文档内容
2012年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7x D．y＝﹣
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（ ）
A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AC＝3，那么AB的长为（ ）
A．3sin B．3cos C．α D．
4．（4分）在α平面直角坐标系xO α y中有一点P（8，15），那么OP与x轴正半轴所夹
的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短
边长为9，那么△DEF的周长等于（ ）
A．14 B． C．21 D．42
6．（4分）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格
中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角
形 ， 与 左 图 中 的 △ ABC 相 似 的 个 数 有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ ．
第1页（共24页）8．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ＝ ，那么
的值等于 ．
9．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝
cm．
10．（4分）如果抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，那么k的取值范围是 ．
11．（4分）二次函数y＝x2+6x+m图象上的最低点的横坐标为 ．
12．（4分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，面积随之增加
y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
13．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一 点，∠ACD
＝∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么 的值
等于 ．
14．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝5 ，那么∠A＝ 度．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，点G为重心，那么
tan∠GCB的值为 ．
16．（4分）向量 与单位向量 的方向相反，且长度为5，那么用向量 表示向量
为 ．
17．（4分）如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35°方向上，那么从船B观
察灯塔A的方向是 ．
18．（4分）将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在
原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2．
（1）求m的值；
第2页（共24页）（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD：AD＝1：2， ＝ ， ＝
．
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）求作： ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：
（1）△ABC的面积；
（2）∠C的余弦值．
22．（10分）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分
别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，
AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
23．（12分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的
同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，
在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
第3页（共24页）tan76°≈4.01）
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，
且BE＝ED，过点B作BF∥AC，交线段AE的延长线于点F．
（1）求证：AC＝3BF；
（2）如果AE＝ ED，求证：AD•AE＝AC•BE．
25．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图
象经过点A（﹣1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交
于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO＝∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．
第4页（共24页）2012 年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7x D．y＝﹣
【考点】H1：二次函数的定义．
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【分析】二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表
示为y＝ax2+bx+c（a不为0）．
【解答】解：A、函数y＝2x﹣3是一次函数，故本选项错误；
B、由原方程，得y＝2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
C、函数y＝2x2﹣7x符合二次函数的定义；故本选项正确；
D、y＝﹣ 不是整式；故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义．二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c
为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（ ）
A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】分别将各点代入解析式，使解析式成立者即为正确答案．
【解答】解：A、将（2，﹣4）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，﹣4＝﹣4+4﹣4，等式成立，故本
选项正确；
B、将（1，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣1+2﹣4，等式不成立，故本选项错误；
C、将（﹣4，0）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，0≠﹣16﹣8﹣4，等式不成立，故本选项错
误；
D、将（3，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣9+6﹣4，等式不成立，故本选项错误．
故选：A．
第5页（共24页）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要知道函数图象上的点的坐
标符合函数的解析式．
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AC＝3，那么AB的长为（ ）
A．3sin B．3cos C．α D．
【考点】T α 1：锐角三角函数的α定义；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用∠A的余弦值解答即可．
【解答】解：∵cosA＝ ，∠A＝ ，AC＝3，
α
∴AB＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数
值是余弦值的知识是解决本题的关键．
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中有一点P（8，15），那么OP与x轴正半轴所夹
的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】D1：点的坐标；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据点的坐标推出PA，OA的长度，然后根据勾股定理推出OP的长度后，
根据锐角三角函数的定义即可推出结果．
【解答】解：如图，
∵P（8，15），
∴PA＝15，OA＝8，
∴OP＝17，
∴sin∠POA＝ ，
故选B．
第6页（共24页）【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，点的坐标，关键在于正确的做出图形，
利用数形结合的思想求出相关线段的长度．
5．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短
边长为9，那么△DEF的周长等于（ ）
A．14 B． C．21 D．42
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先设△DEF的周长等于c，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求
出c的值．
【解答】解；设△DEF的周长等于l，
∵△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，
∴ ＝ ，
解得c＝42．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
6．（4分）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格
中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角
形 ， 与 左 图 中 的 △ ABC 相 似 的 个 数 有 （ ）
第7页（共24页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】KQ：勾股定理；S8：相似三角形的判定．
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【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三
角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【解答】解：观察可以发现AC＝ ，BC＝2 ，AB＝ ，故该三角形中必须有一
