文档内容
2018 年上海市虹口区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（
）
A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9
2．（4分）抛物线y=2x2﹣4的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的
表达式是（ ）
A．y=﹣x2﹣5 B．y=﹣x2+1
C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2
4．（4分）已知 =3， =5，且 与 的方向相反，用 表示向量 为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地
方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B． C．1：2.4 D．
6．（4分）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶
点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA= ，那么点C的位置可以在（ ）
第1页（共30页）A．点C 处 B．点C 处 C．点C 处 D．点C 处
1 2 3 4
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置】
7．（4分）如果 ，那么 = ．
8．（4分）已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的
比例中项，那么AP：AB的值等于 ．
9．（4分）如果 ，那么 = （用向量 表示向量 ）．
10．（4分）如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为 ．
11．（4分）抛物线y=﹣x2+2x﹣1在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部
分是下降的．
12．（4分）如果将抛物线y=﹣2x2平移，顶点移到点P（3，﹣2）的位置，那么所得新
抛物线的表达式为 ．
13．（4分）如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么
该抛物线的对称轴为直线 ．
14．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA= ，那么AC= ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于
第2页（共30页）点D、E如果BC=8，tanA= ，那么BD= ．
17．（4分）如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分
别与射线 OM、ON 相交于点 A、B，如果∠APB 在绕点 P 旋转时始终满足
OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON=50°，∠APB
是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为 ．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8（如图），点D是边AB上一点，把
△ABC绕着点D旋转90°得到△A'B'C'，边B'C'与边AB相交于点E，如果AD=BE，
那么AD长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是
他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．
x … ﹣1 0 2 4 …
y … 0 5 9 0 …
第3页（共30页）21．（10分）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并
延长交BC于点D．
（1）若 = ， = ，用向量 表示向量 ；
（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=2 ，BC=9，求EG的长．
22．（10分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方
B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与
AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与
点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据
sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
第4页（共30页）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交
于点F，且EF•DF=BF•CF．
（1）求证：AD•AB=AE•AC；
（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与 的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B
（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标．
25．（14分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，cosB= （如图），点C、E分别为射线BM上
的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交
第5页（共30页）射线CD于点F．设BC=x， =y．
（1）如图1，当x=4时，求AF的长；
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．
第6页（共30页）2018 年上海市虹口区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（
）
A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】552：三角形．
【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来
解答．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：3，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：3．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、
角平分线、中线的比等于相似比；
②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
2．（4分）抛物线y=2x2﹣4的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据顶点在y轴上，对称轴x=0，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，对称轴x=0，故抛物线y=2x2﹣4的顶点在y轴上．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正确得出二次函数图象的位置是解题关键．
3．（4分）如果将抛物线y=﹣x2﹣2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的
表达式是（ ）
第7页（共30页）A．y=﹣x2﹣5 B．y=﹣x2+1
C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛
物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y=﹣x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
∵向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣2），
∴所得到的新抛物线的表达式是y=﹣（x﹣3）2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，
