4a＝0，即a＝1．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
11．（4分）已知正比例函数 y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
⇔
第10页（共26页）那么k的取值范围是 k ＜ 1 ．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【专题】33：函数思想．
【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k﹣1＜0，然后解
不等式即可．
【解答】解：∵正比例函数 y＝（k﹣1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案是：k＜1．
【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题
注意理解：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经
过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的
增大而减小．
12．（4分）某种品牌的笔记本电脑原价为a元，如果连续两次降价的百分率都为
x，那么两次降价后的价格为 a （ 1 ﹣ x ） 2 元．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在
的价格＝第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．
【解答】解：第一次降价后价格为a（1﹣x）元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为a（1﹣x）（1﹣x）＝a（1﹣x）2元．
故答案为a（1﹣x）2．
【点评】本题考查根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，
平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．
13．（4分）已知△ABC的重心G到BC边上中点D的距离为2，那么中线AD长为
6 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据三角形重心的性质求解即可．
【解答】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD＝4；
第11页（共26页）∴AD＝AG+GD＝6．
【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，
且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
14．（4分）在梯形的一条底边长为5，中位线长为7，那么另一条底边的长为 9
．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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【分析】此题只需根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
【解答】解：设另一条底边为x，则5+x＝2×7，
解得x＝9．
即另一条底边的长为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟记梯形的中位线定理并
灵活的应用．
15．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE＝1，BC＝4，那么△ADE与
△ABC面积的比是 1 ： 1 6 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】先由平行得出两三角形相似，再由已知条件得出对应边DE、BC的比，即
相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝1：4，
∴△ADE与△ABC面积的比为1：16．
故答案为：1：16．
【点评】本题综合考查相似三角形的判定和性质，要掌握相似三角形的面积比等
于相似比的平方．
第12页（共26页）16．（4分）如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧
EF上时，弧BC的长度等于 （结果保留 ）．
π
【考点】L8：菱形的性质；MN：弧长的计算．
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【分析】B，C两点恰好落在扇形AEF的 上，即B、C在同一个圆上，连接AC，易
证△ABC是等边三角形，即可求得 的圆心角的度数，然后利用弧长公式即可
求解．
【解答】解：连接AC，
∵菱形ABCD中，AB＝BC，
又∵AC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°，
∴ 的长是： ＝ ，
故答案是： ．
【点评】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的 上，即B、C
在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．
17．（4分）在矩形ABCD中，如果 ， ，那么 ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在矩形ABCD中，如果 ， ，即可求得AB，BC的长与∠B
＝90°，利用勾股定理即可求得AC的长，又由 + ＝ ，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵ ＝2， ＝1，
第13页（共26页）∴AB＝2，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ，
∴ ＝| |＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、矩形的性质以及勾股定理．此题难度不大，
注意数形结合思想的应用，注意三角形法则的应用．
18．（4分）如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边
AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于 6 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】16：压轴题．
【分析】根据折叠的性质得出CF＝HF，BE＝GE，设BE＝GE＝x，则AE＝4﹣x，再
利用勾股定理首先求出BE的长，即可得出AE，利用角相等三角函数值就相等
即可求出CF，即可得出答案．
【解答】解：由题意，点C与点H，
点B与点G分别关于直线EF对称，
∴CF＝HF，BE＝GE．
设BE＝GE＝x，则AE＝4﹣x．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°．
∴AE2+AG2＝EG2．
∵B落在边AD的中点G处，
第14页（共26页）∴AG＝2，
∴（4﹣x）2+22＝x2．
解得x＝2.5．
∴BE＝2.5．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠B＝90°．
