文档内容
2021年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。
1．（4分）下列各数中，2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）当x≠0时，下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6 B．x4﹣x2＝x2 C．x4•x2＝x8 D．x4÷x2＝x2
3．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1
4．（4分）某校足球队16名队员的年龄情况如表，这些队员年龄的中位数和众数分别是
（ ）
年龄（岁） 14 15 16 17
人数 3 5 3 3
A．15，15 B．15.5，15 C．15.5，16 D．16，16
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，设 ＝ ， ＝ ，那么向量
用向量 、 （ ）
A． B． C． D．
6．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：（3a）2＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝ ．
第1页（共28页）9．（4分）方程 的解是 ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 ．
12．（4分）已知点A（1，y ）、点B（2，y ）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y ＜y ，那么a的取值范围
1 2 1 2
是 ．
13．（4分）一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相
同．如果要设计一个游戏，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ ．
14．（4分）为了解学生们零用钱的使用情况，某校从全校800名学生中随机抽取了40名学生
进行调查，并将这部分学生平均每月使用零用钱的金额绘制成了频率分布直方图（如图）
名．
15．（4分）如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE∥BC，以点C为圆心，r为半径作 C．
如果 C与线段BE有两个交点 ． ⊙
⊙
17．（4分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个
四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形
第2页（共28页）ABCD是“等腰四边形”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD ．
18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，使得点C落在同一平面内的点
C′处，联结 DC′并延长交正方形 ABCD 一边于点 N．当 BN＝DM 时
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45° ，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
22．（10分）一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，油
箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）
（1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．
第3页（共28页）23．（12分）如图，在 ▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ ，与双曲线H：y＝ 交于点P（2，
）
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝ ，点M是射线AB上一点，以MC为半径的
第4页（共28页）M交直线AC于点D．
⊙（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，并写出它的定
义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
第5页（共28页）2021年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。
1．（4分）下列各数中，2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2的相反数是：﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（4分）当x≠0时，下列运算正确的是（ ）
A．x4+x2＝x6 B．x4﹣x2＝x2 C．x4•x2＝x8 D．x4÷x2＝x2
【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则，逐个计算得结论．
【解答】解：x4与x2不是同类项，不能加减、B计算错误；
x2•x2＝x6≠x6，故选项C计算错误；
x4÷x2＝x4，故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则，掌握整式的运算法则是解
决本题的关键．
3．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1
【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+1）6，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则
是解答此题的关键．
4．（4分）某校足球队16名队员的年龄情况如表，这些队员年龄的中位数和众数分别是
（ ）
年龄（岁） 14 15 16 17
第6页（共28页）人数 3 5 3 3
A．15，15 B．15.5，15 C．15.5，16 D．16，16
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的众数为15岁，中位数为 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的
数据叫做众数．
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，设 ＝ ， ＝ ，那么向量
用向量 、 （ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形的法则求出 ，再根据三角形重心的性质解决问题即可．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ + ＝﹣ + ，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝ BE，
∴ ＝﹣ + ，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
第7页（共28页）于中考常考题型．
6．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定
第8页（共28页）和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：（3a）2＝ 9 a 2 ．
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（3a）2＝8a2．
