文档内容
2018 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班
级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前3名参加学校比赛．小红
要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名
学生成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
3．（4分）下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如
图所示，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如果将直线l ：y=2x﹣2平移后得到直线l ：y=2x，那么下列平移过程正
1 2
确的是（ ）
A．将l 向左平移2个单位 B．将l 向右平移2个单位
1 1
C．将l 向上平移2个单位 D．将l 向下平移2个单位
1 1
5．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置
如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．（4分）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P
与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD
的位置关系是（ ）
第1页（共27页）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
8．（4分）如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是 ．
9．（4分）方程 的根是 ．
10．（4分）已知反比例函数y= （k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x
的值增大而减小，那么它的图象所在的象限是第 象限．
11．（4分）如果将抛物线y=2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2），那么
所得新抛物线的表达式是 ．
12．（4分）将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度是9厘米．如果将这样相同厚
度的书叠起来的高度是42厘米，那么这些书有 本．
13．（4分）从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合
数的概率是 ．
14．（4分）某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了100
名学生进行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名
学生，据此估计，该校双休日参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学生
数大约是全体学生数的 （填百分数）．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E、F分别是边AD、BC的中点，
设 = ， = ，那么 等于 （结果用 、 的线性组合表示）．
第2页（共27页）16．（4分）如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是 ，那么它的
一条对角线长是 ．
17．（4分）已知正方形ABCD，AB=1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A
外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是 ．
18．（4分）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，
边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β=90°时，
我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么
它的“双旋三角形”的面积是 （用含a的代数式表示）．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣1）2+ +8 ﹣（ ）﹣1．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=8，cos∠BAC= ，BD⊥AC，垂足
为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求 的值．
第3页（共27页）22．（10分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每
份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件
甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量
超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．
（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出
y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比
较优惠？
23．（12分）已知：如图，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，点E在边CB
的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．
（1）求证：B是EC的中点；
（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2=DC•EC，求证：AD：AF=AC：FC．
24．（12分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m（2 m＞0）与x轴
交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过
点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE=∠BCE；
第4页（共27页）（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．
25．（14分）已知：如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，
AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．
（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：BE2=BO•BC；
（3）联结 CE，当△DCE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，求 CD 的长．
第5页（共27页）2018 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】73：二次根式的性质与化简；77：同类二次根式．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判
断即可．
【解答】解：A、 =|a|与 不是同类二次根式；
B、 与 不是同类二次根式；
C、 =2 与 是同类二次根式；
D、 与 不是同类二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二
次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式
2．（4分）某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班
级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前3名参加学校比赛．小红
要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名
学生成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【考点】WA：统计量的选择．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要判
断自己能否参加学校比赛，只需知道中位数即可．
【解答】解：由于总共有7个人，且他们的成绩互不相同，第4的成绩是中位数，要
判断自己能否参加学校比赛，
第6页（共27页）故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是
解题的关键．
3．（4分）下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如
图所示，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案．
【解答】解：由 ，得
，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方
法：大小小大中间找是解题关键．
4．（4分）如果将直线l ：y=2x﹣2平移后得到直线l ：y=2x，那么下列平移过程正
1 2
确的是（ ）
A．将l 向左平移2个单位 B．将l 向右平移2个单位
1 1
C．将l 向上平移2个单位 D．将l 向下平移2个单位
1 1
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将函数y=2x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数
