文档内容
2018 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列代数式中，单项式是（ ）
A． B．0 C．x+1 D．
2．（4分）下列代数式中，二次根式 的有理化因式可以是（ ）
A． B． C． D． ．
3．（4分）已知一元二次方程x2+2x﹣1=0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程没有实数根
D．该方程的根的情况不确定
4．（4分）某运动员进行射击测试，共射靶6次，成绩记录如下：8.5，9.0，10，8.0，
9.5，10，在下列各统计量中，表示这组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率
5．（4分）下列y关于x的函数中，当x＞0时，函数值y随x的值增大而减小的是（
）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=
6．（4分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AC∥BD，下列判断中正确的是（ ）
A．如果BC=AD，那么四边形ABCD是等腰梯形
B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是菱形
C．如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形
D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
8．（4分）因式分解：x2﹣4y2= ．
9．（4分）方程 =3的解是 ．
第1页（共28页）10．（4分）如果将分别写着“幸福”、“奋斗”的两张纸片，随机放入“■都是
■出来的”中的两个■内（每个■只放一张卡片），那么文字恰好组成“幸福
都是奋斗出来的”概率是 ．
11．（4分）已知正方形的边长为2cm，那么它的半径长是 cm．
12．（4分）某市种植60亩树苗，实际每天比原计划多种植3亩树苗，因此提前一
天完成任务，求原计划每天种植多少亩树苗．设原计划每天种植工亩树苗，根
据题意可列出关于x的方程 ．
13．（4分）近年来，出境旅游成为越来越多中国公民的假期选择，将2017年某小
区居民出境游的不同方式的人次情况画成扇形图和条形图，如图所示，那么
2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，如果
，那么 = （用向量 表示）．
15．（4分）在南海阅兵式上，某架“直﹣8”型直升飞机在海平面上方1200米的点
A处，测得其到海平而观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是
米．
16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=3，BC=6，将△ABD绕
着点D逆时针旋转，使点A落在点C处，点B落在点B'处，那么BB'= ．
第2页（共28页）17．（4分）如果抛物线C：y=ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y=kx+d（k≠0）都经过y轴上
一点P，且抛物线C的顶点Q在直线l上，那么称此直线l与该抛物线C具有
“一带一路”关系．如果直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”
关系，那么m+n= ．
18．（4分）已知l ∥l ，l 、l 之间的距离是3cm，圆心O到直线l 的距离是1cm，如
1 2 1 2 1
果圆O与直线l 、l 有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．
1 2
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分） +|1﹣ |﹣27 +（ ）﹣1
20．（10分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
21．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，
DE=5 ，求弦CD及圆O的半径长．
22．（10分）某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费．
年用天然气量310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出 310立方米为
第二档．某户应交天然气费y（元）与年用天然气量x（立方米）的关系如图所示，
观察图象并回答下列问题：
（1）年用天然气量不超过310立方米时，求y关于x的函数解析式（不写定义域）；
（2）小明家2017年天然气费为1029元，求小明家2017年使用天然气量．
第3页（共28页）23．（12分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在
DE上CF=CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．
（1）求证：GF=GD；
（2）联结AF，求证：AF⊥DE．
24．（12分）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A
（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图
象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，tanB= ，BC=4，点E是在线段BA延长
线上一点，以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），
射线EF与射线AC交于点P．
（1）求证：AE2=AP•AC；
（2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及
定义域；
第4页（共28页）（3）当 时，求BE的长．
第5页（共28页）2018 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列代数式中，单项式是（ ）
A． B．0 C．x+1 D．
【考点】22：算术平方根；42：单项式．
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【专题】1：常规题型；512：整式．
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数
或字母也是单项式．逐一判断即可得．
【解答】解：A、 不是单项式，不符合题意；
B、0是单项式，符合题意；
C、x+1是多项式，不符合题意；
D、 不是单项式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组
