文档内容
2018 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．cos60° B．1.
C．半径为1cm的圆周长 D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m•m=2m B．（m2）3=m6 C．（mn）3=mn3 D．m6÷m2=m3
3．（4分）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
4．（4分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如
图所示．其中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（ ）
A．15和0.125 B．15和0.25 C．30和0.125 D．30和0.25
5．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，半径为1的圆O 与半径为3的圆O 相内切，如果半径为2的圆与
1 2
圆O 和圆O 都相切，那么这样的圆的个数是（ ）
1 2
第1页（共25页）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．（4分）a（a+b）﹣b（a+b）= ．
8．（4分）当a＜0，b＞0时．化简： = ．
9．（4分）函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）如果反比例函数 的图象经过点A（2，y ）与B（3，y ），那么 的值
1 2
等于 ．
11．（4分）3人中有两人性别相同的概率为 ．
12．（4分）25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
人数 1 2 3 4 5 10
次数 15 8 25 10 17 20
那么跳绳次数的中位数是 ．
13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校
共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平
均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为
x分钟，那么可列出的方程是 ．
14．（4分）四边形ABCD中，向量 + + =
15．（4分）若正n边形的内角为140°，边数n为 ．
16．（4分）如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联
结DC．如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为 ．
第2页（共25页）17．（4分）如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为 的圆上，点C在圆内，
将正△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为
．
18．（4分）当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一
个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x
﹣2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ + ，x= +1．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥B，AD=BC，BD平分∠ABC，
∠A=60°．
求：（1）求∠CDB的度数；
（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．
第3页（共25页）22．（10分）已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙
两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距
离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l 是 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北
1
方向 千米处；
（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，
求他提速后的速度．
23．（12分）已知：如图，在 ▱ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF
分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且
∠AGE=∠CGN．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A、
B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方
的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO时，求∠PAC的正切值；
（3）∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此
时点P的坐标．
第4页（共25页）25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC
上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射
线PB于点E．
（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆
P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3）当劣弧 沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值
为定值，并求出此定值．
第5页（共25页）2018 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．cos60° B．1.
C．半径为1cm的圆周长 D．
【考点】26：无理数；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】51：数与式．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、cos60°= 是有理数，错误；
B、 是有理数，错误；
C、半径为1cm的圆周长是2π，是无理数，正确；
D、 =2是有理数，错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m•m=2m B．（m2）3=m6 C．（mn）3=mn3 D．m6÷m2=m3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出
答案．
【解答】解：A、m•m=m2，故此选项错误；
第6页（共25页）B、（m2）3=m6，正确；
C、（mn）3=m3n3，故此选项错误；
D、m6÷m2=m4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算
法则是解题关键．
3．（4分）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
【考点】C2：不等式的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都除以3，
得x＞﹣y，
两边都加y，得
x+y＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解
是解题关键．
4．（4分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如
图所示．其中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（ ）
A．15和0.125 B．15和0.25 C．30和0.125 D．30和0.25
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】根据频数分布直方图将第4组的频率与组距的商乘以2可得其频率，再把
