文档内容
2021年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，1） C．（5，1） D．（2，﹣2）
3．（4分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
5．（4分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
6．（4分）已知 O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，那么 B的半径r的取值
范围是（ ⊙ ） ⊙
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）计算：8 ＝ ．
8．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝ ．
9．（4分）方程 ＝1的解是 ．
10．（4分）数0.00035用科学记数法表示为 ．
11．（4分）用换元法解方程 ＝3时，设 ＝y ．
12．（4分）已知反比例函数 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的
取值范围是 ．
13．（4分）布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随
机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 ．
第1页（共22页）14．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为
13、10、6、7 ．
15．（4 分）如图，已知 ▱ABCD，E 是边 CD 的中点，与 BC 的延长线交于点 F．设
，用 表示 为 ．
16．（4 分）已知正三角形 ABC 外接圆的半径为 2，那么正三角形 ABC 的面积为
．
17．（4分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200
米到达 B 处 ，且 H、A、B、P 在同一平面内，那么电视塔的高度 PH 为
米．（结果保留根号形式）
18．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上
的点D处，交边BC于点F，如果DE∥BC ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣ ．
第2页（共22页）20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，以边AC上一点O为圆心
（1）求 O的半径；
（2）点⊙P是劣弧 的中点，求tan∠PAB的值．
22．（10分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿
车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为（t 小时）（千米），图中线段AB表示从两车发
车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域）
（2）求两车的速度．
23．（12分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，垂足为E，作EF⊥CE，交边
AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△BEC；
（2）若AB＝BC，求证：AF＝AD．
第3页（共22页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y
＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，交边AC于点D，E是BC边上一点，过点A作
AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求
第4页（共22页）2021年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两
个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 ＝2 ，不是最简二次根式；
B、 不能化简，符合题意；
C、 ＝ ，能化简，不符合题意；
D、 ＝ ，能化简，不符合题意；
故选：B．
【点评】考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不
是最简二次根式．
2．（4分）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，1） C．（5，1） D．（2，﹣2）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+4向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）6+1+3，即y＝（x﹣2）
2+4，
顶点坐标为（5，4），
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．（4分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
第5页（共22页）【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等
式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝16﹣6k≥0，
即k≤4，且k≠7．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项
系数不为零这一隐含条件．
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数
据的离散程度或波动大小进行选择．
【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故选：C．
【点评】本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．
5．（4分）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．4 B．5 C．10 D．15
【分析】已知三角形的两边长分别为4和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意
两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜7+3．
因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，
只有10符合不等式，
故选：C．
【点评】考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三
角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
6．（4分）已知 O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，那么 B的半径r的取值
范围是（ ⊙ ） ⊙
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
【分析】求得 B内切于 O时 B的半径和 O内切于 B时 B的半径，根据图形即可
求得． ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：如图，当 B内切于 O时，
⊙ ⊙
第6页（共22页）当 O内切于 B时， B的半径为3+2＝5，
∴⊙如果 B与⊙O有公⊙共点，那么 B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故选：D⊙． ⊙ ⊙
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）计算：8 ＝ 2 ．
【分析】根据分数指数幂的定义，转化为根式即可计算．
【解答】解：8 ＝ ＝8．
故答案为2．
【点评】本题考查分数指数幂，解题的关键是熟练掌握分数指数幂的定义，转化为根式进
行计算，属于基础题．
8．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝ （ a + 2 b ）（ a ﹣ 2 b ） ．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b5＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+4b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