此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
4．（4分）已知 =3， =5，且 与 的方向相反，用 表示向量 为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】55：几何图形．
【分析】先表示出两个向量模的关系，再根据反向解答即可．
【解答】解：∵| |=3，| |=5，
∴| |= | |，
∵ 与 反向，
∴ = ．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，难点在于反向向量的表示方法．
5．（4分）如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地
方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（ ）
第8页（共30页）A．1：2.6 B． C．1：2.4 D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻
边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决．
【解答】解：如图，根据题意知AB=13、AC=5，
则BC= = =12，
∴斜坡的坡度i=tan∠ABC= = =1：2.4，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确
题意，作出合适的辅助线，明确坡度的定义．
6．（4分）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶
点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA= ，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C 处 B．点C 处 C．点C 处 D．点C 处
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第9页（共30页）【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
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【专题】554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】过点C作CD⊥直线AB于点D，由AB的长度结合△ABC的面积，可得出
CD的长度，再由sinA= 可得出AC的长度，利用勾股定理可求出AD的长度，
进而可找出点C所在的位置．
【解答】解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．
∵AB=5，△ABC的面积为10，
∴CD=4．
∵sinA= ，
∴AC=4 ，
∴AD= =8，
∴点C在点C 处．
4
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，构造直角三角形，
通过解直角三角形确定点C的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置】
7．（4分）如果 ，那么 = 2 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入求出答案．
第10页（共30页）【解答】解：∵ ，
∴x= y，
∴ = = =2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出x，y之间关系是解题关键．
8．（4分）已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的
比例中项，那么AP：AB的值等于 ．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是 解答即可．
【解答】解：∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例
中项，
∴点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP：AB= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线
段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比
值 叫做黄金比．
9．（4分）如果 ，那么 = = ﹣2 ， （用向量 表示向量 ）．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】把 ，看成关于 的方程，解方程即可；
【解答】解：∵ ，
第11页（共30页）∴2 +2 = + ，
∴ = ﹣2 ，
故答案为= ﹣2 ．
【点评】本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考基础题．
10．（4分）如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为 2 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把点（2，1）代入函数解析式，计算即可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），
∴﹣4+2m﹣2+3=1，
解得m=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的
点的坐标满足函数关系式是解题的关键．
11．（4分）抛物线y=﹣x2+2x﹣1在对称轴 右侧 （填“左侧”或“右侧”）的
部分是下降的．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：∵a=﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降
的，
故答案为：右侧．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
12．（4分）如果将抛物线y=﹣2x2平移，顶点移到点P（3，﹣2）的位置，那么所得新
抛物线的表达式为 y=﹣ 2 （ x﹣3 ） 2 ﹣ 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】33：函数思想．
第12页（共30页）【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解
析式．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2平移，使顶点移到点P（3，﹣2）的位置，所得新抛物线
的表达式为y=﹣2（x﹣3）2﹣2．
故答案为：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
13．（4分）如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么
该抛物线的对称轴为直线 x=4 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】17：推理填空题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】由点A、B的纵坐标相等可得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，再由点
A、B的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．
【解答】解：∵点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）的纵坐标相等，
∴点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x= =4．
故答案为：x=4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．
14．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为 9 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF的长，再求得DC
