文档内容
2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答
题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．（4分）函数y=2x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（4分）下列式子一定成立的是（ ）
A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4
C．a = D．（﹣a﹣2）3=﹣
3．（4分）下列二次根式中， 的同类二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（
）
A．3.5 B．4 C．2 D．6.5
5．（4分）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这
两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）
A．11 B．6 C．3 D．2
6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下
列四个命题中真命题是（ ）
A．若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形
B．若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形
C．若 = ，则四边形ABCD一定是矩形
D．若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案】
7．（4分）计算：sin30°﹣（﹣3）0= ．
8．（4分）方程﹣x= 的解是 ．
第1页（共28页）9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）已知反比例函数y= 的图象经过点（﹣2017，2018），当x＞0时，函数
值y随自变量x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ ﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是
．
12．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽
取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．
13．（4分）抛物线y=mx2+2mx+5的对称轴是直线 ．
14．（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直
方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是 ．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，
CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为 ．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2 ，若 = ，
= ，用 、 表示 = ．
第2页（共28页）17．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个
三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则
它的周长等于 ．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，
联结 CP，将△BCP 沿着直线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且
EP∥AB，则AB的长等于 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ，其中x= ．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，BC=24，
sin∠ABC= ．
（1）求AB的长；
（2）若AD=6.5，求∠DCB的余切值．
第3页（共28页）22．（10分）某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函
数图象如图．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获
得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为
多少元？
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，联结AE分别交
BD、CD于点G、F，且 = ．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC2=GD•BD，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）如图在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴
分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．
第4页（共28页）（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点
P的坐标．
25．（14分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联
结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x， =y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
第5页（共28页）2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答
题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．（4分）函数y=2x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】由于k=2，函数y=2x﹣1的图象经过第一、三象限；b=﹣1，图象与y轴的交
点在x轴的下方，即图象经过第四象限，即可判断图象不经过第二象限．
【解答】解：∵k=2＞0，
∴函数y=2x﹣1的图象经过第一，三象限；
又∵b=﹣1＜0，
∴图象与y轴的交点在x轴的下方，即图象经过第四象限；
所以函数y=﹣x﹣1的图象经过第一，三，四象限，即它不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条
直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过
第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；
当b=0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方．
2．（4分）下列式子一定成立的是（ ）
A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4
C．a = D．（﹣a﹣2）3=﹣
【考点】2F：分数指数幂；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂
的除法；6F：负整数指数幂．
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【专题】512：整式．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，分数指数幂，积的乘方，可得答案
【解答】解：A、2a+3a=5a，故A不符合题意；
B、x8÷x2=x6，故B不符合题意；
第6页（共28页）C、a = ，故C不符合题意；
D、（﹣a﹣2）3=﹣a﹣6=﹣ ，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（4分）下列二次根式中， 的同类二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【专题】51：数与式．
【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与与 是同类二次根式，本
题得以解决．
【解答】解：A、 =2与 不是同类二次根式，错误；
B、 与 不是同类二次根式，错误；
C、 与 是同类二次根式，正确；
D、 与 不是同类二次根式，错误；
