文档内容
2014年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列关于x的方程一定是一元一次方程的是（ ）
A． ﹣x＝1 B．（a2+1）x＝b C．ax＝b D． ＝3
3．（4分）布袋中装有大小一样的3个白球、2个黑球，从布袋中任意摸出一个球，
则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的是白球或黑球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是白球 D．摸出的是红球
4．（4分）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽去10听
样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，
0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10．则这10听罐头质量的平均数及众数为（ ）
A．454，454 B．455，454 C．454，459 D．455，0
5．（4分）已知非零向量 、 、 ，其中 ＝2 + ．下列各向量中与 是平行向量的
是（ ）
A． ＝ ﹣2 B． ＝ ﹣2 C． ＝4 +2 D． ＝2 +4
6．（4分）下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转
运动即可和另一个三角形重合的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）
7．（4分）当x＞2时，化简|x﹣2|＝ ．
第1页（共26页）8．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2+m＝0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 ．
9．（4分）函数y＝﹣ + 的定义域是 ．
10．（4分）点A（x ，y ）、B（x ，y ）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，若x ＜x ，则y
1 1 2 2 1 2 1
y （填“＜”或“＞”或“＝”）．
2
11．（4分）抛物线y＝2x2+4x﹣2的顶点坐标是 ．
12．（4分）某区在初一年级一次数学期末考试后，随机抽查了部分同学的成绩，
整理成频数分布直方图如图，则本次抽查的样本的中位数所在的区间是
．
13．（4分）如果矩形的周长是20cm，相邻两边长之比为2：3，那么对角线长为
cm．
14．（4分）内角和为1080°的正多边形是 对称图形．
15．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角
平分线交于点O，则∠ABO＝ 度．
16．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8．已知重心G到点A的距离为6，
则G到点B的距离是 ．
第2页（共26页）17．（4分）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全
等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸
四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为 0，那么奇异中位线的长是
cm．
18．（4分）如图，扇形OAB的圆心角为2 ，点P为弧AB上一点，将此扇形翻折，
α
当点O和点P重合时折痕恰巧过点B，且 ＝ ，则 的正切值为 ．
α
三、解答题（第19～22题每题10分，第23～24题每题12分，第25题14分，满分
78分）
19．（10分）计算：|﹣ |﹣ +2sin60°+（ ）﹣1．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD上，且AE：ED＝1：
4，联结BE，射线EF⊥BE交边DC于点F．求CF的长．
22．（10分）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600
元购进该款铅笔，但这次每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次
第3页（共26页）少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量．
（2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x（元/支）全部销售完毕，并要求获利不低
于420元，求获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系式及定义域，并在直角
坐标系内画出它的大致图象．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求证：CD•DF＝BC•BE；
（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B＝60°，求证：EM∥FN．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB＝ ，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE＝ ，联结
BE，试问BE与BC是否垂直？请通过计算说明．
第4页（共26页）25．（14分）已知AM平分∠BAC，AB＝AC＝10，cos∠BAM＝ ．点O为射线AM
上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果 A与 O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的
⊙ ⊙
AO的取值范围；
第5页（共26页）2014 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】26：无理数．
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【分析】先把各数化为最简，然后根据无理数的三种形式结合选项求解．
【解答】解： ＝ ＝2， ＝2 ，
故2 是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：
开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有 的数．
①
2．（4分）下列关于x的方程一定是一元一次方程的是（ ）
② ③ π
A． ﹣x＝1 B．（a2+1）x＝b C．ax＝b D． ＝3
【考点】84：一元一次方程的定义．
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【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项正确；
C、当a＝0时，不是一元一次方程，故本选项错误；
D、不是一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义的应用，注意：只含有一个未知数，并且
所含未知数的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