解析式是y=2x．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是
第7页（共27页）解答此题的关键．
5．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置
如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】1：常规题型；551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】由DE∥AF得∠AFD=∠CDE=40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD=∠CDE=40°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠AFD﹣∠B=40°﹣30°=10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等
与三角形外角的性质．
6．（4分）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P
与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可．
【解答】解：如图所示；
第8页（共27页）∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，
∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，
故选：A．
【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【专题】1：常规题型．
【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分
母不变，把分子相加减．进行计算即可．
【解答】解：原式= ﹣ = ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．
8．（4分）如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是 2 ．
【考点】4F：平方差公式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，可得（a+b）（a﹣b）=8，再代入a+b=4可得答案．
【解答】解：∵a2﹣b2=8，
∴（a+b）（a﹣b）=8，
∵a+b=4，
∴a﹣b=2，
第9页（共27页）故答案为：2．
【点评】此题主要考查了平方差，关键是掌握a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
9．（4分）方程 的根是 4 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】1：常规题型；52：方程与不等式．
【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边平方得到：2x﹣4=4，
解得x=4，
经检验：x=4是原方程的解，
故答案为4．
【点评】本题考查无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须
检验．
10．（4分）已知反比例函数y= （k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x
的值增大而减小，那么它的图象所在的象限是第 一、三 象限．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用反比例函数的增减性进而得出图象的分布．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x的
值增大而减小，
∴它的图象所在的象限是第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点评】此题主要考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律是
解题关键．
11．（4分）如果将抛物线y=2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2），那么
所得新抛物线的表达式是 y= 2 （ x﹣1 ） 2 + 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二
次函数解析式．
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【专题】55：几何图形．
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，
第10页（共27页）根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式
【解答】解：∵原抛物线解析式为y=2x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点
坐标为（1，2），
∴平移后的抛物线的表达式为：y=2（x﹣1）2+2．
故答案为：y=2（x﹣1）2+2．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平
移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
12．（4分）将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度是9厘米．如果将这样相同厚
度的书叠起来的高度是42厘米，那么这些书有 2 8 本．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】因为一本书的厚度是一定的，根据本数与书的高度成正比列比例式即可
得到结论．
【解答】解：设这些书有x本，
由题意得， = ，
解得：x=28，
答：这些书有28本．
故答案为：28．
【点评】本题考查了比例的性质，正确的列出比例式是解题的关键．
13．（4分）从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合
数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】根据合数定义，让合数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：∵在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，合数有4、6、8这3个，
∴这个数恰好是合数的概率是 ，
故答案为： ．
第11页（共27页）【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ；找到合数
的个数是解题的关键．
14．（4分）某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了100
名学生进行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名
学生，据此估计，该校双休日参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学生
数大约是全体学生数的 28% （填百分数）．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】用被抽查的100名学生中参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学
生除以抽查的学生总人数，即可得解．
【解答】解：由频数分布直方图知，2～2.5小时的人数为100﹣（8+24+30+10）=28，
则该校双休日参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学生数大约是全体学
生数的百分比为 ×100%=28%，
故答案为：28%．
【点评】本题考查了频数分布直方图以及用样本估计总体，利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．一般
来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计
也就越精确．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E、F分别是边AD、BC的中点，
设 = ， = ，那么 等于 （结果用 、 的线性组合表示）．
第12页（共27页）【考点】LH：梯形；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】作AH∥EF交BC于H，首先证明SBX EFHA是平行四边形，再利用三角形法
则计算即可；
【解答】解：作AH∥EF交BC于H，
∵AE∥FH，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴AE=HF，AH=EF，
∵AE=ED= ，
∴ = ，
∵BC=2AD，
∴ =2 ，
∵BF=FC，
∴ = ，
∴ = ，
∵ = = + = + ，
故答案为 + ．
第13页（共27页）【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题
型．
16．（4分）如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是 ，那么它的
一条对角线长是 1 0 ．
【考点】LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】如图，作BH⊥AC于H．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，设
