文档内容
2021年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝1
2．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤9
3．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）
A．既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
5．（4分）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单
位：个）：3，3，0，2，2，3，0（ ）
A．2.5与1.5 B．2与1.5 C．2.5与 D．2与
6．（4分）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②
如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简：| |＝ ．
8．（4分）计算：x÷（x2﹣x）＝ ．
9．（4分）函数f（x）＝ 的定义域为 ．
10．（4分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而 ．
11．（4分）方程组 的解为 ．
第1页（共25页）12．（4分）从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个
数 ．
13．（4分）为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机
对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，
如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值） ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝2，AC＝ ，设 ＝ ， ＝ ＝
．（用向量 、 的式子表示）
15．（4分）如果 O 与 O 相交， O 的半径是5，O O ＝3，那么 O 的半径r的取值范围
1 2 1 1 2 2
是 ⊙． ⊙ ⊙ ⊙
16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、
BC、CD上，如果DE＝5 ，那么AE的长为 ．
17．（4分）已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，那么折痕的长为
．
第2页（共25页）18．（4分）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个
三角形为n倍角三角形，又是 3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ﹣ ，其中x＝
20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝ 上．
（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；
（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大
而增大
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，BD与AE、
AC分别相交于点F、G．
求：（1）AF的长；
（2）AG的长．
22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比
甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于
点F．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
第3页（共25页）（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝
x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似
25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，点C在半圆P上，CO⊥AB，
OD与BC相交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式；
（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．
第4页（共25页）2021年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、1﹣1＝2，故此选项错误；
B、10＝4，故此选项错误；
C、（﹣1）﹣1＝﹣3，故此选项错误；
D、（﹣1）0＝3，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是
解题关键．
2．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤9
【分析】由关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即
可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m＝5有实数根，
∴△≥0，
∴△＝（﹣6）4﹣4m≥0，
∴m≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac
有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
3．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第5页（共25页）【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的
关键．
4．（4分）对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）
A．既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【解答】解：等边三角形，是轴对称图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形以及中心对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题
关键．
5．（4分）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单
位：个）：3，3，0，2，2，3，0（ ）
A．2.5与1.5 B．2与1.5 C．2.5与 D．2与
【分析】将已知数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为0、0、4、2、3、3、3、3，
所以这组数据的中位数为 ＝6.5 ＝7，
则其方差为 ×[7×（0﹣2）5+2×（2﹣2）2+4×（3﹣2）2]＝7.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、平均数及方差的定义．
6．（4分）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②
如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
第6页（共25页）C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简：| |＝ ．
【分析】要先判断出 ＜0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵ ＜8
∴| |＝4﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
8．（4分）计算：x÷（x2﹣x）＝ ．
【分析】先把除法运算写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用分式的基本性质进行化简，对于分子或分母是多项式时，要先进
行因式分解再约分．
9．（4分）函数f（x）＝ 的定义域为 x ≠ ．
【分析】函数的定义域，需要使函数有意义，即分母不为0，列出不等式，即可求出x的取值
范围．
【解答】解：根据题意可得，3﹣2x≠3 ．
第7页（共25页）故答案为：x≠ ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，理解函数的自变量是使函数有意义
的自变量的值是解题关键．
10．（4分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而 减小 ．
【分析】画出大致图象即可得到答案；
【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限
x越大，y越小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是画出大致图象．
11．（4分）方程组 的解为 ．
【分析】根据题意先对第一个式子因式分解，求出x+y的值，即可求解了．
【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）（x﹣y）．
