文档内容
2021年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）绝对值小于3的整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．6个
2．（4分）化简（a2）3的结果为（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
3．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正六边形 C．菱形 D．等边三角形
4．（4分）对数据：1、1、1、2、2、3、4，下列判断正确的是（ ）
A．中位数和众数相等
B．中位数和平均数相等
C．众数和平均数相等
D．中位数、众数和平均数都不相等
5．（4分）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的
主要方式，请试着研究函数y＝ （ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
6．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，记 ， ，则 是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣9＝ ．
第1页（共24页）9．（4分）方程 ＝1的解是 ．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
11．（4分）如果反比例函数y＝ （k为正整数），在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大
时，那么正整数k的值为 ．
12．（4分）直线y＝2x+6与两坐标轴围成的三角形面积是 ．
13．（4分）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共
11种可能，出现两者朝上面点数之和为2”的概率是 ．你同意小明的观点吗？答：
，理由是 ．
14．（4分）为了了解某区初中学生暑假中阅读课外读物的情况，小杰和小丽随机调查了该区
内60名初中学生，并将调查数据整理成下面的条形图（如图），那么估计该区在暑假中阅
读了4本课外读物的初中学生有 人．
15．（4分）如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75 米．
16．（4分）已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交
边AC于点E（如图），设AD＝x，四边形CEDF的面积为y ．（不必
写定义域）
第2页（共24页）17．（4分）在平面直角坐标系内，已知点A（3，4），如果圆A与两坐标轴有且只有3个公共点
．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．将△ABD沿对角线BD翻折，且BE：EC＝
3：2，则∠C的余切值是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣3）0+ ﹣4sin230°﹣ ．
π
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点 ＝ ，AD交OC于点E．已知
OE＝3，EC＝2．
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
22．（10分）某款轿车每行驶100千米的耗油量y升与其行驶速度x千米/小时之间的函数关
系图象如图所示，其中线段AB的表达式为y＝﹣ x+13（25≤x≤100）（140，14），即行
驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．
第3页（共24页）（1）求线段BC的表达式；
（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千
米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下
23．（12分）如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上
（1）求证：△CDE∽△ABC；
（2）当DA：EA＝ ：1时，求△CDE与△ABC的面积比．
24．（12分）如果抛物线C ：y＝ax2+bx+c与抛物线C ：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点
1 2
相同，我们称抛物线C 是C 的“对顶”抛物线．
2 1
（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线
y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形
AMBN是正方形时
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 与C 的顶点位于x轴上，那么
1 2
系数b与d，c与e之间的关系是确定的
第4页（共24页）25．（14分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，联结DE．
（1）求证：DE＝DC；
（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1：3时，求CE：AD的值；
（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB
的某个三角比的值来表示它此时的大小，请说明理由．
第5页（共24页）2021年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）绝对值小于3的整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．6个
【分析】求绝对值小于3的整数，即求绝对值等于0，1，2的整数，可以结合数轴，得出到原
点的距离等于0，1，2的整数．
【解答】解：根据绝对值的定义，则绝对值小于3的整数是0，±7．
符合要求的一共有5个，
故选：C．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，解答此题的关键是掌握绝对值的意义．
2．（4分）化简（a2）3的结果为（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【分析】利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am（n m，n是正整数），求出即可．
【解答】解：（a2）3＝a3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．正六边形 C．菱形 D．等边三角形
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断
即可．
【解答】解：A、圆既是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、正六边形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、菱形既是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