成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
2．（4分）下列代数式中，二次根式 的有理化因式可以是（ ）
A． B． C． D． ．
【考点】76：分母有理化．
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【专题】11：计算题；514：二次根式．
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，可得答案．
【解答】解：∵ × =（ ）2=m+n，
∴二次根式 的有理化因式是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合完全平
方公式是解答问题的关键．
第6页（共28页）3．（4分）已知一元二次方程x2+2x﹣1=0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个不相等的实数根
B．该方程有两个相等的实数根
C．该方程没有实数根
D．该方程的根的情况不确定
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】45：判别式法．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，进而即可得出该方程
有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．
4．（4分）某运动员进行射击测试，共射靶6次，成绩记录如下：8.5，9.0，10，8.0，
9.5，10，在下列各统计量中，表示这组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频率
【考点】WA：统计量的选择．
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【专题】1：常规题型．
【分析】在平均数、众数、方差、频率这些统计量中，表示一组数据波动程度的量是
方差，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平
均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可．
【解答】解：在平均数、众数、方差、频率这些统计量中，表示一组数据波动程度的
量是方差．
故选：C．
【点评】此题主要考查了统计量的选择，解答此题的关键是要明确：①数据的平均
数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数
据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极
差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，
第7页（共28页）则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度
的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离
散程度越小，稳定性越好．
5．（4分）下列y关于x的函数中，当x＞0时，函数值y随x的值增大而减小的是（
）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=
【考点】F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质；H3：
二次函数的性质．
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【专题】532：函数及其图像．
【分析】根据二次函数的图象的性质、一次函数的图象的性质、正比例函数的图象
的性质以及反比例函数的图象的性质解答．
【解答】解：A、二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞
0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；
B、一次函数y= x+1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
C、正比例函数y= x的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D、反比例函数y= 中k=1＞0，所以当x＞0时，y随x的增大而减小； 故本选项正
确；
故选：D．
【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质．
解答此题时注意：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象
限内y随x的增大而减小．
6．（4分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AC∥BD，下列判断中正确的是（ ）
A．如果BC=AD，那么四边形ABCD是等腰梯形
B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是菱形
C．如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形
D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是正方形
【考点】LA：菱形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质；LF：正方形的判定；LK：等
第8页（共28页）腰梯形的判定．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：四边形ABCD中，AB∥CD，AC∥BD，所以四边形ABCD是平行四边形，
A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD是矩形，错误；
B． AD应该与BC相交，不能AD∥BC，错误；
C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确；
D、如果AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形，错误；
故选：C．
【点评】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的
判定定理解答．
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = 3ab 2 ．
【考点】6A：分式的乘除法．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=3ab2
故答案为：3ab2
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题
属于基础题型．
