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2018 年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上．】
1．（4分）下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（4分）单项式2a3b的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（4分）如果将抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式
是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x﹣1）2 C．y=﹣2x2﹣1 D．y=﹣2x2+1
4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
5．（4分）如图， ▱ABCD中，E是BC的中点，设 ， ，那么向量 用向量 、
表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，∠AOB=45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，
PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
第1页（共24页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸
的相应位置】
7．（4分）因式分解：a2﹣a= ．
8．（4分）函数： 的定义域是 ．
9．（4分）方程 =2的解是 ．
10．（4分）函数y=﹣x+2的图象不经过第 象限．
11．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6
点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是素数的概率是 ．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的
取值范围为 ．
13．（4分）如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于
．
14．（4分）空气质量指数，简称AQI，如果AQI在0～50空气质量类别为优，在51
～100空气质量类别为良，在101～150空气质量类别为轻度污染，按照某市最
近一段时间的AQI画出的频数分布直方图如图所示．已知每天的AQI都是整数
那么空气质量类别为优和良的天数占总天数的百分比为 %．
15．（4分）一辆汽车在坡度为1：2.4的斜坡上向上行驶130米，那么这辆汽车的
高度上升了 米．
16．（4分）如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是
．
17．（4分）如果两圆的半径之比为3：2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两
圆相交时，圆心距d的取值范围是 ．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是直线BC
上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那
么点P和点B间的距离等于 ．
第2页（共24页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|tan45°﹣2sin60°|+12 ﹣（ ）﹣2．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如果BE：EC=2：1，求∠CDF的余切值．
22．（10分）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前
往，20分钟后另一部分学生骑自行车前往，设x（分钟）为步行前往的学生离开
学校所走的时间，步行学生走的路程为y 千米，骑自行车学生骑行的路程为y
1 2
千米，y 、y 关于x的函数图象如图所示．
1 2
（1）求y 关于x的函数解析式；
2
（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？
23．（12分）如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，
第3页（共24页）CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
24．（12分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，
0）和B（3，0），与y轴相交于点C，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物
线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．
25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinB= ，P是线段
BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线
PQ 与 射 线 CD 相 交 于 点 E ， 设 BP=x ．
第4页（共24页）（1）求证：△ABP∽△ECP；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x
的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．
第5页（共24页）2018 年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上．】
1．（4分）下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】14：相反数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：相反数等于本身的数是0．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相
反数是0．
2．（4分）单项式2a3b的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】42：单项式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据单项式的性质即可求出答案．
【解答】解：该单项式的次数为：4
故选：C．
【点评】本题考查单项式的次数定义，解题的关键是熟练运用单项式的次数定义，
本题属于基础题型．
3．（4分）如果将抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式
是（ ）
A．y=﹣2（x+1）2 B．y=﹣2（x﹣1）2 C．y=﹣2x2﹣1 D．y=﹣2x2+1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】33：函数思想．
第6页（共24页）【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【解答】解：∵将抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣2x2+1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关
键．
4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最
中间的数，即可得出答案．
【解答】解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，
∴x=6，
把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，
则这组数据的中位数为5；
故选：C．
【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要
先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则
正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（4分）如图， ▱ABCD中，E是BC的中点，设 ， ，那么向量 用向量 、
表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质；LM：*平面向量．
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【专题】5：特定专题．
【分析】根据 = + ，只要求出 即可解决问题；
第7页（共24页）【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴ = = ，
∵BE=CE，
∴ = ，
∵ = + ， = ，
∴ = + ．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题
型．
6．（4分）如图，∠AOB=45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，
PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】JA：平行线的性质．
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【专题】55：几何图形．
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可
得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三
角形解答．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵OP是∠AOB的平分线，
