文档内容
2016 年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列各数中，与8 ﹣2 相等的是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．3
2．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1
3．（4分）已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个
家庭与上月比较的一个月的节水情况统计：
节水量（m3） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数和中位数分别是（ ）
A．0.42和0.4 B．0.4和0.4 C．0.42和0.45 D．0.4和0.45
5．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么
S ：S 等于（ ）
△DBE △EBC
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
6．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添
加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．∠A=∠D D．∠A=∠B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空
第1页（共25页）格内直接填写答案]
7．（4分）计算：（﹣2）﹣3= ．
8．（4分）如果分式 的值为0，那么x的值为 ．
9．（4分）方程 =x﹣1的根是 ．
10．（4分）函数 的定义域是 ．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取
值范围是 ．
12．（4分）如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x
的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符
合条件的解析式）．
13．（4分）甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，
甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中
的成绩较稳定．
14．（4分）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2
名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是1男1女的概率是 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的
度数是 ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、
OD的中点，如果 = ， = ，那么 = ．
17．（4分）已知⊙O 、⊙O 的半径分别为3、2，且⊙O 上的点都在⊙O 的外部，那
1 2 1 2
么圆心距d的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosC= ，BD是中线，将△CBD沿直线BD
翻折后，点C落在点E，那么AE的长为 ．
第2页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中a= +1，b= ﹣1．
20．（10分）已知双曲线y= 经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a﹣1），求k和a的值．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA⊥AB，cos∠ABC= ，BC=5，
AD=2．求：
（1）AC的长；
（2）∠ADB的正切值．
22．（10分）某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中
甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．
（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？
（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60
棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保
同时完成各自的任务？
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长
线上，CF=DE，AE的延长线与DF相交于点G．
（1）求证：∠CDF=∠DAE；
（2）如果DE=CE，求证：AE=3EG．
第3页（共25页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣
1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于
点D，且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．
25．（14分）已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，
过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC=x，EF=y．
（1）如图，当AC=1时，求线段EB的长；
（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果EF=3BF，求线段AC的长．
第4页（共25页）2016 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列各数中，与8 ﹣2 相等的是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．3
【考点】2F：分数指数幂．
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【分析】根据分数指数幂的性质计算即可．
【解答】解：8 ﹣2 =2×2 ﹣2 =2 ，
故选：A．
【点评】本题考查了分数指数幂的性质，熟记分数指数幂的性质是解题的关键．
2．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】不等式的基本性质是解不等式的主要依据，分析中注意不等式的基本性
质是有条件的，要确定符合其中的条件，再运用相关性质得出结论．
【解答】解：A、a＜0时，a2＜b2，故A错误；
B、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故B错误；
C、左边乘以1，右边乘以﹣1，故C错误；
D、左边加1，右边减1，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是有条件的，如果不符合其
中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等
式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本
性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这
个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的
第5页（共25页）方向必须改变．
3．（4分）已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过
的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F3：一次函数的图象．