第6页（共24页）【点评】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
4．（4分）对数据：1、1、1、2、2、3、4，下列判断正确的是（ ）
A．中位数和众数相等
B．中位数和平均数相等
C．众数和平均数相等
D．中位数、众数和平均数都不相等
【分析】根据众数、中位数及平均数的定义求解，从而得出答案．
【解答】解：这组数据的众数为1，中位数为2 ＝2，
所以这组数据的中位数和平均数相等，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数、平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
5．（4分）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的
主要方式，请试着研究函数y＝ （ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．
【解答】解：根据题意x≠0，
当x＜0时，y＞7；
当x＞0时，y＞0；
故选：A．
【点评】本题考查函数的特征和性质，研究函数图象一般的方法是描点法．
6．（4分）如图，正六边形ABCDEF中，记 ， ，则 是（ ）
第7页（共24页）A． B． C． D．
【分析】如图，延长CB交FA的延长线于T．可知△ABT是等边三角形，推出AT＝AB＝FA
＝ ﹣ ，可得结论．
【解答】解：如图，延长CB交FA的延长线于T．
则 ＝ + ＝ ﹣ ，
∵∠FAB＝∠ABC＝120°，
∴∠TAB＝∠TBA＝60°，
∴△TAB是等边三角形，
∴AT＝AB＝FA，
∴ ＝ ﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，三角形法则等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的意义求解即可．
【解答】解： ＝ ＝3．
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．
第8页（共24页）8．（4分）分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+5）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣8）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，
即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
9．（4分）方程 ＝1的解是 1 ．
【分析】先将方程两边平方，然后再解分式方程，注意要检验．
【解答】解：方程两边平方得： ，
解这个分式方程得：x＝1．
检验：当x＝1时，x≠4， ，
∴原方程的解为：x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来
解． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法等．注意：用乘方法（即将
方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验
根．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 9 ．
【分析】关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k
值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝5有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣5×1×k＝0，
解得k＝2，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
根与根的判别式△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上述结论反过
来也成立．
第9页（共24页）11．（4分）如果反比例函数y＝ （k为正整数），在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大
时，那么正整数k的值为 1 ．
【分析】由已知求出k的范围再取符合条件的正整数即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k为正整数），当自变量x的值逐渐增大时，
∴2﹣k＞8，解得k＜2，
而k为正整数，
∴k＝1，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数的增减性，解题的关键是求出k取值范围．
12．（4分）直线y＝2x+6与两坐标轴围成的三角形面积是 9 ．
【分析】分别令x＝0，y＝0求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝6，
令y＝5，则x＝﹣3，
故直线y＝2x+7与两坐标轴的交点分别为（0，6），5），
故直线y＝2x+6与两坐标轴围成的三角形面积＝ |﹣3|×4＝9．
【点评】此题比较简单，只要求出直线与两坐标轴的交点即可解答．
13．（4分）掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共
11种可能，出现两者朝上面点数之和为2”的概率是 ．你同意小明的观点吗？答： 不
同意 ，理由是 1 1 种情况非等可能发生，出现两者朝上面点数之和为 2 ”的概率为
．
【分析】列表得出所有情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
第10页（共24页）共有36种等可能出现的结果，11种情况非等可能发生，
∴出现两者朝上面点数之和为2”的概率为 ，
∴不同意小明的观点．
故答案为：不同意；11种情况非等可能发生 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．（4分）为了了解某区初中学生暑假中阅读课外读物的情况，小杰和小丽随机调查了该区
内60名初中学生，并将调查数据整理成下面的条形图（如图），那么估计该区在暑假中阅
读了4本课外读物的初中学生有 150 0 人．
【分析】用样本的“读4本”课外读物的百分比估计总体的百分比，然后进行计算即可．
【解答】解：15000× ＝1500（人），
故答案为：1500．
【点评】本题考查样本估计总体，求出样本中“读4本”所占得百分比是解决问题的关键．
15．（4分）如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75 3 0 米．
第11页（共24页）【分析】先根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长
度．
【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵迎水坡AB的坡度为1：0.75
∴BC：AC＝6：0.75，
∴24：AC＝1：7.75，
∴AC＝18（米），
∴AB＝
＝ ＝30（米），