第8页（共24页）∴PE=PM，
∵PN∥OB，
∴∠POM=∠OPN，
∴∠PNE=∠PON+∠OPN=∠PON+∠POM=∠AOB=45°，
∴ 的值= ．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的
性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸
的相应位置】
7．（4分）因式分解：a2﹣a= a （ a﹣ 1 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．（4分）函数： 的定义域是 x ≥ 2 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x﹣2≥0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三
个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第9页（共24页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．（4分）方程 =2的解是 x=2 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】根据解分式方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：去分母，得：x=2（x﹣1），
解得：x=2，
当x=2时，x﹣1=1≠0，
所以x=2是原分式方程的解，
故答案为：x=2．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤：①
去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
10．（4分）函数y=﹣x+2的图象不经过第 三 象限．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】先根据一次函数y=﹣x+2中k=﹣1，b=2判断出函数图象经过的象限，进而
可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=﹣x+2中k=﹣1＜0，b=2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b
＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
11．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6
点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是素数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次
这枚骰子，向上的一面的点数为素数的有3种情况，直接利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷
第10页（共24页）一次这枚骰子，向上的一面的点数为素数的有3种情况，
∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为素数的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的
取值范围为 m ＜ 4 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△
＜0，方程没有实数根．
13．（4分）如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于 4
．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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【专题】55：几何图形．
【分析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行
计算．
【解答】解：根据梯形的中位线定理，得
另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．
故答案为：4
【点评】本题考查梯形中位线，用到的知识点为：梯形中位线= （上底+下底）．
14．（4分）空气质量指数，简称AQI，如果AQI在0～50空气质量类别为优，在51
～100空气质量类别为良，在101～150空气质量类别为轻度污染，按照某市最
第11页（共24页）近一段时间的AQI画出的频数分布直方图如图所示．已知每天的AQI都是整数
那么空气质量类别为优和良的天数占总天数的百分比为 8 0 %．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】用空气质量类别为优和良的天数之和除以被抽查的总天数即可得．
【解答】解：空气质量类别为优和良的天数占总天数的百分比为
×100%=80%，
故答案为：80．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和
解决问题．
15．（4分）一辆汽车在坡度为1：2.4的斜坡上向上行驶130米，那么这辆汽车的
高度上升了 5 0 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】1：常规题型；55E：解直角三角形及其应用．
【分析】根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度
即可求得AC的值，即可解题．
【解答】解：如图，AB=130米
tanB= =1：2.4，
设AC=x，则BC=2.4x，
第12页（共24页）则x2+（2.4x）2=1302，
解得x=50，
故答案为：50．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形
中三角函数值的计算，属于基础题．
16．（4分）如果一个正多边形的中心角等于 30°，那么这个正多边形的边数是
12 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【专题】55：几何图形．
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷30°=12．
故这个正多边形的边数为12．
故答案为：12
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公
式是解题的关键．
17．（4分）如果两圆的半径之比为3：2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两
圆相交时，圆心距d的取值范围是 3 ＜ d ＜ 1 5 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】1：常规题型．
【分析】先根据比例式设两圆半径分别为3x、2x，根据内切时圆心距列出等式求出
半径，然后利用相交时圆心距与半径的关系求解．
【解答】解：设两圆半径分别为3x，2x，
由题意，得3x﹣2x=3，
解得x=3，
则两圆半径分别为9，6，
所以当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是9﹣6＜d＜9+6，
即3＜d＜15．
故答案为3＜d＜15．
【点评】本题考查了圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两
圆外离，d＞R+r；
第13页（共24页）②两圆外切，d=R+r；
③两圆相交，R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切，d=R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含，d＜R﹣r（R＞r）．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是直线BC
上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那
么点P和点B间的距离等于 2. 5 或 1 0 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得QD=BD，
QP=BP，根据三角形中位线定理可得 DE= AC，BD= AB，BE= BC，再在
Rt△QEP中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
AB= =10，
由折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，
又∵QD⊥BC，
∴DQ∥AC，
∵D是AB的中点，
∴DE= AC=3，BD= AB=5，BE= BC=4，
①当点P在DE右侧时，
∴QE=5﹣3=2，
在Rt△QEP中，QP2=（4﹣BP）2+QE2，
即QP2=（4﹣QP）2+22，
第14页（共24页）解得QP=2.5，
则BP=2.5．
②当点P在DE左侧时，同①知，BP=10
故答案为：2.5或10．
【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，
注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|tan45°﹣2sin60°|+12 ﹣（ ）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别
化简得出答案．
【解答】解：原式=|1﹣ |+2 ﹣4
= ﹣1+2 ﹣4
=﹣5+3 ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】1：常规题型．
【分析】把x+y=4变形为用含x的代数式表示y，把变形后的方程代入另一个方程，
解一元二次方程求出x的值，得方程组的解．
第15页（共24页）【解答】解：
由①得，y=4﹣x③
把③代入①，得x2﹣x（4﹣x）=8
整理，得x2﹣2x﹣4=0