OA=OC=OD=OB=5a，由tan∠BOH= = ，可得BH=4a，OH=3a，由题意：2×
×10a×4a=40，求出a即可解决问题；
【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，
∵tan∠BOH= = ，
∴BH=4a，OH=3a，
由题意：2× ×10a×4a=40，
∴a=1，
∴AC=10，
故答案为10．
【点评】本题考查矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
17．（4分）已知正方形ABCD，AB=1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A
外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是 ．
【考点】LE：正方形的性质；M8：点与圆的位置关系；MJ：圆与圆的位置关系．
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第14页（共27页）【专题】1：常规题型．
【分析】首先根据题意求得对角线AC的长，设圆A的半径为R，根据点B在圆A外，
得出0＜R＜1，则﹣1＜﹣R＜0，再根据圆A与圆C外切可得R+r= ，利用不等
式的性质即可求出r的取值范围．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=1，
∴AC= ，
设圆A的半径为R，
∵点B在圆A外，
∴0＜R＜1，
∴﹣1＜﹣R＜0，
∴ ﹣1＜ ﹣R＜ ．
∵以A、C为圆心的两圆外切，
∴两圆的半径的和为 ，
∴R+r= ，r= ﹣R，
∴ ﹣1＜r＜ ．
故答案为： ﹣1＜r＜ ．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，正方形的性质，勾股
定理，不等式的性质．掌握位置关系与数量之间的关系是解题的关键．
18．（4分）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，
边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β=90°时，
我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么
它的“双旋三角形”的面积是 （用含a的代数式表示）．
【考点】KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】1：常规题型．
第15页（共27页）【分析】首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B′C′是顶角为150°
的等腰三角形，其中AB′=AC′=a．过C′作C′D⊥AB′于D，根据30°角所对的直角边
等于斜边的一半得出C′D= AC′= a，然后根据S = AB′•C′D即可求解．
△AB′C′
【解答】解：∵等边△ABC的边长为a，
∴AB=AC=a，∠BAC=60°．
∵将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，
∴AB′=AB=a，∠B′AB=α，
∵边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，
∴AC′=AC=a，∠CAC′=β，
∴∠B′AC′=∠B′AB+∠BAC+∠CAC′=α+60°+β=60°+90°=150°．
如图，过C′作C′D⊥AB′于D，则∠D=90°，∠DAC′=30°，
∴C′D= AC′= a，
∴S = AB′•C′D= a• a= a2．
△AB′C′
故答案为 a2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30°角的直
角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣1）2+ +8 ﹣（ ）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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第16页（共27页）【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用负指数幂的性质和二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别
化简得出答案．
【解答】解：原式=3﹣2 + ﹣ +2 ﹣
=3﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解方程组：
【考点】AF：高次方程．
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【专题】52：方程与不等式．
【分析】由方程②得出x+y=1，或x+y=﹣1，进而解答即可．
【解答】解： ，
由②可得：x+y=1，或x+y=﹣1，
所以可得方程组 或 ，
解得： ， ；
所以方程组的解为： ， ．
【点评】此题考查高次方程问题，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=8，cos∠BAC= ，BD⊥AC，垂足
为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求 的值．
第17页（共27页）【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】55E：解直角三角形及其应用．
【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数
定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CD=3x，AD=5x，分别表示BF和
FC的长，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°，
Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC= ，
∴AD=5，
由勾股定理得：BD=12，
∵E是BD的中点，
∴ED=6，
∴∠EAD的余切= = ；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC=8，AD=5，
∴CD=3，
∵DG∥AF，
∴ = ，
设CD=3x，AD=5x，
∵EF∥DG，BE=ED，
∴BF=FG=5x，
第18页（共27页）∴ = = ．
【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三
角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角
三角形内，或作垂线构建直角三角形．
22．（10分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每
份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件
甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量
超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．
（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出
y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比
较优惠？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【专题】12：应用题．
【分析】（1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费y （元）关于印刷数量x（份）之
甲
间的函数关系式；
（2）分别将两厂的印刷费用等于2000元，分别解得两厂印刷的份数即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
甲印刷厂的收费y =0.3x×0.9+100=0.27x+100，
甲
y关于x的函数关系式是y =0.27x+100（x＞0）；
甲
（2）由题意可得，
该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，
在甲印刷厂需要花费：0.27×600+100=262（元），
在乙印刷厂需要花费：100+200×0.3+0.3×0.8×（600﹣200）=256（元），
第19页（共27页）∵256＜262，
∴如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择乙家印刷厂比较
优惠．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注
意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
23．（12分）已知：如图，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，点E在边CB
的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．
（1）求证：B是EC的中点；
（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2=DC•EC，求证：AD：AF=AC：FC．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】557：梯形；55D：图形的相似．
【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC，进而可
