文档内容
2018 年上海市宝山区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0是正整数 B．1是素数
C． 是分数 D． 是有理数
2．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（4分）将直线y=2x向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据
B．一组数据的平均数和中位数一定不相等
C．一组数据的众数可以有几个
D．一组数据的方差一定大于这组数据的标准差
5．（4分）对角线互相平分且相等的四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．（4分）已知圆O 的半径长为6cm，圆O 的半径长为4cm，圆心距O O =3cm，那
1 2 1 2
么圆O 与圆O 的位置关系是（ ）
1 2
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分） = ．
8．（4分）一种细菌的半径是0.00000419米，用科学记数法把它表示为 米．
9．（4分）因式分解：x2﹣4x= ．
10．（4分）不等式组 的解集为 ．
11．（4分）在一个不透明的布袋中装有2个白球、8个红球和5个黄球，这些球除
了颜色不同之外，其余均相同．如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是
第1页（共25页）．
12．（4分）方程 的解是x= ．
13．（4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为
y= ．如果近似眼镜镜片的焦距x=0.3米，那么近视眼镜的度数y为 ．
14．（4分）数据1、2、3、3、6的方差是 ．
15．（4分）在△ABC中，点D是边BC的中点， = ， = ，那么 = （用 、
表示）．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，点F在对角线BD上，DF：
DE=2： ，EF⊥BD，那么tan∠ADB= ．
17．（4分）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数
为 度．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，且∠BDC=90°．如
果△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D ，那么线段
1
DD 的长为 ．
1
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
第2页（共25页）19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中x=2+ ．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC=AD．
（1）如果∠BAC﹣∠BCA=10°，求∠D的度数；
（2）若AC=10，cot∠D= ，求梯形ABCD的面积．
22．（12分）有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的
最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原
点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度
EF的长．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点
N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．
（1）求证；AM=AN；
（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AC•AE．
第3页（共25页）24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线y=x+m的经过点A（﹣4，0）和
点B（n，3）．
（1）求m、n的值；
（2）如果抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin∠ABP的值；
（3）设点Q在直线y=x+m上，且在第一象限内，直线y=x+m与y轴的交点为点D，
如果∠AQO=∠DOB，求点Q的坐标．
25．（14分）在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧 上，OA=10，AC=12，
AC∥OB，联结AB．
（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；
（2）点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图
2中画出点M的位置并求CM的长；
（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D与
点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的
取值范围．
第4页（共25页）2018 年上海市宝山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0是正整数 B．1是素数
C． 是分数 D． 是有理数
【考点】27：实数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据实数的分类，即可解答．
【解答】解：A.0不是正整数，故本选项错误；
B.1是正整数，故本选项错误；
C. 是无理数，故本选项错误；
D. 是有理数，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．
2．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8，由于m2为非负数，则m2+8＞0，
即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意
义即可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，即△＞0，
第5页（共25页）∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
3．（4分）将直线y=2x向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F6：正比例函数的性质；F9：一次函数图象与几何变换．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】上下平移时只需让b的值加减即可．
【解答】解：k＞0，b=0函数图象过第一，三象限，
将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的k=2＞0，b＜0，函数图象过第一，三、
四象限；
故选：B．
【点评】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧
紧抓住直线平移后k不变这一性质．b值的变化为上加下减．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据
B．一组数据的平均数和中位数一定不相等
C．一组数据的众数可以有几个
D．一组数据的方差一定大于这组数据的标准差