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要
将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
4．（4分）已知一组数据2、x、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（
）
A．3.5 B．4 C．2 D．6.5
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个
数就是中位数．
【解答】解：∵数据2、x、8、5、5、2的众数是2，
∴x=2，
则数据为2、2、2、5、5、8，
第7页（共28页）所以中位数为 =3.5，
故选：A．
【点评】本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据
概念求出一组数据的众数、中位数．
5．（4分）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这
两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）
A．11 B．6 C．3 D．2
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】55A：与圆有关的位置关系．
【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．
【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d＞11；
内含时的数量关系应满足0≤d＜3．
观察选项，只有D符合题意．
故选：D．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间
的等价关系解答．
6．（4分）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下
列四个命题中真命题是（ ）
A．若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形
B．若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形
C．若 = ，则四边形ABCD一定是矩形
D．若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形
【考点】O1：命题与定理．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据等腰梯形、矩形、正方形的判定判断即可．
【解答】解：A、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，若
AB=CD，则四边形ABCD可能是矩形，错误；
B、在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 AC=BD，若
第8页（共28页）∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD可能是正方形，错误；
C、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，若 = ，则
四边形ABCD一定是矩形，正确；
D、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，若AC⊥BD且
AO=OD，则四边形ABCD可能是等腰梯形，错误；
故选：C．
【点评】此题考查命题与定理，关键是根据等腰梯形、矩形、正方形的判定解答．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案】
7．（4分）计算：sin30°﹣（﹣3）0= ﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式= ﹣1
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
8．（4分）方程﹣x= 的解是 x=﹣2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到无理方程的解．
【解答】解：两边平方得：x2=x+6，即（x﹣3）（x+2）=0，
解得：x=3或x=﹣2，
经检验x=3是增根，无理方程的解为x=﹣2，
故答案为：x=﹣2
【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，无理方程注意要验根．
第9页（共28页）9．（4分）不等式组 的解集是 x ＞ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】1：常规题型．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＞3；
解不等式②，得x≥ ；
∴不等式组的解集为x＞3，
故答案为x＞3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（4分）已知反比例函数y= 的图象经过点（﹣2017，2018），当x＞0时，函数
值y随自变量x的值增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】534：反比例函数及其应用．
【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据k值的正负确定函数
值的增减性．
【解答】解：反比例函数y= 的图象经过点（﹣2017，2018），
所以k＜0，
所以当x＞0时，y的值随自变量x值的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质
解题时注意：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y
随x的增大而增大．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣ ﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是
第10页（共28页）m=﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据题意可以得到△=0，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ ﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△= =0，
解得，m= ，
故答案为：m=﹣ ．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确根的判别式的意义．
12．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽
取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．
【考点】R5：中心对称图形；X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称
图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图
形有圆、矩形、菱形这3个，
∴抽到中心对称图形的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13．（4分）抛物线y=mx2+2mx+5的对称轴是直线 x=﹣1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
第11页（共28页）【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣ 即可求解．
【解答】解：抛物线y=mx2+2mx+5的对称轴是直线x=﹣ =﹣1，即x=﹣1．
故答案为x=﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是
直线x=﹣ 是解题的关键．
14．（4分）小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直
方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是 0. 7 ．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】用通话时间不足10分钟的通话次数除以通话的总次数即可得．
【解答】解：通话时间不足10分钟的通话次数的频率是 = =0.7，
故答案为：0.7．
【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．
