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2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的]
1．（4分）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点
是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）
3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是
（ ）
A．0.77×10﹣6 B．7.7×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣5
4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函
数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：
在每个象限内，王老师给出的这个函数解析式可能是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝﹣
6．（4分）已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，使得EF＝DE，那么
四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3m2n﹣2nm2＝ ．
8．（4分）方程 ＝1的解是 ．
9．（4分）方程组 的解是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
．
11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两
第1页（共26页）个月的增长率都为x ．
12．（4分）菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60° ．
13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝4，如果 ，那么向量
是 （用向量 、 表示）．
14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”
两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，如果他
跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6
米），那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 米．
16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定
的规律性，如果把第一个三角形数记为x ，第二个三角形数记为x ，…，第n个三角形数记
1 2
为x n ，那么x n﹣1 +x n 的值是 （用含n的式子表示）．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转后，点D落在边
BC上，联结BB′，那么△ABB′的面积是 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2） 的图象上，如果∠AOE＝
45° ．
第2页（共26页）三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．（10分）解不等式组： ．
20．（10分）先化简再求值：（ ）• ，其中a＝2+ ，b＝2﹣ ．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，以AB为直径的 O经过点C、D，且点C、D三
等分弧AB． ⊙
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千
克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望
这批橘子销售能获得5000元利润
思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以
销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．
方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：
①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；
②把这批橘子每箱从1～1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐
个检查．
解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑；
（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的
第3页（共26页）箱子里橘子的损耗情况．
被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：
箱号 每箱橘子的损耗重量（千克） 箱号 每箱橘子的损耗重量（千克）
1 0.88 11 0.77
2 0.78 12 0.81
3 1.1 13 0.79
4 0.76 14 0.82
5 0.82 15 0.75
6 0.83 16 0.73
7 0.79 17 1.2
8 1 18 0.72
9 0.85 19 0.77
10 0.76 20 0.79
小计 8.57 小计 8.15
根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；
（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目
标（精确到0.01元/千克）．
23．（12分）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，四边形CBDE是平行四边形．
（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；
（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣ x+4与y轴和x轴分
别交于点A和点B，垂足为点D，设点E在x轴上
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
第4页（共26页）（2）在（1）的条件下，如果 ▱CEDF的顶点F正好落在y轴上；
（3）如果点E是BO的中点，且 ▱CEDF是菱形，求m的值．
25．（14分）如图，已知∠BAC，且cos∠BAC＝ ，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC
上的动点，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正
三角形PBM．
（1）如图2，当点E在射线AC上时，求x的值；
（2）如果 P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；
（3）如果⊙点E在∠MPB的边上，求AQ的长．
第5页（共26页）2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的]
1．（4分）如果m是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零
进行分析即可．
【解答】解：A、当m＜0时， ，故此选项不符合题意；
B、当m＜﹣1时， ，故此选项不符合题意；
C、当m＝﹣1时， ，故此选项不符合题意；
D、m是任意实数， ，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被
开方数为非负数．
2．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点
是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移7个单位后2﹣2，
∴顶点坐标为（6，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是
（ ）
A．0.77×10﹣6 B．7.7×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
第6页（共26页）的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的
数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是7.5×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的
内角和，即可得解．
【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，
若边数不变，则内角和＝（4﹣7）•180°＝360°，
若边数增加1，则内角和＝（5﹣8）•180°＝540°，
所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，540°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况．
5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函
数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：
在每个象限内，王老师给出的这个函数解析式可能是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝﹣
【分析】根据函数图象性质逐个检验即可得到答案．
【解答】解：A、y＝3x图象过一，但y值随x值的增大而增大；
B、y＝x2图象不经过三象限，对称轴为y轴，y随x增大而增大；
C、 图象过一，在每个象限内，故C符合题意；
D、y＝﹣ 、四象限，y值随x值的增大而增大；
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数、反比例函数及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握
几种函数图象．
6．（4分）已知：在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，使得EF＝DE，那么
第7页（共26页）四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．
【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝ BC，
∴DF＝BC，
∵CA＝CB，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定
理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3m2n﹣2nm2＝ m 2 n ．
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数
不变，据此计算即可．
【解答】解：3m2n﹣5nm2＝m2n．
故答案为：m8n．
【点评】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
8．（4分）方程 ＝1的解是 x ＝ ， x ＝ ．
1 2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
第8页（共26页）【解答】解：去分母得：x+1﹣x＝x2+x，
解得：x＝ ，
检验：把x＝ 代入得：左边＝右边，
则分式方程的解为x ＝ ，x ＝ ．
6 2
故答案为：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（4分）方程组 的解是 ．
【分析】把方程组中的②变形后代入①，得到一元一次方程，求解并代入方程组求出另一
个未知数的值．
【解答】解： ，
由②，得x＝y﹣1③，
把③代入①，得（y﹣7）2﹣y2＝3，
整理，得﹣2y＝2，
解，得y＝﹣5．
把y＝﹣1代入③，得x＝﹣2．
所以原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次方程组的解法，掌握代入法是解决本题的关键．
