文档内容
2018 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）符号tanA表示（ ）
A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切
2．（4分）如图△ABC中∠C=90°，如果CD⊥AB于D，那么（ ）
A．CD= AB B．BD= AD C．CD2=AD•BD D．AD2=BD•AB
3．（4分）已知 、 为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果 =2 ，那么 ∥
B．如果| |=| |，那么 = 或 =﹣
C． 的方向不确定，大小为0
D．如果 为单位向量且 =2 ，那么| |=2
4．（4分）二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
5．（4分）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙
的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
6．（4分）如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2 个单位后，其顶点
在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是（ ）
第1页（共30页）A．y=（x+2 ）2+2 B．y=（x+2）2+2
C．y=（x﹣2 ）2+2 D．y=（x﹣2）2+2
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．（4分）如果2a=3b，那么a：b= ．
8．（4分）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平
分线之比为 ．
9．（4分）如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 时，△ADE∽△ABC．
其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．
10．（4分）计算： （4 ） = ．
11．（4分）如图，在锐角△ABC中，BC=10，BC上的高AQ=6，正方形EFGH的顶点
E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB边上，则此正方形的边长为 ．
12．（4分）如果一个滚筒沿斜坡向正下直线滚动13米后，其水平高度下降了5米，
那么该斜坡的坡度i= ．
第2页（共30页）13．（4分）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则tan∠CAF= ．
14．（4分）抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是 ．
15．（4分）二次函数y=﹣ （x﹣1）2+ 的图象与y轴的交点坐标是 ．
16．（4分）如果点A（0，2）和点B（4，2）都在二次函数y=x2+bx+c的图象上，那么此
抛物线在直线 的部分是上升的．（填具体某直线的某侧）
17．（4分）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，如果△ABC的面积为S，那
么以AD、BE、CF为边的三角形的面积是 ．
18．（4分）如图，点M是正方形ABCD的边BC的中点，联结AM，将BM沿某一过
M的直线翻折，使B落在AM上的E处，将线段AE绕A顺时针旋转一定角度，
使E落在F处，如果E在旋转过程中曾经交AB于G，当EF=BG时，旋转角∠EAF
的度数是 ．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分
满分73分）
19．（10分）计算： +（tan60°+π0）﹣1．
20．（5分）如图，AB∥CD∥EF，而且线段AB、CD、EF的长度分别为5、3、2．
第3页（共30页）（1）求AC：CE的值；
（2）如果 记作 ， 记作 ，求 （用 、 表示）．
21．（10分）已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B，轮船从港口出发，沿正东
北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C后测得礁石B在其南偏西15°处，求
轮船行驶过程中离礁石B的最近距离．
22．（10分）如图，在直角坐标系中，已知直线y= x+4与y轴交于A点，与x轴交
于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
23．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延
长线于F，联结BF，交AC于点G．
（1）求证： ；
（2）若AH平分∠BAC，交BF于H，求证：BH是HG和HF的比例中项．
第4页（共30页）24．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x
的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量
x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，
n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当
1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函
数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y= 是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理
由；
（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B
为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．
25．（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E为腰AB
上一点且AE：BE=1：2，F为BC一动点，∠FEG=∠B，EG交射线BC于G，直线EG
交射线CA于H．
（1）求sin∠ABC；
第5页（共30页）（2）求∠BAC的度数；
（3）设BF=x，CH=y，求y与x的函数关系式及其定义域．
第6页（共30页）2018 年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）符号tanA表示（ ）
A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】33：函数思想．
【分析】根据锐角三角形的符号所表示的意义作出选择．
【解答】解：符号tanA表示∠A的正切．
故选：C．
【点评】考查了锐角三角函数的定义．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
2．（4分）如图△ABC中∠C=90°，如果CD⊥AB于D，那么（ ）