条边与邻边的比值为2，且为直角三角三角形，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，
第2，3图形中，两边不具备2倍关系，不可能相似，
第4个图形中，有两边为 ，2 ，且为直角三角三角形，
∴只有第1，4个图形与左图中的△ABC相似．
故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判
定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关
键．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ 9 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题干可得x＝ ，将其代入要求的式子即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴x＝ ，
∴ ＝ ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查比例的性质．属于基础题，比较简单．
8．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ＝ ，那么
第8页（共24页）的值等于 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理求得 ＝ ＝ ；然后利用比例的性质求
得 的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ；
又 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
故答案是： ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例．解答本题的关键是利用平行条件，写出
要求的线段与已知线段之间的数量关系．
9．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ 3（
﹣ 1 ） cm．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝ AB，把AB＝6cm代入计算即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
第9页（共24页）∴AP＝ AB，
而AB＝6cm，
∴AP＝6× ＝3（ ﹣1）cm．
故答案为3（ ﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且
较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄
金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
10．（4分）如果抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，那么k的取值范围是 k ＜﹣ 4
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数4+k＜0．
【解答】解：因为抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，
所以4+k＜0，即k＜﹣4，
故答案为k＜﹣4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜
0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
11．（4分）二次函数y＝x2+6x+m图象上的最低点的横坐标为 ﹣ 3 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的性质，当x的值取对称轴时，对应的顶点坐标为最低点坐
标．
【解答】解：二次函数的对称轴为x＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉二次函数的性质是解题
的关键．
12．（4分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，面积随之增加
y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 y ＝ x 2 + 4 x ．
第10页（共24页）【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正
方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【解答】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x+2，
则面积为：（x+2）2平方厘米，
∴y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x．
故答案为：y＝x2+4x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正
方形的面积．
13．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一 点，∠ACD
＝∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么 的值
等于 ．
【考点】IJ：角平分线的定义；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据角平分线的定义得∠BAQ＝∠CAP，而∠ACD＝∠B，根据相似三角
形的判定得到△ABQ∽△ACP，由相似三角形的性质得到 ＝ ，把AB＝3，
AC＝2代入即可得到答案．
【解答】解：∵AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠CAP，
而∠ACD＝∠B，
∴△ABQ∽△ACP，
第11页（共24页）∴ ＝ ，
又∵AB＝3，AC＝2，
∴ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组角对应相
等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了角平分
线的定义．
14．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝5 ，那么∠A＝ 12 0 度．
【考点】KH：等腰三角形的性质；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，作AD⊥BC，可得BD＝DC，运用特殊
角的三角函数值可求∠BAC的度数，即可求解．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5cm，底边BC＝5 cm，
∴AD是∠A的平分线，BD＝DC＝ BC＝ ，
∴Sin∠BAD＝ ＝ ，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝120°．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值的理解和掌握，
难度不大，属于基础题．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，点G为重心，那么
tan∠GCB的值为 ．
第12页（共24页）【考点】K5：三角形的重心；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】作出草图，连接CG并延长交AB于点D，根据重心定义可知点CD是
△ABC的中线，求出CD，BD的长度，再过点D作DE⊥BC于点E，根据等腰三
角形三线合一的性质求出CE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，然后
根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，连接CG并延长交AB于点D，
∵点G为重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝ AB＝ ×10＝5，
过点D作DE⊥BC于点E，
则CE＝BE＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△CDE中，DE＝ ＝ ＝3，
∴tan∠GCB＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，明确三角形的重心是三
边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．（4分）向量 与单位向量 的方向相反，且长度为5，那么用向量 表示向量
为 ﹣ 5 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵ 的长度为5，向量 是单位向量，
第13页（共24页）∴a＝5e，
∵ 与单位向量 的方向相反，
∴ ＝﹣5 ．
故答案为：﹣5 ．
【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量
包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向
量只规定大小没规定方向．
17．（4分）如果从灯塔A处观察到船B在它的北偏东35°方向上，那么从船B观
察灯塔A的方向是 南偏西 35 ° ．
【考点】IH：方向角．
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【专题】1：常规题型．
【分析】结合题意图形可知，灯塔位于这艘船的方向与船位于灯塔的方向正好相
反，但度数不变．
【解答】解：船B观察灯塔A的方向是南偏西35°．
故答案为：南偏西35°．
【点评】本题考查的是方向角，此类问题也可画图解决，难度一般．
18．（4分）将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在
原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】由△ABC绕点M旋转30°得到△A′B′C′，根据旋转的性质得到MB＝
MB′，∠BMB′＝30°，根据等腰三角形的性质计算出∠B＝ （180°﹣30°）＝
75°，则∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，再根据余切的定义即可得到∠A的余切值．
【解答】解：如图，
∵△ABC绕点M旋转30°得到△A′B′C′，
∴MB＝MB′，∠BMB′＝30°，
∴∠B＝ （180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，
