文档内容
2018 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果5x=6y，那么下列结论正确的是（ ）
A．x：6=y：5 B．x：5=y：6 C．x=5，y=6 D．x=6，y=5
2．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式
一定成立的是（ ）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2
C．∠A的度数：∠D的度数=1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：2
4．（4分）如果 （ 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立
的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．ac＜0 D．bc＜0．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再
将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（
）
第1页（共28页）A． B． C． D． ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是 ．
8．（4分）化简： = ．
9．（4分）点A（﹣1，m）和点B（﹣2，n）都在抛物线y=（x﹣3）2+2上，则m与n的
大小关系为m n（填“＜”或“＞”）．
10．（4分）请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达
式 ．
11．（4分）如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC= ．
12．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并
延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是 ．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=9，cosA= ，那么AB= ．
14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降
了50米，那么该斜坡的坡度是1： ．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM
第2页（共28页）与AH交于点O，如果AB=12，那么CO= ．
16．（4分）已知抛物线y=ax2+2ax+c，那么点P（﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对
称的点的坐标是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例
如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在
同一象限内，那么这一点在第 象限．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，
点C落在点D处，如果sinB= ，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离
是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，点D、E分别在边AB、BC
上，且AD：DB=2：3，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设 ， ，试用 、 表示 ．
21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球
第3页（共28页）飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面
1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，
现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞
行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与
灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE的长为
13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB
的长度．
23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在
边BC上，且∠BEF=∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF∥DC时，求证：AE=DE．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交 y轴于
点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
第4页（共28页）（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣
x2+2x的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．
25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线
MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且
点P在射线CB上．
（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．
第5页（共28页）2018 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果5x=6y，那么下列结论正确的是（ ）
A．x：6=y：5 B．x：5=y：6 C．x=5，y=6 D．x=6，y=5
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵5x=6y，
∴ = ，
故选项A正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．
2．（4分）下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
【考点】KH：等腰三角形的性质；S8：相似三角形的判定．
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【专题】55：几何图形．
【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，
答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的
角．
【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不
对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C
正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”即找两对对应相等
的角．
第6页（共28页）3．（4分）如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式
一定成立的是（ ）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2
C．∠A的度数：∠D的度数=1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：2
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，
周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE=1：2不一定成立，故本选项错误；
B、△ABC的面积：△DEF的面积=1：4，故本选项错误；
C、∠A的度数：∠D的度数=1：1，故本选项错误；
D、△ABC的周长：△DEF的周长=1：2正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
4．（4分）如果 （ 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】JA：平行线的性质；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法
在选择题中的应用．
【解答】解：A、正确．因为 （ 均为非零向量），所以 与 是方向相同的向
量，即 ∥ ；
B、错误．应该是 ﹣2 = ；
第7页（共28页）C、正确．由 可得 = ；
D、正确．因为 所以| |=2| |；
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也
叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
5．（4分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立
的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．ac＜0 D．bc＜0．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利
用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，bc＞0．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上
第8页（共28页）开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对
称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与
y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与
x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，
抛物线与x轴没有交点．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再
将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（
）
A． B． C． D． ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠AED=∠B， ，∴△ADE∽△BDF，正确；
B、∵∠AED=∠B， ，∴△ADE∽△BDF，正确；
C、∵∠AED=∠B， ，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；
D、∵∠AED=∠B， ，∴△ABC∽△BDF，∵∠A=∠A，∠B=∠AED，
∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此
题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第9页（共28页）7．（4分）抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是 （ 0 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣3，