A．CD= AB B．BD= AD C．CD2=AD•BD D．AD2=BD•AB
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】利用相似三角形的判定得出△CDB∽△ACD，进而利用相似三角形的性质
判断即可．
【解答】解：∵△ABC中∠C=90°，CD⊥AB于D，
∴∠CDB=∠ADC，∠B=∠ACD，
∴△CDB∽△ACD，
第7页（共30页）∴ ，
即CD2=AD•BD，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是利用相似三角形的判定得
出△CDB∽△ACD．
3．（4分）已知 、 为非零向量，下列判断错误的是（ ）
A．如果 =2 ，那么 ∥
B．如果| |=| |，那么 = 或 =﹣
C． 的方向不确定，大小为0
D．如果 为单位向量且 =2 ，那么| |=2
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌
握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、如果 =2 ，那么 ∥ ，正确；
B、如果| |=| |，没法判断 与 的关系；故错误．
C、 的方向不确定，大小为0，正确；
D、如果 为单位向量且 =2 ，那么| |=2，正确；
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意熟记定义是解此题的关
键．
4．（4分）二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据二次函数的性质求得即可．
【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+3中a=1＞0，
∴二次函数y=x2+2x+3的图象的开口向上，
故选：A．
第8页（共30页）【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关
键．
5．（4分）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙
的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．
【解答】解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角30°，
∴乙处看甲处为：仰角为30°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的
夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
6．（4分）如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2 个单位后，其顶点
在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+2 ）2+2 B．y=（x+2）2+2
C．y=（x﹣2 ）2+2 D．y=（x﹣2）2+2
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H6：二次函数图
象与几何变换．
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【专题】535：二次函数图象及其性质．
第9页（共30页）【分析】过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点
式解析式写出即可．
【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，
∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=2 ，
∴OB=AB=2 × =2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线解析式是y=（x﹣2）2+2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，
此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．（4分）如果2a=3b，那么a：b= 3 ： 2 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都除以2b，得
a：b=3：2，
故答案为：3：2．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．
8．（4分）如果两个相似三角形的周长之比1：4，那么它们的某一对对应角的角平
分线之比为 1 ： 4 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】55D：图形的相似．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据对应角平分线
第10页（共30页）的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比1：4，
∴它们的相似比是1：4，
∴它们的某一对对应角的角平分线之比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
9．（4分）如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当 ∠ ADE= ∠ B 时，
△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】55：几何图形．
【分析】由于△ADE和△ABC有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三
角形相似，可添加∠ADE=∠B，使△ADE∽△ABC．
【解答】解：当∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
故答案为∠ADE=∠B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
10．（4分）计算： （4 ） = 2 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据平面向量的加减法则计算即可．
【解答】解： （4 ）
第11页（共30页）=2 ﹣ +
=2 ﹣
故答案为2
【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握屏幕小了点加减
法则，属于中考基础题．
11．（4分）如图，在锐角△ABC中，BC=10，BC上的高AQ=6，正方形EFGH的顶点
E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB边上，则此正方形的边长为 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】设正方形EFGH的边长为x，根据相似三角形的判定和性质得出方程解答
即可．
【解答】解：
设正方形EFGH的边长为x，则HG=HE=QK=x，
∵HG∥BC，
∴ ，且AK=AQ﹣x，
又∵AQ=6，BC=10，
∴ ，
第12页（共30页）解得x= ，
