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2012年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题（共6道小题，每小题4分，共24分）
1．（4分） 的绝对值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+a2＝a4 C．（2a）2＝2a2 D．a6÷a3＝a3
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
4．（4分）众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，
他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
5．（4分）若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（4分）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
二、填空题（共12道小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 ．
8．（4分）分解因式：x2﹣xy＝ ．
9．（4分）如果线段AB＝4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段BP
＝ cm．
10．（4分）方程 的根是 ．
11．（4分）不等式组 的整数解为 ．
12．（4分）如果方程kx2+2x+1＝0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是
第1页（共24页）．
13．（4分）点A（x ，y ），点B（x ，y ）是双曲线 上的两点，若x ＜x ＜0，则y
1 1 2 2 1 2 1
y （填“＝”、“＞”、“＜”）．
2
14．（4分）有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字：1、2、3，从这
三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位
数是偶数的概率是 ．
15．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD， ＝ ， ＝ ，请用向量 ，
表示向量 ＝ ．
16．（4分）已知两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径长为3，那么当两圆内切时，
另一圆的半径为 ．
17．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果 ，
那么 ＝ ．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕着点B旋转后
点A落在直线BC上的点A′，点C落在点C′处，那么tan∠AA′C的值是
．
三、解答题（共7道小题，共78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC
第2页（共24页）于点E．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB＝6，cos∠B＝ ，求EC的长．
22．（10分）今年3月5日，光明中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社
会”的活动，活动分为打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出三项．从九
年级参加活动的同学中抽取了部分同学对打扫街道、去敬老院服务和到社区
文艺演出的人数进行了统计，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据两个图
形，回答以下问题：
（1）抽取的部分同学的人数？
（2）补全直方图的空缺部分．
（3）若九年级有400名学生，估计该年级去敬老院的人数．
23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂
足为E，连接CE，交AD于点H．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）如过点E作EF∥BC交AD于点F，连接CF，求证：四边形CDEF是菱形．
第3页（共24页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A
（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．
25．（14分）如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，过点A作AD∥BC，点P、Q分
别是射线AD、线段BA上的动点，且AP＝BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于
点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP＝x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．
第4页（共24页）2012 年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6道小题，每小题4分，共24分）
1．（4分） 的绝对值等于（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据绝对值的性质进行计算．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．a2+a2＝a4 C．（2a）2＝2a2 D．a6÷a3＝a3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂乘除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，逐一检验．
【解答】解：A、a2•a4＝a2+4＝a6，本选项错误；
B、a2+a2＝2a2，本选项错误；
C、（2a）2＝4a2，本选项错误；
D、a6÷a3＝a6﹣3＝a3，本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，合并同类项．关键是熟练掌握
每个运算法则．
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）
【考点】H3：二次函数的性质．
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第5页（共24页）【分析】根据二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2符合顶点式形式，直接得出顶点坐标即可
【解答】解：根据二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标为：（1，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用顶点式求二次函数的顶点坐标，利用顶点式求二次
函数的顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．
4．（4分）众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，
他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，30，120．这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A．120，50 B．50，20 C．50，30 D．50，50
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可
以不只一个．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50是出现次
