文档内容
2014年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．5a﹣2a＝3
3．（3分）关于x一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
4．（3分）“上海地区明天降水概率是15%”，下列说法中，正确的是（ ）
A．上海地区明天降水的可能性较小
B．上海地区明天将有15%的时间降水
C．上海地区明天将有15%的地区降水
D．上海地区明天肯定不降水
5．（3分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD＝2DC， ， ，那么
等于（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆外离
B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．内含两圆的圆心距大于零
二、填空题
7．（3分）计算： ＝ ．
第1页（共27页）8．（3分）分解因式：x2﹣4（x﹣1）＝ ．
9．（3分）不等式组 的解集是 ．
10．（3分）方程 的根是 ．
11．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小
请写出符合上述条件的一个解析式： ．
12．（3分）已知点P（x ，y ）、P（x ，y ）在双曲线 上，若x ＜x ＜0，则y
1 1 1 2 2 2 1 2 1
y （用“＞”或“＜”或“＝”号表示）．
2
13．（3分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式
是 ．
14．（3分）对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500
毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A．全部
喝完；B．喝剩约 ；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．根据统计结果绘制如
下的两个统计图（不完整），则情况“C”所在扇形的圆心角度数为 ．
15．（3分）边长为a的正六边形的边心距是 ．
16．（3分）如图，AB∥EF∥DC，DE＝2AE，CF＝2BF，且DC＝5，AB＝8，则EF＝
．
17．（3分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形
为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，
第2页（共27页）则tanA＝ ．
18．（3分）在锐角△ABC中，AB＝5，BC＝6，∠ACB＝45°（如图），将△ABC绕点
B按逆时针方向旋转得到△A′B′C′（顶点A、C分别与A′、C′对应），当
点C在线段CA的延长线上时，则AC′的长度为 ．
三、解答题
19．先化简，再求值： ，其中 ．
20．解方程组： ．
21．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E， ，
（1）求AB的长；
⊙
（2）求 O的半径．
⊙
22．某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文
具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购乙品牌的文具盒．
乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数
量．
第3页（共27页）23．已知：如图，在 ▱ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使
点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠BCD＝120˚，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？
证明你的结论．
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交点
A、B，点C在线段AB上，且S ＝2S ．
△AOB △AOC
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线
上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行
四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
25．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB＝90˚，点C是 上异于点A、B的
第4页（共27页）一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作
OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交
OA于点N．
（1）当tan∠MOF＝ 时，求 的值；
（2）设OM＝x，ON＝y，当 时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
第5页（共27页）2014 年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．
【考点】26：无理数．
菁优网版权所有
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是有理数，选项错误；
B、﹣ ＝﹣3，是有理数，选项错误；
C、是分数，是有理数，选项错误；
D、是无理数，选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
π π
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a6 D．5a﹣2a＝3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全
平方公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，错误；
B、a2•a3＝a5，错误；
第6页（共27页）C、（a2）3＝a6，正确；
D、5a﹣2a＝3a，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方
及积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