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差；W8：标准差．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的概念对各选项进行判断，选出正确答
案即可．
【解答】解：A、一组数据的中位数不一定等于该组数据中的某个数据，故本选项错
第6页（共25页）误；
B、一组数据的平均数和众数不一定相等，故本选项错误；
C、一组数据的众数可以有几个，这种说法是正确的，故本选项正确．
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了中位数、众数、平均数和方差等知识点，属于基础题，解答本题
的关键是熟练掌握各知识点的概念．
5．（4分）对角线互相平分且相等的四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定；LK：等腰梯形的判定．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据矩形的判定解答即可．
【解答】解：对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形，
故选：B．
【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据对角线互相平分切相等的四边形一定
是矩形解答．
6．（4分）已知圆O 的半径长为6cm，圆O 的半径长为4cm，圆心距O O =3cm，那
1 2 1 2
么圆O 与圆O 的位置关系是（ ）
1 2
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】55：几何图形．
【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系．根据
两圆的位置关系得到其数量关系．
设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则
d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：因为6﹣4=2，6+4=10，圆心距为3cm，
所以，2＜d＜8，
根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
所以两圆相交．
第7页（共25页）故选：C．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的
半径的差与和之间求解．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分） = 2 ．
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：∵22=4，
∴ =2．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
8．（4分）一种细菌的半径是0.00000419米，用科学记数法把它表示为 4.19 × 1 0
﹣6 米．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000419=4.19×10﹣6，
故答案为：4.19×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．（4分）因式分解：x2﹣4x= x （ x﹣4 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x=x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
第8页（共25页）10．（4分）不等式组 的解集为 ﹣ 2 ＜ x ≤ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式
组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，
解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
故答案为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解
答此题的关键．
11．（4分）在一个不透明的布袋中装有2个白球、8个红球和5个黄球，这些球除
了颜色不同之外，其余均相同．如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是
．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵布袋中共有15个球，其中黄球有5个，
∴从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
12．（4分）方程 的解是x= 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
第9页（共25页）【解答】解：两边平方得，x+3=4，
移项得：x=1．
当x=1时，x+3＞0．
故本题答案为：x=1．
【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
13．（4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为
y= ．如果近似眼镜镜片的焦距 x=0.3米，那么近视眼镜的度数 y为 400
．
【考点】GA：反比例函数的应用．
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【专题】534：反比例函数及其应用．
【分析】把x=0.3代入y= ，即可算出y的值．
【解答】解：把x=0.3代入 ，
y=400，
故答案为：400．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函
数值的问题，比较简单．
14．（4分）数据1、2、3、3、6的方差是 2. 8 ．
【考点】W7：方差．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行
计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（1+2+3+3+6）÷5=3，
则方差S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]=2.8；
故答案为：2.8．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方
1 2 n
差S2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方
1 2 n
第10页（共25页）差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（4分）在△ABC中，点D是边BC的中点， = ， = ，那么 = （ + ）
（用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】延长AD到E，使得DE=AD，连接BE．首先证明AC=BE，AC∥BE，利用三角形
法则求出 即可解决问题；
【解答】解：延长AD到E，使得DE=AD，连接BE．
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=DB，
∴△ADC≌△EDB，
∴AC=BE，∠C=∠EBD，
∴BE∥AC，
∴ = = ，
∴ = + = + ，
∴ = （ + ），
故答案为 = （ + ）．
【点评】本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法
