文档内容
2018 年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列根式中，与 是同类二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（x2）3=x5 D．x6÷x2=x3
3．（4分）下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形
4．（4分）关于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
5．（4分）将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统
计量中，值保持不变的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直
线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）因式分解：a3﹣4a= ．
第1页（共25页）8．（4分）方程 =x的根是 ．
9．（4分）函数y= 的定义域是
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值
范围是 ．
11．（4分）把抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为
．
12．（4分）函数y=kx+b的图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
13．（4分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这
样的骰子一次，向上一面点数是偶数的概率是 ．
14．（4分）某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试
成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x） x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数 15 59 78 140 208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于 60分的有
人．
15．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果
= ， = ，那么 = ．（用 ， 表示）
16．（4分）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n= ．
17．（4分）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且
第2页（共25页）tan∠OAB= ，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y= x2的通径长为
．
18．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿
着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么 的值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：30﹣|1﹣ |+ + ．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC= ，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
22．（10分）某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上
运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1
小时，求高铁列车全程的运行时间．
23．（12分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于
点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
第3页（共25页）（2）BE•AE=2AD•BC．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），P是抛物线上位于第
一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
25．（14分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为
半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
第4页（共25页）②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
第5页（共25页）2018 年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列根式中，与 是同类二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据同类二次根式的概念即可求答案．
【解答】解：（A）原式= ，故与 不是同类二次根式；
（B）原式= ，故与 是同类二次根式；
（C）原式= ，故与 不是同类二次根式；
（D）原式= ，故与 不是同类二次根式；
故选：B．
【点评】本题考同类二次根式的概念，解题的关键是正确理解同类二次根式的概
念，本题属于基础题型．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（x2）3=x5 D．x6÷x2=x3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数
幂的除法，可判断D．
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
第6页（共25页）故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数
幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘．
3．（4分）下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°
后两部分重合．
4．（4分）关于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【专题】33：函数思想．
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：A、反比例函数y= 的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B、因为2＞0，所以它的图象在第一、三象限，正确，不符合题意；
C、因为2＞0，所以它的图象在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，错误，符
合题意，；
D、因为点（a，b）在它的图象上，则k=ab，所以点（b，a）也在它的图象上，正确，不
符合题意；
第7页（共25页）故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双
曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k
＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增
大．
5．（4分）将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统
计量中，值保持不变的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【考点】WA：统计量的选择．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
【解答】解：将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么这组数据
的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．
故选：A．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握方差的意义与平均
数、众数和中位数的定义．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直
线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【专题】55：几何图形．
【分析】由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，利用勾股定理即可求得AB的长，又
由⊙A、⊙B没有公共点，可得⊙A与⊙B外离或内含，然后利用两圆位置关系
与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
第8页（共25页）∴AB= =5，
∵⊙A、⊙B没有公共点，
∴⊙A与⊙B外离或内含，
∵⊙B的半径为1，
∴若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1=4，
若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5=6，
∴⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6．
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握两
圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）因式分解：a3﹣4a= a （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式
是解题关键．
8．（4分）方程 =x的根是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得
到x =2，x =﹣1，把它们分别代入原方程得到x =﹣1是原方程的增根，由此得
1 2 2
到原方程的根为x=2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2=x2，
解方程x2﹣x﹣2=0得x =2，x =﹣1，
1 2
经检验x =﹣1是原方程的增根，
2
第9页（共25页）所以原方程的根为x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
9．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 0
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】51：数与式．
【分析】根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0即可列不等式求解．
【解答】解：根据题意得2x≠0，
解得：x≠0．
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值
范围是 m ＜ 4 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=16﹣4m＞0，
解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实
数根”是解题的关键．
11．（4分）把抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为 y =
﹣2 （ x + 1 ） 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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第10页（共25页）【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用二次函数平移的性质得出答案．
【解答】解：把抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，则平移后抛物线的表达式为：y=
﹣2（x+1）2．
故答案为：y=﹣2（x+1）2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关
键．
12．（4分）函数y=kx+b的图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 x ＜ ﹣ 1
．
【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据图象的性质，当y＜0时，求x的取值范围即函数图象落在x轴的下方
所对应的x的值，x＜﹣1．
【解答】解：根据图象和数据可知，当y＜0即图象在x轴下方，x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
13．（4分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这
样的骰子一次，向上一面点数是偶数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次
这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即
可求得答案．
第11页（共25页）【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种
为向上一面的点数偶数，
向上一面点数是偶数的概率是 = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
14．（4分）某区有4000名学生参加学业水平测试，从中随机抽取500名，对测试
成绩进行了统计，统计结果见下表：
成绩（x） x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数 15 59 78 140 208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于 60 分的有
120 人．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】用总人数乘以样本中低于60分的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：估计该区这次参加学业水平测试成绩小于60分的有4000× =120