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【分析】根据函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0判断出函数的图象所经过的象限
即可．
【解答】解：∵函数y=kx+b中k＞0、b＜0，
∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解
答此题的关键．
4．（4分）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该小区抽取的10个
家庭与上月比较的一个月的节水情况统计：
节水量（m3） 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数和中位数分别是（ ）
A．0.42和0.4 B．0.4和0.4 C．0.42和0.45 D．0.4和0.45
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个
数的平均数为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的
个数．
【解答】解：平均数=（0.2×1+0.3×2+0.4×2+0.5×4+0.6）÷10=0.42；
中位数=（0.4+0.5）÷2=0.45；
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，最
中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数．
5．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么
S ：S 等于（ ）
△DBE △EBC
第6页（共25页）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，
最后再根据面积之比即可求解．
【解答】解：∵BD=2AD，
∴AD：AB=1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∴DE：BC=1：3．
∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，
∴S ：S h= = = ，
△DBE △EBC
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．
6．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，要使四边形ABCD为矩形，还需添
加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．∠A=∠D D．∠A=∠B
【考点】LC：矩形的判定．
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【分析】先根据已知推出四边形ABCD是平行四边形，再求出一个角是直角，根据
矩形的判定得出即可．
第7页（共25页）【解答】解：
条件为∠A=∠B，
理由是：∵∠B=∠C，∠A=∠B，
∴∠A=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D+∠A=180°，
∴AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，即选项D能推出四边形ABCD是矩形，选项A、B、C都不
能推出四边形ABCD是矩形，
所以选项D正确，选项A、B、C都错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能正确运用定理进
行推理是解此题的关键，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空
格内直接填写答案]
7．（4分）计算：（﹣2）﹣3= ﹣ ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：原式=
第8页（共25页）=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数
是解题关键．
8．（4分）如果分式 的值为0，那么x的值为 2 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，且x+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，且x+2≠0，
解得：x=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分
子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
9．（4分）方程 =x﹣1的根是 x=3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+1=（x﹣1）2，解此一元二次
方程得到x =3，x =0，把它们分别代入原方程得到x =0是原方程的增根，由此
1 2 2
得到原方程的根为x=3．
【解答】解：方程两边平方得，x+1=（x﹣1）2，
解方程x2﹣3x=0得x =3，x =0，
1 2
经检验x =0是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x=3．
故答案为x=3．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
10．（4分）函数 的定义域是 x ≥ ．
第9页（共25页）【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：3x﹣2≥0，
解得：x≥ ．
故答案是：x≥ ．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取
值范围是 m ＜ 1 0 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣
4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵a=1，b=﹣6，c=m﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）=40﹣4m＞0，
解得：m＜10．
故答案为m＜10．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
12．（4分）如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x
⇔
的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是 y=﹣ x 2 + 2 x （只要写出一
个符合条件的解析式）．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则a＜0；根据二次函数
第10页（共25页）图象的对称轴在y轴的右侧，﹣ ＞0，则b＞0，即可得到解析式．
【解答】解：根据题意，二次函数的解析式是y=﹣x2+2x，
故答案为y=﹣x2+2x．
【点评】此题考查了二次函数的图象性质，能够根据变化规律确定a的符号，能够
根据对称轴的位置确定b的符号．
13．（4分）甲乙两位运动员在一次射击训练中各打五发，成绩的平均环数相同，
甲的方差为1.6；乙的成绩（环）为：7，8，10，6，9，那么这两位运动员中 甲
的成绩较稳定．
【考点】W7：方差．
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【分析】利用方差的公式求得乙的方差，与甲的方差比较，方差较小的成绩稳定．
【解答】解：乙的平均成绩为（7+8+10+6+9）÷5=8，
方差为： [（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]=2，
∵甲的方差为1.6，
∴甲的方差较小，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的知识，解题的关键是了解方程的意义并牢记方差的计
算公式，难度不大．
