文档内容
2016 年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n的值取（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（4分）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列函数中，y随着x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣3x C． D．
4．（4分）一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最
关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（ ）
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（4分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．正五边形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．圆
6．（4分）下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数；
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；
（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣22|= ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：a3﹣2a= ．
9．（4分）方程 =2的解是 ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是
．
第1页（共25页）12．（4分）将直线 向下平移3个单位，那么所得到的直线在y轴上的截
距为 ．
13．（4分）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线
四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称 ．
14．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．
设 ， ，那么 = （用 、 的式子表示）．
15．（4分）布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字
1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为
偶数的概率是 ．
16．（4分）9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，
随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随
机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人
数是 ．
17．（4分）点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，
那么OP的长等于 cm．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B= ，将△ABC翻折，使点C与点
A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么 的值为 ．
第2页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A= ，BD是AC边上
的中线．求：
（1）△ABC的面积；
（2）∠ABD的余切值．
22．（10分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜
坡AB的坡比为i=1： ，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定
对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少
是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
第3页（共25页）23．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别
交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）如果OF=2GO，求证：GO2=DG•GC．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于
点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称
点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求
点P的坐标．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB
上，且AD=2，联结CD交AH于点E．
（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；
（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上
一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径
的圆与⊙A内切，求边BC的长；
第4页（共25页）（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写
出自变量x的取值范围．
第5页（共25页）2016 年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果单项式2anb2c是六次单项式，那么n的值取（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】42：单项式．
菁优网版权所有
【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出n的值即可．
【解答】解：∵单项式2anb2c是六次单项式，
∴n+2+1=6，
解得：n=3，
故n的值取3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式的次数，正确把握定义是解题关键．
2．（4分）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】76：分母有理化．
菁优网版权所有
【分析】直接利用有理化因式的定义得出答案．
【解答】解：∵ × =a﹣1，
∴二次根式 的有理化因式是： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理化因式的定义，正确把握有理化因式的定义是解题
关键．
3．（4分）下列函数中，y随着x的增大而减小的是（ ）
A．y=3x B．y=﹣3x C． D．
【考点】F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；
第6页（共25页）C、y= ，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、y=﹣ ，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的性质，正确把握相关性质
是解题关键．
4．（4分）一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最
关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（ ）
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
菁优网版权所有
【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋
号．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的
鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．
故鞋店的经理最关心的是众数．
故选：C．
【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合
理的选择和恰当的运用．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．正五边形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．圆
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，
旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项
错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
第7页（共25页）故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后两部分重合．
6．（4分）下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）有理数乘以无理数一定是无理数；
（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；
（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；
（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O1：命题与定理．
菁优网版权所有
【分析】利用反例对（1）进行判断；根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线性
质、菱形的判定方法可对（2）进行判断；根据弦对两条弧可对（3）进行判断；根
据正九边形的性质和余弦的定义可对（4）解析判断．
【解答】解：有理数乘以无理数不一定是无理数，若0乘以π得0，所以（1）错误；
顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，所以（2）正确；
在同圆中，相等的弦所对的弧对应相等，所以（3）错误；
如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•cos20°，所以（4）错误．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣22|= 4 ．
