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2016 年上海市闸北区中考数学二模试卷
一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．﹣3 B． C． D．﹣4a3b
2．（4分） 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在
3．（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0
4．（4分）方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是
（ ）
A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
6．（4分）若⊙O 与⊙O 相交于两点，且圆心距O O =5cm，则下列哪一选项中的长
1 2 1 2
度可能为此两圆的半径？（ ）
A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a5÷a2= ．
8．（4分）分解因式：3x2﹣6x= ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）函数y= 的定义域是 ．
第1页（共24页）11．（4分）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x= ．
12．（4分）袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，
从中任取一个球恰好是黑球的概率是 ，则m的值是 ．
13．（4分）某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数
如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是 ．
14．（4分）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且
这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的
增长率为x，那么可列出的方程是 ．
15．（4分）如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交
DE于点G，则∠CGE= 度．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若 ， ，那
么 = （用向量 、 表示）．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的
点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P
关于⊙C的反演点．如图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M（
，0）关于以原点O为圆心，1为半径的⊙O的反演点M′的坐标 ．
第2页（共24页）18．（4分）如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC
上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα= ，AB=5，则CE=
．
三．解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos30° +|1﹣ |﹣（ ）﹣1．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作
DE⊥AB于点E，且sin∠DAB= ，DB=3 ．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．
22．（10分）甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，
如图所示，y 、y 分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关
甲 乙
系，且直线y 与直线y 相交于点M．
甲 乙
（1）求y 与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
甲
第3页（共24页）（2）求A、B两地之间距离．
23．（12分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的
中点．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．
求证：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．
24．（12分）如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴
上，OM=6，ON=3，反比例函数y= 的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C
作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．
（1）求证：AB∥CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是
等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．
第4页（共24页）25．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC
相交于点E，设⊙B的半径为x．
（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；
（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．
第5页（共24页）2016 年上海市闸北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．﹣3 B． C． D．﹣4a3b
【考点】61：分式的定义．
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【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果
不含有字母则不是分式．
【解答】解：A、3是整式，故A错误；
B、 a﹣b是整式，故B错误；
C、 是分式不是整式，故C正确；
D、﹣4a3b是整式，故D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式，注意π不是字母，是常数．
2．（4分） 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．土2 D．不存在
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：因为4的算术平方根是2，所以 =2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，属于基础题型．
3．（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0
【考点】AA：根的判别式．
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第6页（共24页）【分析】分别求出每一个方程中判别式△的值，如果△＜0，那么一元二次方程没
有实数根．
【解答】解：A、∵△=4+4=8＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；
B、∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的两个实数根；
C、∵△=1﹣8=﹣7＜0，∴方程没有实数根；
D、∵△=1+8=9＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