∵点E，F分别在AB，CD边上，
∴四边形BCFE是直角梯形．
∵BE＝GE＝2.5，AB＝4，
∴AE＝1.5．
∴sin∠1＝ ，tan∠1＝ ．
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠1．
∴sin∠3＝sin∠1＝ ，
在Rt△DGP中，∵∠D＝90°，
DG＝2，sin∠3＝ ＝ ，
∴PG＝ ，
∴PH＝GH﹣GP＝ ，
∵∠4＝∠3，
∴tan∠4＝tan∠3＝tan∠1＝ ，
在Rt△HPF中，∵∠H＝∠C＝90°，
∴FC＝HF＝ ．
∴S ＝ （FC+BE）×BC＝ ×（ +2.5）×4＝6．
四边形BCFE
故答案为：6．
第15页（共26页）【点评】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程
中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后
图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先通分计算括号里的，再算括号外的，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ，
当 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通分、约分，以及分子、分母的
因式分解．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将 进行因式分解，然后可将原方程组转化为两个二元一次方程组，解出
即可得出答案．
①
【解答】解：
由 得：（x+2y）（x+3y）＝0，
① 第16页（共26页）故可得：x+2y＝0或x+3y＝0…（4分）
原方程组可化为： ， ，
分别解这两个方程组，得原方程组的解为 或 ．
【点评】此题考查了高次方程的知识，通过将 因式分解可将方程组化为两个独
立的方程组，注意仔细运算．
①
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA＝ ，AB＝13，CD＝12，求AD
的长和tanB的值．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；T7：解直角三角形．
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【分析】由sinA＝ ，CD＝12，根据三角函数可得AC＝15，根据勾股定理可得AD
＝9，则BD＝4，再根据正切的定义求出tanB的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°…（1分）
∵sinA＝
∴AC＝15．…（2分）
∴AD＝9．…（3分）
∴BD＝4．…（4分）
∴tanB＝ …（5分）
【点评】考查了解直角三角形和锐角三角函数的定义，要熟练掌握好边角之间的
关系．
22．（10分）下面提供上海楼市近期的两幅业务图：图（甲）所示为2011年6月至
12月上海商品房平均成交价格的走势图（单位：万元/平方米）；图（乙）所示为
第17页（共26页）2011年12月上海商品房成交价格段比例分布图（其中a为每平方米商品房成
交价格，单位：万元/平方米）．
（1）根据图（甲），写出2011年6月至2011年12月上海商品房平均成交价格的中
位数；
（2）根据图（乙），可知x＝ 6 ；
（3）2011年12月从上海市的内环线以内、内中环之间、中外环之间和外环线以外
等四个区域中的每个区域的在售楼盘中随机抽出两个进行分析：共有可售商
品房2400套，其中成交200套．请估计12月份在全市所有的60000套可售商
品房中已成交的并且每平方米价格低于2万元的商品房的套数．
【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；W4：中位数．
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【分析】（1）根据图（甲），得出2011年6月至2011年12月上海商品房平均成交
价格，再把这些数从小到大排列起来，找出处于中间位置的数即可；
（2）根据图（乙）用1减去其他部分所占的百分比，即可求出x的值；
（3）先设出12月份全市共成交商品房x套，根据题意列出方程，求出x的值，最后
列出算式进行计算即可．
【解答】解：（1）根据图（甲），得出2011年6月至2011年12月上海商品房平均成
交价格分别为2.68，、2.68、2.70、2.69、2.61、2.56、2.43，
把这些数从小到大排列为：2.43、2.56、2.61、2.68、2.68、2.69、2.70，
处于中间位置的数是：2.68，
所以中位数是2.68；
第18页（共26页）（2）根据图（乙）可知x%＝1﹣55%﹣17%﹣22%＝6%，
x＝6；
（3）设12月份全市共成交商品房x套，根据题意得：
，
x＝5000，
5000×（6%+17%）＝1150（套），
则估计12月份在全市所有的60000套可售商品房中已成交的并且每平方米价格
低于2万元的商品房的成交套数为1150套．
故答案为：6．
【点评】此题考查了折线统计图，关键是能够根据折线统计图和扇形统计图获取
有关信息，列出算式，求出答案，是常考题型．
23．（12分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，
交AB于点F，连接DB，∠AFD＝∠DBE，且DE2＝BE•CE．
（1）求证：∠DBE＝∠CDE；
（2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）先把等积式：DE2＝BE•CE化为比例式 ，利用两边及其夹角法：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△DBE∽△CDE
即可证明∠DBE＝∠CDE；
（2）有（1）可知：∠DBE＝∠CDE，利用角平分线的性质和平行线的判定以及平行
四边形的判定方法证明四边形ABCD为平行四边形，再证明AB＝AD即可证
明：四边形ABCD是菱形．
第19页（共26页）【解答】证明：（1）∵DE2＝BE•CE，
∴ ．
∵∠E＝∠E，
∴△DBE∽△CDE．
∴∠DBE＝∠CDE．
（2）∵∠DBE＝∠CDE，
又∵∠DBE＝∠AFD，
∴∠CDE＝∠AFD．
∴AB∥DC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠1．
∵DB平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∴∠ADB＝∠2．
∴AB＝AD．
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题综合性的考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、角平分线的
性质、平行线的判定和性质以及平行四边形的判定、性质和菱形的判定方法，
题目的综合性不小．
24．（12分）二次函数y＝ （x+2 ）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB
为边在第二象限内作等边三角形ABC．
第20页（共26页）（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．
（2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的