3．（3分）关于x一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就
可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是 0的一元二次
方程．
【解答】解：A、△＝﹣4×（﹣1）＝4＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项
不符合题意；
B、△＝22﹣4×1×1＝0，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意；
C、△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，该方程没有实数根．故本选项不符合题意；
D、△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合
题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的
关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等
的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔ ⇔
4．（3分）“上海地区明天降水概率是15%”，下列说法中，正确的是（ ）
⇔
A．上海地区明天降水的可能性较小
B．上海地区明天将有15%的时间降水
C．上海地区明天将有15%的地区降水
D．上海地区明天肯定不降水
【考点】X3：概率的意义．
菁优网版权所有
【分析】明天降水概率是15%”，即明天降水的可能性比较小，属于不确定事件，
进而得出结论．
第7页（共27页）【解答】解：由分析知：本市明天降水概率是15%”，即明天降水的可能性比较小．
故选：A．
【点评】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发
生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．
5．（3分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD＝2DC， ， ，那么
等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由BD＝2DC， ，可求得 ，又由三角形法则，即可求得 ．
【解答】解：∵ ，BD＝2DC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆外离
B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．内含两圆的圆心距大于零
【考点】O1：命题与定理．
菁优网版权所有
【分析】根据两圆的位置关系对A进行判断；根据相交两圆的性质对B进行判断；
根据两圆内切的性质对C进行判断；利用同心圆对D进行判断．
第8页（共27页）【解答】解：A、没有公共点的两圆叫两圆外离或内含，所以A选项错误；
B、相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，所以B选项正确；
C、联结相切两圆圆心的直线必经过切点，所以C选项错误；
D、内含两圆的圆心距可以等于0（即同心圆），所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题
7．（3分）计算： ＝ 2 ．
【考点】75：二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的除法法则求解．
【解答】解： ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关
键．
8．（3分）分解因式：x2﹣4（x﹣1）＝ （ x ﹣ 2 ） 2 ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
菁优网版权所有
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【解答】解：x2﹣4（x﹣1）
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
故答案为：（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方
公式分解因式．
9．（3分）不等式组 的解集是 无解 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第9页（共27页）【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由 得：x＞3，
由 得：x＜2，
①
则不等式组无解．
②
故答案为：无解
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解
本题的关键．
10．（3分）方程 的根是 x ＝ 4 ．
【考点】AG：无理方程．
菁优网版权所有
【分析】由方程 可得x+2＝0，x﹣4＝0且x﹣4≥0，由此求出x，进一
步确定x的数值即可．
【解答】解：∵ ，
∴x+2＝0，x﹣4＝0且x﹣4≥0，
解得x＝﹣2，x＝4且x≥4，
∴x＝4．
故答案为：x＝4．
【点评】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解
必须满足这一条件．
11．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小
请写出符合上述条件的一个解析式： 例如 y ＝﹣ 2 x + 3 ，（答案不唯一， k ＜ 0 且
b ＞ 0 即可） ．
【考点】F5：一次函数的性质．
菁优网版权所有
【专题】26：开放型．
【分析】根据一次函数图象的性质解答．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象交y轴于正半轴，
∴b＞0，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
第10页（共27页）例如y＝﹣2x+3（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
故答案为：y＝﹣2x+3（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
【点评】本题是开放型题目，主要考查一次函数图象的性质，只要符合要求即可．
12．（3分）已知点P（x ，y ）、P（x ，y ）在双曲线 上，若x ＜x ＜0，则y ＞
1 1 1 2 2 2 1 2 1
y （用“＞”或“＜”或“＝”号表示）．