4．（4分）方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】98：解二元一次方程组．
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【分析】本题解法有多种．可用加减消元法或代入消元法解方程组 ，解得
x、y的值；也可以将A、B、C、D四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程
的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．
【解答】解：将方程组中4x﹣y=13乘以2，得
8x﹣2y=26①，
将方程①与方程3x+2y=7相加，得
x=3．
再将x=3代入4x﹣y=13中，得
y=﹣1．
故选：B．
【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法．
5．（4分）如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是
（ ）
第7页（共24页）A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
【考点】KB：全等三角形的判定．
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【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即
可．
【解答】解：A、BD=DC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能
推出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
B、AB=AC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABD≌△ACD，故本选项正确；
C、∠B=∠C，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出
△ABD≌△ACD，故本选项错误；
D、∠BDA=∠CDA，AD=AD，∠BAD=∠CAD，符合全等三角形的判定定理ASA，能推
出△ABD≌△ACD，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定
理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．（4分）若⊙O 与⊙O 相交于两点，且圆心距O O =5cm，则下列哪一选项中的长
1 2 1 2
度可能为此两圆的半径？（ ）
A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由各选项中⊙O 与⊙O 的半径以及圆心距O O =5cm，根据圆和圆的位置
1 2 1 2
与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，得出⊙O 与⊙O 的位置关系即可求
1 2
解．
【解答】解：A、∵5＞2+1，∴d＞R+r，∴两圆外离，故本选项错误；
B、∵5=2+3，∴d=R+r，∴两圆外切，故本选项错误；
C、∵5=15﹣10，∴d=R﹣r，∴两圆内切，故本选项错误；
第8页（共24页）D、∵5﹣2＜5＜5+2，∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆相交，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，如果
设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d，则
①两圆外离 d＞R+r；
②两圆外切 d=R+r；
⇔
③两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
⇔
④两圆内切 d=R﹣r（R＞r）；
⇔
⑤两圆内含 d＜R﹣r（R＞r）．
⇔
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
⇔
7．（4分）计算：a5÷a2= a 3 ．
【考点】48：同底数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．
【解答】解：a5÷a2=a5﹣2=a3．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关
键．
8．（4分）分解因式：3x2﹣6x= 3 x （ x﹣2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．
【解答】解：3x2﹣6x=3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
【点评】此题考查的是因式分解﹣提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式
3x．
9．（4分）不等式组 的解集是 1 ＜ x ＜ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，
解不等式2x＜6，得：x＜3，
第9页（共24页）∴不等式组的解集为：1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
10．（4分）函数y= 的定义域是 x ≤ 1 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次
根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0，
解得x≤1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．（4分）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x= 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】将二次函数配方成顶点式即可确定对称轴方程．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+b
=x2﹣2x+1+b﹣1
=（x+1）2+b﹣1
故对称轴是直线x=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够对二次函数进行配方，也
可以利用对称轴公式，难度不大．
12．（4分）袋子里有4个黑球，m个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，
从中任取一个球恰好是黑球的概率是 ，则m的值是 4 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据概率公式列出从中任取一个球恰好是黑球的概率公式，求出m的值
第10页（共24页）即可．
【解答】解：袋子里有4个黑球，m个白球，若从中任取一个球恰好是黑球的概率
是 ，根据题意可得：
= ，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13．（4分）某中学九（1）班5个同学在体育测试“1分钟跳绳”项目中，跳绳个数
如下：126，134，118，152，148．这组数据中，中位数是 13 4 ．
【考点】W4：中位数．
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【分析】把这组数按从大到小（或从小到大）的顺序排列，因为数的个数是奇数个，
所以中间哪个数就是中位数．
【解答】解：按照从小到大的顺序排列为：118，126，134，148，152，
中位数为：134．
故答案为：134；
【点评】本题考查了中位数的定义，解题时牢记中位数定义是关键．
14．（4分）某企业2013年的年利润为100万元，2014年和2015年连续增长，且
这两年的增长率相同，据统计2015年的年利润为125万元．若设这个相同的
增长率为x，那么可列出的方程是 10 0 （ 1 + x ） 2 =125 ．