∴抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是：（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查
重点，同学们应熟练掌握．
8．（4分）化简： = ﹣ 4 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据平面向量的加减法则化简即可；
【解答】解：
=2 ﹣ ﹣ ﹣3
= ﹣4
故答案为= ﹣4 ．
【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减
法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．
9．（4分）点A（﹣1，m）和点B（﹣2，n）都在抛物线y=（x﹣3）2+2上，则m与n的
大小关系为m ＜ n（填“＜”或“＞”）．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】1：常规题型．
【分析】由在抛物线y=（x﹣3）2+2可知抛物线开口向上，且对称轴为x=3，根据二
次函数的性质即可判定．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y=（x﹣3）2+2，
∴该抛物线开口向上，对称轴为x=3，在对称轴y的左侧y随x的增大而减小，
∵﹣1＞﹣2，
第10页（共28页）∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点
的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题
的关键．
10．（4分）请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达
式 y=﹣ x 2 + 4 ．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把（0，4）作为抛物线的顶点，令a=﹣1，然后利用顶点式写出满足条件的
抛物线解析式．
【解答】解：因为抛物线的开口向下，
则可设a=﹣1，
又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），
则可设顶点为（0，4），
所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+4．
故答案为y=﹣x2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列
三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式
来求解．
11．（4分）如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC= 1 2 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】1：常规题型．
第11页（共28页）【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即
可．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
∴AE= ，GC= ，
∴AC=AE+EG+GC=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是
解题的关键．
12．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并
延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是 3 6 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】只要证明△AFE∽△CBE，可得 = = ， =（ ）2= ，由此即可
解决问题；
【解答】解：∵在 ▱ABCD中，AO= AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE= CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ = = ，
第12页（共28页）∵S =4， =（ ）2= ，
△AEF
∴S =36，
△BCE
故答案为36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似
三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=9，cosA= ，那么AB= 2 7 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosA= = ，把AC的值代入即可求出AB．
【解答】解：如图．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，cosA= = ，
∴ = ，
∴AB=27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，解此题的关键是掌握
cosA=∠A的邻边：斜边= ．
14．（4分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降
第13页（共28页）了50米，那么该斜坡的坡度是1： 2. 4 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型．
【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定
理，求出水平距离，然后根据定义解答．
【解答】解：由题意得，水平距离= =120，
则该斜坡的坡度i=50：120=1：2.4．
故答案为2.4．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．坡度是坡面的铅直高
度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM
与AH交于点O，如果AB=12，那么CO= 4 ．
【考点】K5：三角形的重心；KP：直角三角形斜边上的中线．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质以及重心的性质即可求出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，
CM是AB边上的中线，
∴CM= AB=6，
∵MH⊥BC，
∴H是BC的中点，
∴AH是BC边上的中线，
∵AH与CM交于点O，
∴O是△ABC的重心，
第14页（共28页）∴ ，
∴CO= CM=4，
故答案为：4；
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据条件判断点O是
△ABC的重心，本题属于中等题型．
16．（4分）已知抛物线y=ax2+2ax+c，那么点P（﹣3，4）关于该抛物线的对称轴对
称的点的坐标是 （ 1 ， 4 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质；P6：坐标与图形变化﹣对称．
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【专题】1：常规题型；535：二次函数图象及其性质．
【分析】由抛物线解析式可先求得对称轴，再利用对称性可求得答案．
【解答】解：
∵y=ax2+2ax+c，
∴抛物线对称轴为x=﹣ =﹣1，
∵P（﹣3，4）关于对称轴对称的点的坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
17．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例
如点（﹣2，﹣1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在
同一象限内，那么这一点在第 二、四 象限．
【考点】D1：点的坐标．
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【专题】531：平面直角坐标系．
【分析】依据点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”，一个点和它的“关联点”
在同一象限内，可得这两点的坐标中，横坐标与纵坐标异号．
【解答】解：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点（﹣b，﹣a），点
（a，b）分别在一三象限，不合题意；
若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）都在第二或第四象
限，符合题意；
故答案为：二、四．
第15页（共28页）【点评】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：第一三象限内点的横坐标纵坐标
同号，而第二四象限内点的横坐标纵坐标异号．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，
点C落在点D处，如果sinB= ，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离
是 4 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】558：平移、旋转与对称．
【分析】先连接BD，AM，由勾股定理可得：AM= ，AB= =AC，再根据面积法
求得BH= =4，最后根据三角形中位线定理，即可得到BC的中点M和CD
的中点N的距离．
【解答】解：如图所示，连接BD，AM，
∵AB=AC，M是BC的中点，BC=6，
∴AM⊥BC，
∵sinB= ，BM=3，
∴Rt△ABM中，由勾股定理可得：AM= ，AB= =AC，
∵∠ACB=∠ACD，BC=DC，
∴BD⊥AC，BH=DH，
∴ BC×AM= AC×BH，
∴BH= =4，
∴BD=2BH=8，
又∵M是BC的中点，N是CD的中点，
第16页（共28页）∴MN= BD=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了旋转变换以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅
助线构造直角三角形，运用面积法求得垂线段的长．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式=
=
= ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，点D、E分别在边AB、BC
上，且AD：DB=2：3，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设 ， ，试用 、 表示 ．
第17页（共28页）【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】（1）设AC=3a，AB=5a．则BC=4a．想办法求出DE、CE，根据tan∠DCE= 即
可解决问题；
（2）根据 = + ，只要求出 、 即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，sinB= ，
∴ = ，
∴设AC=3a，AB=5a．则BC=4a．
∵AD：DB=2：3，∴AD=2a，DB=3a．
∵∠ACB=90°即AC⊥BC，又DE⊥BC，
∴AC∥DE．
∴ = ， = ．
∴ = ， = ．
∴DE= a，CE= a，
∵DE⊥BC，
∴tan∠DCE= = ．
（2）∵AD：DB=2：3，
∴AD：AB=2：5，
∵ = ， = ，
第18页（共28页）∴ = ， =﹣ ，
∵ = + ，
∴ = ﹣ ．