2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到x •y ＝3，x •y ＝3，然后利用x
1 1 2 2 1
＜x ＜0判断y 与y 的大小．
2 1 2
【解答】解：∵P （x ，y ）、P （x ，y ）在双曲线 上，
1 1 1 2 2 2
∴x •y ＝3，x •y ＝3，
1 1 2 2
∵x ＜x ＜0，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：比例函数y＝ （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
13．（3分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式
是 y ＝ x 2 ﹣ 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2向下平移3个单位，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣3，即y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标
要减|a|．
14．（3分）对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500
毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A．全部
第11页（共27页）喝完；B．喝剩约 ；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．根据统计结果绘制如
下的两个统计图（不完整），则情况“C”所在扇形的圆心角度数为 72 ° ．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由D的数量除以占的百分比得到调查的总人数，进而求出C占的百分比，
乘以360即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：5÷ ﹣10﹣25﹣5＝10，
×360°＝72°，
则情况“C”所在扇形的圆心角度数为72°．
故答案为：72°
【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
15．（3分）边长为a的正六边形的边心距是 a ．
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求
出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠AOF，
∴∠AOB＝ ×360°＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝a，
∵OM⊥AB，
第12页（共27页）∴AM＝BM＝ a，
在△OAM中，由勾股定理得：OM＝ ＝ a．
故答案为： a．
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知
识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．
16．（3分）如图，AB∥EF∥DC，DE＝2AE，CF＝2BF，且DC＝5，AB＝8，则EF＝
7 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
【分析】延长AD、BC交于G，根据平行线分线段成比例可得GD：GA＝5：8，进一
步得到DC：EF＝5：7，依此即可求解．
【解答】解：延长AD、BC交于G．
∵AB∥EF∥DC，DC＝5，AB＝8，
∴GD：GA＝5：8，
∵DE＝2AE，
∴GD：GE＝5：7，
∴DC：EF＝5：7，
解得EF＝7．
故答案为：7．
第13页（共27页）【点评】考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或
两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例．
17．（3分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形
为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，
则tanA＝ 或 ．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【专题】23：新定义；32：分类讨论．
【分析】因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以题中的这条中线不
能是斜边上的中线，然后分两种情况进行讨论： AC边上的中线等于AC；
BC边上的中线等于BC．
① ②
【解答】解：分两种情况：
如图1，BD是AC边上的中线，BD＝AC．
设AD＝DC＝k，则BD＝AC＝2k．
①
在Rt△BCD中，∵∠C＝90°，
∴BC＝ ＝ k，
∴tanA＝ ＝ ＝ ；
如图2，AD是BC边上的中线，AD＝BC．
设BD＝DC＝k，则AD＝BC＝2k．
②
第14页（共27页）在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AC＝ ＝ k，
∴tanB＝ ＝ ＝ ，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝ ＝ ＝ ．
综上可知，所求值为 或 ．
故答案为 或 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形中线的性质及学生的阅读理解能力，有
一定难度．分情况讨论是解题的关键．
18．（3分）在锐角△ABC中，AB＝5，BC＝6，∠ACB＝45°（如图），将△ABC绕点
B按逆时针方向旋转得到△A′B′C′（顶点A、C分别与A′、C′对应），当
点C在线段CA的延长线上时，则AC′的长度为 3 ﹣ ．
【考点】R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据题意得出CC′的长，进而在△ABD中，AD2+BD2＝AB2，求出CD的
长，再利用锐角三角函数关系得出AC的长，进而得出答案．
【解答】解：如图：由旋转的性质可得：∠A′C′B＝∠ACB＝45°，BC＝BC′，
第15页（共27页）∴∠BC′C＝∠ACB＝45°，
∴∠CBC′＝180°﹣∠BC′C﹣∠ACB＝90°，
∵BC＝6，
∴CC′＝ BC＝6 ，
过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠ACB＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AD＝x，则CD＝x，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣x，
