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2016 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题
1． 的整数部分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a3÷a2=1 C．a2+a2=a4 D．4a﹣3a=a
3．下列根式中，与 互为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表
所示：该投篮进球数据的中位数是（ ）
次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 1 8 10 7 6 6 6 4 1 2 0
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（
）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
6．如图，点A是反比例函数y= 图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，
AC垂直于y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为（ ）
A．5 B．2.5 C． D．10
二、填空题
7．计算：|﹣2|= ．
8．已知f（x）= ，那么f（1）= ．
9．计算：（2a+b）（2a﹣b）= ．
第1页（共24页）10．方程 =x+1的根是 ．
11．从1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是 ．
12．如果关于x的方程x2+4x+k=0有一个解是x=﹣1，那么k= ．
13．在某公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所
示的不完整的统计图，其中捐10元的人数占年级总人数的25%，则本次捐款
20元的人数为 人．
14．如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m= ．
15．中心角为60°的正多边形有 条对称轴．
16．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且 ，过 ， ，
则 = ．（结果用 表示）
17．在平行四边形ABCD中，BC=24，AB=18，∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点
E、F，则EF= ．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是
△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相
交于点E，那么BE：CE= ．
三、解答题
第2页（共24页）19．化简求值： ，其中x= ．
20．解方程式： ．
21．已知一次函数的图象经过点P（3，5），且平行于直线y=2x．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C
是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC= ，求CD的长．
23．如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且
CD=CE，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的长．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B
（4，0）两点，与y轴交于点C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠CAO=∠BCO；
（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．
第3页（共24页）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，
AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点
G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；
如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
第4页（共24页）2016 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1． 的整数部分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】2B：估算无理数的大小．
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【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求
的无理数的整数部分．
【解答】解：∵1＜2＜4，
∴1 ＜2，
∴ 的整数部分为1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，利用“夹逼法”确定该无理数在那两个
数之间是解题关键．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a3÷a2=1 C．a2+a2=a4 D．4a﹣3a=a
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，合
并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．下列根式中，与 互为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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第5页（共24页）【分析】先把 化成最简二次根式，再进行选择即可．
【解答】解： =2 ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方
数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表
所示：该投篮进球数据的中位数是（ ）
次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 1 8 10 7 6 6 6 4 1 2 0
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】W4：中位数．
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【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组
数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：∵50名同学参加投篮，
∴中位数为第25和第26的平均数，为3次、3次，
∴中位数为3次，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于
掌握．
5．如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（
）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距
d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径长分别为1和3，
∴两圆的半径和为4，差为2，
∵圆心距为3，
∴这两个圆的位置关系是：相交．
第6页（共24页）故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
6．如图，点A是反比例函数y= 图象上一点，AB垂直于x轴，垂足为点B，
AC垂直于y轴，垂足为点C，若矩形ABOC的面积为5，则k的值为（ ）
A．5 B．2.5 C． D．10
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【分析】设点A的坐标为（x，y），用x、y表示OB、AB的长，根据矩形ABOC的面积
为5，列出算式求出k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
则OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面积为5，
∴k=xy=5，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两
条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
二、填空题
7．计算：|﹣2|= 2 ．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
第7页（共24页）8．已知f（x）= ，那么f（1）= 1 ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当x=1时，f（1）= =1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．
9．计算：（2a+b）（2a﹣b）= 4 a 2 ﹣b 2 ．
【考点】4F：平方差公式．
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【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
10．方程 =x+1的根是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=4，求出x的值，把不合题
意的解舍去，即可得出原方程的解．
【解答】解：方程两边平方得，2x+5=x2+2x+1，
移项合并同类项得：x2，=4，
解方程x =2，x =﹣2，
1 2
经检验x =﹣2不是原方程的解，
2
则原方程的根为x=2；
故答案为：x=2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
11．从1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据概率的求法，求出1至9这9个自然数中素数的个数，再根据概率公
式列式计算即可．