圆相切，直接写出点N的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论．
【分析】（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．
在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC
是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点
在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标．
（2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于
△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是
相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入
点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵
坐标即可得出结论．
（3）首先求出 C的半径，即CM的长．若 C与 N相切，就要分两种情况来考
虑： 外切，CN长等于两圆的半径和； 内切，CN长等于两圆的半径差．
⊙ ⊙ ⊙
在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可
① ②
确定点N的坐标．
【解答】解：（1）二次函数y＝ （x+2 ）2的图象的顶点A（﹣2 ，0），与y轴的交
点B（0，2），
第21页（共26页）设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
可求得 k＝ ，b＝2．所以直线AB的表达式为y＝ x+2．
可得∠BAO＝30°，∵∠BAC＝60°，
∴∠CAO＝90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB＝4．
∴AC＝4．点C（﹣2 ，4）．
（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴CM∥AB．
设直线CM的表达式为y＝ x+m，点C（﹣2 ，4）在直线CM上，
可得 m＝6．
∴直线CM的表达式为y＝ x+6．
可得点M的坐标：（﹣5 ，1）．
（3）由C（﹣2 ，4）、M（﹣5 ，1）可得：
CM＝ ＝6．
当 C与 N外切时，CN＝CM+1＝7；
①在Rt△⊙ CAN ⊙中，AN＝ ＝ ＝ ；
∴ON＝AN+OA＝ +2 或ON＝AN﹣OA＝ ﹣2
即：点N的坐标为：（﹣ ﹣2 ，0）、（ ﹣2 ，0）．
当 C与 N内切时，CN＝CM﹣1＝5；
在Rt△CAN中，CN＝5，CA＝4，则AN＝3；
② ⊙ ⊙
∴ON＝AN+OA＝3+2 或ON＝OA﹣AN＝2 ﹣3
即：点N的坐标为：（﹣3﹣2 ，0），（3﹣2 ，0）．
综上可知：
点N的坐标（﹣3﹣2 ，0），（3﹣2 ，0），（﹣ ﹣2 ，0），（ ﹣2 ，0）．
第22页（共26页）【点评】这道二次函数题涵盖了勾股定理、图形面积的求法、圆与圆的位置关系等
重要知识．最后一个小题中，一定要将外切和内切都考虑在内，以免出现漏解
的情况．
25．（14分）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上， ．将
三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线
CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）如图，当点F在射线CA上时，
求证：PF＝PE．
设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
①
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
②
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；R2：旋转的性质；
S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1） 过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N，由已知条件证明
△PMF≌△PNE即可证明PF＝PE； 利用 中的三角形全等和相似三角形
①
的性质即可求出y与x的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可；
② ①
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况： 当点F在射线CA上
时， 当点F在AC延长线上时，分别讨论求出满足题意的EG长即可．
①
第23页（共26页）
②【解答】（1）
证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．
∵CD是∠ACB的平分线，
①
∴PM＝PN．
由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90°．
∴∠1+∠FPN＝90°．
∵∠2+∠FPN＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF＝PE．
解：
∵CP＝ ，
②
∴CN＝CM＝1．
∵△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝1﹣x．
∴CE＝2﹣x．
∵CF∥PN，
∴△GCF∽△GNP，
∴ ．
∴ ．
∴ （0≤x＜1）．
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
当点F在射线CA上时，
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG，
①
∴∠G＝∠1．
∴FG＝FE．
∴CG＝CE．
第24页（共26页）在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2 ．
当点F在AC延长线上时，
∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，
②
∴∠3＝∠2．
∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，
∴∠5＝∠2．
易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4．
∴FC＝CP＝ ．
∴FM＝1+ ．
易证△PMF≌△PNE，
可得EN＝1+ ．
∵CF∥PN，
∴ ．
∴GN＝ ﹣1．
∴EG＝2 ．
第25页（共26页）【点评】本题综合性的考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形
的性质、以及分类讨论思想在几何题目中的运用，题目的难度很大，对学生的
解题能力要求很高．
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日期：2018/12/26 20:35:46；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