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年年利润是100
（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的年利润，即可列出方
程．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为100（1+x）万元，2015年为100
（1+x）2万元．
第11页（共24页）则100（1+x）2=125；
故答案为：100（1+x）2=125．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长
率）年数=增长后的量．
15．（4分）如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交
DE于点G，则∠CGE= 13 5 度．
【考点】JA：平行线的性质；KW：等腰直角三角形．
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【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质求出
∠DGB的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，
∴∠ABC=45°．
∵AB∥DE，
∴∠DGB=∠ABC=45°，
∴∠CGE=180°﹣45°=135°．
故答案为：135．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
16．（4分）如图，在△ABC中，点D在AC边上且AD：DC=1：2，若 ， ，那
么 = 2 + 2 （用向量 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 ， ，直接利用三角形法则求解，即可求得 ，又由点D在AC
边上且AD：DC=1：2，即可求得答案．
第12页（共24页）【解答】解：∵ ， ，
∴ = + = + ，
∵点D在AC边上且AD：DC=1：2，
∴ =2 =2 +2 ．
故答案为：2 +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关
键．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的
点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P
关于⊙C的反演点．如图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．写出点M（
，0）关于以原点O为圆心，1为半径的⊙O的反演点M′的坐标 （ 2 ， 0 ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系；S9：相似三角形的判定与性
质．
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【分析】根据点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，点P′为点P关于⊙C的反演点
列式计算即可．
【解答】解：设点M′的坐标为（a，0），
由题意得， a=12，
解得，a=2，
则设点M′的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查的是坐标与图形的性质、点与圆的位置关系，掌握点P′为点P关
于⊙C的反演点的定义是解题的关键．
第13页（共24页）18．（4分）如图，底角为α的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC
上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tanα= ，AB=5，则CE=
．
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，先利用三角形函数的定义
和勾股定理可计算出 BH=4，则BC=2BH=8，再根据旋转的性质得∠CBE=α，
BE=BC=8，接着在Rt△BEF中利用三角函数的定义可计算出 EF和BF，然后在
Rt△CEF中利用勾股定理计算CE．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，则BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠ABH=tanα= = ，
设AH=3t，则BH=4t，
∴AB= =5t，
∴5t=5，解得t=1，
∴BC=2BH=8，
∵等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，
∴∠CBE=α，BE=BC=8，
在Rt△BEF中，tan∠EAF=tanα= = ，
设AH=3x，则BH=4x，BE=5x，
∴5x=8，解得x= ，
∴EF= ，BF= ，
第14页（共24页）∴CF=8﹣ = ，
在Rt△CEF中，CE= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键作
EF⊥BC构建直角三角形．
三．解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos30° +|1﹣ |﹣（ ）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项分母有理化，第三项利
用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结
果．
【解答】解：原式= + + ﹣1﹣3=2 ﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣5+x2﹣1=3x﹣3，
整理得：（x﹣3）（x+1）=0，
第15页（共24页）解得：x =3，x =﹣1，
1 2
经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作
DE⊥AB于点E，且sin∠DAB= ，DB=3 ．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】（1）在Rt△BDE中，求得BE=DE=3，在Rt△ADE中，得到AE=4，根据线段的
和差即可得到结论；
（2）作CH⊥AB于H，根据已知条件得到BC=6 ，由等腰直角三角形的性质得到
BH=CH=6，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△BDE中，DE⊥AB，BD=3 ∠ABC=45°，
∴BE=DE=3，
在Rt△ADE中，sin∠DAB= ，DE=3，
∴AE=4，AB=AE+BE=4+3=7；
（2）作CH⊥AB于H，
∵AD是BC边上是中线，BD=3 ，
∴BC=6 ，
∵∠ABC=45°，
∴BH=CH=6，
∴AH=7﹣6=1，
第16页（共24页）在Rt△CHA中，cot∠CAB= = ．
【点评】本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的
关键．
22．（10分）甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，
如图所示，y 、y 分别表示甲、乙离开A地y（km）与已用时间x（h）之间的关
甲 乙
系，且直线y 与直线y 相交于点M．
甲 乙
（1）求y 与x的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
甲
（2）求A、B两地之间距离．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设y =kx（k≠0），由点M的坐标利用待定系数法即可求出y 关于x
甲 甲
的函数关系式；
（2）设y =mx+n，由函数图象得出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法即可
乙
求出y 关于x的函数关系式，再令x=0求出y值即可得出结论．
乙
【解答】解：（1）设y =kx（k≠0），