9．（4分）方程 ＝1的解是 x ＝ 2 ．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
【解答】解： ，
两边平方得，2x﹣3＝3，
解得，x＝2；
经检验，x＝2是方程的根；
第7页（共22页）故答案为x＝5．
【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方
程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增
根，应注意验根．
10．（4分）数0.00035用科学记数法表示为 3.5×1 0 ﹣ 4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00035用科学记数法表示为3.4×10﹣4．
故答案为：3.5×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（4分）用换元法解方程 ＝3时，设 ＝y y 2 ﹣ 3 y + 2 ＝ 0 ．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设 ＝y，则 ．
所以原方程可变形为： ．
方程的两边都乘以y，得
y3+2＝3y．
即y6﹣3y+2＝7．
故答案为：y2﹣3y+2＝0．
【点评】本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元（未知数），换元，解元，还元．
12．（4分）已知反比例函数 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的
取值范围是 k ＞ 2 ．
【分析】由于反比例函数 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，可知比
例系数为正数，据此列出不等式解答即可．
【解答】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，
∴k﹣2＞5，
第8页（共22页）解得k＞2．
故答案为k＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，要知道：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，
在每个象限内y的值随x的值增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，
在每个象限内y的值随x的值增大而增大．
13．（4分）布袋中装有4个红球和5个白球，它们除颜色不同外其他都相同．如果从布袋中随
机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球
的概率．
【解答】解：∵一个布袋里装有4个红球和5个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数，再利用概率公式求出
是解决问题的关键．
14．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为
13、10、6、7 0. 1 ．
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
【解答】解：第5组的频数为：40﹣13﹣10﹣6﹣6＝4，
第5组的频率为： ＝0.1，
故答案为：5.1．
【点评】本题考查频数与频率，解题的关键是熟练运用频数与频率的关系，本题属于基础
题型．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和．频率＝ ．
15．（4 分）如图，已知 ▱ABCD，E 是边 CD 的中点，与 BC 的延长线交于点 F．设
，用 表示 为 +2 ．
第9页（共22页）【分析】利用三角形中位线的性质得到BC＝FC，在△ABF中，利用三角形法则求得 ．
【解答】解：在 ▱ABCD中，CD∥AC．
∵E是边CD的中点，
∴CE是△ABF的中位线，
∴BC＝CF．
在四边形ABCD中，AD＝BC， ＝ ，则 ＝2 ．
∵ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ +2 ．
故答案是： +3 ．
【点评】本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求
得答案．
16．（4分）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为 3 ．
【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得三角形的边长即可求得本题的答案．
【解答】解：如图所示：
连接OA、OB，过O作OD⊥BC于D，
∵正三角形ABC外接圆的半径为2，
∴OA＝OB＝OC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∵OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，OD＝ ×2＝1，
∴BD＝ OD＝ ，
∴BC＝2BD＝7 ，
∴S△ABC ＝ BC×AD＝ ×2 ×2 ，
故答案为：8 ．
第10页（共22页）【点评】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、面积的计算；熟练掌握正三角形的
性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17．（4分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60°，沿山坡向上走200
米到达B处 ，且H、A、B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 10 0 米．（结
果保留根号形式）
【分析】过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM，由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，
∠PAH＝60°，由坡度的定义求出∠BAM＝30°，再证△PAB是等腰直角三角形，得PA＝AB
＝200米，然后在Rt△PAH中，sin∠PAH＝ ＝sin60°＝ ，即可求解．
【解答】解：过B作BM⊥HA于M，过B作BN∥AM
则∠AMB＝90°，∠ABN＝∠BAM，
由题意得：AB＝200米，∠PBN＝15°，
∵山坡AB的坡度i＝1： ，
∴tan∠BAM＝3： ＝ ，
∴∠BAM＝30°，
∴∠ABN＝30°，
∴∠PAB＝180°﹣∠PAH﹣∠BAM＝90°，∠ABP＝∠ABN+∠PBN＝45°，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴PA＝AB＝200米，
在Rt△PAH中，sin∠PAH＝ ，
第11页（共22页）∴PH＝ PA＝100 ，
故答案为：100 ．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，熟练掌握等腰直
角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
18．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上
的点D处，交边BC于点F，如果DE∥BC ．
【分析】根据折叠的性质可得EC＝ED，FC＝FD，∠CEF＝∠DEF，EF是CD的垂直平分
线，进而得出四边形CEDF是正方形，设未知数，利用相似三角形、直角三角形的边角关
系求解即可．
【解答】解：如图，由折叠可知，FC＝FD，EF是CD的垂直平分线，
∵DE∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝∠DEF＝45°，
∴∠CED＝∠ECF＝∠EDF＝90°
∴四边形CEDF是正方形，
设CF＝x，则AE＝6﹣x，
由△AED∽△DFB得，
＝ ，
第12页（共22页）即， ＝ ，
解得，x＝ ，
在Rt△CEF中，
EF＝ CF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查折叠轴对称，正方形的判定和性质，相似三角形以及直角三角形的边角
关系，理解折叠轴对称的性质和直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中x＝﹣ ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子
即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝﹣ 时，原式＝ ＝ ．