即该大坝迎水坡AB的长度为30米，
故答案为：30．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡
角定义．
16．（4分）已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交
边AC于点E（如图），设AD＝x，四边形CEDF的面积为y ．（不必写
定义域）
第12页（共24页）【分析】根据AC＝3，BC＝4，AB＝5，判断是直角三角形，根据平行，即可判断四边形
CEDF是矩形，利用相似三角形的性质求出四边形CEDF的各边，即可求出面积．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4．
∴AC3+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．∠C＝90°．
∵边BC的平行线交边AC于点E，
∴△ADE∽△ABC．
∴ ．即： ．
∴ ．
∵边AC的平行线交边BC于点F．
∴△BDF∽△BCA．
∴ ．即： ．
．
∵∠C＝90°．DE∥BC．
∴四边形CEDF是矩形．
∴四边形CEDF的面积为y＝ED•DF＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角形相似的判定和性质、矩形的判定和面积计算，关键在于利用相似
的性质表示出矩形的边的长度，比较综合．
17．（4分）在平面直角坐标系内，已知点A（3，4），如果圆A与两坐标轴有且只有3个公共点
4 或 5 ．
【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：①如图，当圆心在（3，r＝4．
②当圆心在（8，4）且经过原点时．此时 A与坐标轴有且只有3个公共点，
故答案为：2或5． ⊙
第13页（共24页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到
直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆
相离，没有交点；②d＝r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交
点．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．将△ABD沿对角线BD翻折，且BE：EC＝
3：2，则∠C的余切值是 ．
【分析】过点A作AF⊥BC于F，DH⊥BC于H，设BE＝3x，EC＝2x，分别求出CH和DH的
长，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
∴AF∥DH，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADHF是平行四边形，
又∵AF⊥BC，
∴四边形ADHF是矩形，
第14页（共24页）∴AF＝DH，AD＝FH，
在Rt△ABF和Rt△DCH中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCH（HL），
∴BF＝CH，
∵将△ABD沿对角线BD翻折，
∴AB＝BE，∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∵BE：EC＝3：2，
∴设BE＝6x，EC＝2x，
∴AB＝CD＝3x＝AD＝FH，
∴BF＝CH＝x，
∴DH＝ ＝2 x，
∴∠C的余切值＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函
数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣3）0+ ﹣4sin230°﹣ ．
π
【分析】先根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，再分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝1+ ﹣3×（ ）8﹣2
＝7+2（ + ）﹣4×
＝1+8 +2
＝2 ．
第15页（共24页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二
次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运
用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】先利用加减消元法解得y2和x2的值，再开平方解得x和y的值即可．
【解答】解：①﹣②得：5y2＝8，
∴y2＝1③，
把③代入①，得x8＝4，
∴x＝±2，y＝±3，
∴方程组的解为 ， ， ， ．
【点评】本题考查了高次方程的解法，运用整体思想、熟练掌握二元一次方程组的解法是
解题的关键．
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点 ＝ ，AD交OC于点E．已知
OE＝3，EC＝2．
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊥AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求
得AE，进而求得AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【解答】解：（1）由 ＝ ，得CO⊥AD，
在△AOE中，∠AEO＝90°，OA＝OC＝OE+CE＝5，
得AE＝ ，
第16页（共24页）所以AD＝AE+DE＝8；
（2）由CF∥AB，
得 ，
则 ．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练
掌握性质定理是解题的关键．
22．（10分）某款轿车每行驶100千米的耗油量y升与其行驶速度x千米/小时之间的函数关
系图象如图所示，其中线段AB的表达式为y＝﹣ x+13（25≤x≤100）（140，14），即行
驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．
（1）求线段BC的表达式；
（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千
米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下
【分析】（1）根据线段AB的表达式求出点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意当在省道上行驶速度为50千米/小时，在高速公路上行驶速度为100千米/小
第17页（共24页）时时，耗油最少，根据线段AB的表达式求出省道的耗油量加上在高速公路行驶的耗油量
即可求解．
【解答】解：（1）当x＝100时，y＝﹣ ，即B（100，
令BC的表达式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
所以表达式为y＝ x﹣ ；
（2）当x＝50时， ，
则当在省道上行驶速度为50千米/小时，在高速公路上行驶速度为100千米/小时时，
＝24.6（升）．