15．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，
CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为 140 ° ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【专题】11：计算题．
第12页（共28页）【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD=2EF=12，根据勾股定理
的逆定理得到∠BDC=90°，计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50°，
BD2+CD2=225，BC2=225，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平
行于第三边，并且等于第三边的一半．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2 ，若 = ，
= ，用 、 表示 = ﹣ ．
【考点】LH：梯形；LM：*平面向量．
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【专题】35：转化思想．
【分析】过点A作AE⊥DC于点E，构造矩形AECB和直角三角形ADE，利用矩形的
性质和勾股定理求得DE的长度，易得AB 的长度，然后利用向量加法的几何意
义解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥DC于点E，
第13页（共28页）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，
∴AB=CE，AE=BC．
∵BC=CD=4，AD=2 ，
∴DE= = =2，
∴AB=CD﹣CE=4﹣2=2．
∴AB= DC．
∴ =
∵ = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案是： ﹣ ．
【点评】考查了平面向量和梯形，解题的关键是找到 = ，另外注意题中辅助
线的作法．
17．（4分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个
三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则
它的周长等于 5 + 3 或 5 + 5 ．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
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【专题】32：分类讨论；552：三角形．
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD= AB= ；②Rt△ABC中，
AC= BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长
第14页（共28页）为5+3 或5+5 ．
【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD= AB= ，
设BC=a，AC=b，则
，
解得a+b=5 ，或a+b=﹣5 （舍去），
∴△AB长度周长为5 +5；
如图所示，Rt△ABC中，AC= BC，
设BC=a，AC=b，则
，
解得 ，
∴△AB长度周长为3 +5；
综上所述，该三角形的周长为5+3 或5+5 ．
故答案为：5+3 或5+5 ．
【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键
是利用勾股定理进行推算．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，
第15页（共28页）联结 CP，将△BCP 沿着直线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且
EP∥AB，则AB的长等于 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】设CD=AB=a，利用勾股定理可得到Rt△CDE中，DE2=CE2﹣CD2=1﹣2a2，
Rt△DEP中，DE2=PD2﹣PE2=1﹣2PE，进而得出PE=a2，再根据△DEP∽△DAB，即
可得到 = ，即 = ，可得 = ，即可得到AB的长等于 ．
【解答】解：如图，设CD=AB=a，则BC2=BD2﹣CD2=1﹣a2，
由折叠可得，CE=BC，BP=EP，
∴CE2=1﹣a2，
∴Rt△CDE中，DE2=CE2﹣CD2=1﹣2a2，
∵PE∥AB，∠A=90°，
∴∠PED=90°，
∴Rt△DEP中，DE2=PD2﹣PE2=（1﹣PE）2﹣PE2=1﹣2PE，
∴PE=a2，
∵PE∥AB，
∴△DEP∽△DAB，
∴ = ，即 = ，
∴ = ，
即a2+a﹣1=0，
解得 ， （舍去），
第16页（共28页）∴AB的长等于 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的性质，勾股定理的综合运用，
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置
变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上】
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ，其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值；75：二次根式的乘除法．
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【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将化简后的x的值代
入计算可得．
【解答】解：原式= ﹣ •
= ﹣
= ﹣
= ，
当x= = ﹣1时，
原式= = =1．
第17页（共28页）【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算
顺序和运算法则．
20．（10分）解方程组：
【考点】AF：高次方程．
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【专题】52：方程与不等式．
【分析】首先将方程①可变形，然后与方程②分别组成方程组，即可求出方程组的
解．
【解答】解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）=0
得x+6y=0或x﹣y=0
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ） 或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ） ，解方程组（Ⅱ） ，
所以原方程组的解是 ．
【点评】本题主要考查解高次方程组，关键在于将方程①可变形．
21．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，BC=24，
sin∠ABC= ．
（1）求AB的长；
（2）若AD=6.5，求∠DCB的余切值．
【考点】KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
第18页（共28页）【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，解直角三角形得到 = ，设AE=5k，
AB=13k，根据勾股定理求得k的值，即可求得AB的长；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，先证得AE∥DF，根据平行线分线段成比例定
理证得DF= ，BF=18，即可求得CF=6，然后解直角三角形即可求得．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
又∵AB=AC，
∴BE= BC，
∵BC=24，
∴BE=12，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，sin∠ABC= = ，
设AE=5k，AB=13k，
∵AB2=AE2+BE2，
∴BE=12k=12，
∴k=1，
∴AE=5k=5，AB=13k=13；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∵AD=6.5，AB=13，
∴BD=AB+AD=19.5，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFB=90°，