故答案为：
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段中的线段
对应成比例是解题的关键，注意方程思想的应用．
12．（4分）如果一个滚筒沿斜坡向正下直线滚动13米后，其水平高度下降了5米，
那么该斜坡的坡度i= 1 ： 2. 4 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据题意建立图形，利用勾股定理求得另一直角边的长度，再根据坡度的
概念求解可得．
【解答】解：如图，根据题意知AB=13米、AC=5米，
则BC= = =12（米），
∴斜坡的坡度i=tanB= = =1：2.4，
故答案为：1：2.4．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练
掌握勾股定理及坡度的概念．
13．（4分）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则tan∠CAF= ．
【考点】LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】55：几何图形．
第13页（共30页）【分析】设正方形的边长为a，求出AC的长为 a，再求出△ACF与△GCA中夹
∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即
可判定△ACF与△GCA相似，进而得出tan∠CAF=tan∠AGB= ．
【解答】解：连接AG，
设正方形的边长为a，
AC= ，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠AGB=∠CAF，
∴tan∠CAF=tan∠AGB= ，
故答案为：
【点评】本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三
角形对应角相等的性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．
14．（4分）抛物线y=5（x﹣4）2+3的顶点坐标是 （ 4 ， 3 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y=5（x﹣4）2+3是抛物线解析式的顶点式，
∴顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标是（h，
第14页（共30页）k）是解决问题的关键．
15．（4分）二次函数y=﹣ （x﹣1）2+ 的图象与y轴的交点坐标是 （ 0 ， ﹣
） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】17：推理填空题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出二次函数图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x=0时，y=﹣ （x﹣1）2+ =﹣ ×（0﹣1）2+ = ﹣ ．
∴二次函数y=﹣ （x﹣1）2+ 的图象与y轴的交点坐标是（0， ﹣ ）．
故答案为：（0， ﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x=0求出y值是解题的关
键．
16．（4分）如果点A（0，2）和点B（4，2）都在二次函数y=x2+bx+c的图象上，那么此
抛物线在直线 x=2 右侧 的部分是上升的．（填具体某直线的某侧）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用待定系数法，把点A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法求得解析
式，利用配方法把二次函数解析式的一般式写成顶点式，求出抛物线对称轴，
然后根据二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：∵点A（0，2）和点B（4，2）都在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴ ，
解得： ，
∴该二次函数的表达式为y=x2﹣4x+2；
∵y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
∴对称轴为直线x=2，
∵a=1＞0，
∴抛物线在直线x=2的右侧的部分是上升；
故答案为：x=2右侧．
【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
第15页（共30页）17．（4分）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，如果△ABC的面积为S，那
么以AD、BE、CF为边的三角形的面积是 S ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【专题】552：三角形．
【分析】延长AD至G，使得DG=AD，连接BG，CG，取BG的中点H，连接CH，FH，依
据三角形中线、中位线的性质以及平行四边形的性质，即可得到△CHG的面积
=△BCG 的面积的一半=平行四边形 ABGC 的面积的 = S，△BFH 的面积
=△ABG的面积的 = S，△ACF的面积= S，进而得出△CFH的面积=2S﹣ S﹣
S﹣ S= S．
【解答】解：如图所示，延长 AD 至 G，使得 DG=AD，连接 BG，CG，则
△ACD≌△GBD，△ABD≌△GCD，四边形ABGC为平行四边形，
∴四边形ABGC的面积=2S，
取BG的中点H，连接CH，FH，则BH∥CE，BH=CE，故四边形BHCE是平行四边形，
∴BE=CH，
由题可得，FH是△ABG的中位线，
∴FH= AG=AD，
∴△CFH即为以AD、BE、CF为边的三角形，
∵△CHG的面积=△BCG的面积的一半=平行四边形ABGC的面积的 = S，
△BFH的面积=△ABG的面积的 = S，
第16页（共30页）△ACF的面积= S，
∴△CFH的面积=2S﹣ S﹣ S﹣ S= S，
故答案为： S．
【点评】本题主要考查了三角形的重心的运用，三角形的重心是三角形三边中线
的交点．解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形以及以AD、BE、CF为边的
三角形，利用基本图形的性质求解．
18．（4分）如图，点M是正方形ABCD的边BC的中点，联结AM，将BM沿某一过
M的直线翻折，使B落在AM上的E处，将线段AE绕A顺时针旋转一定角度，
使E落在F处，如果E在旋转过程中曾经交AB于G，当EF=BG时，旋转角∠EAF
的度数是 36 ° ．
【考点】LE：正方形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；R2：旋转的性质．
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【专题】558：平移、旋转与对称．
【分析】设BM=a，则AB=2a，依据题意得到 ，进而得出△AEF为
黄金三角形，即可得到∠EAF=36°．
第17页（共30页）【解答】解：设BM=a，则AB=2a，
∴Rt△ABM中，AM= a，
由题可得，EM=BM=a，
∴AE=（ ﹣1）a=AG=AF，