则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考
常考题型．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，点F在对角线BD上，DF：
DE=2： ，EF⊥BD，那么tan∠ADB= 2 ．
第11页（共25页）【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据矩形的性质求出∠ADC=90°，根据垂直得出∠DFE=90°，设DF=2x，DE=
x，由勾股定理得出EF=x，求出∠ADB=∠DEF，解直角三角形求出即可．
【解答】解：∵EF⊥BD，
∴∠DFE=90°，
设DF=2x，DE= x，由勾股定理得：EF=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠CDB=90°，∠CDB+∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠DEF，
∴tan∠ADB=tan∠DEF= = =2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解直角三角形、矩形的性质和勾股定理，能求出∠ADB=∠DEF
是解此题的关键．
17．（4分）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数
为 12 0 度．
【考点】M2：垂径定理．
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【专题】1：常规题型．
【分析】首先根据垂径定理得到OA=AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC
第12页（共25页）的度数．
【解答】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为120．
【点评】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角
形，此题难度不大．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，且∠BDC=90°．如
果△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D ，那么线段
1
DD 的长为 ．
1
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】作AE⊥BC于E．根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC= BC=3，利
用勾股定理求出 AE=4．根据三角形的面积得出 CD= = ，那么 AD=
= ．再根据旋转的性质可知 AD=AD ，∠CAD=∠BAD ，那么
1 1
△ABC∽△ADD ，利用相似三角形的性质可求出DD ．
1 1
【解答】解：如图，作AE⊥BC于E．
∵AB=AC=5，BC=6，
第13页（共25页）∴BE=EC= BC=3，
∴AE= =4．
∵S = AB•CD= BC•AE，
△ABC
∴CD= = = ，
∴AD= = ．
∵△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D ，
1
∴AD=AD ，∠CAD=∠BAD ，
1 1
∵AB=AC，
∴△ABC∽△ADD ，
1
∴ = ，
∴ = ，
∴DD = ．
1
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，
解题的关键是证明△ABC∽△ADD ．
1
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中x=2+ ．
第14页（共25页）【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式= + +
=
=
=
= ，
当x=2+ 时，
原式=
=
= ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算
顺序和运算法则．
20．（10分）解方程组：
【考点】AF：高次方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方
程构成新方程组，求解即可．
【解答】解：
由②得（2x﹣y）2=1，
所以2x﹣y=1③，2x﹣y=﹣1④
第15页（共25页）由①③、①④联立，得方程组：
，
解方程组 得，
解方程组 得， ．
所以原方程组的解为： ，
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，
代入②式得一元二次方程求解．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC=AD．
（1）如果∠BAC﹣∠BCA=10°，求∠D的度数；
（2）若AC=10，cot∠D= ，求梯形ABCD的面积．
【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．
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【专题】55：几何图形．
【分析】（1）在△ABC中，∠B=90°，∠BAC﹣∠BCA=10°，可求∠BCA，由AD∥BC得
∠CAD=∠BCA，由AC=AD可求∠D；
（2）作CH⊥AD，垂足为H，在Rt△CDH中，cot∠D= ，令DH=x，CH=3x，AC=10，
AH=10﹣x，利用勾股定理求x，可得CH=3x=6，BC=AH=10﹣x=8，用梯形面积公
式计算．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B=90°，
则∠BAC+∠BCA=90°，
又∠BAC﹣∠BCA=10°，
第16页（共25页）∴∠BCA=40°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠BCA=40°，
又∵AC=AD，
∴ ；
（2）作CH⊥AD，垂足为H，
在Rt△CDH中，cot∠D= ，令DH=x，CH=3x，
则在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2，
即102=（10﹣x）2+（3x）2，
解得：x=2
则CH=3x=6，BC=AH=10﹣x=8，
∴梯形ABCD的面积= ，
【点评】本题考查了梯形中角的计算、面积的计算问题，体现了梯形问题转化为三
角形问题解决的思想．
22．（12分）有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的
最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原
点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度
EF的长．
第17页（共25页）【考点】HE：二次函数的应用．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）直接假设出二次函数解析式进而得出答案；
（2）根据题意得出y=3进而求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y=ax2+c，
由题意可得图象经过（5，0），（0，4），
则 ，
解得：a=﹣ ，
故抛物线解析为：y=﹣ x2+4；
（2）由题意可得：y=3时，
3=﹣ x2+4
解得：x=± ，
故EF=5，
答：水面宽度EF的长为5m．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点