人，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查频数分布表与用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握用
样本估计总体思想的运用及其计算．
15．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果
= ， = ，那么 = ﹣ + ．（用 ， 表示）
第12页（共25页）【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据平面向量的三角形法则进行解答．
【解答】解：∵D是AB的中点， = ，
∴ = ．
∵AE=2EC， = ，
∴ = ，
∴ = ﹣ =﹣ + ．
故答案是：﹣ + ．
【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则，难度中档．
16．（4分）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n= 6 ．
【考点】L3：多边形内角与外角；MM：正多边形和圆．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求
出中心角的度数列方程求解即可．
【解答】解：∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，
∴正n边形的一个内角= ，
∵正n边形的中心角= ，
∴ =2× ，
解得，n=6．（经检验可知n=6是原方程的解）
故答案为：6．
第13页（共25页）【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角
的求法．
17．（4分）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且
tan∠OAB= ，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y= x2的通径长为
2 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a= ，
解得，a=0（舍去）或a= ，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB=1﹣（﹣1）=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
18．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形ABC沿
着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么 的值为 ﹣ 1 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】依据△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，设EF=DF=1，则DE= ，设
AF=CF=x，则AC=EC=1+x，在Rt△ACF中，依据AF2+CF2=AC2，可得x2+x2=（x+1）2，
第14页（共25页）解得x=1+ ，即可得到AC=2+ ，进而得出 = = ．
【解答】解：如图，设AD与CE交于点F，
由折叠可得，∠ACE=∠ACB=45°，而∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠AFC=90°，∠EFD=90°，AF=CF，
由折叠可得，CE=AD，
∴EF=DF，
∴△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，
设EF=DF=1，则DE= ，
设AF=CF=x，则AC=EC=1+x，
∵Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，
∴x2+x2=（x+1）2，
解得x=1+ 或x=1﹣ （舍去），
∴AC=2+ ，
∴ = = ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了折叠问题，平行四边形以及等腰直角三角形的性质，折叠
是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：30﹣|1﹣ |+ + ．
【考点】6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用零指数幂的意义、绝对值的意义计算，然后分母有理化后合并即可．
第15页（共25页）【解答】解：原式=1+（1﹣ ）+ ﹣ +2
=1+1﹣ + ﹣ +2
=2+ ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即
可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
在数轴上表示为 ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根
据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC= ，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
第16页（共25页）【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角
形，设AH=BH=x，根据tanC的值，表示出HC，由BC=6求出x的值，确定出AH的
长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，
根据tanC的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
设AH=x，则BH=x，
在Rt△AHC中，tanC= = ，
∴HC=2x，
∵BC=6，
∴x+2x=6，
解得：x=2，
∴AH=2，
∴S = •BC•AH=6；
△ABC
（2）由（1）得AH=2，CH=4，
在Rt△AHC中，AC= =2 ，
∵DE垂直平分AC，
∴CD= AC= ，
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tanC= = ，
∴DE= ．
第17页（共25页）【点评】此题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，以及锐角三角函数定义，
熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．（10分）某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上
运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1
小时，求高铁列车全程的运行时间．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】34：方程思想；522：分式方程及应用．
【分析】设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为
（x+1）小时，根据速度=路程÷时间结合铁列车的平均速度比动车组列车每小
时快90公里，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间
为（x+1）小时，
根据题意得： ﹣ =90，
解得：x =2，x =﹣3，
1 2
经检验，它们都是原方程的根，但x=﹣3不符合题意．
答：高铁列车全程的运行时间为2小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
23．（12分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于
点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）BE•AE=2AD•BC．
第18页（共25页）【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质；LH：梯形；S9：相似
三角形的判定与性质．
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【专题】554：等腰三角形与直角三角形；557：梯形；55D：图形的相似．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜边上中线
等于斜边的一半可得出EF=BF= AB，进而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“内
错角相等，两直线平行”可得出EF∥BC，结合AB∥CD可得出四边形BCEF是
平行四边形，再由邻边EF=BF即可证出四边形BCEF是菱形；
（2）根据菱形的性质可得出BC=BF，结合BF= AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得
出∠DEA=∠EAB，结合∠D=∠AEB=90°可证出△EDA∽△AEB，根据相似三角形
的性质可得出BE•AE=AD•BA，代入BA=2BC即可证出结论．
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF= AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）∵四边形BCEF是菱形，
第19页（共25页）∴BC=BF．
∵BF= AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴ = ，
∴BE•AE=AD•BA，
∴BE•AE=2AD•BC．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、
梯形以及直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握菱形的判定定理；（2）利用
两角对应相等两三角形相似找出△EDA∽△AEB．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），P是抛物线上位于第
一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
第20页（共25页）【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法
求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）由对称轴公式，以及已知顶点C坐标，利用待定系数法确定出解析式
即可；
（2）设出P坐标，令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，表示出
PN，ON，OM，利用比例表示出BM，进而表示出BC即可；
（3）设出P坐标，由两三角形面积相等得到AC=AP，过点P作PQ⊥BC交BC于点
Q，列出关于t的方程，求出方程的解确定出t的值，即可求出P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，﹣1），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为：m2﹣2m，
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，
由 = ，得 = ，
第21页（共25页）∴BM=m﹣2，
∵点C的坐标为（1，﹣1），
∴BC=m﹣2+1=m﹣1；
（3）令P（t，t2﹣2t），
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，
可得t2﹣2t=1，
解得：t=1+ （t=1﹣ 舍去），
∴P的坐标为（1+ ，1）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数
图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（14分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为
半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
第22页（共25页）（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MC：切线的性质；S7：相似三角形的性质．
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【专题】55C：与圆有关的计算．
【分析】（1）设CE=x，则AE=BE=x+2，依据勾股定理即可得到 ；
（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2=CE•CP，即 ，进而得到 ；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么 ，此时方程无实数解；若两
圆内切，那么 ，即可得到 ．
【解答】解：（1）∵AE∥CD，
∴ = ，
∵BC=DC，
∴BE=AE，
设CE=x，则AE=BE=x+2，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+CE2=AE2，即32+x2=（x+2）2，
∴ ，即 ；
（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，
∴∠ACQ=∠P，
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
第23页（共25页）∴△ACE∽△PCA，
∴AC2=CE•CP，即 ，
∴ ；
②设CP=t，则 ，
∵∠ACB=90°，
∴ ，
∵AE∥CD，
∴ ，
即 = = ，
∴ ，
若两圆外切，那么 ，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么 ，
∴15t2﹣40t+16=0，
解之得 ，
又∵t＞ ，
∴ ．
第24页（共25页）【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、
一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问
题．
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日期：2018/12/24 0:04:47；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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