14．（4分）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2
名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是1男1女的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出
的2名学生恰好是1男1女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
第11页（共25页）∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的
度数是 135 ° ．
【考点】K7：三角形内角和定理．
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【分析】由条件可求得∠A+∠B=90°，由角平分线的定义可求得∠EAB+∠EBA=45°，
在△ABE中由三角形内角和定理可求得∠AEB的度数．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A、∠B的平分线相交于点E，
∴∠EAB+∠EBA= （∠A+∠B）= ×90°=45°，
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，
∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣45°=135°，
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关
键．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、
OD的中点，如果 = ， = ，那么 = + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行四边形法则表示出 ，再根据三角形的中位线平行于第三边并
第12页（共25页）且等于第三边的一半求解即可．
【解答】解：由向量的平行四边形法则得， + =2 ，
所以， =2 ﹣ ，
∵ = ，
∴ =﹣ ，
∴ =2 + ，
∵点E、F分别是OA、OD的中点，
∴EF∥AD且EF= AD，
∴EF∥BC且EF= BC，
∴ = ，
∴ = + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的
一半，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键，要
注意方向．
17．（4分）已知⊙O 、⊙O 的半径分别为3、2，且⊙O 上的点都在⊙O 的外部，那
1 2 1 2
么圆心距d的取值范围是 d ＞ 5 或 0 ≤ d ＜ 1 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】据两圆的位置关系有相交、相切、相离，可得两圆的位置关系是相离，即外
离或内含；再根据位置关系来判断其数量关系．
设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则
d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：∵⊙O 上的点都在⊙O 的外部，
1 2
第13页（共25页）∴它们的位置关系是外离或内含，
∴它们的圆心距d的取值范围是d＞5或0≤d＜1，
故答案为：d＞5或0≤d＜1．
【点评】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法，
属于基础定义或定理，难度不大．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosC= ，BD是中线，将△CBD沿直线BD
翻折后，点C落在点E，那么AE的长为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边
形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出
BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题．
【解答】解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则
四边形ANBH是矩形．
∵AB=AC=4，cosC= ，
∴CH=1，AH=NB= ，BC=2，
∵AM∥BC，
∴∠M=∠DBC，
在△ADM和△CDB中，
，
∴△ADM≌△CDB，
∴AM=BC=2，DM=BD，
在RT△BMN中，∵BN= ，MN=3，
第14页（共25页）∴BM= =2 ，
∴BD=DM= ，
∵BC=CD=BE=DE=2，
∴四边形EBCD是菱形，
∴EC⊥BD，BO=OD= ，EO=OC，
∵AD=DC，
∴AE∥OD，AE=2OD= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角
形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形
学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，
属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中a= +1，b= ﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计
算即可．
【解答】解：原式= ÷
= •
第15页（共25页）= ，
当a= +1，b= ﹣1时，原式= = = ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）已知双曲线y= 经过点A（a，a+4）和点B（2a，2a﹣1），求k和a的值．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=a（a+4）=2a（2a﹣1），解方程
即可求得．
【解答】解：根据题意得k=a（a+4）=2a（2a﹣1），
解得a=2，k=12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标特征得出 k=a
（a+4）=2a（2a﹣1）是解题的关键．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA⊥AB，cos∠ABC= ，BC=5，
AD=2．求：
（1）AC的长；
（2）∠ADB的正切值．
【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由三角函数求出AB，再由勾股定理求出AC即可；
（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，得出∠HAC=∠ABC，由三角函数求出AH=
AC=2，由勾股定理求出CH，得出BH，由平行线得证出△ADE∽△HBE，得出比
例式求出AE，即可求出∠ADB的正切值．
第16页（共25页）【解答】解：（1）∵CA⊥AB，cos∠ABC= = ，BC=5，
∴AB= ，
∴AC= = =2 ；
（2）作AH⊥BC于H，交BD于E，如图所示：
∵CA⊥AB，
∴∠HAC=∠ABC，
∴cos∠HAC= =cos∠ABC= ，
∴AH= AC=2，
∴CH= =， =4，
∴BH=BC﹣CH=5﹣4=1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，
∴ =2，
∴AE= AH= ，
∴tan∠ADB= = ．
【点评】本题考查了梯形的性质、解直角三角形、勾股定理、三角函数、相似三角形
的判定与性质；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解决问题（2）的关
键．
22．（10分）某区园林部门计划在一块绿地内种植甲、乙两种树木共6600棵，其中
甲种树木数量比乙种树木数量的2倍少600棵．
第17页（共25页）（1）问：甲、乙两种树木各有几棵？
（2）如果园林部门安排26人同时种植这两种树木，每人每天能种植甲种树木60