8．（4分）因式分解：x2﹣4y2= （ x + 2 y ）（ x﹣2 y ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公
式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
9．（4分）方程 =3的解是 x=5 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】52：方程与不等式．
第9页（共28页）【分析】根据乘方，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：平方，得
2x﹣1=9，
解得x=5，
故答案为：x=5．
【点评】本题考查了无理方程，利用乘法转化成一元一次方程是解题关键．
10．（4分）如果将分别写着“幸福”、“奋斗”的两张纸片，随机放入“■都是
■出来的”中的两个■内（每个■只放一张卡片），那么文字恰好组成“幸福
都是奋斗出来的”概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】让组成“幸福都是奋斗出来的”的情况数除以总情况数即为所求的概率
【解答】解：∵将分别写有“幸福”、“奋斗”的2张卡片，随机放入两个框中，只
有两种情况，
恰好组成“幸福都是奋斗出来的”的情况只有一种，
∴其概率是： ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知
识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
11．（4分）已知正方形的边长为2cm，那么它的半径长是 cm．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【专题】55：几何图形．
【分析】利用正方形的性质确定其半径即可．
【解答】解：如图，∵AB=2，
∴OC=1，
∴OA= ，
故答案为：
第10页（共28页）【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够根据题意作出图形，
难度不大．
12．（4分）某市种植60亩树苗，实际每天比原计划多种植3亩树苗，因此提前一
天完成任务，求原计划每天种植多少亩树苗．设原计划每天种植工亩树苗，根
据题意可列出关于x的方程 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】12：应用题．
【分析】首先根据题意可知原计划每天种植x亩，则实际每天种植（x+3）亩，根据
题意可得等量关系：原计划种 60亩树所用的时间=实际种60亩所用的时间
+1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天种植x亩，根据题意可得： ，
故答案为： ，
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，表示出原计划种60
亩树所用的时间=实际种60亩所用的时间+1，根据时间关系列出方程即可．
13．（4分）近年来，出境旅游成为越来越多中国公民的假期选择，将2017年某小
区居民出境游的不同方式的人次情况画成扇形图和条形图，如图所示，那么
2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为 2 4 ．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
第11页（共28页）【分析】先根据自由行的人数及其百分比求得总人数，再用总人数减去自由行和
定制游的人数可得答案．
【解答】解：∵被调查的总人数为36÷45%=80，
∴2017年该小区居民出境游中跟团游的人数为80﹣36﹣20=24（人），
故答案为：24．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，如果
，那么 = （用向量 表示）．
【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】结合平面向量的定义来求 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵E是BC的中点，AE交BD于点F，
∴ = =2
∴AF= AE．
又 ，那么 = ．
故答案是： ．
【点评】考查了平行四边形的性质和平面向量，根据已知条件得到线段AF与线段
AE的数量关系是解题的关键．
15．（4分）在南海阅兵式上，某架“直﹣8”型直升飞机在海平面上方1200米的点
A处，测得其到海平而观摩点B的俯角为60°，此时点A、B之间的距离是
第12页（共28页）米．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】55：几何图形．
【分析】过A作AC⊥BC于C，由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边AC求
斜边AB，可以用60°正弦函数来计算即可．
【解答】解：根据题意得：直升飞机与观摩点B之间的距离是AB=
米．
故答案为：800 ．
【点评】考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直
角三角形并解直角三角形．
16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=3，BC=6，将△ABD绕
着点D逆时针旋转，使点A落在点C处，点B落在点B'处，那么BB'= 9 ．
【考点】LH：梯形；R2：旋转的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】将△ABD绕着点D逆时针旋转得到△CB′D，作DE∥AB交BC于E，证明
DE=EC=DC=3，得出△DCE是等边三角形，再证明∠BCB′=∠BCD+∠DCB′=180°，
B、C、B′三点共线，进而得出BB′=BC+CB′=6+3=9．
【解答】解：如图，将△ABD绕着点D逆时针旋转得到△CB′D，作DE∥AB交BC于
E，
则ABED是平行四边形，BE=AD=3，DE=AB=3，
∴EC=BC﹣BE=6﹣3=3，
∵DC=3，
第13页（共28页）∴DE=EC=DC=3，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB=60°，∠A=120°，
∵将△ABD绕着点D逆时针旋转得到△CB′D，
∴△CB′D≌△ABD，
∴∠DCB′=∠A=120°，CB′=AB=3，
∴∠BCB′=∠BCD+∠DCB′=120°+60°=180°，
∴B、C、B′三点共线，
∴BB′=BC+CB′=6+3=9．
故答案为9．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰梯形的
性质、等边三角形的判定与性质．证明B、C、B′三点共线是解题的关键．
17．（4分）如果抛物线C：y=ax2+bx+c（a≠0）与直线l：y=kx+d（k≠0）都经过y轴上
一点P，且抛物线C的顶点Q在直线l上，那么称此直线l与该抛物线C具有