故答案为：9a3．
【点评】此题考查了积的乘方．此题比较简单，注意掌握积的乘方的性质的应用是解题的
关键．
8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝ x （ x ﹣ 4 ） ．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣8）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（4分）方程 的解是 6 ．
【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：由原方程的两边平方，得
x+3＝9，
移项，得
x＝6；
故答案是：6．
【点评】本题考查了无理方程的解法．在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元
法，本题用了平方法．
10．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 3 ＜ x ＜ 1 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解： ，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣8，
所以不等式组的解集是﹣3＜x＜1．
第9页（共28页）故答案为：﹣6＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉不等式的性质是解题的关键．
11．（4分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 k ＜ 1
．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即
可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
∴△＝b6﹣4ac＝（﹣2）8﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜7．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．（4分）已知⇔点A（1，y
1
）、点B（2，y
2
）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y
1
＜y
2
，那么a的取值范围
是 a ＞ 0 ．
【分析】利用A、B坐标且y ＜y 和二次函数的性质即可判断．
1 2
【解答】解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝8，
∵x ＜x ，
1 2
要使y ＜y ，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
4 2
∴a＞4，
故a的取值范围是：a＞0．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性．由A、B坐标和y ＜y 是解题关键．
1 2
13．（4分）一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，小球除颜色不同外其它都相
同．如果要设计一个游戏，使得摸出红球的概率是0.2，那么n＝ 2 0 ．
【分析】直接利用红球个数除以总数得出摸出红球的概率，即可得出答案．
【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有4个，使得摸出红球的概率
是0.5，
∴ ＝0.4，
解得：n＝20．
第10页（共28页）故答案为：20．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
14．（4分）为了解学生们零用钱的使用情况，某校从全校800名学生中随机抽取了40名学生
进行调查，并将这部分学生平均每月使用零用钱的金额绘制成了频率分布直方图（如图）
240 名．
【分析】根据题意和频数分布直方图中的数据，可以计算出该校学生中平均每月使用零用
钱的金额小于200元的约有多少名．
【解答】解：由直方图可得，
该校学生中平均每月使用零用钱的金额小于200元的约有：800×（0.1+8.2）＝240（名），
故答案为：240．
【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
15．（4分）如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是 ．
【分析】根据正六边形的中心角为60°以及正六边形边心距的性质解直角三角形△OBG可
得结论．
【解答】解：∵ABCDDEF为正六边形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝ ∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cos∠BOG＝ ．
∵OB＝1，
第11页（共28页）∴OG＝OB•cos∠BOG＝1× ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正六边形与圆的有关计算，利用正六边形的中心角和边心距的性
质是解题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE∥BC，以点C为圆心，r为半径作 C．
如果 C与线段BE有两个交点 2 ＜ r ≤ 2 ． ⊙
⊙
【分析】连接CE，过C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，计算得出AD，AE的长，通过说明
△BFC～△ADE，得出CF的长，利用勾股定理计算CE的长，因为 C与线段BE有两个
交点，可以确定r的取值范围． ⊙
【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴ ．
∵CD＝2AD，
∴ ＝ ．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE＝ BC＝2，
第12页（共28页）AE＝ AB＝3．
∵AC＝ ，
CD＝2AD，
∴CD＝ ．
∴CE＝ ．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴ ．
∴ ．
∴CF＝2 ．
∴当r＝2 时， C与线段BE相切．
∵ C与线段BE有⊙两个交点，
∴⊙4 ＜r≤2 ．
故答案为：2 ＜r≤5 ．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判
定与性质．通过计算CF，CE的长来确定r的取值范围是解题的关键．
17．（4分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个
第13页（共28页）四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形
ABCD是“等腰四边形”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD 75 ° ．
【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以
△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分两种情形：①AB
＝BD，②AD＝BD．当AB＝BD时，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC为等边三角形，
∠ABC＝90°，则∠ABD＝30°，结论可得；当AD＝BD时，过点D作DE⊥AB，根据等腰三