∴AE∥DF，
∴ = = ，
又∵AE=5，BE=12，AB=13，
∴DF= ，BF=18，
∴CF=BC﹣BF，即CF=24﹣18=6，
第19页（共28页）在Rt△DCF中，∠DFC=90°，cot∠DCB= = = ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建直
角三角形是解题的关键．
22．（10分）某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函
数图象如图．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获
得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为
多少元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法建立关于k和b的
方程组，解之即可求出所求；
（2）按照等量关系“年利润=（门票定价﹣成本价）×年游客量”列出方程，解方
程即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
∵函数图象过点（200，100），（50，250），
∴ ，解之得： ，
第20页（共28页）所以y关于x的解析式为：y=﹣x+300；
（2）设门票价格定为x元，依题意可得：
（x﹣20）（﹣x+300）=11500，
整理得：x2﹣320x+17500=0，
解之得：x =70，x =250（舍去），
1 2
答：门票价格应该定为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合
题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，联结AE分别交
BD、CD于点G、F，且 = ．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC2=GD•BD，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明 = 即可；
（2）利用相似三角形的性质证明BC=CD即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴ = ，
∵ =
∴ = ，
∴AB∥CD．
第21页（共28页）（2）∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵BC2=GD•BD，
∴AD2=GD•BD，
即 = ，
又∵∠ADG=∠BDA，
∴△ADG∽△BDA，
∴∠DAG=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠E，
∵BG=GE，
∴∠DBC=∠E，
∴∠BDC=∠DBC，
∴BC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平
行线的判定等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常
考题型．
24．（12分）如图在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴
分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．
第22页（共28页）（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点
P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用勾股定理逆定理得出∠CAD=90°，再利用直角三角形面积求法得出答案；
（3）当∠POC=∠ABC时以及当∠POC=∠ACB时，分别得出P点坐标．
【解答】解：（1）点B（﹣1，0）、C（3，0）在抛物线y=ax2+bx﹣3上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
故顶点D的坐标是（1，﹣4）；
（2）∵A（0，﹣3），C（3，0），D（1，﹣4），
∴AC=3 ，CD=2 ，AD= ，
∴CD2=AC2+AD2，
∴∠CAD=90°，
∴S = •AC•AD= ×3 × =3；
△ACD
（3）∵∠CAD=∠AOB=90°， = = ，
第23页（共28页）∴△CAD∽△AOB，
∴∠ACD=∠OAB，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，且△ABC为锐角三角形，
则△POC也为锐角三角形，点P在第四象限，
由点C（3，0），D（1，﹣4）得直线CD的表达式是：y=2x﹣6，设P（t，2t﹣6）（0＜t＜
3）
过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH=t，PH=6﹣2t，
①当∠POC=∠ABC时，由tan∠POC=tan∠ABC得 = ，
∴ =3，
解得：t= ，
∴P （ ，﹣ ）；
1
②当∠POC=∠ACB时，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1，得 =1，
∴ =1，
解得：t=2，
∴P （2，﹣2），
2
综上得：P （ ，﹣ ）或P （2，﹣2）．
1 2
第24页（共28页）【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质，正确分
类讨论是解题关键．
25．（14分）在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联
结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．
（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x， =y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出AC，再用勾股定理求出CO，即可得出结论；
（2）先求出AH，OH，再表示出AO，利用勾股定理表示CO，进而得出CD，再判断出
△OCH∽△DCG，表示出DG，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，
∴OD⊥AB，AC= AB=4，
在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，
第25页（共28页）∴CO= =3，
∴OD=5，
∴CD=OD﹣OC=2；
（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则由（1）可得AH=4，OH=3，
∵AC=x，
∴CH=|x﹣4|，
在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，
∴CO= = = ，
∴CD=OD﹣OC=5﹣ ，
过点DG⊥AB于G，
∵OH⊥AB，
∴DG∥OH，
∴△OCH∽△DCG，
∴ ，
∴DG= = ，
∴S = AC×OH= x×3= x，
△ACO
S = BC（OH+DG）= （8﹣x）×（3+ ）= （8﹣x）×
△BOD
第26页（共28页）∴y= = = （0＜x＜8）
（3）①当OB∥AD时，如图3，
过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD，垂足为点F，
则OF=AE，
∴S= AB•OH= OB•AE，
AE= = =OF，
在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，
∴AF= = ，
∵OF过圆心，OF⊥AD，
∴AD=2AF= ．
②当OA∥BD 时，如图 4，过点 B作BM⊥OA 交AO 延长线于点 M，过点 D作
DG⊥AO，垂足为点G，
则由①的方法可得DG=BM= ，
在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，
∴GO= = ，AG=AO﹣GO= ，
在Rt△GAD中，∠DGA=90°，
∴AD= =6
综上得AD= 或6．
第27页（共28页）【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定
和性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，作出辅助线是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:05:31；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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