得出BA=BC，根据等角的余角相等结合三角形外角的性质，即可得出BE=BA，
进而可得出BE=BC，此题得证；
（2）根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根据相似三角形的
性质可得出∠ADC=∠EAC=90°，进而可得出∠FDA=∠FAC=90°，结合
∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CDA，再利用相似三角形的性质可证出 AD：
AF=AC：FC．
【解答】证明：（1）∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC．
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，
∴BA=BC．
第20页（共27页）∵∠BAC+∠BAE=90°，∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，
∴∠BAE= ∠ABC．
∵∠ABC=∠BAE+∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA= ∠ABC，
∴BE=BA=BC，
∴B是EC的中点；
（2）∵AC2=DC•EC，
∴ = ，
∵∠ACD=∠ECA，
∴△ACD∽△ECA，
∴∠ADC=∠EAC=90°，
∴∠FDA=∠FAC=90°．
又∵∠AFD=∠CFA，
∴△AFD∽△CDA，
∴AD：AF=AC：FC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性
质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出BA=BC、
BE=BA；（2）利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CDA．
24．（12分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m（2 m＞0）与x轴
交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过
点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
第21页（共27页）（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE=∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）①把C点坐标代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值，从而得到抛物线
解析式，然后把一般式配成顶点式得到D点坐标；
②如图1，先解方程﹣x2+2x+3=0得B（3，0），则可判断△OCB为等腰直角三角形
得到∠OBC=45°，再证明△CDE为等腰直角三角形得到∠DCE=45°，从而得到
∠DCE=∠BCE；
（2）抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，把一般式配成顶点
式得到抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），通过解方程﹣
x2+2mx+3m2=0得B（3m，0），同时确定C（0，3m2），再利用相似比表示出
GF=2m2，则DG=2m2，接着证明∠DCG=∠DGC得到DC=DG，所以m2+（4m2﹣
3m2）2=4m4，然后解方程可求出m．
【解答】（1）解：①把C（0，3）代入y=﹣x2+2mx+3m2得3m2=3，解得m =1，m =﹣1
1 2
（舍去），
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D为（1，4）；
②证明：如图1，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x =﹣1，x =3，则B（3，0），
1 2
∵OC=OB，
第22页（共27页）∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∵CE⊥直线x=1，
∴∠BCE=45°，
∵DE=1，CE=1，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
∴∠DCE=∠BCE；
（2）解：抛物线的对称轴交x轴于F点，交直线BC于G点，如图2，
y=﹣x2+2mx+3m2=﹣（x﹣m）2+4m2，
∴抛物线的对称轴为直线x=m，顶点D的坐标为（m，4m2），
当y=0时，﹣x2+2mx+3m2=0，解得x =﹣m，x =3m，则B（3m，0），
1 2
当x=0时，y=﹣x2+2mx+3m2=3m2，则C（0，3m2），
∵GF∥OC，
∴ = ，即 = ，解得GF=2m2，
∴DG=4m2﹣2m2=2m2，
∵CB平分∠DCO，
∴∠DCB=∠OCB，
∵∠OCB=∠DGC，
∴∠DCG=∠DGC，
∴DC=DG，
即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，
∴m2= ，
而m＞0，
∴m= ．
第23页（共27页）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活
应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间
的距离公式．
25．（14分）已知：如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在半径OB上，
AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD．
（1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：BE2=BO•BC；
（3）联结 CE，当△DCE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，求 CD 的长．
第24页（共27页）【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出OC= OB=1，设OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根据勾股
定理得，（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出结论；
（2）先判断出 ，进而得出∠CBE=∠BCE，再判断出△OBE∽△EBC，即可得出
结论；
（3）分两种情况：当CD=CE时，判断出四边形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°，在
Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2，在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，
建立方程求解即可；
当 CD=DE 时，判断出∠DAE=∠DEA，再判断出∠OAE=OEA，进而得出
∠DEA=∠OEA，即：点D和点O重合，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵C是半径OB中点，
∴OC= OB=1，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
设OD=x，
∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得，（2﹣x）2﹣x2=1，
∴x= ，
∴CD= ，
第25页（共27页）∴sin∠OCD= = ；
（2）如图1，
连接AE，CE，∵DE是AC垂直平分线，
∴AE=CE，
∵E是弧AB的中点，
∴ ，
∴AE=BE，
∴BE=CE，
∴∠CBE=∠BCE，
连接OE，
∴OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠BCE=∠OEB，
∴△OBE∽△EBC，
∴ ，
∴BE2=BO•BC，
（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，
当CD=CE时，∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴AD=CD=CE=AE，
∴四边形ADCE是菱形，
∴CE∥AD，
∴∠OCE=90°，
设菱形的边长为a，
∴OC=OA﹣AD=2﹣a，
在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2，
在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，
第26页（共27页）∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，
∴a=﹣2 ﹣2（舍）或a=2 ﹣2；
∴CD=2 ﹣2；
当CD=DE时，
∵DE是AC垂直平分线，
∴AD=CD，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=OEA，
∴∠DEA=∠OEA，
∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，
∴CD=2，
即：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或 ．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，垂直平分线定理，菱形的判定
和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:05:24；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