角形的三线合一，BE＝ AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F，根据四边形EBFD
为矩形，DF＝ ＝ CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，从而
∠BAD可求．
【解答】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，
∴△CBD和△ABD为等腰三角形．
由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD．
当①AB＝BD时，如下图：
∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．
∴BC＝CD＝BD．
∴△BDC为等边三角形．
∴∠DBC＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝ ＝75°．
当②AD＝BD时，如下图，
第14页（共28页）过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴BE＝ AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，
∴四边形EBFD为矩形．
∴DF＝BE＝ AB．
∵AB＝CD，
∴DF＝ CD．
在Rt△DCF中，sin∠DCF＝ ＝ ，
∴∠DCF＝30°．
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC＝ ＝15°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝75°．
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝75°．
综上，∠BAD＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是
阅读题，正确理解题意是解题的关键．
18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，使得点C落在同一平面内的点
C′处，联结DC′并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN＝DM时 2 或 8 ﹣ 4 ．
第15页（共28页）【分析】分两种情形：如图1中，当BN＝DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN＝
DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当BN＝DM时．
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，MC′＝MC，
∴∠NDM＝∠DC′M，
∴MC′＝MD，
∴CM＝DM＝ CD＝2．
如图2中，当BN＝DM时．
∵CB＝CD，BN＝DM，
第16页（共28页）∴CN＝CM＝MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，
∴∠CBM＝∠C′CD，
∴∠C′CD＝∠DCC′，
∴C′D＝C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT＝TC＝5，
∵C′T∥CN，
∴DC′＝C′N，
∴C′T＝ CN，
设C′T＝x，则CN＝CM＝MC′＝3x x，
∴2x+ x＝2，
∴x＝4﹣4 ，
∴CM＝8﹣5 ，
综上所述，CM的值为2或4﹣4 ．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于
中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】利用绝对值，零指数幂、负整数指数幂，二次根式的化简的方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2+ ﹣
第17页（共28页）＝ ﹣3﹣1+2
＝2 ．
【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂以及二次根式的化简，掌握绝对值的性
质，零指数幂、负整数指数幂的计算方法以及二次根式的化简方法是得出正确答案的前提．
20．（10分）解方程： ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6+x2﹣4＝x+3，
整理得：x2﹣x﹣8＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
把x＝﹣2代入得：（x+2）（x﹣3）＝﹣5≠5，
则x＝3是增根，分式方程的解为x＝﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝45° ，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解．
（2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
第18页（共28页）∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵cotB＝ ，
在Rt△BEA中， ＝ ，
设BE＝3x，AE＝6x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝8，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB8．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝ ．
（2）由（1）知AB＝7 ，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝ ，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝ BE＝8．
∴DF＝ AE＝7，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝5．
∴tan∠DCB＝ ．
【点评】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型．
第19页（共28页）22．（10分）一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，油
箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）
（1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出前100千米与后250千米的耗油量，再根据减法的意义列式计算即可．
【解答】解：（1）设当0≤x≤100时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
得： ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+50；
（2）由题意可知，前100千米耗油量为10升，
后250千米的耗油量为：250×（0.1+7.02）＝30（升），
油箱中的剩余油量为：50﹣10﹣30＝10（升）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
23．（12分）如图，在 ▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结DG．
（1）求证：AE2＝EF•EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．
