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2017 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（4分）下列方程中，无实数解的是（ ）
A．2+x=0 B．2﹣x=0 C．2x=0 D． =0
3．（4分）下列各组数据中，平均数和中位数相等的是（ ）
A．1，2，3，4，5 B．1，3，4，5，6 C．1，2，4，5，6 D．1，2，3，5，6
4．（4分）二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
5．（4分）以一个面积为 1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为
（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．（4分）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为1，⊙B的半径为6，则⊙A
与⊙B的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）计算：（x2）3= ．
8．（4分）因式分解：x2﹣4y2= ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）方程 =2的解是 ．
11．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=
．
12．（4分）某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零
件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．
13．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），则此函数图象的对称轴与
第1页（共22页）x轴的交点坐标是 ．
14．（4分）从1到10这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是3的倍数的概
率是 ．
15．（4分）正八边形一个内角的度数为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，﹣3），若 = ，则点C的
坐标为 ．
17．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成
四个全等的直角梯形，则AB：BC= ．
18．（4分）如图，矩形ABCD，将它分别沿AE和AF折叠，恰好使点B，C落到对角
线AC上点M，N处，已知MN=2，NC=1，则矩形ABCD的面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（10分）计算：（ ﹣1）0+| ﹣2|+（ ）﹣1﹣2sin30°．
20．（10分）解分式方程： ．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交
AC于点E．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求CE：EA．
第2页（共22页）22．（10分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地
机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把
所储存的电量用完），如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图
象（线段AB），其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为
多少分钟？
23．（12分）如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，
AB，AD于点E，F，G，H．
（1）求证：CE=CF；
（2）当E为弧 中点时，求证：BE2=CE•CB．
24．（12分）如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线
分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
第3页（共22页）（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？
若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相
等．
25．（14分）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．
（1）如图1，当AC=1，BC= ，且点D与A重合时，求线段BE的长；
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；
（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定
义域．
第4页（共22页）2017 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）单项式4xy2z3的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】42：单项式．
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【分析】单项式的次数是指各字母的指数之和
【解答】解：该单项式的次数为：1+2+3=6，
故选：D．
【点评】本题考查单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题
属于基础题型．
2．（4分）下列方程中，无实数解的是（ ）
A．2+x=0 B．2﹣x=0 C．2x=0 D． =0
【考点】B2：分式方程的解．
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【分析】根据解方程，可得答案．
【解答】解：A、x+2=0，解得x=﹣2，故A正确；
B、2﹣x=0，解得x=2，故B正确；
C、2x=0，解得x=2，故C正确；
D、 =0方程无解，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，解方程是解题关键．
3．（4分）下列各组数据中，平均数和中位数相等的是（ ）
A．1，2，3，4，5 B．1，3，4，5，6 C．1，2，4，5，6 D．1，2，3，5，6
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数．
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【分析】根据平均数和中位数的概念列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：A、平均数=（1+2+3+4+5）÷5=3；
把数据按从小到大的顺序排列：1，2，3，4，5，中位数是3，故选项正确；
第5页（共22页）B、平均数=（1+3+4+5+6）÷5=3.8；
把数据按从小到大的顺序排列：1，3，4，5，6，中位数是4，故选项错误；
C、平均数=（1+2+4+5+6）÷5=3.6；
把数据按从小到大的顺序排列：1，2，4，5，6，中位数是4，故选项错误；
D、平均数=（1+2+3+5+6）÷5=3.4；
把数据按从小到大的顺序排列：1，2，3，5，6，中位数是3，故选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了中位数与平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再
除以数据的个数．找中位数的时候一定要先按大小排好顺序，然后再根据奇数
和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果
是偶数个，则找中间两位数的平均数．
4．（4分）二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵y=﹣（x﹣2）2﹣3，
∴二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件．
5．（4分）以一个面积为 1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为
（ ）
A．4 B．2 C． D．
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【分析】根据三角形的中位线定理得出两个三角形相似，即可得出结果．
【解答】解：根据三角形中位线定理得：两个三角形相似，相似比为 ，面积比为 ，
∴一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为 ；
故选：C．
第6页（共22页）【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握
三角形中位线定理是解决问题的关键．
6．（4分）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为1，⊙B的半径为6，则⊙A
与⊙B的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【考点】D5：坐标与图形性质；MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由点A（4，0），B（0，3），可求得AB的长，又由⊙A与⊙B的半径分别为：1
与6，即可根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得
出两圆位置关系．
【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB= =5，
∵⊙A与⊙B的半径分别为：1与6，
∴半径差为：6﹣1=5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）计算：（x2）3= x 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算．
【解答】解：原式=x2×3=x6．
故答案为x6．
【点评】此题考查了幂的乘方的性质．