“一带一路”关系．如果直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”
关系，那么m+n= 0 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】1：常规题型．
【分析】由直线可求得与y轴的交点坐标，代入抛物线可求得n的值，再由抛物线
解析式可求得其顶点坐标，代入直线解析式可求得m的值．
【解答】解：在y=mx+1中，令x=0可求得y=1，在y=x2﹣2x+n中，令x=0可得y=n，
∵直线与抛物线都经过y轴上的一点，
∴n=1，
第14页（共28页）∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
∵抛物线顶点在直线上，
∴0=m+1，
解得m=﹣1，
∴m+n=﹣1+1=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，理解题目中“一带一路”的
定义是解题的关键．
18．（4分）已知l ∥l ，l 、l 之间的距离是3cm，圆心O到直线l 的距离是1cm，如
1 2 1 2 1
果圆O与直线l 、l 有三个公共点，那么圆O的半径为 2 或 4 cm．
1 2
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．
【解答】解：如下图所示，
设圆的半径为r
如图一所示，r﹣1=3，得r=4，
如图二所示，r+1=3，得r=2，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的
图形，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第15页（共28页）19．（10分） +|1﹣ |﹣27 +（ ）﹣1
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及分数指数幂的性质和二次根式的性质
分别化简进而得出答案．
【解答】解：原式=2 + ﹣1﹣3+2
=3 ﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即
可．
【解答】解：
由①得：x＞﹣3；
由②得：x≤2；
∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
．
【点评】本题考查的是解一元一此不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的
解集，在解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错
点．
21．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，
DE=5 ，求弦CD及圆O的半径长．
第16页（共28页）【考点】M2：垂径定理．
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【专题】55：几何图形．
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°，
在Rt△OEM中，∵OE=4，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD=2DM，
∴ ，
∵ ，
∴在Rt△DOM中， ，
∴弦CD的长为 ，⊙O的半径长为 ．
【点评】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利
用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅
助线添法．
22．（10分）某市为鼓励市民节约用气，对居民管道天然气实行两档阶梯式收费．
第17页（共28页）年用天然气量310立方米及以下为第一档；年用天然气量超出 310立方米为
第二档．某户应交天然气费y（元）与年用天然气量x（立方米）的关系如图所示，
观察图象并回答下列问题：
（1）年用天然气量不超过310立方米时，求y关于x的函数解析式（不写定义域）；
（2）小明家2017年天然气费为1029元，求小明家2017年使用天然气量．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【专题】533：一次函数及其应用．
【分析】（1）设函数解析式为y=kx，利用待定系数法即可解决问题；
（2）设y=kx+b（k≠0）．利用待定系数法，把问题转化为方程组解决；
【解答】解：（1）设y=kx（k≠0）．
∵y=kx（k≠0）的图象过点（310，930），
∴930=310k，∴k=3．
∴y=3x．
（2）设y=kx+b（k≠0）．
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点（310，930）和（320，963），
∴ ，
∴
∴y=3.3x﹣9.3，
当y=1029时，3.3x﹣9.3=1029，解得x=340，
答：小明家2017年使用天然气量为340立方米．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是读懂图象信
息，熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在
DE上CF=CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．
（1）求证：GF=GD；
第18页（共28页）（2）联结AF，求证：AF⊥DE．
【考点】LE：正方形的性质．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）方法一证明∠GFD=∠GDF，方法二证明△CGF≌△CGD即可；
（2）方法一证明AG=GD=GF即可解决问题；方法二证明AF∥GH即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
∵CF=CD，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠GFC﹣∠CFD=∠ADC﹣∠CDE，即∠GFD=∠GDF，
∴GF=GD．
（2）联结CG．
∵CF=CD，GF=GD，
∴点G、C在线段FD的中垂线上，
∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG=90°，
∵∠CDF+∠ADE=90°，
∴∠DCG=∠ADE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAE=∠CDG=90°，
∴△DAE≌△CDG，
∴AE=DG，
∵点E是边AB的中点，
第19页（共28页）∴点G是边AD的中点，
∴AG=GD=GF，
∴∠DAF=∠AFG，∠GDF=∠GFD，
∵∠DAF+∠AFG+∠GFD+∠GDF=180°，
∴2∠AFG+2∠GFD=180°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DE．