解得：x =1+ ，x =1﹣ ．
1 2
把x=1+ 代入③，得y =4﹣（1+ ）=3﹣ ；
1
把x=1﹣ 代入③，得y =4﹣（1﹣ ）=3+ ；
2
所以原方程组的解为： ，
【点评】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的
关键．
21．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如果BE：EC=2：1，求∠CDF的余切值．
【考点】LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）矩形的性质得到AD=BC，AD∥BC，得到AD=AE，∠DAF=∠AEB，根据
AAS定理证明△ABE≌△DFA；
（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=AE，∠DAF=∠AEB，
在△ABE和△DFA中，
第16页（共24页），
∴△ABE≌△DFA，
∴AF=BE；
（2）∵△ABE≌△DFA，
∴AD=AE，∠DAF=∠AEB，
设CE=k，
∵BE：EC=2：1，
∴BE=2k，
∴AD=AE=3k，
∴AB= = k，
∵∠ADF+∠CDF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠CDF=∠DAE，
∴∠CDF=∠AEB，
∴cot∠CDF=cot∠AEB= = = ．
【点评】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以
及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一部分学生步行前
往，20分钟后另一部分学生骑自行车前往，设x（分钟）为步行前往的学生离开
学校所走的时间，步行学生走的路程为y 千米，骑自行车学生骑行的路程为y
1 2
千米，y 、y 关于x的函数图象如图所示．
1 2
（1）求y 关于x的函数解析式；
2
（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？
第17页（共24页）【考点】FH：一次函数的应用．
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【专题】53：函数及其图象．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y 关于x的函数解析式；
2
（2）根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达
百花公园的时间，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设y 关于x的函数解析式是y =kx+b，
2 2
，得 ，
即y 关于x的函数解析式是y =0.2x﹣4；
2 2
（2）由图象可知，
步行的学生的速度为：4÷40=0.1千米/分钟，
∴步行同学到达百花公园的时间为：6÷0.1=60（分钟），
当y =8时，6=0.2x﹣4，得x=50，
2
60﹣50=10，
答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的
性质解答．
23．（12分）如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，
CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．
第18页（共24页）【考点】L7：平行四边形的判定与性质；LC：矩形的判定．
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【专题】556：矩形 菱形 正方形；55D：图形的相似．
【分析】（1）先判定△AEM≌△DCM，可得AE=CD，再根据AD是△ABC的中线，即
可得到AD=CD=BD，依据AE∥BD，即可得出四边形AEBD是平行四边形；
（2）先判定△AEF∽△BCF，即可得到AB=3AF，依据AC=3AF，可得AB=AC，根据AD
是△ABC的中线，可得AD⊥BC，进而得出四边形AEBD是矩形．
【解答】证明：（1）∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠DCM，
又∵∠AME=∠DMC，
∴△AEM≌△DCM，
∴AE=CD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AD=CD=BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴ ，即BF=2AF，
∴AB=3AF，
又∵AC=3AF，
∴AB=AC，
第19页（共24页）又∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
又∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形、矩形的判定，等腰三角形的性质以及相似三
角形的性质的运用，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
24．（12分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，
0）和B（3，0），与y轴相交于点C，顶点为P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物
线上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P的
坐标；
（2）设E（2，t），根据两点间的距离公式，利用EA=EC得到（2﹣1）2+t2=22+（t﹣3）2，
然后解方程求出t即可得到E点坐标；
第20页（共24页）（3）直线x=2交x轴于F，作MH⊥直线x=2于H，如图，利用tan∠NEB= 得到
tan∠MEQ= ，设Q（m，m2﹣4m+3），则HE=m2﹣4m+1，QH=m﹣2，再在
Rt△QHE中利用正切的定义得到tan∠HEQ= = ，即m2﹣4m+1=2（m﹣2），
然后解方程求出m即可得到Q点坐标．
【解答】解：（1）抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣3），
即y=x2﹣4x+3，
∵y=（x﹣2）2﹣1，
∴顶点P的坐标为（2，﹣1）；
（2）抛物线的对称轴为直线x=2，
设E（2，t），
∵EA=EC，
∴（2﹣1）2+t2=22+（t﹣3）2，解得t=2，
∴E点坐标为（2，2）；
（3）直线x=2交x轴于F，作MH⊥直线x=2于H，如图，
∵∠MEQ=∠NEB，
而tan∠NEB= = ，
∴tan∠MEQ= ，
设Q（m，m2﹣4m+3），则HE=m2﹣4m+3﹣2=m2﹣4m+1，QH=m﹣2，
在Rt△QHE中，tan∠HEQ= = ，
∴m2﹣4m+1=2（m﹣2），
整理得m2﹣6m+5=0，解得m =1（舍去），m =5，
1 2
∴Q点的坐标为（5，8）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理
解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
第21页（共24页）25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinB= ，P是线段
BC上一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线
PQ 与 射 线 CD 相 交 于 点 E ， 设 BP=x ．
（1）求证：△ABP∽△ECP；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y关于x
的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠APB=∠EPC即可解决问题；
（2）作AM⊥BC于M，PN⊥AD于N．则四边形AMPN是矩形．想办法求出AQ、PN
的长即可解决问题；
（3）因为DQ∥PC，所以△EDQ∽△ECP，又△ABP∽△ECP，推出△EDQ∽△ABP，推
出△ABP相似△AQP时，△QED与△QAP相似，分两种情形讨论即可解决问题
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB，∠PQA=∠EPC，
∴∠APB=∠EPC，
第22页（共24页）∴△ABP∽△ECP．
（2）解：作AM⊥BC于M，PN⊥AD于N．则四边形AMPN是矩形．
在Rt△ABM中，∵sinB= = ，AB=5，
∴AM=3，BM=4，
∴PM=AN=x﹣4，AM=PN=3，
∵PA=PQ，PN⊥AQ，
∴AQ=2AN=2（x﹣4），
∴y= •AQ•PN=3x﹣12（4＜x＜6.5）．
（3）解：∵DQ∥PC，
∴△EDQ∽△ECP，∵△ABP∽△ECP，
∴△EDQ∽△ABP，
∴△ABP相似△AQP时，△QED与△QAP相似，
∵PQ=PA，∠APB=∠PAQ，
∴当BA=BP时，△BAP∽△PAQ，此时BP=AB=5，
当AB=AP时，△APB∽△PAQ，此时PB=2BM=8，
综上所述，当PB=5或8时，△QED与△QAP相似．
【点评】本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数、相
似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三
角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和特殊四边形解决问题
属于中考压轴题．
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第23页（共24页）日期：2018/12/24 0:04:17；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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