数最多的，故众数是50；
将这组数据从小到大的顺序排列为：20，30，30，50，50，50，120，处于中间位置的
那个数是50，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是50．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到
大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫
做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排
列，就会错误地将这组数据最中间的那个数30当作中位数，因而误选C．
命题立意：本题以给地震灾区捐款为背景，考核了统计概率的相关知识．本题在
考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目．
5．（4分）若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】n边形的内角和为（n﹣2）180°，由此列方程求n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
第6页（共24页）则：（n﹣2）180°＝900°，
解得n＝7，
故选：B．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根
据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6．（4分）在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的
判定．
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【专题】16：压轴题．
【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质．
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形
为真命题，故选项C是正确的；
D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误；
故选：C．
【点评】基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解
答更深奥的题目奠定基础．
二、填空题（共12道小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开
第7页（共24页）方数是非负数．
8．（4分）分解因式：x2﹣xy＝ x （ x ﹣ y ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．
【点评】此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解
题．观察法是解此类题目常见的办法．
9．（4分）如果线段AB＝4cm，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段BP
＝ cm．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例
中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
【解答】解：设BP＝xcm，则 ＝ ，
解得：x＝ ×4＝2 ﹣2cm．
故答案是：2 ﹣2．
【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的
关键．
10．（4分）方程 的根是 x ＝ 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，
然后进行检验即可．
【解答】解：两边平方得：2﹣x＝x2，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或﹣2．
经检验：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．
故答案是：x＝1．
【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
第8页（共24页）11．（4分）不等式组 的整数解为 ﹣ 1 ， 0 ， 1 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【专题】11：计算题．
【分析】将不等式组中的两不等式分别记作 和 ，分别求出两不等式的解集，
找出两解集中的公共部分，确定出不等式组的解集，找出解集中的整数即可确
① ②
定出原不等式组的整数解．
【解答】解： ，
由不等式 得：x≤1，
由不等式①得：2x＞﹣3，解得：x＞﹣ ，
②
∴原不等式组的解集为﹣ ＜x≤1，
则原不等式组的整数解为﹣1，0，1．
故答案为：﹣1，0，1
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次不等式组取解集的方
法为：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
12．（4分）如果方程kx2+2x+1＝0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 k
＜ 1 且 k ≠ 0 ．
【考点】A1：一元二次方程的定义；AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac意义由
题意得k≠0且△＞0，即22﹣4×k×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵方程kx2+2x+1＝0有两个不等实数根，
∴k≠0且△＞0，即22﹣4×k×1＞0，解得k＜1，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
第9页（共24页）13．（4分）点A（x ，y ），点B（x ，y ）是双曲线 上的两点，若x ＜x ＜0，则y
1 1 2 2 1 2 1
＞ y （填“＝”、“＞”、“＜”）．
2
【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据反比例函数的性质，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小
解答．
【解答】解：∵2＞0，若x ＜x ＜0
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查利用反比例函数的性质来解反比例函数图象上点的坐标特
征，需要熟练掌握．
14．（4分）有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字：1、2、3，从这
三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位
数是偶数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的偶数的数目；
全部两位数的总数．
①
二者的比值就是其发生的概率的大小．
②
【解答】解：从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两
位数为：
12；13；23；21；31；32共6个，
偶数为：12，32．
故两位数是偶数的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD， ＝ ， ＝ ，请用向量 ，
第10页（共24页）表示向量 ＝ + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据已知求得向量CD，再根据向量的知识求得 ，代入数值
即可求得．
【解答】解：∵AB＝2CD， ＝ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ＝ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查向量的知识．题目比较简单，要注意识图．