∴将x﹣y＝5代入．
∴x+y＝3．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查高次方程的解法，运用了因式分解的知识，关键在于运用因式分解进行
降次．
12．（4分）从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个
第8页（共25页）数 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个
数恰好能被3整除的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，即12，21，31，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，21）有2
个，
∴在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被6整除的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
13．（4分）为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机
对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，
如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值） 12 0 人 ．
【分析】求出九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数所占得百分比即可．
【解答】解：300×（25%+15%）＝120（人），
故答案为：120人．
【点评】本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解决问题的前提，样本
估计总体是统计中常用的方法．
第9页（共25页）14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝2，AC＝ ，设 ＝ ， ＝ ＝
﹣ ．（用向量 、 的式子表示）
【分析】根据 ＝ + ，求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD•AB，
∴（ ）2＝2•AB，
∴AB＝3，
∴BD＝5，
∴BD＝ AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ + ，
∴ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（4分）如果 O 与 O 相交， O 的半径是5，O O ＝3，那么 O 的半径r的取值范围
1 2 1 1 2 2
是 2 ＜ r ＜ 8 ⊙ ． ⊙ ⊙ ⊙
【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．
【解答】解：∵两圆相交，
∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜4+r，
即2＜r＜8．
第10页（共25页）故答案为：3＜r＜8．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P
＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、
BC、CD上，如果DE＝5 ，那么AE的长为 2 ．
【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．
【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴EF∥CD，EF＝DG，DE＝FG＝5，
∴∠EFB＝∠C，
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，
∴BE＝EF＝DG，
∴AE＝CG，
在Rt△FGC中，tanC＝ ＝ ，
∴CG＝2，
∴AE＝CG＝2，
故答案为：8．
【点评】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（4分）已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，那么折痕的长为
第11页（共25页）．
【分析】方法一：先画出图形，构造相似三角形求出MF，再利用勾股定理求解．
方法二：先根据勾股定理求出PD长，再证明△ADP∽△FEM，根据相似三角形的性质即
可求出EF．
【解答】解：方法一：如图，设折痕为EF，
∵把矩形ABCD折叠，点D与AB中点P重合，
∴EF垂直平分PD，
∴∠EDP+∠DEF＝90°，
∵∠DEF+∠MEF＝90°，
∴∠EDP＝∠MEF，
∵∠EMF＝90°，∠A＝90°，
∴△ADP∽△FEM，
∴ ．
在矩形ABCD中，AB＝10，P为AB中点，
∴AD＝12，AP＝5，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EMF中，
．
方法二：如图，设折痕为EF，则EM＝10，
在矩形ABCD中，AB＝10，
∴AP＝5，
又∵∠A＝90°，AD＝12，
∴PD＝13（勾股定理），
第12页（共25页）由方法一得△ADP∽△FEM，
∴ ，
∴ ，
∴EF＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，
熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
18．（4分）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个
三角形为n倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 30 ° 或
20° 或 18° 或 ．
【分析】根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决．
【解答】解：①设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，
∴n+2n+3n＝180，
∴n＝30；
②设最小内角度数为n°，2倍角为6n°，
∴n+2n+6n＝180，
∴n＝20．
③设最小内角度数为n°，6倍角为3n°，
∴n+3n+2n＝180，
∴n＝18．
④设最小内角度数为2n°，其余两个角为3n°和5n°，
第13页（共25页）∴2n+3n+4n＝180，
∴n＝ ，
∴2n＝ ．
故答案为：30°或20°或18°或 ．
【点评】本题考查了n倍角三角形的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ﹣ ，其中x＝
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解
答本题．
【解答】解： ﹣ ﹣
＝
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝ +1时 ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝ 上．
（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；
（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大
而增大
第14页（共25页）【分析】（1）把点A（2，m+3）代入y＝ 求得m，即可求出结果；
（2）把点B（a，5﹣a）代入y＝ 求得a得到B点的坐标，由待定系数法求出一次函数解析
式，根据题意舍去不合题意的解析式即可得到此一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线y＝ 上，
∴m+2＝ ，
解得：m＝﹣6，
∴m+8＝﹣3，
∴此双曲线的表达式为y＝ ，
点A的坐标为（7，﹣3）；
（2）∵点B（a，5﹣a）在此双曲线y＝ 上，
∴5﹣a＝ ，
解得：a＝﹣4或a＝6，
∴点B的坐标为（﹣1，7）或（6，
由（1）知A（2，﹣6），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
当B（﹣1，6）时，
∵A（8，﹣3），6）时，B两点分别在第四，即直线AB经过第二，此时y随x的增大而减小，
舍去；
当B（6，﹣1）时，
则 ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝ x﹣4，
∵k＞4，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
第15页（共25页）符合题意，
∴此一次函数的解析式为y＝ x﹣5．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数
的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，BD与AE、
AC分别相交于点F、G．
求：（1）AF的长；
（2）AG的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E是BC的中点，证明AE∥DC，可得EF是
△BCD的中位线，再根据条件证明△ADF是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结