3．（4分）布袋中装有大小一样的3个白球、2个黑球，从布袋中任意摸出一个球，
则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．摸出的是白球或黑球 B．摸出的是黑球
第6页（共26页）C．摸出的是白球 D．摸出的是红球
【考点】X1：随机事件．
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【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．根据定义解答．
【解答】解：A、摸出的是白球或黑球，是必然事件；
B、C是随机事件，
D、没有红球，所以摸出红球是不可能事件；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是
指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（4分）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽去10听
样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5，
0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10．则这10听罐头质量的平均数及众数为（ ）
A．454，454 B．455，454 C．454，459 D．455，0
【考点】W1：算术平均数；W5：众数．
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【分析】首先求得﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10这10个数的平均数以及众
数，然后分别加上454克，即可求解．
【解答】解：平均数是：454+ （﹣10+5+0+5+0+0﹣5+0+5+10）＝454+1＝455克，
﹣10，+5，0，+5，0，0，﹣5，0，+5，+10的众数是0，因而这10听罐头的质量的众数
是：454+0＝454克．
故选：B．
【点评】本题考查了众数与平均数的求法，正确理解定理，理解﹣10，+5，0，+5，0，
0，﹣5，0，+5，+10与这10听罐头质量的平均数及众数的关系是关键．
5．（4分）已知非零向量 、 、 ，其中 ＝2 + ．下列各向量中与 是平行向量的
是（ ）
A． ＝ ﹣2 B． ＝ ﹣2 C． ＝4 +2 D． ＝2 +4
【考点】LM：*平面向量．
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第7页（共26页）【分析】由 ＝4 +2 ＝2（2 + ）＝2 ，根据平行向量的定义，可求得答案．
【解答】解：∵ ＝4 +2 ＝2（2 + ）＝2 ，
∴ 与 是平行向量．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量的定义是
解此题的关键．
6．（4分）下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转
运动即可和另一个三角形重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】R9：利用旋转设计图案．
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【分析】根据旋转的性质以及轴对称变换性质分别分析得出即可．
【解答】解：A、无法借助旋转得到，故此选项错误；
B、无法借助旋转得到，故此选项错误；
C、可以借助轴对称得到，故此选项错误；
D、可以只经过一次旋转运动即可和另一个三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，掌握旋转的性质是解题关键．
二、填空题（本大题每小题4分，满分48分）
7．（4分）当x＞2时，化简|x﹣2|＝ x ﹣ 2 ．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据绝对值的意义，可得正数的绝对值表示的数．
【解答】解：当x＞2时，化简|x﹣2|＝x﹣2，
第8页（共26页）故答案为：x﹣2．
【点评】本题考查了绝对值，注意正数的绝对值等于它本身．
8．（4分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣2+m＝0有两个不相等的实数根，则m
的取值范围是 m ＜ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范
围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣2+m）＞0，
∴m＜ ．
∴m的取值范围是m＜ ；
故答案为：m＜ ．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）
△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔ ⇔
9．（4分）函⇔数y＝﹣ + 的定义域是 x ≤ 3 且 x ≠ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得x≤3且x≠2．
故答案为：x≤3且x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）点A（x ，y ）、B（x ，y ）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，若x ＜x ，则y
1 1 2 2 1 2 1
第9页（共26页）＞ y （填“＜”或“＞”或“＝”）．
2
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据一次函数图象的增减性进行答题．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b中的x的系数﹣2＜0，
∴该一次函数图象是y随x的增大而减小，
∴当x ＜x 时，y ＞y
1 2 1 2
故答案是：＞．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的左边特征．此题也可以把点A、B的坐标
代入函数解析式，求得相应的y的值，然后再比较大小．
11．（4分）抛物线y＝2x2+4x﹣2的顶点坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 4 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求
得纵坐标．
【解答】解：x＝﹣ ＝﹣1，
把x＝﹣1代入得：y＝2﹣4﹣2＝﹣4．
则顶点的坐标是（﹣1，﹣4）．
故答案是：（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可
以利用公式法求解．
12．（4分）某区在初一年级一次数学期末考试后，随机抽查了部分同学的成绩，
整理成频数分布直方图如图，则本次抽查的样本的中位数所在的区间是 80
分到 9 0 分 ．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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第10页（共26页）【分析】首先求得总人数，然后确定大小处于中间位置的数在哪个区间即可．