第8页（共24页）【解答】解：∵1至9这9个自然数中素数是2、3、5、7，
∴1至9这9个自然数中任取一个数，是素数的概率是 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
12．如果关于x的方程x2+4x+k=0有一个解是x=﹣1，那么k= 3 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
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【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解该方程来求k的值
即可．
【解答】解：把x=﹣1代入x2+4x+k=0，得
（﹣1）2+4×（﹣1）+k=0，
解得k=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也
叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．在某公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所
示的不完整的统计图，其中捐10元的人数占年级总人数的25%，则本次捐款
20元的人数为 3 5 人．
【考点】VC：条形统计图．
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【分析】根据捐款10元的人数占总人数25%可得捐款总人数，将总人数减去其余
各组人数可得答案．
【解答】解：根据题意可知，本年级捐款捐款的同学一共有20÷25%=80（人），
第9页（共24页）则本次捐款20元的有：80﹣（20+10+15）=35（人），
故答案为：35．
【点评】本题主要考查条形统计图，熟悉计算公式是基础和解决本题根本，从条形
图中读取有用信息是关键．
14．如果抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m= ﹣ 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】直接利用二次函数的性质得出m+1的值，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，
∴m+1=0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
15．中心角为60°的正多边形有 6 条对称轴．
【考点】MM：正多边形和圆；P3：轴对称图形．
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【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得多边形的边数，然后根据正n边形
有n条对称轴即可求解．
【解答】解：正多边形的边数是 =6．则正多边形有6条对称轴．
故答案是：6．
【点评】本题考查了多边形的计算以及正多边形的性质，理解正n边形有n条对称
轴是关键．
16．已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且 ，过 ， ，
则 = ﹣ ．（结果用 表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 ， ，利用三角形法则可求得 ，然后由DE∥BC，易证得
△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵ ， ，
第10页（共24页）∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵ ，
∴ = ，
∴ = （ ﹣ ）= ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三
角形法则的应用是关键．
17．在平行四边形ABCD中，BC=24，AB=18，∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点
E、F，则EF= 1 2 ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性
质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF，进而得出EF
的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
第11页（共24页）∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE﹣EF=DF﹣EF，
∴AF=DE，
∵AB=18，BC=24，
∴DE=AD﹣AE=24﹣18=6，
EF=DF﹣DE=18﹣6=12；
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的判定等知识；熟
练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解决问题的关键．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是
△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相
交于点E，那么BE：CE= 4 ： 3 ．
【考点】K5：三角形的重心；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题；558：平移、旋转与对称．
【分析】先证明DA′= CB′，由DA′∥CB′，得 = = 即可解决问题．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，A′是△ABC重心，
第12页（共24页）∴BD=DC=AD，DA′= AA′= AD= BC，
∵△A′CB′S是由△ABC旋转得到，
∴CA′=CA，BC=CB′，∠ACB=∠A′CB′=∠DAC，∠CA′B′=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC，∠DA′B′+′CA′A=90°，∠B′+∠A′CB′=90°，
∴∠DA′B′=∠B′
∴DA′∥CB′，
∴ = = ，设DE=k，则EC=6k，BD=BC=7k，BE=8k，
∴BE：CE=8k：6k=4：3．
故答案为4：3．
【点评】本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键
是发现DA′= CB′，记住三角形的重心把中线分成1：2两部分，属于中考常考题
型．
三、解答题
19．化简求值： ，其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即
可．
【解答】解：原式= • ﹣
= ﹣
= ，
当x= ﹣1时，原式= = +2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
第13页（共24页）20．解方程式： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】将方程②左边因式分解后可得x=﹣y或x=5y，分别将x=﹣y、x=5y代入方
程①，求每个方程组的解可得．
【解答】解：由②可得，（x+y）（x﹣5y）=0，
即x+y=0或x﹣5y=0，
∴x=﹣y或x=5y，
当x=﹣y时，把x=﹣y代入①，得：2y2=26，
解得：y=± ，
故方程组的解为： 或 ；
当x=5y时，把x=5y代入①，得：25y2+y2=26，
解得：y=±1，
故方程组的解为： 或 ，；
综上，该方程组的解为： 或 或 或 ．
【点评】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次
数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．
21．已知一次函数的图象经过点P（3，5），且平行于直线y=2x．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若点Q（x，y）在该直线上，且在x轴的下方，求x的取值范围．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式．
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【分析】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率k=2，设出解析式，将点P坐标
代入可得；
（2）根据直线上的点Q在x轴下方可得y＜0，解不等式可得x的范围．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象平行于直线y=2x，可设该一次函数解析式为
y=2x+b，
第14页（共24页）∴将点P（3，5）代入得：6+b=5，
解得：b=﹣1，
故一次函数解析式为：y=2x﹣1；
（2）∵点Q（x，y）在x轴下方，
∴y=2x﹣1＜0，
解得：x＜ ．
【点评】本题主要考查一次函数解析式及图象上的点的坐标，待定系数法求出解
析式是前提，根据点的位置确定函数值小于0．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C
是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC= ，求CD的长．
【考点】M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】过 O 作 OE⊥CD 于 E，由垂径定理得到 CD=2CE，解直角三角形得到
OE=OP×sin∠BPC=6，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过O作OE⊥CD于E，
∴CD=2CE，
∵AB是⊙O的直径，AB=16，
∴OC=8，
∵sin∠BPC= ，OP=10，
∴OE=OP×sin∠BPC=6，
∴CE= =2 ，
∴CD=2CE=4 ．
第15页（共24页）【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解
题的关键．
23．如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且
CD=CE，∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC=2，BE=1，∠AOD=2∠1，求AB的长．
【考点】LK：等腰梯形的判定．