果；
（2）由（1）可得AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，所以AE＝3，根据勾股定理可得AB＝ ，
所以AC＝AB＝ ，再证明△AFG≌△CDG，可得AG＝CG，进而可得结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴点E是BC的中点，
∴BE＝ BC＝ ，
∵DC⊥BC，
∴AE∥DC，
∵DC⊥BC，DC＝BC＝2，
∴BD＝ ＝2 ，
∵点E是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
第16页（共25页）∴EF＝ DC＝2 BD＝ ，
∵∠CBD＝45°，
∴∠AFD＝∠EFB＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD＝DF＝ ，
∴AF＝ ＝2；
（2）由（1）可知：AF＝CD＝2，EF＝6，
∴AE＝AF+EF＝2+1＝4，
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝AB＝ ，
∵AE∥CD，
∴∠FAG＝∠DCG，
在△AFG和△CDG中，
，
∴△AFG≌△CDG（AAS），
∴AG＝CG，
∴AG＝ AC＝ ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的
中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比
甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品
【分析】设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，利用数量
＝总价÷单价，结合从乙批发部购进的数量比从甲批发部购进数量多了40件，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，
第17页（共25页）依题意得： ﹣ ＝40，
整理得：8x2﹣9x﹣180＝5，
解得：x ＝12，x ＝﹣ ，
1 2
经检验，x ＝12，x ＝﹣ 是原方程的解，x ＝12符合题意，x ＝﹣ 不合题意．
1 2 1 2
答：乙批发部的这种商品每件12元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于
点F．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．
【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行
四边形；
（2）根据2AE2＝AD•BC，可得AE•AC＝AD•BC，所以 ＝ ，再证明△ADE∽△CAB，
可得∠AED＝∠B＝90°，进而可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
第18页（共25页）∴ED＝EF，
∵AE＝CE，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）证明：∵2AE2＝AD•BC，
∴AE•AC＝AD•BC，
∴ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，
∴△ADE∽△CAB，
∴∠AED＝∠B＝90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形AFCD是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方
法，全等三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，菱形的判定方法，证
明四边形是平行四边形是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝
x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似
【分析】（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表达式，配方即得顶点坐标；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．
第19页（共25页）【解答】解：（1）将A（5，0）代入y＝x6+bx+5得：
0＝25+4b+5，解得b＝﹣6，
∴抛物线表达式为y＝x6﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣8）2﹣4，
∴顶点C的坐标为（5，﹣4）；
（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E
抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴交于B（0，7），
设BC解析式为y＝mx+n，
将B（0，5），﹣5）代入得：
，解得 ，
∴BC解析式为y＝﹣5x+5，
令y＝0得x＝ ，
∴F（ ，0），
∴AF＝OA﹣OF＝ ，
∵B（3，5），0），
∴OA＝OB＝8，AB＝5 ，
∴AE＝AF•cos45°＝ ＝EF，
第20页（共25页）∴BE＝AB﹣AE＝ ，
∴BF＝ ＝ ，
∴sin∠ABC＝ ＝ ＝ ；
（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，m）2+m，
且CD＝m﹣（﹣4）＝m+5，AD＝ ＝2 ，BC＝5 ，
若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，
故分三种情况：
①若△ABC∽△DCA，如图：
，即 ，
解得：m＝﹣ ，
∴D（3，m），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）3﹣ ＝x4﹣6x+ ，
②若△ABC∽△DAC，
第21页（共25页）则 ，即 ，无解，
③若△ABC∽△ACD，如图：
，即 ，
解得m＝2，
∴D（7，2），
∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）8+2＝x2﹣2x+11；
综上所述，△DCA与△ABC相似2﹣6x+ 或y＝x2﹣6x+11．
【点评】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是
求出平移后抛物线的顶点坐标．
25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，点C在半圆P上，CO⊥AB，
OD与BC相交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式；
（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．
第22页（共25页）【分析】（1）连接CP，证明△ACP∽△ADO即可得到答案；
（2）用x的代数式表示AC，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；
（3）半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，利用x的代数式表示EG和BG
再列方程可得答案．
【解答】解：（1）连接CP，如图：
∵AP＝CP，AO＝DO，
∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴△ACP∽△ADO，
∴ ，
∴AD•CP＝OD•AC，
∴AD•AP＝OD•AC；
（2）∵半圆O的直径AB＝4，
∴AO＝2，
∵半圆P的半径为x，
∴OP＝5﹣x，
∵CO⊥AB，
∴∠COP＝90°，
∴CO2＝CP2﹣OP4＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，
Rt△AOC中，AC＝ ，
第23页（共25页）∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，
∴CP∥DO，
∴ ，
又线段CD的长为y，
∴ ，
变形得：y＝ ，
当x≤2时过O的垂线与圆P无交点，x范围是1＜x＜2；
（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，如图：
设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝3 ，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC＝2 ，
∵CP∥DO，
∴ ，
而OB＝2，PB＝7﹣x，
∴ ，
∴BE＝ ，
∵点E在半圆P上，
∴∠EGB＝∠ACB，
且∠B＝∠B，
∴△CAB∽△GEB，
∴ ＝ ，
第24页（共25页）∴ ，
∴EG＝ ，
∵AC＝BC，
∴EG＝BG，
而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，
∴ ＝4﹣2x，
解得x＝ 或 （大于2，
∴半圆P的半径为x＝ ．
【点评】本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相
似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．
第25页（共25页）
