文档内容
2012年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+a）2＝2a2
C． D．（a2）3＝a6
2．（4分）已知：a、b、c为任意实数，且a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．﹣a•c＜﹣b•c C．a•c＞b•c D．
3．（4分）点P（﹣1，3）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（3，﹣1）
4．（4分）如果一组数据a ，a ，…，a 的方差s2＝0，那么下列结论一定正确的是（
1 2 n
）
A．这组数据的平均数 B．a ＝a ＝…＝a
1 2 n
C．a ＝a ＝…＝a ＝0 D．a ＜a ＜…＜a
1 2 n 1 2 n
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次连接四边形ABCD各边
中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
6．（4分）等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新
的图形，那么这个新的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算： • ＝ ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：2x3﹣4x＝ ．
第1页（共26页）9．（4分）不等式x﹣1＞3（x+1）的解集是 ．
10．（4分）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个实数根，那么a+b＝
．
11．（4分）已知函数 ，那么f（9）＝ ．
12．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣5），且与直线y＝﹣3x+2
平行，那么该一次函数的解析式为 ．
13．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x的图象在对称轴的左侧是 ．（填“上
升”或“下降”）
14．（4分）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是
素数的概率是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中， ＝ ．
16．（4分）已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC， ，DE
＝4，那么边AC的长为 ．
17．（4分）已知 O 与 O 相交于A、B两点，如果 O 、 O 的半径分别为10厘
1 2 1 2
米和17厘米，公共弦AB的长为16厘米，那么这两圆的圆心距O O 的长为
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 1 2
厘米．
18．（4分）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 的矩形，接着把其
中一个面积为 的矩形等分成两个面积为 的矩形，再把其中一个面积为 的
矩形等分成两个面积为 的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计
算： ＝ ．
第2页（共26页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
垂足为点E，AE＝16，sin∠B＝ ．求：
（1）BC的长；
（2）求∠ADE的正切值．
22．（10分）某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用
的大致时间（时间以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把
调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图
所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？
（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括
150分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？
（3）如果该校九年级学生共有200名，那么估计该校九年级学生一天做家庭作业
所用时间不超过120分钟的学生约有多少人？
第3页（共26页）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F在边BC上，DE∥AB，
AF∥CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断： AD＝AB； ∠B+∠C＝90°； ∠B＝2∠C．请从上述三个
论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
① ② ③
24．（12分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴
相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为 ．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相
交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点
P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积
等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．
第4页（共26页）25．（14分）已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，连
接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．
（1）当AP＝AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
第5页（共26页）2012 年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a+a）2＝2a2
C． D．（a2）3＝a6
【考点】2F：分数指数幂；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B、
D进行判断；根据同底数幂的除法和负整数指数幂的意义对C进行判断．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，所以A选项不正确；
B、（a+a）2＝（2a）2＝4a2，所以B项不正确；
C、a2÷a4＝a﹣2＝ ，所以C选项不正确；
D、（a2）3＝a6，所以D项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：am÷an＝mm﹣n．也考查了同底数幂的乘法、幂
的乘方与积的乘方、负整数指数幂以及分数指数幂．
2．（4分）已知：a、b、c为任意实数，且a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣c B．﹣a•c＜﹣b•c C．a•c＞b•c D．
【考点】C2：不等式的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号的方向不改变对A进行
判断；通过举反例可对B、C、D进行判断．