棵或乙种树木40棵，应分别安排多少人种植甲种树木和乙种树木，才能确保
同时完成各自的任务？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】（1）根据题意可得等量关系：①甲、乙两种树木共6600棵；②A甲种树木
数量比乙种树木数量的2倍少600棵．根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）首先设应安排x人种植甲种树木，则安排（26﹣x）人种植乙种树木，由题意可
等量关系：种植甲种树木所用时间=乙种树木所用时间，根据等量关系列出方
程，再解即可．
【解答】解：（1）设甲种树木的数量为a棵，乙种树木的数量为b棵，由题意得：
，
解得： ，
答：甲种树木的数量为4200棵，乙种树木的数量为2400棵；
（2）设种植甲是x人，则种植乙的（26﹣x）人
= ，
解得：x=14，
经检验：是原方程的解，
∴安排种植甲种树木的14人，乙种树木的12人，才能确保同时完成各自的任务．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题
意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长
线上，CF=DE，AE的延长线与DF相交于点G．
（1）求证：∠CDF=∠DAE；
（2）如果DE=CE，求证：AE=3EG．
第18页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与
性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，AD∥BC，根据平行线的性质得
到∠ADE=∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到
∠CDF=∠DAE；
（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到 EH= CF，推出
DE=CF= CD= AD，求得EH= AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE与△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠CDF=∠DAE；
（2）过E作EH∥BF交DF于H，
∵DE=CE，
∴EH= CF，
∵△ADE≌△DCF，
∴DE=CF= CD= AD，
第19页（共25页）∴EH= AD，
∵EH∥AD，
∴△GHE∽△GDA，
∴ ，
∴AE=3EG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定与
和性质，三角形的中位线的性质，掌握的周长辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（2，﹣
1），它的对称轴与x轴相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）如果直线y=x+1与此抛物线的对称轴交于点C、与抛物线在对称轴右侧交于
点D，且∠BDC=∠ACB．求此抛物线的表达式．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）由点A（2，﹣1）在抛物线y=ax2+bx﹣1，代入即可；
第20页（共25页）（2）由于点C是直线y=x+1和抛物线对称轴x=1的交点，确定出点C的坐标，再根
据△BCD∽△ABC得到BC2=CD×AB，CD的长，从而求出点D坐标，即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在抛物线y=ax2+bx﹣1上，
∴4a+2b﹣1=﹣1，
∴﹣ =1，
∴对称轴为x=1，
∴B（1，0）．
（2）∵直线y=x+1与此抛物线的对称轴x=1交于点C，
∴C（1，2），
∴BC=2，
∵∠DEB=45°，∠xBA=45°，
∴∠BCD=∠CBA=135°，
∵∠BDC=∠ACB，
∴△BCD∽△ABC，
∴BC2=CD×AB，
∴CD=2 ，
设点D（m，m+1），
∵C（1，2），
∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2=（2 ）2，
∴m=3或m=﹣1（舍），
∴D（3，4），
∵点D在抛物线y=ax2+bx﹣1上，
∴9a+3b﹣1=4，
∵4a+2b﹣1=﹣1，
∴a= ，b=﹣ ，
∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣1．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了确定抛物线解析式，对称轴的方法，
相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判定三角形相似．
第21页（共25页）25．（14分）已知：⊙O的半径为5，点C在直径AB上，过点C作⊙O的弦DE⊥AB，
过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC=x，EF=y．
（1）如图，当AC=1时，求线段EB的长；
（2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果EF=3BF，求线段AC的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）连接AE，易证△EBC∽△ABE，所以BE2=BC•AB，把BC和AB的长度代
入即可求出BE的长度；
（2）利用△EBC∽△ABE与△ACE∽△ECB，可求出BE与CE的长度，然后再证明
△DEF∽△BEC，利用对应边的比相等即可得出y与x的函数解析式；
（3）若EF=3BF，需要分情况讨论，①当点F在线段EB上；②当点F在EB的延长线
上．
【解答】解：（1）连接AE，
由题意知：AB=10，
∴BC=AB﹣AC=9，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ECB=90°，
∵∠CBE=∠ABE，
∴△EBC∽△ABE，
∴ = ，
∴BE2=BC•AB，
∴BE=3 ；
第22页（共25页）（2）当点F在线段EB上时，由题意知：AC=x，
∴BC=10﹣x，
∵DE⊥AB，
∴ = ，
∴∠AEC=∠ABE，
∴△ACE∽△ECB，
∴ ，
∴CE2=AC•BC，
∴CE= ，
由垂径定理可知：DE=2CE=2 ，
由（1）可知：BE2=BC•AB，
∴BE= ，
∵DF⊥EB，
∴∠DFE=∠ECB=90°，
又∵∠DEB=∠DEB，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
∴y= （0＜x≤5）；
（3）如图 1，当点F在线段BE上时，
∵EF=3BF，
∴4EF=3BE，
由（2）可知，4y=3 ，
∴x= ，
第23页（共25页）∴AC= ，
当点F在EB的延长线上时，
连接OE，
∴OC=x﹣5，BC=10﹣x，
∴由勾股定理可知：OE2﹣OC2=BE2﹣BC2，
∴BE= ，
∵EF=3BF，
∴ ，
∴BE= y，
∴y= ，
由垂径定理可知：DE=2CE，
∵∠DFE=∠ECB=90°，
∠DEB=∠DEB，
∴△EBC∽△EDF，
∴ = ，
∴ y2=2（﹣x2+10x），
化简得：4x2﹣70x+300=0，
∴解得：x=10（不符合题意，舍去）或x= ，
∴AC=
综上所述，当EF=3BF，AC的长为 或 ．
第24页（共25页）【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理、垂径定理、函数关系式，相似三角
形的判定与性质等知识，综合程度较高，考查学生综合运用知识的能力．
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日期：2018/12/24 0:20:23；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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