∴BG=AB﹣AG=（3﹣ ）a，
又∵EF=BG，
∴ ，
∴△AEF为黄金三角形，即∠EAF=36°，
故答案为：36°
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋
转中心所连线段的夹角等于旋转角．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分
满分73分）
19．（10分）计算： +（tan60°+π0）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式= +
= + ﹣ ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（5分）如图，AB∥CD∥EF，而且线段AB、CD、EF的长度分别为5、3、2．
（1）求AC：CE的值；
（2）如果 记作 ， 记作 ，求 （用 、 表示）．
第18页（共30页）【考点】LM：*平面向量；S4：平行线分线段成比例．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）表示出 ，利用AH∥CD，AH=CD，可得结果．
【解答】解：（1）过点E作EH∥BF交CD，AB于G，H，
∴CG=1，AH=3，
∴ = ，
∴ =2；
（2） = = = ，且AH∥CD，AH=CD，
∴ = ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是
解题的关键．
21．（10分）已知在港口A的南偏东75°方向有一礁石B，轮船从港口出发，沿正东
北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C后测得礁石B在其南偏西15°处，求
轮船行驶过程中离礁石B的最近距离．
第19页（共30页）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据题意，得到点B的位置，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求
出AB的长，进而得到轮船行驶过程中离礁石B的最近距离为 里．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=30°，AC=10，
∴AB= AC=5，
过B作BD⊥AC于D，则
Rt△ABD中，BD=sin60°×AB= ×5= （里），
∴轮船行驶过程中离礁石B的最近距离为 里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选
择正确的三角函数是解题的关键．
22．（10分）如图，在直角坐标系中，已知直线y= x+4与y轴交于A点，与x轴交
于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
第20页（共30页）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H3：二次函数的性质；H8：待定系数法
求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A（0，4），B（8，0），再设交点式y=a
（x+2）（x﹣8），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到y=﹣ （x﹣3）2+ ，则M（3， ），作MD⊥x轴于D，如图
然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形AOBM的面积=S
梯形
+S 进行计算即可．
AODM △BDM
【解答】解：（1）当x=0时，y= x+4=4，则A（0，4），
当y=0时， x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a•2•（﹣8）=4，解得a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣8），
即y=﹣ x2+ x+4；
（2）∵y=﹣ （x﹣3）2+ ，
∴M（3， ），
作MD⊥x轴于D，如图，
四边形AOBM的面积=S +S
梯形AODM △BDM
= ×（4+ ）×3+ ×5×
第21页（共30页）=31．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次
函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列
三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶
点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式
来求解．
23．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延
长线于F，联结BF，交AC于点G．
（1）求证： ；
（2）若AH平分∠BAC，交BF于H，求证：BH是HG和HF的比例中项．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与
性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形BCFD是平行四边形，进而利用相
似比解答即可；
（2）根据全等三角形的判定得出△ABH≌△ACH，进而利用全等三角形的性质证
第22页（共30页）明△GHC∽△CHF，再根据相似三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵CF∥AB，DE是中位线，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE=EF，
∴ ，
即 ；
（2）连接CH，
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH=∠CAH，
在△ABH与△ACH中 ，
∴△ABH≌△ACH，
∴∠HCG=∠DBH=∠HFC，
∵∠GHC=∠CHF，
∴△GHC∽△CHF，
∴ ，
∴HC2=HG•HF，
∵BH=HC，
∴BH2=HG•HF，
即BH是HG和HF的比例中项．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似判定方法
第23页（共30页）是解题的关键．
24．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x
的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量
x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，
n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当
1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函
数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y= 是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理
由；