16．（4分）已知两圆的圆心距为4，其中一个圆的半径长为3，那么当两圆内切时，
另一圆的半径为 7 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；
内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：∵两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是4，
∴另一个圆的半径＝3﹣4＝﹣1（不合题意舍去）；
或另一个圆的半径＝3+4＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是3，
要分大圆和小圆两种情况讨论．
第11页（共24页）17．（4分）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果 ，
那么 ＝ ．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质易证EA＝ED，△CED∽△CAB，从而
求得 的值．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，∠BAD＝∠EDA．
∴∠EDA＝∠EAD，
∴EA＝ED，
∵ ＝ ，
∴ED：EC＝2：3，
∴ ＝ED：EC＝2：3．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边对应成
比例，同时考查了角平分线的定义．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕着点B旋转后
点A落在直线BC上的点A′，点C落在点C′处，那么tan∠AA′C的值是
3 或 ．
第12页（共24页）【考点】KQ：勾股定理；R2：旋转的性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】32：分类讨论．
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，然后分逆时针旋转与顺时针旋转两种情况
求出A′C的长度，再根据正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
如图1，逆时针旋转时，A′C＝A′B+BC＝5+4＝9，
① tan∠AA′C＝ ＝ ＝ ，
如图2，顺时针旋转时，A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，
② tan∠AA′C＝ ＝ ＝3，
综上，tan∠AA′C的值是3或 ．
故答案为：3或 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，难点在
于要分顺时针与逆时针旋转两种情况讨论．
三、解答题（共7道小题，共78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的
三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项分子分母同时乘以 +1，分母利用平方差公式化简，第二项
第13页（共24页）利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用零指数公式化简，第四项利用负指
数公式化简，整理后即可得到结果．
【解答】解： ﹣2sin45°+（2﹣ ）0﹣（ ）﹣1
π
＝ ﹣2× +1﹣3
＝2+ ﹣ ﹣2
＝0．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，特殊
角的三角函数值，零指数、负指数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分
式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边乘（x﹣2）（x+2），
得x（x+2）﹣8＝x﹣2，
x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
解得x ＝﹣3，x ＝2．
1 2
经检验：x ＝﹣3是原方程的根，x ＝2是增根．
1 2
∴原方程的根是x＝﹣3．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC
于点E．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB＝6，cos∠B＝ ，求EC的长．
第14页（共24页）【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，根据圆的半径相等可得出AB
＝AE，结合等腰三角形的性质和平行线的性质可得出∠B＝∠EAD，从而利用
SAS可证得结论．
（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH＝HE，则
结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC＝BC﹣BE即可得出答
案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵AB＝AE（AB与AE为圆的半径），
∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中， ，
故可得△ABC≌△EAD．
（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中， ，
又∵cos∠B＝ ，AB＝6，
∴BC＝10，
第15页（共24页）过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，
则BH＝HE，
在Rt△ABH中， ，
则可得 ，
解得： ，
∴ ，
故可得EC＝BC﹣BE＝ ．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性
质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对
学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
22．（10分）今年3月5日，光明中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社
会”的活动，活动分为打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出三项．从九
年级参加活动的同学中抽取了部分同学对打扫街道、去敬老院服务和到社区
文艺演出的人数进行了统计，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据两个图
形，回答以下问题：
（1）抽取的部分同学的人数？
（2）补全直方图的空缺部分．
（3）若九年级有400名学生，估计该年级去敬老院的人数．
第16页（共24页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】（1）本题需先根据条形图知到社区文艺演出的人数为15人，再有它们在
图中所占的比例即可求出该班的学生人数；
（2）本题需先根据扇形图及（1）可求出去敬老院服务的学生有多少人，即可补全
统计图；
（3）用总人数乘以该年级去敬老院的人数所占的百分比即可；
【解答】解：（Ⅰ）由条形图知到社区文艺演出的人数为15人，由扇形图知到社区
文艺演出的人数占全体的 ，
所以抽取的部分同学的人数15 ＝50人；
（2）根据题意，如图：
（3）根据题意得：
400× ＝80（人），
答：该年级去敬老院的人数是80人．
第17页（共24页）【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，在解题时要注意图中所给的
数据，再结合所问的问题解出答案是本题的关键．
23．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂
足为E，连接CE，交AD于点H．
（1）求证：AD⊥CE；