甲
∵点M（0.5，7.5）在直线y 的图象上，
甲
∴0.5k=7.5，解得：k=15．
∴y 关于x的函数关系式为y =15x．
甲 甲
（2）设y =mx+n，
乙
将点（0.5，7.5），点（2，0）代入函数关系式得：
，解得： ．
∴y 关于x的函数关系式为y =﹣5x+10．
乙 乙
令y =﹣5x+10中x=0，则y=10．
乙
∴A、B两地之间距离为10千米．
第17页（共24页）【点评】本题考查了一次函数的图象以及待定系数法求函数解析式，解题的关键
是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型
题目时，根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数
解析式是关键．
23．（12分）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的
中点．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）在CD边上取一点F，联结AF、AC、EF，设AC与EF交于点G，且∠EAF=∠CAD．
求证：△AEC∽△ADF；
（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG的比值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题；55D：图形的相似．
【分析】（1）由E为BC中点，得到BC=2CE，再由BC=2AD，得到CE=AD，再由AD与
CE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由四边形AECD为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角
相等的三角形相似即可得证；
（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，
在Rt△ABE中，根据勾股定理表示出AE，由三角形AEC与三角形ADF相似得比
例，表示出DF．由CD﹣DF表示出CF，再由AE与DC平行得比例，即可求出所求
式子之比．
【解答】解：（1）∵BC=2AD，点E为BC中点，
∴BC=2CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
第18页（共24页）∴四边形AECD为平行四边形；
（2）∵四边形AECD为平行四边形，
∴∠D=∠AEC，
∵∠EAF=∠CAD，
∴∠EAC=∠DAF，
∴△AEC∽△ADF，
（3）设AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE= = a，
∵△AEC∽△ADF，
∴ = ，即 = ，
∴DF= a，
∴CF=CD﹣DF= a﹣ a= a，
∵AE∥DC，
∴ = = = ．
【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质，
熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
24．（12分）如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴
上，OM=6，ON=3，反比例函数y= 的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C
作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．
（1）求证：AB∥CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是
等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．
第19页（共24页）【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）首先求得C和D的坐标，证明 = 即可证得；
（2）分成PN∥DB和CD∥AB两种情况进行讨论，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，
∴P的坐标是（6，3）．
∵点C和D都在反比例函数y= 的图象上，且点C在PN上，点D在PM上，
∴点C（2，3），点D（6，1）．
又∵DB⊥y轴，CA⊥x轴，
∴A的坐标是（2，0），B的坐标是（0，1）．
∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．
∴ = ， = = ，
∴ = ，
∴AB∥CD；
（2）解：①∵PN∥DB，
∴当DE =BC时，四边形BCE D是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E PD，
1 1 1
∴PE =CN=2，
1
∴点E1的坐标是（4，3）；
②∵CD∥AB，当E 在直线AB上，DE =BC=2 ，四边形BCDE 为等腰梯形，
2 2 2
直线AB的解析式是y=﹣ x+1，
第20页（共24页）∴设点E （x，﹣ x+1），DE =BC=2 ，
2 2
∴（x﹣6）2+（ x）2=8，
解得：x = ，x =4（舍去）．
1 2
∴E 的坐标是（ ，﹣ ）．
2
【点评】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，正确对梯形进行讨
论是关键．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC
相交于点E，设⊙B的半径为x．
（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；
（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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第21页（共24页）【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据勾股定理，求出AG，再由割线定理，求出BH即可；
（2）由相似得出比例式，表示出DF，CF，由勾股定理建立函数关系式；
（3）根据圆的性质求出BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出EG即可，
【解答】解：（1）如图1，
作AG⊥BC，BH⊥AC，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=2，
∴AG= =4 ，
∵AG×BC=BH×AC，
∴BH= = ，
∴当⊙B与直线AC相切时，x= ；
（2）如图2，
作DF⊥BC，
第22页（共24页）∴DF∥AG，
∴ ，
∴ ，
∴DF= x，
∴CF=4﹣ x，
在Rt△CFD中，CD2=DE2+CF2，
∴y= = （0＜x≤4），
（3）①如图3，
作PQ⊥BC，连接PE，AE，
∵EF是⊙B，⊙P的公共弦，
∵⊙P经过点E，
∴PA=PE=PC，
∴AE⊥BC，
∵AC=AB，
∴BE=CE=2，
∵PQ∥AE，且P是AC中点，
∴PQ= AE=2 ，CP=3，
第23页（共24页）∴CQ=1，BQ=3，
∴BP= ，
∵EF是⊙P，⊙B的公共弦，
∴∠BGE=90°=∠BQP（两圆的连心线垂直于公共弦）
∵∠EBG=∠PBQ
∴△BQP∽△BGE，
∴ ，
∴ ，
∴EG= ，
∴EF= ；
②当点E，与点C重合时，EF= ．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，切线的判定，相似三角形的判
定和性质，解本题的关键是用圆中角的关系，判断三角形相似．
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日期：2018/12/24 0:20:45；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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