在△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（6﹣x）2＝52，
解得：x ＝ ，x ＝ （不合题意舍去），
1 2
∴AC＝ × ＝3 + ，
∴AC′的长度为：6 ﹣（3 + ）＝3 ﹣ ．
故答案为：3 ﹣ ．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知
识，根据已得出CC′和AC的长是解题关键．
三、解答题
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
第16页（共27页）法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝ ，
当x＝ +1时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
【分析】由x2﹣xy﹣2y2＝0得出（x﹣2y）（x+y）＝0，推出x﹣2y＝0，x+y＝0，组成两
个方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：由x2﹣xy﹣2y2＝0得：（x﹣2y）（x+y）＝0，
x﹣2y＝0，x+y＝0，
即组成两个方程组： ， ，
解方程组得： 或 ，
即原方程组的解为： 或 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是
能把高次方程组转化成二元一次方程组．
21．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E， ，
（1）求AB的长；
⊙
（2）求 O的半径．
⊙
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
菁优网版权所有
【分析】（1）先根据CD为 O的直径，CD⊥AB得出 ＝ ，故可得出∠C＝
⊙ 第17页（共27页）∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD＝∠COE，故可得出∠C＝ ∠COE，再根据
AO⊥BC可知∠AEC＝90°，故∠C＝30°，再由直角三角形的性质可得出BF的
长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C＝30°即可得出OC的长．
【解答】解：（1）∵CD为 O的直径，CD⊥AB，
∴ ＝ ，AF＝BF，
⊙
∴∠C＝ ∠AOD，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠C＝ ∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BC＝2 ，
∴BF＝ BC＝ ，
∴AB＝2BF＝2 ；
（2）∵AO⊥BC，BC＝2 ，
∴CE＝BE＝ BC＝ ，
∵∠C＝30°，
∴OC＝ ＝ ＝2，即 O的半径是2．
⊙
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧”是解答此题的关键．
22．某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文
具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
第18页（共27页）（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购乙品牌的文具盒．
乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数
量．
【考点】FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）设y＝kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）由单价等于总钱数除以数量，根据两种品牌的文具盒的单价的差列出方程求
解即可．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
∵函数图象经过点（50，250），（200，100），
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+300；
（2）由题意得， ﹣ ＝15，
去分母并整理得，x2+100x﹣60000＝0，
解得x ＝200，x ＝﹣300（舍去），
1 2
y＝﹣200+300＝100，
答：选购的甲、乙文具盒分别为200个、100个．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，
分式方程的应用，（2）确定出等量关系是解题的关键．
23．已知：如图，在 ▱ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使
点E与点C重合，得△GFC．
第19页（共27页）（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠BCD＝120˚，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？
证明你的结论．
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；Q2：平移的性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据平移的性质，可得：BE＝FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：
DG＝FC；即可得到BE＝DG；
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB＝BF；根据条件找到满足AB＝BF的AB
与BC满足的数量关系即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE＝DG；
（2）解：当BC＝ AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）
∵BE＝CF，BC＝ AB，
第20页（共27页）∴EF＝ AB．
∴AB＝BF．
∴四边形ABFG是菱形．
【点评】本题考查平移的基本性质以及菱形的判定，关键是掌握 平移不改变图
形的形状和大小； 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行
①