【考点】15：绝对值；1E：有理数的乘方．
菁优网版权所有
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则化简，再结合绝对值的性质求出答案．
【解答】解：|﹣22|=|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及绝对值的性质，正确掌握运算法
第8页（共25页）则是解题关键．
8．（4分）在实数范围内分解因式：a3﹣2a= a （ a + ）（ a﹣ ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+ ）（a﹣ ）．
故答案为：a（a+ ）（a﹣ ）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差
公式进行二次分解，注意分解要彻底．
9．（4分）方程 =2的解是 ．
【考点】AG：无理方程．
菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据解无理方程的方法可以解答本题．
【解答】解： =2，
两边平方，得
2x+3=4，
解得x= ，
检验：当x= 时， ，
故原无理方程的解是x= ．
故答案为：x= ．
【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确解无理方程的解，注意最后要进
行检验．
10．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ ＜ x ≤ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
第9页（共25页）解不等式4x+3＞﹣x，得：x＞﹣ ，
所以不等式组的解集为：﹣ ＜x≤3，
故答案为：﹣ ＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是 m
＜ ﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m=0没有实数根，
∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣ ．
故答案为：m＜﹣ ．
【点评】本题主要考查对根的判别式、解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，
能根据题意得出（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．
12．（4分）将直线 向下平移3个单位，那么所得到的直线在y轴上的截
距为 ﹣ 2 ．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】直接利用一次函数平移的性质得出平移后解析式，进而得出答案．
【解答】解：∵直线 向下平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y=﹣ x﹣2，
∴所得到的直线在y轴上的截距为：﹣2．
故答案为：﹣2．
第10页（共25页）【点评】此题主要考查了一次函数的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
13．（4分）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线
四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称 矩形 ．
【考点】L1：多边形．
菁优网版权所有
【专题】23：新定义；26：开放型．
【分析】我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可．
【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等．
故答案为：矩形．
【点评】本题考查了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相
等是解题的关键．
14．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．
设 ， ，那么 = + 2 （用 、 的式子表示）．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，可求得 ，然后由
三角形法则求得 ，继而求得 ，然后由点E是边DC的中点，求得 ，继而求
得答案．
【解答】解：连接AC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，
∴ =3 =3 ，
∴ = + = +3 ，
∴ = ﹣ =（ +3 ）﹣ = +2 ，
∵点E是边DC的中点，
第11页（共25页）∴ = = + ，
∴ = + = +（ + ）= +2 ．
故答案为： +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知以及梯形的性质．注意掌握三角形法则的应用
是解此题的关键．
15．（4分）布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字
1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为
偶数的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
故一共有12种可能，这两个小球上的数字之和为偶数的有4种，
故这两个小球上的数字之和为偶数的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
16．（4分）9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，
随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随
机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人
数是 1 5 ．
第12页（共25页）【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
菁优网版权所有
【分析】根据骑自行车的学生人数和所占的百分比求出调查的总学生数，再根据
随机抽查的教师人数为学生人数的一半，得出教师人数，再用教师人数减去步
行、乘公交车和骑自行车的教师数，即可得出乘私家车出行的教师人数．
【解答】解：调查的学生人数是：15÷25%=60（人），
则教师人数为30人，教师乘私家车出行的人数为30﹣（3+9+3）=15（人）．
故答案为：15．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数
据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17．（4分）点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，
那么OP的长等于 3 cm．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
菁优网版权所有
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且
垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得 CP的长，再进一步根据勾
股定理，可以求得OP的长．
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=8cm．
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=4cm．
根据勾股定理，得OP= = =3（cm）．
故答案为：3．
第13页（共25页）【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦
和最短的弦．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B= ，将△ABC翻折，使点C与点
A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么 的值为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】作AF⊥BC于F，连接AD，设AF=a，DC=x，根据相似三角形的性质用a表示
CD和BD，计算即可．
【解答】解：作AF⊥BC于F，连接AD，
设AF=a，DC=x，
∵tan∠B= ，
∴BF=3a，
由勾股定理得，AB= a，
∵DE⊥AC，AF⊥BC，
∴△CED∽△CFA，
∴ = ，即 = ，
解得x= a，
∴DF=CF﹣CD= a，
第14页（共25页）∴BD= a，
∴ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，
折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运
算；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】分别依据分母有理化、负整指数幂、特殊锐角三角函数值和零指数幂、分
数指数幂将各部分计算化简可得．
【解答】解：原式= ﹣ +（ ）0﹣
= ﹣ +1﹣
= ﹣ ．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，运用了分母有理化、负指数幂、特
殊锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂等知识点，熟练掌握这些计算法则
是关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
菁优网版权所有
【分析】首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．
第15页（共25页）【解答】解：∵ ，
∴（x﹣2）（x﹣4）+2x=x+2，
∴x2﹣6x+8+2x=x+2，
x2﹣5x+6=0，
（x﹣2）（x﹣3）=0，
解得x =2，x =3，
1 2
检验：当x =2时，x（x﹣2）（x+2）=0，是增根；
1
当x =3时，x（x﹣2）（x+2）=15≠0，
2
∴x=3是原方程的解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，其中（1）解分式方程的基本思想是“转化思
想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A= ，BD是AC边上
的中线．求：
（1）△ABC的面积；
（2）∠ABD的余切值．