总人数乘以该组的频率即可得．
【解答】解：由频数分布直方图可知，阅读时间是 8﹣10 小时的频率
第7页（共25页）=0.125×2=0.25，
频数为120×0.25=30，
故选：D．
【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．
5．（4分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
6．（4分）如图，半径为1的圆O 与半径为3的圆O 相内切，如果半径为2的圆与
1 2
圆O 和圆O 都相切，那么这样的圆的个数是（ ）
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】MK：相切两圆的性质．
菁优网版权所有
第8页（共25页）【专题】559：圆的有关概念及性质．
【分析】画出图象即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知，满足条件的圆有三个，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属
于中考常考题型．
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．（4分）a（a+b）﹣b（a+b）= （ a + b ）（ a﹣b ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
菁优网版权所有
【分析】先确定公因式为（a+b），然后提取公因式后整理即可．
【解答】解：a（a+b）﹣b（a+b）=（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查因式分解，较为简单，提取公因式即可，准确找出公因式是解题
的关键．
8．（4分）当a＜0，b＞0时．化简： = ﹣ a ．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用a，b的符号，进而化简得出答案．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴ =﹣a ．
故答案为：﹣a ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解
题关键．
9．（4分）函数y= + 中，自变量x的取值范围是 x ≥ ﹣ 2 且 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
菁优网版权所有
第9页（共25页）【专题】11：计算题．
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．
【解答】解：由题意得，1﹣x≠0，x+2≥0，
解得，x≥﹣2且x≠1，
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量
时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使
分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开
方数不小于零．
10．（4分）如果反比例函数 的图象经过点A（2，y ）与B（3，y ），那么 的值
1 2
等于 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数图象上点的特征可得2y =3y ，再整理可得答案．
1 2
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点A（2，y ）与B（3，y ），
1 2
∴2y =k，3y =k，
1 2
∴2y =3y ，
1 2
∴ = ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的
点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
11．（4分）3人中有两人性别相同的概率为 1 ．
【考点】X3：概率的意义．
菁优网版权所有
【分析】3人中有两人性别必然相同，是必然事件．
【解答】解：性别情况有两种，3人中有两人性别必然有相同的；故其是必然事件，
其概率为1．
第10页（共25页）【点评】本题考查确定事件：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是
一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，
一定不发生的事件，故概率为0．
12．（4分）25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
人数 1 2 3 4 5 10
次数 15 8 25 10 17 20
那么跳绳次数的中位数是 2 0 ．
【考点】W4：中位数．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】先把这些数从小到大排列，找出最中间的数，即可得出跳绳次数的中位数．
【解答】解：∵共有25位同学跳绳，把这些数从小到大排列，最中间的数是第13
个数，
∴跳绳次数的中位数是20次；
故答案为：20．
【点评】此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；
如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校
共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平
均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为
x分钟，那么可列出的方程是 25 0 （ 15﹣ x ） + 80x=2900 ．
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
菁优网版权所有
【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分
钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程．
【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，
根据题意得出：
250（15﹣x）+80x=2900．
故答案为：250（15﹣x）+80x=2900．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据
“他家离学校的路程是2900米”列出方程．
第11页（共25页）14．（4分）四边形ABCD中，向量 + + =
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【专题】5：特定专题．
【分析】连接AC，根据三角形法则计算即可；
【解答】解：如图连接AC．
∵ + = ， + = ，
∴ + + =
故答案为
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题
型．
15．（4分）若正n边形的内角为140°，边数n为 9 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
【分析】根据多边形每个内角与其相邻的外角互补，则正n边形的每个外角的度
数=180°﹣140°=40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值．
【解答】解：∵正n边形的每个内角都是140°，
∴正n边形的每个外角的度数=180°﹣140°=40°，
∴n=360÷40=9．
故答案为9．
【点评】本题考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，用到的知
识点：
多边形每个内角与其相邻的外角互补；多边形的外角和为360°．
16．（4分）如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联
结DC．如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为 1 4 ．
第12页（共25页）【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】由BC的垂直平分线交AB于点D，可得CD=BD=6，又由等边对等角，可求