证法2：（1）联结CG交ED于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，
，
∴Rt△CFG≌Rt△CDG，
∴GF=GD．
（2）∵CF=CD，GF=GD，
∴点G、C在线段FD的中垂线上，
∴FH=HD，GC⊥DE，
∴∠EDC+∠DCH=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠DCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，
∵∠ADE=∠DCH，AD=DC，∠EAD=∠GDC．
∴△ADE≌△DCG，
∴AE=DG，
∵点E是边AB的中点，
第20页（共28页）∴点G是边AD的中点，
∵点H是边FD的中点，
∴GH是△AFD的中位线，
∴GH∥AF，
∴∠AFD=∠GHD，
∵GH⊥FD，
∴∠GHD=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DE．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、线段
的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
24．（12分）已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A
（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；
（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图
象的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
第21页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出 OA=2，OC=4，进而求出 BC，再得出 和
，进而建立方程 ．即可得出结论；
（3）①当MC为菱形MCNP的边时，先求出 ．进而得出
即可得出结论；
②当MC为菱形MCPN的边时，不存在，
③当MC为菱形MNCP的对角线时，先判断出CM、NP互相垂直平分，进而得出
NQ=QP=1．MQ=QC，即可得出QN=CQ=1，MQ=CQ=1，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
（2）如图1，过点E作EH⊥BC于点H．
在Rt△ACO中，∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
，
∴OC=4，
在Rt△COB中，∵∠COB=90°，OC=OB=4，
∴ ．
∵EH⊥BC，
∴CH=EH．
∴在Rt△ACO中， ，
第22页（共28页）∵∠CBE=∠ACO，
在Rt△EBH中， ．
设EH=k（k＞0），则BH=2k，CH=k， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）∵A（1，0），B（5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
①当MC为菱形MCNP的边时，
∴CM∥PN，
∴∠PNC=∠NCO=45°．
∵点P在二次函数的对称轴上，
∴点P的横坐标为1，点N的横坐标为1．
∴ ．
∵四边形MCNP是菱形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当MC为菱形MCPN的边时，不存在，
③如图2，当MC为菱形MNCP的对角线时，
设NP交CM于点Q，
∴CM、NP互相垂直平分，
∴NQ=QP=1．MQ=QC，
∵点N在直线BC上，∠NCM=∠OCB=45°．
第23页（共28页）在Rt△CQN中，∴∠NCQ=∠CNQ=45°，
∴QN=CQ=1，
∴MQ=CQ=1，
∴CM=2，
∴OM=OC+CM=4+2=6，
∴M（0，6），
∴综上所述 或 M（0，6）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，线段垂
直平分线的判定和性质，特殊直角三角形的性质，用分类讨论的思想是解本题
的关键．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，tanB= ，BC=4，点E是在线段BA延长
线上一点，以点E为圆心，EC为半径的圆交射线BC于点C、F（点C、F不重合），
射线EF与射线AC交于点P．
（1）求证：AE2=AP•AC；
（2）当点F在线段BC上，设CF=x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及
第24页（共28页）定义域；
（3）当 时，求BE的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先判断出∠EFC=∠ECF，再判断出∠BEF=∠ACE，即可得出结论；
（2）先判断出 ．进而得出 ，即可得出结论；
（3）分两种情况，判断出两三角形相似，得出比例式进而得出AE与AC的关系，即
可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠EFC=∠B+∠BEF，
又∵∠ECF=∠ACB+∠ACE，
∴∠BEF=∠ACE，
∵∠EAC是公共角，
∴△AEP∽△ACE，
∴ ，
∴AE2=AP•AC，
（2）∵∠B=∠ACB，∠ECF=∠EFC，
∴△ECB∽△PFC．
第25页（共28页）∴ ，
过点E作EH⊥CF于点H，
∵EH经过圆心，EH⊥CF，
∴ ．
∴ ，
在Rt△BEH中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，
（3）①当点F在线段BC上时，
∵ ，
∴ ，
∵△AEP∽△ACE．
∴ ，
∴ ，
过点A作AM⊥BC，垂足为点M．
∵AB=AC，BC=4，
第26页（共28页）∴ ，
在Rt△ABM中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
②当点F在线段BC延长线上时，
∵∠EFC=∠ECF，∠EFC=∠FCP+∠P，∠ECF=∠B+∠BEC．
又∵∠B=∠ACB，∠ACB=∠FCP，
∴∠B=∠FCP．
∴∠P=∠BEC．
∵∠EAC是公共角，
∴△AEP∽△ACE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
第27页（共28页）【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，相似三角形的
判定和性质，判断出△AEP∽△ACE是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:05:45；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