【考点】T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得
BE、CE、AE的长，即可计算S ；
△ABC
（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE= AE、DH= CE，
即可得cot∠ABD．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，
第16页（共25页）在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，
∴BE=BC•cos∠ABC=8× =4 ，
CE=BC•sin∠ABC=8× =4，
在RT△ACE中，∵sin∠A= ，
∴AC= = =4 ，
∴AE= = =8，
则AB=AE+BE=8+4 ，
故S = •AB•CE= ×（8+4 ）×4=16+8 ；
△ABC
（2）过点D作DH⊥AB与点H，
∵CE⊥AB，
∴DH∥CE，
又∵D是AC中点，
∴AH=HE= AE=4，DH= CE=2，
∴在RT△BDH中，cot∠ABD= = =2 +2．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线
构造直角三角形是解题的关键．
22．（10分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜
坡AB的坡比为i=1： ，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定
对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡
第17页（共25页）（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少
是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA=12：5，根据勾股定理计算列式即可；
（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i=1： ，
∴BE：EA=12：5，
设BE=12x，则EA=5x，
由勾股定理得，BE2+EA2=AB2，即（12x）2+（5x）2=262，
解得，x=2，
则BE=12x=24，AE=5x=10，
答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；
（2）作FH⊥AD于H，
则tan∠FAH= ，
∴AH= ≈18，
∴BF=18﹣10=8，
答：BF至少是8米．
第18页（共25页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的
铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
23．（12分）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别
交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）如果OF=2GO，求证：GO2=DG•GC．
【考点】L9：菱形的判定；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推
出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到 AE=CF，OE=OF，推出四边形
AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，等量代换求得结论；
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
在△EOA和△FOC中，
第19页（共25页），
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF，OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO，
∴△EGD∽△CGO，
∴ ，
∵OF=2GO，
∴EG=GO，
∴GO2=DG•GC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的
判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于
点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．
（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；
（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称
点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求
点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
第20页（共25页）【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出a、c，将解析式配成顶点式即可
得到对称轴方程和顶点坐标；
（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点
关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，
结论显然；
（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作PH⊥DM于H，表示出PH的长
度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），
∴ ，
∴ ，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；
（2）如图1，
∵点C关于直线l的对称点为N，
∴N（2，3），
∵直线y=kx+b经过C、M两点，
∴ ，
∴ ，
∴y=x+3，
∵y=x+3与x轴交于点D，
第21页（共25页）∴D（﹣3，0），
∴AD=2=CN
又∵AD∥CN，
∴CDAN是平行四边形；
（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，
则MP=4﹣a，
又∠HMP=45°，
∴HP=AP= ，
Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，
即： ，解得： ，
∴P （1，﹣4+2 ），P （1，﹣4﹣2 ）．
1 2
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数
解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角
三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较
强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半
径相等来解决．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB
上，且AD=2，联结CD交AH于点E．
（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；
（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上
一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径
第22页（共25页）的圆与⊙A内切，求边BC的长；
（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写
出自变量x的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得 = = = =
= ，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决．
（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH2=AB2﹣
BH2=AP2﹣PH2列出方程即可解决问题．
（3）如图3中过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，根据AD2﹣AG2=DF2﹣FG2程即求出t
与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，
∵AH⊥BC，AB=AC
∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，
∴DG∥BC，
∴ = = = = = ，设EG=a，则EH=3a，
∴ = = ，
∴AG=2a，AE=3a=2，
∴AH=6a=4．
（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内
第23页（共25页）切，
∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD，
∴AD+BP=PC﹣AD，
∴PC﹣BP=2AD=4，
∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4，
∴PH=2，
∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，设BP=x，
∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22，
∴x=2 ﹣2，
∴BC=2BH=2（PB+PH）=4 ．
（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，
∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2，
∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2，
∴t= ，
∴y=S =18•S =18× •AG•DG=9• • ，
△ABC △ADG
∴y= （0＜x＜2 ）．
第24页（共25页）【点评】本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比
例定理等知识，解题的关键是用转化的思想，把问题掌握方程解决，属于中考
参考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:19:08；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