的长．
第13页（共30页）【解答】解：∵AD∥EF∥BC， = =2，
∴DF=6，
∴FC=3，DC=DF+FC=9．
故答案是：9．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解答此题的关
键是注意数形结合思想的应用．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA= ，那么AC= 2 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用锐角三角函数定义表示出cosA，把AB的长代入求出AC的长即可．
【解答】解：如图所示．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA= ，
∴cosA= = ，
∴AC= AB= ×6=2，
故答案为2．
【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC、AB于
点D、E如果BC=8，tanA= ，那么BD= ．
第14页（共30页）【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先解Rt△ABC，得出AC= =6，AB= =10，cosB= = ．再求出
BE= AB=5．然后在Rt△BDE中，利用cosB= = 即可求出BD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanA= ，
∴AC= = =6，
∴AB= =10，cosB= = = ．
∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE= AB=5．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴cosB= = ，
∴BD= = = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形中边
角之间的关系是解题的关键．
17．（4分）如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分
别与射线 OM、ON 相交于点 A、B，如果∠APB 在绕点 P 旋转时始终满足
OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON=50°，∠APB
第15页（共30页）是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为 155 ° ．
【考点】R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】由已知条件得到 ，由于∠BOP=∠AOP，得到△PBO∽△AOP，根据相
似三角形的性质得到∠OBP=∠OPA，根据等量代换即可得到结论；
【解答】解：∵OA•OB=OP2，
∴ ，
∵∠BOP=∠AOP，
∴△PBO∽△AOP，
∴∠OBP=∠OPA，
∵∠MON=50°，
∴∠BOP=25°，
∴∠OBP+∠BPO=180°﹣25°=155°
∴∠APB=∠BPO+∠APO=155°；
故答案为：155°
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质得
到∠OBP=∠OPA．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8（如图），点D是边AB上一点，把
△ABC绕着点D旋转90°得到△A'B'C'，边B'C'与边AB相交于点E，如果AD=BE，
那么AD长为 ．
第16页（共30页）【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】558：平移、旋转与对称．
【分析】利用勾股定理可求出AB的长度，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况考
虑：①当顺时针旋转时，设DE=3x，则B′D=4x，根据旋转的性质结合AD=BE可得
出AE=BD=4x，再根据AB=10即可求出x值，代入AD=7x中即可求出AD的长；
②当逆时针旋转时，设DE=3x，则B′D=4x，根据旋转的性质结合AD=BE可得出
AE=BD=x，再根据AB=10即可求出x值，进而可得出DE=6、B′D的长，利用勾股
定理可求出B′E=10＞B′C′，此种情况不存在．综上即可得出结论．
【解答】解：∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
①当顺时针旋转时，如图1所示．
设DE=3x，则B′D=4x．
根据旋转的性质，可知：BD=B′D=4x，
∵AD=BE，
∴AE=BD=4x，
∴AB=AE+DE+BD=4x+3x+4x=10，
解得：x= ，
∴AD=4x+3x= ；
②当逆时针旋转时，如图2所示．
设DE=3x，则B′D=4x，
∴BE=B′D﹣DE=x，
∴AD=x，AB=AD+DE+B′E=x+3x+x=10，
解得：x=2，
∴DE=6，B′D=8，
第17页（共30页）∴B′E=10＞B′C′，
∴该情况不存在．
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质、解一元一次方程以及勾股定理，分顺时针旋转和
逆时针旋转两种情况考虑是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】552：三角形．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式= = ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．（10分）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是
他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．
第18页（共30页）x … ﹣1 0 2 4 5 …
y … 0 5 9 5 0 …
【考点】H2：二次函数的图象；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】利用待定系数法、描点法即可解决问题；
【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
把（﹣1，0），（0，5），（2，9）代入得到：、
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+4x+5．
当x=4时，y=5，
当y=0时，x=﹣1或5，
故答案为5，5；
函数图象如图所示：
第19页（共30页）【点评】本题考查二次函数解析式、二次函数的图象等知识，解题的关键是熟练掌
握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并
延长交BC于点D．
（1）若 = ， = ，用向量 表示向量 ；
（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=2 ，BC=9，求EG的长．
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题；552：三角形．
【分析】（1）由点G是△ABC的重心，推出 = ，再根据三角形法则求出 即
第20页（共30页）可解决问题；
（2）想办法证明△AEG∽△ABD，可得EG= BD= BC=3；
【解答】解：（1）∵点G是△ABC的重心，
∴ = ，
∵ = + = + （ ﹣ ）= + ，
∴ = + ．
（2）∵∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴ = ，
∴AE=4，
此时 = = ，∵∠EAG=∠BAD，
∴△AEG∽△ABD，
∴EG= BD= BC=3．
【点评】本题考查三角形的重心、平面向量、相似三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方
B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与
AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与
点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据
sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
第21页（共30页）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH=x，
则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再
由EF=BEsin68°=3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，
由AB=49知x+0.4x=49，
解得：x=35，
∵BE=4，
∴EF=BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是理解
题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交
于点F，且EF•DF=BF•CF．
（1）求证：AD•AB=AE•AC；
第22页（共30页）（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与 的值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证
明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵EF•DF=BF•CF，
∴ ，
∵∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF=∠B，
∴∠B=∠AED，
∵∠CAB=∠DAE，
∴△CAB∽△DAE，
∴ ，
∴AD•AB=AE•AC；
（2）由（1）知AD•AB=AE•AC，
∴AD=6，BD=6，EC=1，
∵ ，
∴ ，
第23页（共30页）∵ ，
∴ ，
∴ =28．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三
角形的判定解答．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B
（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将C（0，﹣4）代入求解即可；
记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F．先求得抛物线的对称轴，则可得到FB
的长，然后再证明△BFD为等腰直角三角形，从而可得到FD=FB=3，故此可得到
第24页（共30页）点D的坐标；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．先证∠EAH=∠ACO，则tan∠EAH=tan∠ACO= ，
设EH=t，则AH=2t，从而可得到E（﹣2+2t，t），最后，将点E的坐标代入抛物线
的解析式求解即可；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将C（0，﹣4）代入得：﹣
8a=﹣4，解得：a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣4．
如下图所示：记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F．
∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1，
∴BF=OB﹣OF=3．
∵BO=OC=4，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∴FD=FB=3．
∴D（1，﹣3）．
（2）如下图，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
第25页（共30页）∵∠EAB+∠BAC=90°，∠BAC+∠ACO=90°，
∴∠EAH=∠ACO．
∴tan∠EAH=tan∠ACO= ．
设EH=t，则AH=2t，
∴点E的坐标为（﹣2+2t，t）．
将（﹣2+2t，t）代入抛物线的解析式得： （﹣2+2t）2﹣（﹣2+2t）﹣4=t，
解得：t= 或t=0（舍去）
∴E（5， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，证得∠EAH=∠ACO，从而用含t
的式子表示点E的坐标是解答问题（2）的关键，证得点F在抛物线的对称轴上
是解答问题（3）的关键．
25．（14分）已知AB=5，AD=4，AD∥BM，cosB= （如图），点C、E分别为射线BM上
的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交
射线CD于点F．设BC=x， =y．
（1）如图1，当x=4时，求AF的长；
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．
第26页（共30页）【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，如图1，利用余弦的定义和勾股定理计算出BH=3，
AH=4，AC= ，再判断四边形ABCD为平行四边形得到∠B=∠D，接下来证明
△ADF∽△ABC，然后利用相似比可计算出AC；
（2）如图2，先证明△BAC∽△BEA，利用相似比得到BE= ，AC= AE，则CE= ﹣
x，再证明△ADF∽△EFC，利用相似比得到AF= •AE，然后计算AF：AC
可得到y与x的关系式，最后利用CE= ﹣x＞0可确定x的范围；
（3）讨论：当PA=PD时，作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图3，利用
等腰三角形性质得AG=DG=2，BN=EN= BE= ，则 =5，解方程易得x的值；
当AP=AD=4时，先判断BE=EP= ，则AE=4+ ，然后在Rt△AHE中利用勾股
定理得42+（ ﹣3）2=（4+ ）2，则解方程可得到x的值；当DP=DA=4得到
∠DAP＞∠BAP，不合题意舍去．
【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图1，
在Rt△ABH中，∵cosB= = ，
∴BH= ×5=3，
∴CH=1，AH= =4，
第27页（共30页）在Rt△ACH中，AC= = ，
∵AD∥BC，AD=BC=4，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠DAF=∠BAC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴AF= ；
（2）如图2，∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB，
而∠DAE=∠BAC，
∴∠AEB=∠BAC，
∵∠ABC=∠EBA，
∴△BAC∽△BEA，
∴ = = ，即 = = ，
∴BE= ，AC= AE，
∴CE=BE﹣BC= ﹣x，
∵AD∥CE，
∴△ADF∽△EFC，
∴ = = = ，
∴ = ，
即AF= •AE，
第28页（共30页）∴ = = ，
即y=﹣ （0＜x＜5）；
（3）当PA=PD时，作AH⊥BM于H，作PG⊥AD于G交BE于N，如图3，
∵AD∥BE，
∴GN⊥BE，
∴AG=DG=2，BN=EN= BE= ，
而BN=BH+HN=3+2=5，
∴ =5，解得x= ；
当AP=AD=4时，
∵AD∥BE，
∴BE=EP= ，
∴AE=AP+EP=4+ ，
在Rt△AHE中，∵AH2+HE2=AE2，
∴42+（ ﹣3）2=（4+ ）2，解得x= ；
当DP=DA=4时，则∠DAP=∠DPA，而∠DPA＞∠BAP，即∠DAP＞∠BAP，不合题意
舍去．
综上所述，x的值为 或 ．
第29页（共30页）【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、
等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之
间的关系和关键直角三角形是解决问题的关键；会运用分类讨论的数学解决
数学问题．
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日期：2018/12/24 0:01:05；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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