8．（4分）因式分解：x2﹣4y2= （ x + 2 y ）（ x﹣2 y ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公
第7页（共22页）式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
9．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ ≤ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不
等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式2x+1≥0，得：x≥﹣ ，
∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜2，
故答案为：﹣ ≤x＜2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
10．（4分）方程 =2的解是 x = 或 x=﹣ ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】方程两边平方，整理后开方即可求出解．
【解答】解：两边平方得：x2﹣2=4，
解得：x= 或x=﹣ ，
经检验x= 或x=﹣ 是原方程的解．
故答案为：x= 或x=﹣
【点评】此题考查了无理方程，无理方程注意要检验．
11．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=
．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】直接利用根的判别式得出b2﹣4ac=9﹣8m=0，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
第8页（共22页）∴b2﹣4ac=9﹣8m=0，
解得：m= ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确掌握判别式的符号是解题关键．
12．（4分）某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零
件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．
【考点】32：列代数式．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】根据工作总量=工作时间×工作效率，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：完成这批零件的加工需要的时间是 小时，
故答案为：
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
13．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），则此函数图象的对称轴与
x轴的交点坐标是 （ 2 ， 0 ） ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】直接利用二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），得出二次函数的对称轴，
进而得出此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），
∴抛物线的对称轴为：x= =2，
故此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标是：（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出对称轴是解题关键．
14．（4分）从1到10这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是3的倍数的概
率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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第9页（共22页）【分析】让1到10中3的倍数的个数除以数的总个数即为所求的概率．
【解答】解：1到10中，3的倍数有3，6，9三个，
所以正整数恰好是3的倍数的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情
况数之比．
15．（4分）正八边形一个内角的度数为 135 ° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内
角和，然后再计算一个内角的度数．
【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为 ×1080°=135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）
•180 （n≥3）且n为整数）．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，﹣3），若 = ，则点C的
坐标为 （ 2 ，﹣ 3 ） ．
【考点】D1：点的坐标；LM：*平面向量．
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【分析】根据平面向量的平行四边形的法则解答即可得．
【解答】解：如图，
第10页（共22页）∵ = ，
∴过点A作y轴的平行线，过点B作x中的平行线，交于点C，则点C（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题主要考查平面向量，熟练掌握平面向量的平行四边形法则是解题的
关键．
17．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成
四个全等的直角梯形，则AB：BC= ： 1 ．
【考点】LH：梯形；LI：直角梯形．
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【分析】如图连接EC，设AB=a，BC=b则CD=2b．只要证明∠D=60°，根据sin60°=
，即可解决问题．
【解答】解：如图连接EC，设AB=a，BC=b则CD=2b．
由题意四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=a，∠A=∠AEC=∠CED=90°，
∵∠BCF=∠DCF=∠D，
又∵∠BCF+∠DCF+∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴sinD= = ，
∴ = ，
第11页（共22页）∴ = = ，
∴AB：BC= ：1
故答案为 ：1．
【点评】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，
利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题
型．
18．（4分）如图，矩形ABCD，将它分别沿AE和AF折叠，恰好使点B，C落到对角
线AC上点M，N处，已知MN=2，NC=1，则矩形ABCD的面积是 9 + 2 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】由折叠的性质得，AB=AM，AN=AD，设AB=x，则AD=x+2，AC=x+3，根据勾股
定理列方程即可得到结论．
【解答】解：由折叠的性质得，AB=AM，AN=AD，
∴AD﹣AB=AN﹣AM=MN=2，
设AB=x，则AD=x+2，AC=x+3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD=AB，
∴AD2+CD2=AC2，即（x+2）2+x2=（x+3）2，
∴x=1+ （负值舍去），
∴AB=1+ ，AD=3+ ，
∴S =（1+ ）（3+ ）=9+4 ；
矩形ABCD
故答案为：9+4 ．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等，综合运用各定理
是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
第12页（共22页）19．（10分）计算：（ ﹣1）0+| ﹣2|+（ ）﹣1﹣2sin30°．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的
三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式=1+2﹣ + ﹣2×
=3﹣ + +1﹣1
=3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后
进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合
题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解分式方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16=x﹣2，
整理得：x2+3x﹣10=0，即（x﹣2）（x+5）=0，
解得：x=2或x=﹣5，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交
AC于点E．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求CE：EA．
第13页（共22页）【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
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【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线得出CD=AD=BD，求出∠DCA=∠A=15°，
求出∠BDC=∠A+∠DCA=30°，即可得出答案；
（2）根据线段垂直平分线性质求出BE=AE，求出CE和BE的比，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A，
∵∠A=15°，
∴∠DCA=15°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=30°，
∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴∠CDE=90°﹣30°=60°；
（2）
连接BE，
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=15•，
∴∠BEC=15°+15°=30°，
∴cos30°= ，
∵AE=BE，
第14页（共22页）∴ = ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，线段垂直平分线性质，解直角三
角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
22．（10分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地
机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把
所储存的电量用完），如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图
象（线段AB），其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为
多少分钟？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设AB的解析式为y=kx+b，把A（20，500），B（100，100）代入解方程组
即可．
（2）设他应该设定的扫地时间为x分钟．由题意 =﹣5x+600，解方程即可．
【解答】解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，把A（20，500），B（100，100）代入
得到 ，
解得 ，
∴y=﹣5x+600．
（2）设他应该设定的扫地时间为x分钟．
第15页（共22页）由题意 =﹣5x+600，
整理得x2﹣120x+3600=0，
∴x=60，
经检验x=60是分式方程的解．
∴他应该设定的扫地时间为60分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握
待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决实际问题，注意解分式方程必
须检验．
23．（12分）如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，
AB，AD于点E，F，G，H．
（1）求证：CE=CF；
（2）当E为弧 中点时，求证：BE2=CE•CB．
【考点】L8：菱形的性质；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）连接AE，AF，由四边形ABCD是菱形，得到∠ACB=∠ACF，根据等腰三
角形的性质得到∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，推出∠EAC=∠FAC，即可得到结
论；
（2）由E为弧 中点，得到∠CAE=∠BAE，根据等腰三角形的性质和三角形的外角
的性质得到∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，得到BE=AE=AC，根据相似三角
形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB=∠ACF，
∵AE=AC=AF，
∴∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，
第16页（共22页）∴∠EAC=180°﹣∠AEC﹣∠ACE，
∠CAF=180°﹣∠ACF﹣∠AFC，
∴∠EAC=∠FAC，
∴ ，
∴CE=CF；
（2）解：∵E为弧 中点，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AB=BC，AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE=AC，
∴△ABC∽△CAE，
∴ ，
∴AC2=BC•CE，
即BE2=CE•CB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系
正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线
分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？
若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
第17页（共22页）（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相
等．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求
得B点坐标；
（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求
得△ABC的面积；
（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，
从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
【解答】解：
（1）∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1），
∵AC∥y轴，AB∥x轴，
∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y= （x＞0）图象上，
∴A（1，4），
∴B点纵坐标为4，
∵点B在y= 的图象上，
∴B点坐标为（ ，4）；
第18页（共22页）（2）设A（a， ），则C（a， ），B（ ， ），
∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，
∴S = AB•AC= × × = ，
△ABC
即△ABC的面积不发生变化，其面积为 ；
（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴ = ，即 = ，
∴EF= a，
由（2）可知BG= a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS），
第19页（共22页）∴BD=EF．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三
角形的面积、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．要
（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出AB、AC的长是解题的
关键，在（3）中证得BG=EF，构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较
多，综合性较强，难度适中．
25．（14分）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．
（1）如图1，当AC=1，BC= ，且点D与A重合时，求线段BE的长；
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；
（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定
义域．
【考点】KY：三角形综合题．
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【分析】（1）如图1，根据勾股定理得到AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
得到∠F=∠ACE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作 AF⊥AB，使 AF=BE，连接 DF，根据 SAS 证得△CAF≌△CBE 和
△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，由∠HFG=∠B，
∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，得到∠DHF=90°，根据勾股定理即可得到结
论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，BC= ，AC=1，
∴AB=2，
过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∴∠F=∠ACE，
∵∠BCA=90°，∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠DCE，
第20页（共22页）∴∠BCE=∠F，
∴BF=BC= ，
∵△BEF∽△AEC，
∴ = ，
∴BE=3﹣ ；
（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB﹣∠DCE=90°﹣45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD2+AF2=DF2，
∴AD2+BE2=DE2；
（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，
∵∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，
∴∠DHF=90°，
∵FG=1，∠B=∠F，
第21页（共22页）∴HF= ，HG= ，
∵EH2+HD2=ED2，
∴（y﹣ ）2+（x+ ）2=（5﹣x﹣y）2，
∴y= （0≤x≤ ）．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角
形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助
线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．
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日期：2018/12/24 0:10:07；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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