得∠BCD的度数，继而求得∠ADC的度数，则可判定△ACD是等腰三角形，继
而求得答案．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴CD=BD=6，
∴∠DCB=∠B=40°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°，
∴∠ADC=∠A=80°，
∴AC=CD=6，
∴△ADC的周长为：AD+DC+AC=2+6+6=14．
故答案为：14．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题
难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
17．（4分）如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为 的圆上，点C在圆内，
将正△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为
．
【考点】KK：等边三角形的性质；M8：点与圆的位置关系；R2：旋转的性质；T7：解
直角三角形．
菁优网版权所有
第13页（共25页）【专题】1：常规题型．
【分析】作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，即可得出答案．
【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵OA=OB= ，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可证：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°﹣60°=30°，
∴旋转角的正切值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股
定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求
出旋转角的度数．
18．（4分）当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一
个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x
﹣2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 ﹣ 4 或﹣ 1 ．
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．
菁优网版权所有
【专题】523：一元二次方程及应用．
【分析】利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题；
【解答】解：∵x2+（m﹣2）x﹣2m=0，
∴（x+m）（x﹣2）=0，
第14页（共25页）∴x =﹣m，x =2，
1 2
由题意﹣m=2×2或2=2（﹣m），
∴m=﹣4或﹣1，
故答案为﹣4或﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会因式分解法解方程，学
会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ + ，x= +1．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式= • +
=
当x= +1时，
原式=
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题
属于基础题型．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先将第二个方程分解因式得：x+y=0或x﹣y﹣2=0，分别与第一个方程组成
新的方程组，利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解： ，
由②得：（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）=0，
（x+y）（x﹣y﹣2）=0，
第15页（共25页）x+y=0或x﹣y﹣2=0，
则 或 ，
解得： ， ， ．
∴方程组的解为： ， ， ．
【点评】此题考查了二元二次方程组，解题思路为降次，关键利用因式分解将二次
化为一次，从而求出方程组的解．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥B，AD=BC，BD平分∠ABC，
∠A=60°．
求：（1）求∠CDB的度数；
（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．
【考点】LH：梯形．
菁优网版权所有
【专题】55：几何图形．
【分析】（1）由平行线及角平分线的性质可得∠CDB=∠ABD= ∠ABC，根据等腰
梯形两底角相等的性质可得∠CDB的具体度数；
（2）利用30°的正切值可得BD的长度，也就求得了AB的长度，利用60°正弦值可
得梯形的高，进而利用梯形的面积公式可得梯形的面积．
【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，
∴∠CBA=∠A=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD= ∠CBA=30°，
第16页（共25页）（2）
在△ABD中，∵∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=90°．
∴BD=AD•tanA=2tan60°=2 ，
过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∴DH=AD•sinA=2sin60°= ．
∵∠CDB=∠CBD= ∠CBD=30°，
∴DC=BC=AD=2．
∵AB=2AD=4，
∴S = （AB+CD）DH= ×（4+2）× =3 ．
梯形ABCD
【点评】综合考查了解直角三角形的知识及梯形的性质；利用或构造特殊的直角
三角形是解决本题的关键．
22．（10分）已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙
两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距
离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l 是 乙 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北
1
方向 3 千米处；
（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，
求他提速后的速度．
第17页（共25页）【考点】FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】53：函数及其图象．
【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
（3）根据图象中的数据和（2）中的答案可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
图中的线段l 是乙的函数图象，C地在B地的正北方向6﹣3=3千米处，
1
故答案为：乙、3；
（2）由图象可得，
甲先到达C地，
甲到达C地的时间为：6÷（4÷1）=1.5小时，
乙到达C地的时间为：（6﹣3）÷[（4﹣3）÷1]=3小时，
∵3﹣1.5=1.5，
∴甲乙两人到达C地的时间差是1.5小时；
（3）由题意可得，
他提速后的速度是：（6﹣4）÷（1.5+1﹣1）= 千米/时，
答：他提速后的速度是 千米/时．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的
性质和数形结合的思想解答．
23．（12分）已知：如图，在 ▱ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF
分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且
∠AGE=∠CGN．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
第18页（共25页）（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；LB：矩形的性质．