第14页（共24页）∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠A的余切值为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线
段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）根据对称轴方程x＝﹣ 求m的值；
（2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得
平移后的抛物线的解析式；最后令x＝0即可求得所得抛物线与y轴的交点坐
标．
【解答】解：（1）由题意，得﹣ ＝﹣2．…（2分）
∴m＝4．…（2分）
（2）由（1）知，m＝4，
∴此抛物线的表达式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．…（2分）
第15页（共24页）∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1，
即y＝x2﹣6x+8．…（2分）
当x＝0时，y＝8，
∴它与y轴的交点坐标为（0，8）．…（2分）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象与几何变换．
解答（2）时，将抛物线的一般式方程转化为顶点式方程，为的是便于求平移后
的抛物线的关系式．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD：AD＝1：2， ＝ ， ＝
．
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）求作： ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）根据已知条件CD：AD＝1：2，求出 的值，再根据 ＝ ， ＝ 求
出向量 ，再根据三角形法则求出 即可；
（2）根据已知条件和三角形法则，做出BC边上的中线AM即可求作 ﹣ ．
【解答】解：（1）∵CD：AD＝1：2，
∴CD＝ CA， ＝ ，
∵ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ （ ）＝ ．
（2）根据题意得：
第16页（共24页）＝ ；
【点评】此题考查了平面向量的三角形法则，在图形中找到相应的向量是至关重
要的．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：
（1）△ABC的面积；
（2）∠C的余弦值．
【考点】T1：锐角三角函数的定义；T5：特殊角的三角函数值；T8：解直角三角形的
应用．
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【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝6，求出BH＝3，AH＝3 ，
即可求出答案；
（2）利用Rt△ACH中，AH＝3 ，CH＝5，求出AC进而求出∠C的余弦值．
【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝6，
∴BH＝3，AH＝3 ，
∴S ＝ ×8×3 ＝12 ，
△ABC
（2）∵BC＝8，BH＝3，∴CH＝5．
在Rt△ACH中，∵AH＝3 ，CH＝5，
∴AC＝2 ．
第17页（共24页）∴cosC＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是
解题关键．
22．（10分）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分
别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，
AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
【考点】86：解一元一次方程；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用
GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式
即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
【解答】解：设EF＝x，则GF＝2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ＝ ．
∵AH＝6，BC＝12，
∴ ＝ ．
第18页（共24页）解得x＝3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难
度适中．
23．（12分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的
同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，
在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出
AH，PH，AP的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝ ，求出即
可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴ ＝ ，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26m． 解得k＝2．
∴AH＝10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
第19页（共24页）（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝ ，即 ≈4.0，
解得x＝ ，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得
出各边长度是解题关键．
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，
且BE＝ED，过点B作BF∥AC，交线段AE的延长线于点F．
（1）求证：AC＝3BF；
（2）如果AE＝ ED，求证：AD•AE＝AC•BE．
【考点】S4：平行线分线段成比例；S9：相似三角形的判定与性质．
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第20页（共24页）【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理由BF∥AC得BF：AC＝BE：EC，再利
用BD＝CD，BE＝DE，得CE＝3BE，于是即可得到结论；
（2）由AE＝ ED得AE2＝3ED2，把CE＝3ED代入得AE2＝CE•ED，即AE：ED＝
CE：AE，根据相似三角形的判定易得△AED∽△CEA，则AD：AC＝ED：AE，用
EB代替ED即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BF∥AC，
∴BF：AC＝BE：EC，
又∵BD＝CD，BE＝DE，
∴CE＝3BE，
∴AC＝3BF；
（2）∵AE＝ ED，
∴AE2＝3ED2，
又∵CE＝3ED，
∴AE2＝CE•ED，即AE：ED＝CE：AE，
而∠AED＝∠CEA，
∴△AED∽△CEA，
∴AD：AC＝ED：AE，
又∵ED＝BE，
∴AD：AC＝BE：AE，
∴AD•AE＝AC•BE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组对应边的
比相等，并且这两组对应边所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三
角形的对应边的比相等．也考查了平行线分线段成比例定理．
25．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图
象经过点A（﹣1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交
于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO＝∠CBO；
第21页（共24页）（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HF：二次函数综合题；KJ：等腰三角
形的判定与性质；S7：相似三角形的性质．
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【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用由直线OA的表达式y＝﹣x，得点C的坐标为（1，﹣1），进而求出AB＝
BC，OA＝OC即可得出答案；
（3）首先得出∠BOP＝∠BDC或∠BOP＝∠BCD，进而分析得出P点坐标即可．
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解得 ，
∴所求二次函数的解析式为：y＝﹣ x2+ x+2，
对称轴为直线x＝1；
（2）证明：由直线OA的表达式y＝﹣x，得点C的坐标为（1，﹣1）．
∵AB＝ ，BC＝ ，∴AB＝BC．
又∵OA＝ ，OC＝ ，∴OA＝OC，
∴∠ABO＝∠CBO．
（3）由直线OB的表达式y＝x，得点D的坐标为（1，1）．
第22页（共24页）由直线AB的表达式：y＝ x+ ，
得直线与x轴的交点E的坐标为（﹣4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO＝∠CBO，
∴∠BOP＝∠BDC或∠BOP＝∠BCD．
（i）当∠BOP＝∠BDC时，由∠BDC＝135°，得∠BOP＝135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
（ii）当∠BOP＝∠BCD时，连接PO，
由△POB∽△BCD，得 ＝ ．
而BO＝2 ，BD＝ ，BC＝ ，
∴BP＝ ．
又∵BE＝2 ，
∴PE＝ ．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，
∴ ＝ ＝ ．
而BF＝2，EF＝6，
∴PH＝ ，EH＝ ．
∴OH＝ ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
综上所述，点P的坐标为（﹣4，0）或（ ， ）．
第23页（共24页）【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质和
二次函数综合应用，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键．
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日期：2018/12/26 20:33:11；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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