（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B
为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）由k＞0可知反比例函数y= 在闭区间[1，2016]上y随x的增大
而减小，然后将x=1，x=2018别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范
围，于是可做出判断；
（2）先求得二次函数的对称轴为x=1，a=1＞0，根据二次函数的性质可知y=x2﹣
4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大，然后将x=2，y=k﹣4，x=t，y=t2﹣
4t+k分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．
第24页（共30页）【解答】解：（1）∵k=2018，
∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．
∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．
∴1≤y≤2108．
∴反比例函数y= 是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．
（2）∵x=﹣ =2，a=1＞0，
∴二次函数y=x2﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．
∵二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，
∴当x=2时，y=k﹣4，x=t时，y=t2﹣4t+k．
，
解得k=6，t=3，t=﹣2，
因为t＞2，
∴t=2舍去，
∴t=3．
（3）由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得
A（2，2），C（0，6）设B（1，t），
由勾股定理，得AC2=22+（2﹣6）2，AB2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，BC2=12+（t﹣6）2，
①当∠ABC=90°时，AB2+BC2=AC2，即
（2﹣1）2+（2﹣t）2+（t﹣6）2+1=22+（2﹣6）2，
化简，得t2﹣8t+11=0，解得t=4+ 或t=4﹣ ，
B（1，4+ ），（1，4﹣ ）；
②当∠BAC=90°是，AB2+AC2=BC2，
即（2﹣1）2+（2﹣t）2+22+（2﹣6）2=12+（t﹣6）2，
化简，得8t=12，
解得t= ，
第25页（共30页）B（1， ），
③当∠ACB=90°时，AC2+CB2=AB2，
即22+（2﹣6）2+12+（t﹣6）2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，
化简，得2t=13，
解得t= ，
B（1， ），
综上所述：当△ABC为直角三角形时，点B的坐标（1，4+ ），（1，4﹣ ），（1，
），（1， ）．
【点评】本题考察了二次函数综合题，解（1）的关键是利用闭函数的定义，解（2）
的关键是利用闭函数的定义得出方程组，解（3）的关键是利用勾股定理的逆定
理得出方程，要分类讨论，以防遗漏．
25．（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E为腰AB
上一点且AE：BE=1：2，F为BC一动点，∠FEG=∠B，EG交射线BC于G，直线EG
交射线CA于H．
（1）求sin∠ABC；
（2）求∠BAC的度数；
（3）设BF=x，CH=y，求y与x的函数关系式及其定义域．
【考点】LO：四边形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出BP=9，再根据勾股定理得，AP=12，即可得出结论，
（2）先求出CP=16，再根据勾股定理得，AC2=400，进而判断出△ABC是直角三角形
即可得出结论；
第26页（共30页）（3）先求出AE=5，BE=10，进而求出EM=8，BM=6，再分两种情况讨论，
Ⅰ、当点G在BC的延长线上时，判断出△EFM∽△HEA，得出 ，即可得
出结论；
Ⅱ、当点G在边BC上时，同Ⅰ的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BP= （BC﹣AD）=9，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，AP=12，
∴sin∠ABC= = = ；
（2）如图1，在Rt△ACP中，CP=BC﹣BP=16，
根据勾股定理得，AC2=AP2+CP2=144+256=400，
∵AB=15，BC=25，
∴AB2+AC2=225+400=625=252=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°；
（3）过点E作EM⊥BC于M，
∵AB=15，AE：BE=1：2，
∴AE=5，BE=10，
在Rt△BEM中，sin∠ABC= ，
∴EM=8，BM=6，CM=BC﹣BM=25﹣6=19，
当点G和点C重合时，如图4，
第27页（共30页）在Rt△EMC中，CE= =
∵∠B=∠EFC，∠BCE=∠ECF，
∴△BCE∽△ECF，
∴ = ，
∴ ，
∴x=8，
当EG∥AC时，如图5，
∴∠ACB=∠EGB，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠FEG+∠EGB=90°，
∴EF⊥BC，
即：点F和点M重合，
∴BF=BM=6，
∴当6≤x≤8时，EG和AC的延长线相交，不符合题意，
Ⅰ、当点G在BC的延长线上时，
如图2，
∴FM=BF﹣BM=x﹣6，
由（1）知，AC=20，
∴AH=AC﹣CH=20﹣y
∵∠FEG=∠B
∴∠EFG=180°﹣∠G﹣∠FEG=180°﹣∠G﹣∠B，
∵∠BEG=180°﹣∠G﹣∠B，
∴∠EFG=∠BEG，
第28页（共30页）∴∠EFM=∠AEH，
∵∠EMF=∠HAE=90°，
∴△EFM∽△HEA，
∴ ，
∴ ，
∴y=20﹣ （8＜x＜12），
Ⅱ、当点G在边BC上时，如图3，
∴FM=BM﹣BF=6﹣x，AH=CH﹣AC=y﹣20，
∵同①的方法得，∠EFG=∠BEG，
∵∠AEH=∠BEG，
∴∠AEH=∠EFG，
∵∠EAH=∠FME，
∴△AEH∽△MFE，
∴ ，
∴ ，
∴y=20+ =20﹣ （0＜x＜6）．
∴y=20﹣ （0＜x＜6或8＜x＜12）．
第29页（共30页）【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰梯形的性质，勾股定理，锐角三角
形函数，直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键
是判断出△AEH∽△MFE．
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日期：2018/12/24 0:00:07；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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