【解答】解：总人数是：30+90+120+60＝300（人），
则位于中间位置的是第150位和151位，都在80至90分之间．则中位数一定在
80分到90分．
故答案是：80分到90分．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时
考查中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间
的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
13．（4分）如果矩形的周长是20cm，相邻两边长之比为2：3，那么对角线长为 2
cm．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
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【分析】首先表示出AB+BC＝10cm，再根据相邻两边长之比为2：3，设AB＝
2xcm，BC＝3xcm，列出方程2x+3x＝10，解出x的值，进而得到AB、BC长，然后
再利用勾股定理计算出AC长即可．
【解答】解：∵矩形的周长是20cm，
∴AB+BC＝10cm，
∵相邻两边长之比为2：3，
∴设AB＝2xcm，BC＝3xcm，
∴2x+3x＝10，
解得：x＝2，
∴AB＝4cm，BC＝6cm，
∴AC＝ ＝2 （cm），
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形两对边分别相等，对角线相
等．
14．（4分）内角和为1080°的正多边形是 中心对称也是轴 对称图形．
第11页（共26页）【考点】L3：多边形内角与外角；P3：轴对称图形．
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【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一
个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数，然后即可判断．
【解答】解：由（n﹣2）•180°＝1080°，解得：n＝8；
则正多边形是中心对称也是轴对称图形．
故答案是：中心对称也是轴
【点评】考查了正多边形的内角和的公式．多边形内角和定理：[n﹣2）•180°
（n≥3）且n为整数]．
15．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角
平分线交于点O，则∠ABO＝ 3 5 度．
【考点】K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质．
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【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，由于点O是
∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，故OE＝OG＝OF，所以
OB是∠ABC的平分线，由此即可得出结论．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，
∵点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OG＝OF，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴∠ABO＝ ∠ABC＝ ×70°＝35°．
故答案为：35．
第12页（共26页）【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用角平分线的
性质进行解答即可．
16．（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8．已知重心G到点A的距离为6，
则G到点B的距离是 5 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】过点A作AD⊥BC于D，连接BG，根据等腰三角形三线合一的性质可得
BD＝CD，再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍求
出DG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，连接BG，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴点G在AD上，
∵重心G到点A的距离为6，
∴DG＝ ×6＝3，
∵BC＝8，
∴BD＝ ×8＝4，
在Rt△BDG中，BG＝ ＝ ＝5，
第13页（共26页）即G到点B的距离是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记三角形的
重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，此内容很多
教材已经删掉，此题可酌情使用．
17．（4分）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全
等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸
四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是
cm．
【考点】KA：全等三角形的性质；KX：三角形中位线定理．
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【专题】23：新定义．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理得出边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是
直角三角形，然后将这两个直角三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四
边形的奇异中位线的长不为0，那么只有一种情况，画出图形，根据正弦函数的
定义求出OA，由中点的定义得出AM，再根据OM＝AM﹣OA即可求解．
【解答】解：∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形．
如图，将两个全等的直角△ABC与△DEF的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形
ABCE，AC与BE交于点O，M为AC的中点．
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAC＝∠EDF，
∴BO＝OE，AO⊥BE．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
第14页（共26页）∴OA＝AB•cos∠BAO＝3× ＝ ，
∵AM＝ AC＝ ，
∴OM＝AM﹣OA＝ ﹣ ＝ ．
即奇异中位线的长是 cm．
故答案为 ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，图形的拼组，等腰三角形的性质，锐角三