菁优网版权所有
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）只要证明GM=GN，GE=GF即可解决问题；
（2）想办法证明四边形ABCD是菱形，EN∥AC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MAG=∠NCG，
∵AG=CG，∠AGM=∠CGN，
∴△AGM≌△CGN，
∴GM=GN，同法可证GE=FG，
∴四边形ENFM是平行四边形；
（2）∵四边形ENFM是矩形，
∴GE=GM，∠MEN=90°，
∵∠AGE=∠CGN=∠AGM，
∴AG⊥EM，AG平分EM，
∴AE=AM，∠GAE=∠GAM=∠GCN，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵EM⊥EN，
∴EN∥AC，
∴∠BEN=∠BAC，∠BNE=∠BCA，
∴∠BEN=∠BNE，
∴BE=BN．
第19页（共25页）【点评】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A、
B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方
的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO时，求∠PAC的正切值；
（3）∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此
时点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，4），A（﹣4，0），然后根据待定系数法
求抛物线解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=﹣1，再利用对称性得到P（﹣2，4），作
PH⊥AC于H，如图1，证明△OAC和△PCH为等腰直角三角形得到AC=4 ，
PH=CH= ，则AH=3 ，然后根据正切的定义求解；
（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，利用平行四边形
的性质得PQ∥OA，PQ=OA=4，设P（t，﹣ t2﹣t+4），则Q（t+4，﹣ t2﹣t+4），然
第20页（共25页）后Q点坐标代入y=﹣ x2﹣x+4得﹣ （t+4）2﹣（t+4）+4=﹣ t2﹣t+4，再解关于
t的方程即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x+4=4，则C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0），
把A（﹣4，0），C（0，4）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣x+4；
（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
而PC∥OA，
∴点P与点C关于直线x=﹣1对称，
∴P（﹣2，4），PC=2，
作PH⊥AC于H，如图1，
∵OA=OC=4，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，AC=4 ，
∵PC∥OA，
∴∠PCA=∠OAC=45°，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=CH= ×2= ，
∴AH=AC﹣CH=4 ﹣ =3 ，
在Rt△PAH中，tan∠PAH= = = ，
即∠PAC的正切值为 ；
（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，
∵四边形APQO为平行四边形，
∴PQ∥OA，PQ=OA=4，
第21页（共25页）设P（t，﹣ t2﹣t+4），则Q（t+4，﹣ t2﹣t+4），
把（t+4，﹣ t2﹣t+4）代入y=﹣ x2﹣x+4得﹣ （t+4）2﹣（t+4）+4=﹣ t2﹣t+4，解
得t=﹣3，
∴此时P点坐标为（﹣3， ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质；会利用待定系
数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC
上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射
线PB于点E．
（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆
P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3）当劣弧 沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值
为定值，并求出此定值．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；55A：与圆有关的位置关系．
【分析】（1）作AM⊥BC、连接AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=3，据此知
第22页（共25页）tanB=tanC= ，从而可设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据
PA=PH建立关于k的方程，解之可得；
（2）由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9﹣8k，由△ABE∽△CEH得 = ，
据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；
（3）在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证
△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ，据此得
出NC= k、HN= k及PN=PC﹣NC= k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案
【解答】解：（1）作AM⊥BC于点M，连接AP，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，
∴BM=4、AM=3，
∴tanB=tanC= ，
∵PH⊥DC，
∴设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴PM=BC﹣BM﹣PC=5﹣5k，
∴AP2=AM2+PM2=9+（5﹣5k）2，
∵PA=PH，
∴9+（5﹣5k）2=9k2，
解得：k=1或k= ，
当k= 时，CP=5k= ＞9，舍去；
第23页（共25页）∴k=1，
则圆P的半径为3．
（2）如图2，
由（1）知，PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k，
∵BC=9，
∴BE=BC﹣PE﹣PC=9﹣8k，
∵△ABE∽△CEH，
∴ = ，即 = ，
解得：k= ，
则PH= ，即圆P的半径为 ，
∵圆B与圆P相交，且BE=9﹣8k= ，
∴ ＜r＜ ；
（3）在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，
则EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ，
∴∠GEP=2∠1，
∵PE=PH，
第24页（共25页）∴∠1=∠2，
∴∠4=∠1+∠2=2∠1，
∴∠GEP=∠4，
∴△EPQ≌△PHN，
∴EQ=PN，
由（1）知PH=3k、HC=4k、PC=5k，
∴sinC= 、cosC= ，
∴NC= k、HN= k，
∴PN=PC﹣NC= k，
∴EF=EG=2EQ=2PN= k，EH= = k，
∴ = ，
故线段EH和EF的比值为定值．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰梯形的性质、全等三
角形的判定与性质、相似三角形的性质及与圆有关的位置关系等知识点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:05:53；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