【解答】解：A、若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故本选项正确；
第6页（共26页）B、若a＞b，当c＝0时，﹣a•c＜﹣b•c不成立，故本选项错误；
C、若a＞b，当c＝0时，a•c＞b•c不成立，故本选项错误；
D、若a＞b，当a＝1，b＝﹣1时， ＜ 不成立，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号的
方向不改变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变；不
等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．
3．（4分）点P（﹣1，3）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（3，﹣1）
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
菁优网版权所有
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣1，3）关于中心对称的点的坐标为（1，
﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方
法可以结合平面直角坐标系的图形．
4．（4分）如果一组数据a ，a ，…，a 的方差s2＝0，那么下列结论一定正确的是（
1 2 n
）
A．这组数据的平均数 B．a ＝a ＝…＝a
1 2 n
C．a ＝a ＝…＝a ＝0 D．a ＜a ＜…＜a
1 2 n 1 2 n
【考点】W7：方差．
菁优网版权所有
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，一组数据a ，a ，…，a 的方
1 2 n
差s2＝0，即没有波动，此时这组数据一定相等，进而排除其他答案．
【解答】解：由于方差是反映一组数据的波动大小的，而这一组数据没有波动，它
的方差为0．
则s2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]＝0，此时每个数都和平均数相等，故
1 2 n
a ＝a ＝…＝a ，
1 2 n
故选：B．
第7页（共26页）【点评】本题考查了方差公式应用，熟练利用方差公式s2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）
1 2
2+…+（x ﹣ ）2]得出是解题关键．
n
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次连接四边形ABCD各边
中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【考点】KX：三角形中位线定理；L9：菱形的判定．
菁优网版权所有
【分析】利用三角形中位线定理可以推知四边形EFGH是平行四边形；然后由三
角形中位线定理、已知条件“AC⊥BD”推知HE⊥HG；最后由矩形判定定理
“有一内角为直角是平行四边形是矩形”可以证得 ▱EFGH是矩形．
【解答】解：如图所示：AC⊥BD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点；
∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG＝ AC；
同理在△ABC中，EF∥AC且EF＝ AC，
∴HG∥EF∥AC，且HG＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
同理，HE∥DB；
又∵AC⊥BD，
∴HE⊥HG，
∴ ▱EFGH是矩形；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定定理．三角形的中位线平行于
第三边且等于第三边的一半．
6．（4分）等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个新
第8页（共26页）的图形，那么这个新的图形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【考点】KK：等边三角形的性质；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转90°后与原来的等边三角形组成一个
新的图形，
沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形；
找不到一点把图形绕该点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不
是中心对称图形．
故选：A．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形
完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称
点．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算： • ＝ 4 ．
【考点】75：二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的乘法公式可得 × ＝ ，化简得解即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝4．故答案填4．
【点评】本题考查学生掌握二次根式乘法的运算能力，是一个基础题，比较简单，
注意结果要化为最简形式．
8．（4分）在实数范围内分解因式：2x3﹣4x＝ 2 x （ x + ）（ x ﹣ ） ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
菁优网版权所有
第9页（共26页）【分析】先提公因式2x，再根据平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x3﹣4x＝2x（x2﹣2），
＝2x（x+ ）（x﹣ ），
故答案为：2x（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查了分解因式（提公因式法和用平方差公式分解因式法），主要考
查学生能否正确分解因式，题目比较好，难度不大．
9．（4分）不等式x﹣1＞3（x+1）的解集是 x ＜﹣ 2 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
菁优网版权所有
【分析】首先去括号，然后利用不等式的基本性质移项、合并同类项，然后系数化
成1，即可求解．
【解答】解：去括号得：x﹣1＞3x+3，
移项得：x﹣3x＞3+1
合并同类项得：﹣2x＞4，
则x＜﹣2．
故答案是：x＜﹣2．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意
移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或
整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号
的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
10．（4分）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个实数根，那么a+b＝
﹣ 3 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得出a+b+3＝0，即可求出a+b的
值．
【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得：a+b+3＝0，
即a+b＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了对一元二次方程的解的应用，能得出a+b+3＝0是解此题的关