角函数的定义，难度适中．根据题目要求画出符合题意的图形是解题的关键．
18．（4分）如图，扇形OAB的圆心角为2 ，点P为弧AB上一点，将此扇形翻折，
α
当点O和点P重合时折痕恰巧过点B，且 ＝ ，则 的正切值为 ．
α
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】11：计算题．
【分析】BE为折痕作OC⊥AB于C，交弧AB于D，设AB＝6t，PB＝5t，根据折叠的
性质得BP＝BO＝5t，由于OC⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝ AB＝3t，弧
AD＝弧BD，则∠BOD＝ ∠AOB＝ ，在Rt△BOC中，先根据勾股定理计算出
α
OC＝4t，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：BE为折痕，作OC⊥AB于C，交弧AB于D，如图，
第15页（共26页）∵ ＝ ，
∴设AB＝6t，PB＝5t，
∵点O和点P重合时折痕恰巧过点B，
∴BP＝BO＝5t，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝3t，弧AD＝弧BD，
∴∠BOD＝ ∠AOB＝ •2 ＝ ，
α α
在Rt△BOC中，OC＝ ＝4t，
∴tan∠BOC＝ ＝ ＝ ．
即tan ＝ ．
α
故答案为 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、
垂径定理和正切的定义．
三、解答题（第19～22题每题10分，第23～24题每题12分，第25题14分，满分
78分）
19．（10分）计算：|﹣ |﹣ +2sin60°+（ ）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三
项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到
第16页（共26页）结果．
【解答】解：原式＝ ﹣3 +2× +3＝ ﹣3 + +3＝3﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】&E：二元二次方程组．
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【分析】将x2﹣3xy+2y2＝0分解因式求出x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y），进而重新
组合方程组求出即可．
【解答】解：由 得x﹣y＝0，x﹣2y＝0．
①
原方程组化为 ，
，
分别解这两个方程组，得原方程组的解是： ， ， ， ．
【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，根据已知分解因式x2﹣3xy+2y2
＝（x﹣y）（x﹣2y）是解题关键．
21．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AD上，且AE：ED＝1：
4，联结BE，射线EF⊥BE交边DC于点F．求CF的长．
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】先由矩形ABCD，得∠A＝∠D＝90°，再推得∠ABE＝∠DEF，根据两组对
应角相等，得到△ABE∽△DEF，再由对应边的比相等即可得DF的长，最后求
CF的长．
【解答】解：∵AE：ED＝1：4，AD＝5，
第17页（共26页）∴AE＝1，ED＝4，
∵矩形ABCD，∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝90°
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．先由矩形ABCD，得∠A＝∠D
＝90°，再推得∠ABE＝∠DEF，根据两组对应角相等，得到△ABE∽△DEF，再
由对应边的比相等即可得DF的长，最后求CF的长．
22．（10分）某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，第二次又用600
元购进该款铅笔，但这次每支的进价比第一次贵1元，所以购进数量比第一次
少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量．
（2）若将这两次购进的铅笔按同一单价x（元/支）全部销售完毕，并要求获利不低
于420元，求获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系式及定义域，并在直角
坐标系内画出它的大致图象．
【考点】B7：分式方程的应用；FH：一次函数的应用．
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第18页（共26页）【分析】（1）利用第二次购进数量比第一次少了30支，进而得出关系式进而得出
答案；
（2）利用（1）中所求，得出y＝（x﹣4）×150+（x﹣5）×120进而求出即可．
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元/支，
则据题意得： ﹣ ＝30，
∴a ＝4，a ＝﹣5（舍），
1 2
＝150，
答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支；
（2）由题意得：y＝（x﹣4）×150+（x﹣5）×120＝270x﹣1200
即获利y（元）关于单价x（元/支）的函数关系为：
y＝270x﹣1200（x≥6）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，利用第二次购进
数量比第一次少了30支得出等式是解题关键．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求证：CD•DF＝BC•BE；
（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B＝60°，求证：EM∥FN．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABD＝∠ADC，再有∠AEB＝
第19页（共26页）∠AFD＝90°，可得△ABE∽△ADF，于是 ，进而 ，即CD•DF＝
BC•BE；（2）延长EM交DA的延长线于点Q，由四边形ABCD是平行四边形得
到∠Q＝∠MEB，AE⊥BC于E，M是AB中点，ME＝ ＝MB，∠MEB＝∠B，
所以∠Q＝60°，同样求得∠DNF＝60°，∠DNF＝∠Q，即可得EM∥FN．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABD＝∠ADC，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴ ，即CD•DF＝BC•BE；
（2）延长EM交DA的延长线于点Q，
∵平行四边形ABCD，
∴DQ∥BC，∠Q＝∠MEB，
∵AE⊥BC于E，M是AB中点，
∴ME＝ ＝MB
∴∠MEB＝∠B，
∴∠Q＝∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠Q＝60°，
第20页（共26页）∵AF⊥CD于F，N是AD中点，
∴NF＝ ＝ND，∠NFD＝∠D，