且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的判定定理．
②
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交点
A、B，点C在线段AB上，且S ＝2S ．
△AOB △AOC
（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）将△AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线
上时，求该抛物线的表达式；
（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行
四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【考点】FI：一次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）令x＝0，即可求得B的纵坐标，令x＝0求得x，则A、B的坐标即可求
得，根据S ＝2S ．可以得到C是AB的中点，据此即可求得C的坐标；
△AOB △AOC
（2）求得C关于x轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m的值，进而求得
抛物线解析式；
（3）分AO是平行四边形的对角线，OC是平行四边形的对角线，AC是平行四边
形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解
【解答】解：（1）在直线 中，令x＝0，解得：y＝﹣4m，则B的坐标是（0，
第21页（共27页）﹣4m），
令y＝0，解得：x＝6，则A的坐标是（6，0）．
∵S ＝2S ．
△AOB △AOC
∴C是AB的中点，
∴C的坐标是（3，﹣2m）；
（2）C′的坐标是（3，2m），
代入抛物线的解析式得： ×9+2m+m＝2m，
解得：m＝﹣ ，
则抛物线的解析式是：y＝ x2﹣ x﹣ ；
（3）设M的坐标是（x，y），
C的坐标是（3， ），
当AO是对角线时，AO的中点是（3，0），则 ，
解得： ，
则M的坐标是（3，﹣ ），满足函数的解析式；
当AC是平行四边形的对角线时，AC的中点是：（ ， ），
则M的坐标是（9， ），
（9， ）是抛物线上的点；
当OC是平行四边形的对角线时，OC的中点是（ ， ），
则 ，
第22页（共27页）解得： ，
则M的坐标是（﹣3， ）．
点（﹣3， ）是抛物线上的点．
则M的坐标是：（3，﹣ ）或（9， ）或（﹣3， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的性质，平行四
边形的对角线互相平分．
25．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB＝90˚，点C是 上异于点A、B的
一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作
OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交
OA于点N．
（1）当tan∠MOF＝ 时，求 的值；
（2）设OM＝x，ON＝y，当 时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）在直角三角形中由OF2＝DF•FE和tan∠MOF＝ ，得出DF＝ OF，
第23页（共27页）所以OF2＝ OF•FE，即 ＝ ，再由△OMF∽△ENF，得出 ＝ ，
（2）连接MN，设OM＝x，ON＝y，△OFD是直角三角形，由已知得出OM＝MD＝
MF＝x，因为∠MON＝∠MFN＝90°，得出MN是∠ONE的角平分线，MN是
OF的中垂线，求出∠NEF＝∠NFE，
得出ON＝NE＝NF＝y，在RT△DOE中，运用勾股定理OD2+OE2＝DE2，求得
（2x）2+（2y）2＝42，即y2＝4﹣x2（0＜x＜2），
（3）分两种情况 由△ECF∽△OFN，得出 ＝ ，利用△DOE的面积，
①
OE•OD＝ DE•OF解得，OF＝xy，求出EF，由（2）y2＝4﹣x2得出 ＝ 解得，
y＝ ，再求出x＝ ，所以OD＝2x＝2 由△ECF∽△ONF，得OD＝
②
．
【解答】
解；（1）如图1，∵∠AOB＝90˚，CE⊥OA，CD⊥OB，
∴四边形ACDO是矩形，
∴DE＝OC＝4，
∵OF⊥DE，
∴OF2＝DF•FE
∵tan∠MOF＝ ，
∴ ＝ ，即DF＝ OF，
第24页（共27页）∴OF2＝ OF•FE，即 ＝ ，
∵∠MFO+∠OFN＝∠NFE+∠OFN＝90°，
∴∠MFO＝∠NFE，
∵∠MOF+∠ODE＝∠NEF+∠ODE＝90°，
∴∠MOF＝∠NEF，
∴△OMF∽△ENF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
（2）如图2，连接MN，
设OM＝x，ON＝y，
∵ ，即OD＝2OM，△OFD是直角三角形，
∴OM＝MD＝MF＝x，
∵∠MON＝∠MFN＝90°，
∴MN是∠ONF的角平分线，
∴MN是OF的中垂线，
∴ON＝NF，可得∠FON＝∠NFO
∵∠FON+∠NEF＝∠NFO+∠NFE，
∴∠NEF＝∠NFE，
∴ON＝NE＝NF＝y，
∵DE＝OC＝4，
在RT△DOE中，OD2+OE2＝DE2
∴（2x）2+（2y）2＝42，即y2＝4﹣x2（0＜x＜2），
第25页（共27页）即y＝ （0＜x＜2）；
（3）如图3，
∵△ECF∽△OFN
①
∴ ＝ ，
利用△DOE的面积， OE•OD＝ DE•OF
∵OD＝2x，OE＝2y，DE＝4，
∴ ×2y×2x＝ ×4•OF，
解得，OF＝xy，
∵OE＝2y，
∴EF＝ ＝ ＝y ，
由（2）y2＝4﹣x2
∴EF＝y2，
∵CE＝OD＝2x，
∴ ＝
解得，y＝ ，
代入x2+y2＝4，得x＝ ，
∴OD＝2x＝2 ．
∵△ECF∽△ONF
② 第26页（共27页）∴ ＝ ，
利用△DOE的面积， OE•OD＝ DE•OF
∵OD＝2x，OE＝2y，DE＝4，
∴ ×2y×2x＝ ×4•OF，
解得，OF＝xy，
∵OE＝2y，
∴EF＝ ＝ ＝y ，
由（2）y2＝4﹣x2
∴EF＝y2，
∵CE＝OD＝2x，
∴ ＝ ，
解得，y＝ x，
代入x2+y2＝4，得x＝ ，
∴OD＝2x＝ ．
综上所述OD的长为2 或 ．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解本题关键是把圆的知识和相似三角形的
知识相结合求解．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:20:51；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