答：这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油24.6升．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键结合图形，理解图形中点的坐标代表的
意义．
23．（12分）如图，CD是直角△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上
（1）求证：△CDE∽△ABC；
（2）当DA：EA＝ ：1时，求△CDE与△ABC的面积比．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DC＝DA＝DB，所以
∠DCA＝∠A，根据已知条件和三角形外角定义即可得∠DEC＝∠B，进而可得结论；
（2）令EA＝k，DA＝ ，CE＝x，根据△CDE∽△ABC，对应边成比例可得x＝3k，进而根
据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论．
第18页（共24页）【解答】（1）证明：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠DCA＝∠A，
在△ADE中，∠DEC＝∠A+∠ADE．
又∠ADE＝∠B﹣∠A，即∠B＝∠A+∠ADE，
∴∠DEC＝∠B，
∴△CDE∽△ABC，
（2）解：令EA＝k，DA＝ ，
∵△CDE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝3k，x＝﹣3k（舍），
所以 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关
键是掌握相似三角形的判定与性质．
24．（12分）如果抛物线C ：y＝ax2+bx+c与抛物线C ：y＝﹣ax2+dx+e的开口方向相反，顶点
1 2
相同，我们称抛物线C 是C 的“对顶”抛物线．
2 1
（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线
y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形
AMBN是正方形时
（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C 与C 的顶点位于x轴上，那么
1 2
系数b与d，c与e之间的关系是确定的
第19页（共24页）【分析】（1）先求出抛物线C 的顶点坐标，进而得出抛物线C 的顶点坐标，即可得出结论；
1 2
（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），再
用点M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；
（3）先根据抛物线C ，C 的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求
1 2
出c，e的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+2，
∴顶点为（2，3），
∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+3，
即y＝﹣x5+4x﹣1；
（2）如图，由（1）知，A（7，
设正方形AMBN的对角线长为2k，
则点B（2，4+2k），3+k），6+k），
∵M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣5）2+3上，
∴6+k＝（2+k﹣2）8+3，
解得k＝1或k＝5（舍）；
∴正方形AMBN的面积为 ；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C ：y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣ ， ），
3
抛物线C ：y＝﹣ax2+dx+e的顶点为（ ， ），
7
∵抛物线C 是C 的“对顶”抛物线，
4 1
∴﹣ ＝ ，
第20页（共24页）∴b＝﹣d，
∵抛物线C 与C 的顶点位于x轴上，
1 2
∴ ＝ ＝8，
∴c＝﹣e，
即b＝﹣d，c＝﹣e．
【点评】此题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，正方形的性质，理解新定义式解本题的
关键．
25．（14分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，联结DE．
（1）求证：DE＝DC；
（2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1：3时，求CE：AD的值；
（3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB
的某个三角比的值来表示它此时的大小，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件证明△AOC≌△AOE，可得AC＝AE．再证明△ACD≌△AED，
即可得结论；
（2）由△BDE与△ABC的面积比为1：3，又△ACD≌△AED，可得△BDE、△ACD与
△AED的面积均相等．证明△ACE为等边三角形，根据含30度角的直角三角形即可得结
第21页（共24页）论；
（3）作EF∥AD交BC于点F，对应边成比例，令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，
OA＝6k，作CH⊥AE于点H，证明△CEH∽△ACO，可得 ＝ ＝ ，再根据锐角三角
形和即可得结论．
【解答】解：（1）∵AD是角平分线，
∴∠CAO＝∠EAO．
又∵CE⊥AD，
∴∠COA＝∠EOA＝90°．
又AO＝AO，
∴△AOC≌△AOE（ASA）
∴AC＝AE．
在△ACD与△AED中，
∵AC＝AE，∠CAD＝∠OAD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴DE＝DC；
（2）∵△BDE与△ABC的面积比为1：3，
∵△ACD≌△AED，
∴△BDE、△ACD与△AED的面积均相等．
∴BE＝AE＝AC，又∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE＝AC．
在△ACD中，∠ACD＝90° ＝30°，
∴ ，
即 ；
（3）存在这样的三角形，
如图，作EF∥AD交BC于点F，
第22页（共24页）则 ， ，
∵AD＝CE，
令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OA＝3k，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，得
，
∴ ．
如图，作CH⊥AE于点H，
∴∠ECH+∠CEH＝90°，
∵∠OAE+∠CEH＝90°，
∴∠ECH＝∠OAE，
∵∠OAE＝∠OAC，
∴∠ECH＝∠OAC，
∵∠CHE＝∠AOC＝90°，
∴△CEH∽△ACO，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
，
∵AH＝AE﹣EH，
∴ ，
在Rt△ACH中， ．
【点评】本题考查了相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是综
第23页（共24页）合运用以上知识．
第24页（共24页）