第13页（共22页）【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】因式分解②，得两个二元一次方程，这两个二元一次方程和①联立组成新的方程
组，求解即可．
【解答】解：由②，得（x+5y）（x﹣y）＝0，
所以x+2y＝0③或x﹣y＝0④．
由①③、①④组成新的方程组为：
， ．
解这两个方程组，
得 ， ．
所以原方程组的解为； ， ．
【点评】本题考查了高次方程，掌握因式分解和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
21．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，以边AC上一点O为圆心
（1）求 O的半径；
（2）点⊙P是劣弧 的中点，求tan∠PAB的值．
【分析】（1）如图1，连接OB，设 O的半径为r，解直角三角形求出AC的长，利用勾股定
理列方程可得结论； ⊙
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，先根据垂径定理可得OE和PE的长，最后根据三
角函数定义可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OB，
第14页（共22页）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，
∴ ＝6，
∴ ＝2，
∴AC＝8，
设 O的半径为r，则OB＝r，
在⊙Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC3，
∴r2＝（8﹣r）3+42，
解得：r＝6，
∴ O的半径为5；
⊙
（2）如图2，连接OP，OP交AB于E，
Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝4，
Rt△ACB中，AB＝ ＝ ，
∵点P是劣弧 的中点，
∴OP⊥AB，
∴AE＝BE＝2 ，
第15页（共22页）∴OE＝ ＝ ＝ ，
∴EP＝OP﹣OE＝5﹣ ，
Rt△AEP中，tan∠PAB＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时轿
车比货车多行驶了90千米．设行驶的时间为（t 小时）（千米），图中线段AB表示从两车发
车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）求s关于t的函数关系式；（不必写出定义域）
（2）求两车的速度．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得，甲、乙两地之间的距离为450千米，设两车相遇时，设轿车和货车的速度
分别为v 千米/小时，v 千米/小时，根据相遇时：轿车路程+货车路程＝甲乙两地距离，轿
1 2
车路程﹣货车路程＝90，列方程组求解即可求出两车速度．
【解答】解：（1）设s关于t的函数关系式为s＝kt+b，根据题意
，
解得 ，
∴s＝﹣150t+450；
（2）由s＝﹣150t+450，可知甲，
设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为v 千米/小时，v 千米/小时，根据题意，
1 2
第16页（共22页）得： ，
解得 ，
故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时．
【点评】本题考查了一次函数在实际生活中的应用，其中涉及到运用待定系数法求函数的
解析式，从图象中获取相关信息及利用数形结合思想是解决本题的关键．
23．（12分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，垂足为E，作EF⊥CE，交边
AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△BEC；
（2）若AB＝BC，求证：AF＝AD．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝∠CEF＝∠ABC＝90°，利用同角的余角相等可得
∠EAF＝∠CBE，∠AEF＝∠BEC，即可证明结论；
（2）先证明△ABE∽△DBA，再结合（1）中△AEF∽△BEC，应用相似三角形性质即可证明
结论．
【解答】解：（1）证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，
∴∠AEB＝∠CEF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EAF＝∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠EAF＝∠CBE，
∵∠AEF+∠BEF＝∠BEC+∠BEF＝90°，
∴∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF∽△BEC；
（2）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，
第17页（共22页）∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°＝∠BAD，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ＝ ，
∵△AEF∽△BEC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AF＝AD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，垂直定义等，是一道基础
题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y
＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．
第18页（共22页）【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位
即得C坐标；
（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D
和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝8得y＝3，
∴A（﹣1，8），3），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．
∴C（8，3）；
（2）∵A（﹣1，6）2+bx﹣5a经过点A，
∴3＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝ ＝﹣ ；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E
设OC解析式为y＝kx，
第19页（共22页）∵（3，3），
∴3＝5k，
∴k＝ ，
∴OC解析式为y＝ x，
令x＝2得y＝ ，即E（2， ），
由（1）知b＝﹣4a，
∴抛物线为y＝ax3﹣4ax﹣5a，
∴顶点坐标为（4，﹣9a），
抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，
而D（2，7），
∴ ＜﹣5a＜3，
∴﹣ ＜a＜﹣ ．
【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，交边AC于点D，E是BC边上一点，过点A作
AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求
【分析】（1）由题目条件可证得，△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），进而可
推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四边形AFED是菱形．
第20页（共22页）（2）根据条件，得出△ABG∽△CBA即可证明结论．
（3）由条件可得，△DAE∽△ABC，由相似比可得 ＝（ ）2，由BE2＝EC•BC，得到
点E是BC的黄金分割点，可得出 ＝ ，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴ ，即AB2＝BG•BC．
（3）由（2）得，△ABG∽△CBA，
∴AG＝BG，
第21页（共22页）∴∠GAB＝∠GBA，
∴∠AGC＝2∠GAB，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2，
∵AB2＝BG•BC，AB＝BE，
∴BE8＝EC•BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题主要考查菱形的判定，相似三角形的性质与判定等内容，黄金分割点等内容；
题目比较综合，熟练记忆相关性质与判定是解题基础．
第22页（共22页）