（2）如过点E作EF∥BC交AD于点F，连接CF，求证：四边形CDEF是菱形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；L9：菱形的判定．
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【分析】（1）首先证明△ACD≌△AED，可得到AC＝AE，再根据等腰三角形的性
质；三线合一，可证出AD⊥CE，
（2）首先证明△CHD≌△EHF，可得到EF＝CD，再有FE∥CD，根据一条对边平
行且相等的四边形是平行四边形，再加条件CE⊥FD可得到结论
【解答】证明：
（1）∵∠ACD＝∠AED＝90°，
∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
∵AD是角平分线，
∴AD⊥CE，
（2）由△ACD≌△AED，
∴CH＝HE，
∵EF∥CD，
∴∠FEH＝∠DCH，
∵∠FHE＝∠DHC，
∴△CHD≌△EHF，
第18页（共24页）∴EF＝CD，
∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵AD⊥CE，
∴四边形CDEF是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以
及角平分线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A
（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得
出二次函数解析式，根据顶点坐标公式求顶点坐标；
（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD＝90°，在
Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
第19页（共24页）（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA＝PD＝ ，又∠PAQ＝90°，
可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得
出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．
【解答】解：（1）由题意，得 ，…（1分）
解得 …（1分）
所以这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3…（1分）
顶点D的坐标为（1，﹣4）…（1分）
（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA＝ ，PD＝ ，AD＝2 …（1分）
∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（ ）2+（ ）2＝（2 ）2…（1
分）
解得m ＝﹣1，m ＝﹣3（不合题意，舍去）…（1分）
1 2
∴P（0，﹣1）…（1分）
解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得 DE＝1，OE＝4…（1分）
由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，
由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠EPD
又∠AOP＝∠OED＝90°，
∴△OAP∽△EPD
∴ …（1分）
设OP＝m，PE＝4﹣m
则 ，解得m ＝1，m ＝3（不合题意，舍去）…（1分）
1 2
第20页（共24页）∴P（0，﹣1）…（1分）
（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝ ，∠PAQ＝90°，
∴四边形APDQ为正方形，…（1分）
由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝
90°，
∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA
∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3…（2分）
∴Q（4，﹣3）…（1分）
解法二：
设Q（m，n）…（1分）
则AQ＝ ＝ ，QD＝ ＝ …（1分）
解得 ， （不合题意，舍去）…（1分）
∴Q（4，﹣3）…（1分）
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求二次函数解析式，
由解析式求顶点坐标，利用勾股定理列方程或利用三角形相似，得出比例式，
求出相关点的坐标．
25．（14分）如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，过点A作AD∥BC，点P、Q分
别是射线AD、线段BA上的动点，且AP＝BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于
第21页（共24页）点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP＝x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）首先根据AD∥BC，PE∥AC，判定四边形APEC是平行四边形，从而
得到AC＝PE＝6，AP＝EC＝x，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式
用含x的代数式表示PO；
（2）根据AB＝BC＝5，利用等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，再根据∠APE＝
∠BCA，∠AOP＝∠BCA，得到∠APE＝∠AOP，设AP＝AO＝x，用含x的式子
表示OQ＝5﹣2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y与x的函数关系式即可；
（3）根据当 时，由AP＝BQ＝x，AQ＝BE＝5﹣x，∠PAQ＝∠QBE可得
△PAQ≌△QBE，于是 PQ＝QE，可得若△PQE 与△POQ 相似，只有
△PQE∽△POQ，于是得 ，解得x的值即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC＝PE＝6，AP＝EC＝x，
∵ ，
∴ ＝ ，
∴ ；
第22页（共24页）（2）∵AB＝BC＝5，
∴∠BAC＝∠BCA
又∠APE＝∠BCA，∠AOP＝∠BCA，
∴∠APE＝∠AOP，
∴AP＝AO＝x，
∴当 时，OQ＝5﹣2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF＝CF＝3，AB＝5，BF＝4．
∵∠OHQ＝∠AFB＝90°，∠QOH＝∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以y与x的函数关系式是 ；
（3）当 时，
由AP＝BQ＝x，AQ＝BE＝5﹣x，∠PAQ＝∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ＝QE，
由于∠QPO＝∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP＝OQ，
于是得 ，
解得 ，
第23页（共24页）同理当 ，
可得 （不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为 ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合知识，根据实际问题列一次函数关系
式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系．
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日期：2018/12/26 20:36:03；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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