N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．
（1）求证；AM=AN；
（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AC•AE．
第18页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定
与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAM≌△DAN，根
据全等三角形的性质证明；
（2）证明△AMC∽△AEN，根据相似三角形的性质证明．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，又∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△BAM和△DAN中，
，
∴△BAM≌△DAN，
∴AM=AN；
（2）四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，
∵∠CAD=2∠NAD，∠BAM=∠DAN，
∴∠MAC=45°，
∴∠MAC=∠EAN，又∠ACM=∠ANE=45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴ = ，
∴AN•AM=AC•AE，
∴AM2=AC•AE．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
第19页（共25页）24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线y=x+m的经过点A（﹣4，0）和
点B（n，3）．
（1）求m、n的值；
（2）如果抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin∠ABP的值；
（3）设点Q在直线y=x+m上，且在第一象限内，直线y=x+m与y轴的交点为点D，
如果∠AQO=∠DOB，求点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）分别将A、B两点的坐标代入直线y=x+m中可得：m、n的值；
（2）先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式，求点P的坐标，作
辅助线构建直角△GHB，根据三角函数的定义可得结论；
（3）设Q（x，x+4），证明△BDO∽△BOQ，列比例式 ，可得方程，解方程可得
结论．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0）代入直线y=x+m中得：﹣4+m=0，
m=4，
∴y=x+4，
把B（n，3）代入y=x+4中得：n+4=3，n=﹣1，
（2）把A（﹣4，0）和点B（﹣1，3）代入y=x2+bx+c中得：
，解得： ，
∴y=x2+6x+8=（x+3）2﹣1，
∴P（﹣3，﹣1），
第20页（共25页）易得直线PB的解析式为：y=2x+5，
当y=0时，x=﹣ ，
∴G（﹣ ，0），
过B作BM⊥x轴于M，过G作GH⊥AB于H，
由勾股定理得：BG= = = ，
S = AG•BM= AB•GH，
△ABG
× = × GH，
∴GH= ，
Rt△GHB中，sin∠ABP= = = ；
（3）设Q（x，x+4），
∵∠BOD=∠AQO，∠OBD=∠QBO，
∴△BDO∽△BOQ，
∴ ，
∴BO2=BD•BQ，
∴12+32= ，
10= （x+1），
x=4，
∴Q（4，8）．
第21页（共25页）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股
定理的应用，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想和方
程思想的运用是解题的关键．
25．（14分）在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在劣弧 上，OA=10，AC=12，
AC∥OB，联结AB．
（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；
（2）点M在弦AC的延长线上，联结BM，如果△AMB是直角三角形，请你在如图
2中画出点M的位置并求CM的长；
（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D与
点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的
取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题；559：圆的有关概念及性质．
【分析】（1）由AO=BO知∠OAB=∠B，根据OB∥AC知∠B=∠CAB，据此可得
第22页（共25页）∠OAB=∠CAB，即可得证；
（2）①∠AMB=90°时，作 OH⊥AC 可得 AH=HC= AC=6，由勾股定理求得
OH=BM=8，根据矩形 OBMH 知 HM=OB=10，由 CM=HM﹣HC 可得答案；
②∠ABM=90°时，由①可知AB=8 、cos∠CAB= = ，在Rt△ABM中根据
cos∠CAB= = 可得AM=20，继而得出答案；
（3）作OG⊥AB，由（1）知sin∠OAG=sin∠CAB，从而sin∠CAB= ，结合OA=10求
得OG=2 ，根据AC∥OB知 = ，即 = ，据此求得BE= ，
利用y= ×BE×OG可得答案．
【解答】解：（1）∵OA、OB是⊙O的半径，
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠B，
∵OB∥AC，
∴∠B=∠CAB，
∴∠OAB=∠CAB，
∴AB平分∠OAC；
（2）由题意知，∠BAM不是直角，
所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况：∠AMB=90°和∠ABM=90°，
①当∠AMB=90°，点M的位置如图1，
第23页（共25页）过点O作OH⊥AC，垂足为点H，
∵OH经过圆心，AC=12，
∴AH=HC= AC=6，
在Rt△AHO中，∵OA=10，
∴OH= =8，
∵AC∥OB，∠AMB=90°，
∴∠OBM=180°﹣∠AMB=90°，
∴∠OHC=∠AMB=∠OBM=90°，
∴四边形OBMH是矩形，
∴BM=OH=8、OB=HM=10，
∴CM=HM﹣HC=4；
②当∠ABM=90°，点M的位置如图2，
由①可知，AB= =8 、cos∠CAB= = = ，
第24页（共25页）在Rt△ABM中，cos∠CAB= = ，
∴AM=20，
则CM=AM﹣AC=8，
综上所述，CM的长为4或8；
（3）如图3，过点O作OG⊥AB于点G，
由（1）知sin∠OAG=sin∠CAB，
由（2）可得sin∠CAB= ，
∵OA=10，
∴OG=2 ，
∵AC∥OB，
∴ = ，
又AE=8 ﹣BE、AD=12﹣x、OB=10，
∴ = ，
∴BE= ，
∴y= ×BE×OG= × ×2 = （0≤x＜12）．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、平行线的
性质、矩形的判定与性质及解直角三角形的能力．
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日期：2018/12/24 0:04:54；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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