第10页（共26页）键，题目比较典型，难度不大．
11．（4分）已知函数 ，那么f（9）＝ ．
【考点】E5：函数值．
菁优网版权所有
【分析】将x＝9代入函数式，化简求值．
【解答】解：由已知得，f（9）＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式
的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
12．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣5），且与直线y＝﹣3x+2
平行，那么该一次函数的解析式为 y ＝﹣ 3 x ﹣ 2 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
菁优网版权所有
【分析】设一次函数的表达式为y＝kx+b，由于它的图象与直线y＝﹣3x+2平行，
可知k＝﹣3，再由图象过点A（1，﹣5），可求出b，从而可求表达式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x+2平行，
∴k＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+b，
∵图象经过点A（1，﹣5），
∴﹣3×1+b＝﹣5，
解得：b＝﹣2，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣2．
故答案为：y＝﹣3x﹣2．
【点评】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关
系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
13．（4分）二次函数y＝﹣2x2+3x的图象在对称轴的左侧是 上升 ．（填“上
升”或“下降”）
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【专题】12：应用题．
【分析】由于k＜0，可知图象开口向下，从而易知函数图象在对称轴左侧是随x的
第11页（共26页）增大而逐渐增大的，即上升．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴函数图象开口向下，
∴图象在对称轴左侧是上升．
故答案是上升．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是注意二次函数的在对称轴左
右的单调性．
14．（4分）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是
素数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：∵1，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，
∴2，3，5，7；故取到素数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ；找到素数
的个数为易错点．
15．（4分）如图，在△ABC中， ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】如图，根据三角形法则，即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中， ＝ ．
故答案为： ．
第12页（共26页）【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则的应用，
平面向量是有方向性的．
16．（4分）已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC， ，DE
＝4，那么边AC的长为 6 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】首先根据画出图形，然后由DE∥AC，即可得△BDE∽△BAC，又由
可求得BD：AB，继而利用相似三角形的对应边成比例，即可求得边AC的长．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DE＝4，
∴AC＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
17．（4分）已知 O 与 O 相交于A、B两点，如果 O 、 O 的半径分别为10厘
1 2 1 2
米和17厘米，公共弦AB的长为16厘米，那么这两圆的圆心距O O 的长为
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 1 2
21 或 9 厘米．
【考点】ML：相交两圆的性质．
菁优网版权所有
【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有
第13页（共26页）关性质解题．
【解答】解：如图，∵ O 与 O 相交于A、B两点，
1 2
∴O O ⊥AB，且AD＝BD；
1 2 ⊙ ⊙
又∵AB＝16厘米，
∴AD＝8厘米，
∴在Rt△AO D中，根据勾股定理知O D＝6厘米；
1 1
在Rt△AO D中，根据勾股定理知O D＝15厘米，
2 2
∴O O ＝O D+O D＝21厘米；
1 2 1 2
同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O O2＝15厘米﹣6厘米＝9厘米．
1
故答案是：21或9．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要
分类讨论，以防漏解．
18．（4分）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 的矩形，接着把其
中一个面积为 的矩形等分成两个面积为 的矩形，再把其中一个面积为 的
矩形等分成两个面积为 的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计
算： ＝ ．
【考点】37：规律型：数字的变化类；38：规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
第14页（共26页）【专题】2A：规律型．
【分析】根据规律，各分割部分的和等于正方形的面积减去最后一次分割剩下的
部分的面积，而每一次都是分割成相等的两个部分，根据此规律进行计算即可
得解．
【解答】解：1+ + + + + + + +
＝1+（ + + + + + + + ）
＝1+1﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题是对数字变化规律与图形变化规律的考查，由图形观察出各分割部
分的面积等于正方形的面积减去最后一次分割后剩下的部分的面积是解题的
关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，再代值计算．
【解答】解：原式＝ •（a+1）
＝ ，
当 时，原式＝ ＝ ＝﹣3﹣2 ．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代
值计算．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
第15页（共26页）【分析】用代入法即可解答，把 化为y＝﹣2x+5，代入 得x2﹣（﹣2x+5）2+x+7
＝0即可．
① ②
【解答】解：由 得y＝﹣2x+5
把 代入 ，得x2﹣（﹣2x+5）2+x+7＝0．
① ③
整理后，得 x2﹣7x+6＝0．
③ ②
解得 x ＝1，x ＝6．
1 2
由x ＝1，得y ＝﹣2+5＝3．
1 1
由x ＝6，得y ＝﹣12+5＝﹣7．…（1分）