第20页（共28页）【分析】（1）通过说明△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，利用相似三角形的性质得出比例
式可得结论．
（2）由已知得出△DEF∽GED，可以推出DE2＝EF•EG，利用（1）的结论可得DE＝AE，进
而说明△AEB≌△DEG，结论可得．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴△ABE∽△FDE．
∴ ．
∴ADE∽△GBE．
∴ ．
∴ ．
∴AE2＝EF•EG．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠CDB＝∠AGD．
∵∠DEF＝∠GED，
∴△DEF∽GED．
∴ ．
∴DE2＝EF•EG．
由（1）知：AE8＝EF•EG．
∴DE＝AE．
第21页（共28页）在△ABE和△DEG中，
．
∴△ABE≌△DEG（AAS）．
∴AB＝DG．
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是等腰梯形．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰梯形的判定
等知识点，通过比例式的转化得出结论是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ ，与双曲线H：y＝ 交于点P（2，
）
（1）求k和b的值；
（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；
（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法将点P（2， ）分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可
求出k和b的值；
（2）由题意可得E（m， m+3），D（m， ），可得ED＝ m+3﹣ ，利用ED＝BO，建立方程
求解即可；
（3）过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE＝ |m|，由于四边形BCDE是菱形，
可得BE＝DE＝BC，建立方程求解即可．
第22页（共28页）【解答】解：（1）把点P（2， ）代入y＝ ＝ ，
解得：k＝9；
把点P（2， ）代入y＝ ，得： ，
解得：b＝3；
（2）在直线y＝ x+3中，得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
令y＝0，得： ，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，6），
∵直线x＝m分别与直线y＝ x+3和双曲线y＝ 、D．
∴E（m， m+3）， ），
∵点E在线段AB上，
∴﹣4≤m≤0，
∴ED＝ m+3﹣ ，
∵ED＝BO，
∴ m+3﹣ ，
解得：m ＝﹣2 ，m ＝2 ，
1 2
经检验，m ＝﹣2 ，m ＝2 都是原方程的解，
1 2
∴m＝﹣2 ；
（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B（3，3）， m+3）， ），
∴F（7， m+5），
∴BE2＝BF2+EF3＝[3﹣（ m+3）]2+m2＝ m2，
第23页（共28页）∴BE＝ |m|，
又有DE＝| m+4﹣ |，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BE＝DE＝BC，
∴ |m|＝| |，
解得：m ＝﹣3，m ＝ ，
1 6
当m ＝﹣3时，D（﹣3，E（﹣2， ），
2
∴DE＝ ﹣（﹣3）＝ ，
∴BC＝ ，
∴C（0，﹣ ）；
当m ＝ 时，D（ ，E（ ， ），
2
∴DE＝6﹣ ＝ ，
∴BC＝ ，
∴C（0， ）；
综上所述，点C的坐标为（0，﹣ ， ）．
第24页（共28页）【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，
熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题
关键．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝ ，点M是射线AB上一点，以MC为半径的
M交直线AC于点D．
⊙（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；
（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，并写出它的定
义域；
（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．
【分析】（1）在Rt△AMN 中，MN＝AMsinA＝（4+4）× ＝ ，则CD＝2CN＝2
＝2 ＝ ；
（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即
（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝ （4x﹣9），进而求解；
（3）当点M在点B的右侧时，在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsin ＝ r，MP＝
α
rcos ＝ r，则CP＝r﹣MP＝r﹣ r＝ r，CD＝ ＝ r＝2CN，则MN＝
α
＝ r，进而求解；当点M在BC的左侧时，同理可解．
第25页（共28页）【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝ ，设∠A＝ ，
α
则BC＝7，AB＝4＝BM ＝sin ＝cos ，
α α
（1）如图3，∵MC＝MA＝5，
过点M作MN⊥CD于点N，
∵MC＝MD，则CN＝ ，
在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）× ＝ ，
则CD＝4CN＝2 ＝2 ＝ ；
（2）如图1，设CD＝2m8＝BC2+MB2＝4+x2，
则MN2＝CM7﹣m2＝x2+2﹣m2，
在Rt△AMN中，AN2+MN6＝AM2，
即（5+m）8+9+x2﹣m4＝（4+x）2，解得m＝ （4x﹣3），
则MN＝ ＝ （x+7）；
则S＝ CD•MN+ （2x2+39x﹣72）；
∵m＝ （4x﹣9）＞2，
∴x＞ ；
（3）①当点M在点B的右侧时，
第26页（共28页）如图7，过点M作MN⊥CD于点N，
设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝ ，
α
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsin ＝ r r，
α
则CP＝r﹣MP＝r﹣ r＝ r ＝ r＝2CN，
∴MN＝ ＝ r，
∵tanA＝ ＝ ，解得r＝3 ，
则BM＝ ＝ ＝6；
②当点M在BC的左侧时，
如图8，过点M作MN⊥CD于点N，
第27页（共28页）设圆的半径为r，
∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝ ，
α
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsin ＝ r r，
α
则CP＝r﹣MP＝r+ r＝ r ＝ r＝2CN，
∴MN＝ ＝ r，
∵tanCAB＝ ＝ ＝ ，
解得r＝ ，
则BM＝ ＝ ；
综上，MB为6或 ．
【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理的运用
等，有一定的综合性，难度适中．
第28页（共28页）