【点评】本题考查平面向量、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球
飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面
1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，
现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞
行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
【考点】HE：二次函数的应用．
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【专题】1：常规题型．
【分析】首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答
案．
【解答】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得： ，
解得： ，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣ x2+ x+1，
第19页（共28页）∵y=﹣ （x﹣4）2+ ，
∴飞行的最高高度为： 米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解
题的关键．
22．（10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与
灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE的长为
13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB
的长度．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则
FG=BC=10．设AF=x知EF=AF=x、DF= = ，由DE=13.3求得x=11.4，据此
知AG=AF﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8．
【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则
FG=BC=10．
第20页（共28页）由题意得∠ADE=α，∠E=45°．
设AF=x．
∵∠E=45°，
∴EF=AF=x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF= ，
∴DF= = = ，
∵DE=13.3，
∴x+ =13.3．
∴x=11.4．
∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4．
∵∠ABC=120°，
∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2AG=2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构
建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
23．（12分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在
边BC上，且∠BEF=∠BAC．
（1）求证：△AED∽△CFE；
（2）当EF∥DC时，求证：AE=DE．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】（1）首先根据已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，进而求出
△AED∽△CFE，
第21页（共28页）（2）根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性质解答即
可．
【解答】证明：（1）∵∠BEC=∠BAC+∠ABD，
∠BEC=∠BEF+∠FEC，
又∵∠BEF=∠BAC，
∴∠ABD=∠FEC，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠FEC=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ECF，
∴△AED∽△CFE；
（2）∵EF∥DC，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠ABD=∠FEC，
∴∠ABD=∠ECD，
∵∠AEB=∠DEC．
∴△AEB∽△DEC，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ．即AE2=DE2，
∴AE=DE．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AEB∽△DEC
是解题关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交 y轴于
点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
第22页（共28页）（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣
x2+2x的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用配方法将函数关系式变形为y=﹣（x﹣m）2﹣m+1，从而可得到点
D的坐标；
（2）将点（1，﹣2）代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物
线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；
（3）分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作
AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH=∠AHO可得到 = ，然后依据比例关系列出
关于m的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点D（m，1﹣m）．
（2）∵抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1过点（1，﹣2），
∴﹣2=﹣1+2m﹣m2﹣m+1．整理得：m2﹣m﹣2=0．
∴m=﹣1（舍）或m=2．
当m=2时，抛物线的顶点是（2，﹣1），
∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位．
第23页（共28页）（3）∵顶点D在第二象限，
∴m＜0．
当点A在y轴的正半轴上，
如图（1）作AG⊥DH于点G，
∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），
∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）
∵∠ADH=∠AHO，
∴tan∠ADH=tan∠AHO，
∴ = ．
∴ = ．
整理得：m2+m=0．
∴m=﹣1或m=0（舍）．
当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G，
∵A（0，﹣m2﹣m+1），D（m，﹣m+1），
∴H（m，0），G（m，﹣m2﹣m+1）
第24页（共28页）∵∠ADH=∠AHO，
∴tan∠ADH=tan∠AHO，
∴ = ．
∴ = ．
整理得：m2+m﹣2=0．
∴m=﹣2或m=1（舍）．
综上所述，m的值为﹣1或﹣2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求
二次函数的顶点坐标，平移与坐标变换、二次函数的性质，锐角三角函数的定
义，依据锐角三角函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．
25．（14分）已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线
MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且
点P在射线CB上．
（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长．
【考点】LO：四边形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再判断出AB∥EP，进而判断出
CN=CE，最后用锐角三角函数即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数求出 AE，CE，再用勾股定理求出PC，最后勾股定理建立方
程即可得出结论；
（3）先确定出PC最大和最小时的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质
第25页（共28页）和勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ABCD是矩形，
∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，
∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=AE，
∵ABCD是矩形，
∴AB∥DC．
∴ ．
∴CN=CE，
设CN=CE=x．
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∴PE=AE=5﹣x．
∵EP⊥BC，
∴ =sin∠ACB= ．∴ ，
∴x= ，
即CN=
（2）∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴△AME≌△PME．
∴AE=PE，AM=PM．
第26页（共28页）∵EP⊥AC，
∴ ．
∴ ．
∵AC=5，
∴AE= ，CE= ．
∴PE= ，
∵EP⊥AC，
∴PC= = ．
∴PB=PC﹣BC= ，
在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM．
∴AM2=（ ）2+（4﹣AM）2．
∴AM= ；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，
由折叠知，AE=PE，
由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，
∴AC＞PC，
∴PC＜5，
∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，
∴0＜CP≤5，
如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，
∴BP=2，
由折叠知，PM=AM，
第27页（共28页）在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，
∴（4﹣BM）2﹣BM2=4，
∴BM= ，
在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN= = ．
当CP最大时MN= ，
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函
数的定义，勾股定理，解本题的关键是利用勾股定理求出线段的长．
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日期：2018/12/23 23:59:26；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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