2 2
所以，原方程组的解是 ， ．
【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知
数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方
程中即可．
21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
垂足为点E，AE＝16，sin∠B＝ ．求：
（1）BC的长；
（2）求∠ADE的正切值．
【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，利用角平
分线的性质，可得AC＝AE＝16，又由sin∠B＝ ，即可求得AB的长，然后利用
勾股定理，即可求得BC的长；
（2）易证得△DBE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DE的长，
第16页（共26页）继而可求得∠ADE的正切值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AC＝AE＝16，
在Rt△ABC中，sin∠B＝ ＝ ，
∴AB＝20，
∴BC＝ ＝ ＝12．
（2）∵AB＝20，AE＝16，
∴BE＝4．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠DEB＝∠ACB＝90°．
又∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴ ．
∴ ．
解得：DE＝ ，
Rt△ADE中，tan∠ADE＝ ＝ ＝3．
∴tan∠ADE＝3．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理以及三
角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用
第17页（共26页）的大致时间（时间以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把
调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图
所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：
（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？
（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括
150分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？
（3）如果该校九年级学生共有200名，那么估计该校九年级学生一天做家庭作业
所用时间不超过120分钟的学生约有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图．
菁优网版权所有
【分析】（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是统计图中各个时间段的人
数之和；
（2）一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括150分钟）的人数是
8+4＝12人，被调查学生总人数是30人，直接求出即可；
（3）首先设一天做家庭作业所用的时间少于120分钟的学生约有x人，根据题意，
得 求出即可．
【解答】解：（1）根据题意，得 3+4+6+8+9＝30．
答：这个研究性学习小组所抽取样本的容量为30；
（2）根据题意，得 8+4＝12（人）．
所以 ＝0.4＝40%．
答：一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟的人数占被调查学生总人数的
第18页（共26页）40%．
（3）设一天做家庭作业所用的时间少于120分钟的学生约有x人．
根据题意，得 ，
解得 x＝60．
答：估计一天做家庭作业所用时间少于120分钟的学生约有60人．
【点评】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及
利用样本估计总体，利用频数分布直方图得出正确信息是解题关键．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F在边BC上，DE∥AB，
AF∥CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断： AD＝AB； ∠B+∠C＝90°； ∠B＝2∠C．请从上述三个
论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
① ② ③
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定；LH：梯形．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平
行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边
AD，所以可得出BC＝3AD的结论．
（2）可选择 作为证明条件，先证明DE＝EF，然后结合四边形AEFD是平行四
边形得出结论．
②
【解答】解：（1）线段AD与BC的长度之间的数量为：BC＝3AD．
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，
同理可证：四边形AFCD是平行四边形，即得：AD＝FC，
第19页（共26页）又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，
∴AD＝BE＝EF＝FC，
∴BC＝3AD．
（2）解：选择论断 作为条件．
证明：∵DE∥AB，
②
∴∠B＝∠DEC，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠DEC+∠C＝90°，
即得∠EDC＝90°，
又∵EF＝FC，
∴DF＝EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形．
【点评】本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形
于一体的小综合题，建议同学们平时学习中，重视一题多变，适当地变式联系，
可以触类旁通．
24．（12分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴
相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为 ．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相
交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点
P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积
等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．
第20页（共26页）【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HF：二次函数综合题；K3：三角形的
面积；P2：轴对称的性质；Q2：平移的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）求出OB，根据已知得出tan∠OAB＝ ＝ ，求出OA，即可求出A的
坐标，代入抛物线即可求出抛物线的表达式，化成顶点式即可求出D的坐标；
（2）求出C的坐标，求出E的坐标，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐标；