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【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CDE=∠CED，由三角形的外角性质和已知
条件得出∠AED=∠BDE，证出 OD=OE，由 AAS 证明△AOD≌△BOE，得出
AD=BE，OA=OB，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA，再由对顶角相等和三
角形内角和定理得出∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，证出DE∥AB，即可得出结
论；
（2）由三角形的外角性质和已知条件得出∠1=∠OED，证出AD=ED=BE=1，由平行
线的性质得出△CDE∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠2+∠AED，∠CED=∠1+∠BDE，∠1=∠2，
∴∠AED=∠BDE，
∴OD=OE，
在△AOD和△BOE中，
第16页（共24页），
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴AD=BE，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOD=∠BOE，
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）解：∵∠AOD=2∠1=∠ODE+∠OED，∠OED=∠ODE，
∴∠1=∠OED，
∴AD=ED=BE=1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，
即 ，
解得：AB= ．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰梯形的判定，证明
三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B
（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠CAO=∠BCO；
（3）若点P是抛物线上的一点，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直线CP的表达式．
第17页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设抛物线的解析式为为y=a（x﹣1）（x﹣4），将点C的坐标代可求得a
的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先证明 ，从而可证明△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可证得
∠CAO=∠BCO；
（3）先证明∠PCB=∠CBO，如图2所示可得到CD=BD，然后由勾股定理可求得OD
的长，从而得到点D的坐标，由点C和点D的坐标可求得PC的解析式，如图3
所示当∠PCB=∠CBO时，PC∥OB，从而可得到PC的解析式．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）．
∵将C（0，2）代入得：4a=2，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= （x﹣1）（x﹣4），即y= x2 x+2．
（2）如图1所示：连接AC．
∵由题意可知；OA=1，OC=2，OB=4，
∴ ．
又∵∠COA=∠BOC，
∴△AOC∽△COB．
∴∠CAO=∠BCO．
第18页（共24页）（3）①如图2所示：
∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，
∴∠PCB=∠ACO．
∵△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠PCB=∠CBO．
∴CD=BD．
设OD=x，则DB=CD=4﹣x．
在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD2+CO2=DC2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=1.5．
∴点D的坐标为（1.5，0）．
设直线CP的解析式为y=kx+b．
∵将（0，2），D（1.5，0）代入得： ，解得： ，
∴直线CP的解析式为y=﹣ x+2．
如图3所示：
∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，
∴∠PCB=∠ACO．
第19页（共24页）∵△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠PCB=∠CBO．
∴CP∥OB．
∴CP的解析式为y=2．
综上所述，直线CP的解析式为y=﹣ x+2或y=2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应
用，证得DC=DB，然后依据勾股定理求得OD的长是解题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，
AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点
G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；
如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理；LG：正方形的判定
与性质；MR：圆的综合题；SO：相似形综合题；T1：锐角三角函数的定义；T5：特
殊角的三角函数值．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）过点 E 作 EH⊥CD 于 H，如图 1，易证 EH 是△DBC 的中位线及
△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB
的值；
（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定
第20页（共24页）理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由
此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需
求出AB就可解决问题；
（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，
由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到
∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，
根据角平分线的性质可得 EM=EH，即可得到矩形 EMCH 是正方形，则有
CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，
根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF
的值．
【解答】解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，
则有∠EHA=∠EHD=90°．
∵∠BCD=90°，BE=DE，
∴CE=DE．
∴CH=DH，
∴EH= BC= ．
设AH=x，则DH=CH=x+1．
∵AE⊥BD，
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．
∵∠AEH+∠EAH=90°，
∴∠EAH=∠DEH，
∴△AHE∽△EHD，
∴ = ，
第21页（共24页）∴EH2=AH•DH，
∴（ ）2=x（x+1），
解得x= （舍负），
∴tan∠EAH= = = ．
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠AFB= ；
（2）CE•AF的值不变．
取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，
∵∠BCA=∠BEA=90°，
∴OC=OA=OB=OE，
∴点A、C、B、E共圆，
∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180°，
∴∠CBE=∠BFA，
∴△BCE∽△FAB，
∴ = ，
第22页（共24页）∴CE•FA=BC•AB．
∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，
∴AB=5 ，
∴CE•FA=7×5 =35 ；
（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，
∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，
∴四边形EMCH是矩形．
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BGE与△BCE相似，
∴∠EBG=∠ECB．
∵点A、C、B、E共圆，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴矩形EMCH是正方形，
∴CM=CH．
∵∠ECB=∠ECA= ∠BCA=45°，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH．
设AH=x，则BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，
∴7﹣x=1+x，
第23页（共24页）∴x=3，
∴CH=4．
在Rt△CHE中，
cos∠ECH= = = ，
∴CE=4 ．
由（2）可得CE•FA=35 ，
∴AF= = ．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形
的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、正方形的判定与
性质等知识，综合性强，有一定的难度，证到△BCE∽△FAB是解决第（2）小题
的关键，证出Rt△BME≌Rt△AHE是解决第（3）小题的关键．
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日期：2018/12/24 0:19:53；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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