∵平行四边形ABCD，
∴∠D＝∠B＝60°，
∴∠NFD＝∠D＝60°，
∴∠DNF＝60°，
∴∠DNF＝∠Q，
∴EM∥FN．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．还用到等腰三角形的判定与
性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的对称轴及表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB＝ ，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE＝ ，联结
BE，试问BE与BC是否垂直？请通过计算说明．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据对称轴直线公式求得对称轴；由抛物线解析式求得点C的坐标，
然后由三角形面积公式来求a的值；
（2）如图，过P作PH⊥x轴于点H．根据已知条件可设PH＝k，AH＝2k，则P点的
第21页（共26页）坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）．根据二次函数图象上点的坐标特征得到：k＝ （2k
﹣2）2﹣（2k﹣2）﹣4，则易求k的值；
（3）是．设AE交y轴于点D，通过证明△AOC∽△EBC，推知对应角相等：∠EBC
＝∠AOC＝90°，故BE⊥BC．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4，
∴与y轴交点C（0，﹣4）
∴对称轴为直线x＝ ＝1，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，∴AB＝6，
∴点A（﹣2，0），B（4，0），
∵抛物线过点A，
∴0＝4a+4a﹣4，∴a＝ ，
∴抛物线表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）解：如图，过P作PH⊥x轴于点H．
∵tan∠PAB＝ ，
∴设PH＝k，AH＝2k，
∴P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）．
∵点P在抛物线上，
∴k＝ （2k﹣2）2﹣（2k﹣2）﹣4，
∴k＝ ，
∴P（5， ）；
（3）是．
证明：设AE交y轴于点D，
∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），
第22页（共26页）∴tan∠ACO＝ ，
∵tan∠PAB＝ ，
∴∠PAB＝∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠PAB+∠OAC＝90°，
∴PA⊥AC，
∵tan∠BCE＝ ，
∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠OCB
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴∠OCB＝45°，∠ACE＝45°，
∵A（﹣2，0），C（0，﹣4），
∴AO＝2，OC＝4，
∴AC＝2 ，
∴CE＝2 ，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴BC＝4
在△AOC和△EBC中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∠ACO＝∠BCE，
∴△AOC∽△EBC，
∴∠EBC＝∠AOC＝90°，
∴BE⊥BC．
第23页（共26页）【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐
标特征，相似三角形的判定与性质以及点的坐标与图形性质．综合性强，能力
要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．
25．（14分）已知AM平分∠BAC，AB＝AC＝10，cos∠BAM＝ ．点O为射线AM
上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果 A与 O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的
⊙ ⊙
AO的取值范围；
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）根据 AM 平分∠BAC，AB＝AC，由等腰三角形的性质可得出
AM⊥BC，根据cos∠BAM＝ ，求得BO＝6，AO＝8，作OH⊥AE，因为O为圆
第24页（共26页）心，则BH＝EH，在Rt△BOH中， ＝cosB，求得BH，从而得出BE的长．
（2）根据 A与 O相切，可得出 A与 O只可能相内切，且 A在 O的内部，
则OB＝2OA，设OA＝x，则OB＝2x，作 BP⊥AM，则AP＝8，BP＝6，OP＝8﹣
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
x，
在Rt△BPO中，根据勾股定理得出OP2+BP2＝OB2，代入求得x即可．
（3）过AB中点作AB的垂线交AM于点O ，可得AO ＝ ，过B作AB的垂线交
1 1
AM于点O ，可得AO ＝ ，分三种情况： 当0 时，点E在BA的延
2 2
①
长线上； 当 ≤AO＜ 时，点E在线段AB上； 当AO 时，点E在
② ③
AB的延长线上．
【解答】解：（1）∵AM平分∠BAC，AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∵cos∠BAM＝ ，AB＝10，
∴cos∠B＝ ，BO＝6，AO＝8，
作OH⊥AE，
∵O为圆心，
∴BH＝EH，
在Rt△BOH中， ＝cosB，
∴BH＝6× ＝ ，
∴BE＝2BH＝ ．
（2）∵ A与 O相切，AO为 A半径，
∴ A与 O只可能相内切，且 A在 O的内部，
⊙ ⊙ ⊙
∴OA＝OB﹣OA，
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
∴OB＝2OA，
第25页（共26页）设OA＝x，则OB＝2x，
作 BP⊥AM，则AP＝8，BP＝6，OP＝8﹣x，
在Rt△BPO中，OP2+BP2＝OB2，即（8﹣x）2+62＝4x2，
∴3x2+16x﹣100＝0，
∴x＝ ，（负舍），
∴OA＝x＝ ．
（3）过AB中点作AB的垂线交AM于点O ，可得AO ＝ ，
1 1
过B作AB的垂线交AM于点O ，可得AO ＝ ，
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当0 时，点E在BA的延长线上；
当 ≤AO＜ 时，点E在线段AB上；
当AO 时，点E在AB的延长线上．
【点评】本题考查了圆的综合知识，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理以及三
角函数的定义，注意图形之间的联系．
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日期：2018/12/26 20:19:55；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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