（3）根据P、D的坐标得出抛物线向上平移两个单位即可得出新抛物线，设点M
的坐标为（m，n）．求出△MPD和△BPD边PD上高分别为|m﹣1|、1，根据面积
得出|m﹣1|＝2，求出m，代入抛物线求出n即可．
【解答】解：（1）由点B（0，3），可知 OB＝3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB＝ ＝ ，
∴OA＝1，
∴点A（﹣1，0）
∵由抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，代入得：
，
∴b＝2，c＝3，
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）该抛物线的对称轴是直线l为x＝1，
第21页（共26页）∵由题意知：点B关于直线l的对称点为C，
∴点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点，
∴DE＝1，
∵点D是△PBC的重心，
∴PD＝2DE＝2，
即得：PE＝3，
∵由点P在直线l上，
∴点P的坐标为（1，6）；
（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD＝2，可知将抛物线y＝﹣x2+2x+3向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+5，
设点M的坐标为（m，n）．
△MPD和△BPD边PD上高分别为|m﹣1|、1，
于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，
得|m﹣1|＝2．
解得：m ＝﹣1，m ＝3．
1 2
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+5上，
∴n ＝2，n ＝2，
1 2
∴点M的坐标分别为M （﹣1，2）、M （3，2）．
1 2
【点评】本题考查了平移性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，
轴对称的性质等知识点的应用，本题综合性比较强，有一定的难度，主要培养
了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
25．（14分）已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，连
接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．
第22页（共26页）（1）当AP＝AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
【考点】SO：相似形综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；32：分类讨论．
【分析】（1）过C作CE垂直于AE，交AD的延长线于E点，在由AB垂直于BC，
PD垂直于CD，以及AD平行于BC，得到三个角为直角，再由AD与BC平行，
利用两直线平行同旁内角互补得到∠BAC为直角，利用三个角为直角的四边
形是矩形得到ABCE为矩形，根据矩形的对边相等可得出CE＝AB＝3，利用同
角的余角相等的一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三
角形相似可得出三角形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与AP
的长代入，得到DE＝CE＝3，在直角三角形ADP与直角三角形DEC中，分别
利用勾股定理求出DP与DC的长，在直角三角形PDC中，利用勾股定理即可
求出PC的长；
（2）在直角三角形APD中，由AP＝x，AD＝2，利用勾股定理表示出PD，再由三角
形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与CE的长代入，根据表示
出的PD表示出DC，根据三角形PDC为直角三角形，利用两直角边乘积的一
半，即可表示出三角形PDC的面积，以及此时x的范围；
（3）当三角形APD相似于三角形DPC时，即得三角形APD，三角形DPC，以及三
角形DCE都相似，分两种情况考虑：
（i）当点P与点B不重合时，可得出∠APD＝∠DPC，由三角形APD与三角形
DCE相似得比例，再由三角形APD与三角形DPC相似得比例，将比例式变形
后相等，可得出DE＝AD，由AD的长得出DE的长，根据AD+DE＝AE求出AE
的长，再由ABCE为矩形，可得出BC＝AE，即可得到BC的长；（ii）当点P与点
第23页（共26页）B重合时，如图所示∠ABD＝∠DBC，再由AD与BC平行，利用两直线平行内
错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到 AB＝AD，为AB
与AD不相等，故此种情况不存在，综上，得到满足题意的BC的长．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD∥BC，
∴∠ABC＝∠AEC＝∠PDC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE+∠ABC＝180°，又∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴四边形ABCE为矩形，又AB＝3，
∴CE＝AB＝3，
又∵∠ADP+∠EDC＝90°，且∠DCE+∠EDC＝90°，
∴∠ADP＝∠DCE，又∠BAD＝∠DEC＝90°，
∴△APD∽△DCE，
∴ ＝ ，
由AP＝AD＝2，CE＝3，得：DE＝CE＝3，
在Rt△APD和Rt△DCE中，
根据勾股定理得：PD＝ ＝2 ，CD＝ ＝3 ，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：
PC＝ ＝ ＝ ；
（2）在Rt△APD中，由AD＝2，AP＝x，
根据勾股定理得：PD＝ ，
第24页（共26页）∵△APD∽△ECD，且CE＝3，AD＝2，
∴ ＝ ＝ ，
∴CD＝ PD＝ ，
在Rt△PCD中，S ＝ PD•CD＝ × × ，
△PCD
∴所求函数解析式为y＝ x2+3，此时函数的定义域为0≤x≤3；
（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△EDC，
根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
（i）当点P与点B不重合时，可知∠APD＝∠DPC，
由△APD∽△EDC，得 ＝ ，即 ＝ ，
由△APD∽△DPC，得 ＝ ，
∴ ＝ ，又AD＝2，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝AD+DE＝4，
又∵∠ABC＝∠BAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC＝AE＝4；
（ii）当点P与点B重合时，可知∠ABD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
而AD＝2，AB＝3，即AD≠AB，
故此种情况不存在．
第25页（共26页）综上，当△APD∽△DPC时，线段BC的长为4．
【点评】此题考查了相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形
的判定与性质，以及勾股定理，利用了数形结合及分类讨论的思想，灵活运用
相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:36:46；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