10．（4分）如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k
＞﹣ ．
【分析】利用判别式的意义得到△＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝32﹣4（﹣k）＞0，
第9页（共26页）解得k＞﹣ ．
故答案为k＞﹣ ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有
如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的
两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两
个月的增长率都为x 6 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 10 0 ．
【分析】根据甲公司1月份及3月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：60（1+x）2＝100．
故答案为：60（3+x）2＝100．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
12．（4分）菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60° 4 ．
【分析】由菱形的性质可得BO＝ BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，求得BO即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝30° BD．
在Rt△ABO中，cos∠ABO＝ ，
∴BO＝AB•cos∠ABO＝4× ＝2 ．
∴BD＝2BO＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形的应用，熟练使用菱形的性质是解题
的关键．
第10页（共26页）13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝4，如果 ，那么向量
是 ﹣ （用向量 、 表示）．
【分析】过点D作DE⊥BC于E．想办法求出 ， ，可得结论．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵DE⊥BC，DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4，
∵CD＝7，∠CED＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝3，
∴ ＝ BC＝ ，
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴ ＝ ，
＝ + ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查梯形的性质三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
第11页（共26页）中考常考题型．
14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”
两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．
【分析】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率
公式求解．
【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A、B，
画树状图如图：
共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，
∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，如果他
跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6
米），那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 5. 4 米．
【分析】依据题意可得∠AOC＝∠BOD，通过说明△ACO～△BDO，得出比例式可求得结
论．
【解答】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
第12页（共26页）∴△ACO～△BDO．
∴ ．
即 ．
∴BD＝5.5（米）．
故答案为：5.4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．
16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，这组数有一定
的规律性，如果把第一个三角形数记为x ，第二个三角形数记为x ，…，第n个三角形数记
1 2
为x n ，那么x n﹣1 +x n 的值是 n 2 （用含n的式子表示）．
【分析】此题注意对数据（数列）的分析：（1）数据依次差2，3，4，5，6，…；（2）数据扩大2
倍，形成新数据：2，6，12，20，30，42，…，可以依次改成相邻两个正整数的乘积．这样可以
得到第n个数的规律．
【解答】将条件数据1、3、6、10、21、…，6，12，30，…，
这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即2＝5×2，12＝3×2，…，
∴ ，（n≥2）．
所以 ．
故答案是：n6．
【点评】此题是对数字规律的考查，关键是对数字有“数感”，从特殊到一般的探寻．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转后，点D落在边
BC上，联结BB′，那么△ABB′的面积是 ．
【分析】由旋转不变形可得：AD′＝AD＝10，D′E＝CD＝6，AB＝AB′＝6，∠DAD′＝
∠BAB′．过 D′作 D′E⊥AD 于点 E，过点 B 作 BF⊥AB′于点 F，由于
，利用sin∠DAD′，得出sin∠BAB′＝ ，BF可求，△ABB′的
第13页（共26页）面积可得．
【解答】解：如图，过D′作D′E⊥AD于点E，
由题意得：AD′＝AD＝10，D′E＝CD＝6，∠DAD′＝∠BAB′．
∵sin∠DAD′＝ ，
∴sin∠BAB′＝ ．
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质和三角形的面积，利用三角函数求得三
角形的高BF是解题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2） 的图象上，如果∠AOE＝
45° y ＝﹣ 2 x ．
【分析】OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得
F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线OA的解析式．
【解答】解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝ ，
∴k＝5×（﹣2）＝﹣12，
∴反比例函数为y＝﹣ ，
第14页（共26页）如图，OE顺时针旋转90°，连接DE，
∵点E（6，﹣3），
∴D（﹣2，﹣6），
∵∠AOE＝45°，
∴∠AOD＝45°，
∵OD＝OE，
∴OA⊥DE，DF＝EF，
∴F（3，﹣4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把F的坐标代入得，﹣4＝8m，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，
旋转的性质，作出辅助线，构建等腰直角三角形是解题的关键．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．（10分）解不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+5）＞5﹣（x﹣2），得：x＞﹣2.6，
解不等式 ≤ ﹣5，
∴不等式组的解集为x≥20．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第15页（共26页）20．（10分）先化简再求值：（ ）• ，其中a＝2+ ，b＝2﹣ ．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：（ ）•
＝[ ]•
＝（ ）•
＝ •
＝ ，
当a＝2+ ，b＝2﹣ 时 ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，以AB为直径的 O经过点C、D，且点C、D三
等分弧AB． ⊙
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，
△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝ CD；解直角三
角形△ODF，OF可得，OE﹣OF＝EF．
【解答】解：（1）∵AB为直径，点C，
第16页（共26页）∴
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝ AB＝7．
（2）∵点E是劣弧DC的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴OF⊥CD．
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝ ∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝ ．
∴OF＝OD•cos∠FOD＝3× ＝ ．
∵OE＝OD＝6，
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣ ．
【点评】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形的
知识点，通过解直角三角形求出OF的长是解题的关键．
22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千
克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望
这批橘子销售能获得5000元利润
思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以
第17页（共26页）销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．
方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：
①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；
②把这批橘子每箱从1～1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐
个检查．
解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑；
（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的
箱子里橘子的损耗情况．
被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：
箱号 每箱橘子的损耗重量（千克） 箱号 每箱橘子的损耗重量（千克）
1 0.88 11 0.77
2 0.78 12 0.81
3 1.1 13 0.79
4 0.76 14 0.82
5 0.82 15 0.75
6 0.83 16 0.73
7 0.79 17 1.2
8 1 18 0.72
9 0.85 19 0.77
10 0.76 20 0.79
小计 8.57 小计 8.15
根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；
（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目
标（精确到0.01元/千克）．
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本必须具有代表性即可求解；
（2）计算出抽取的20箱橘子的平均损耗率即可；
（3）设该公司确定这批橘子的销售价格为x元/千克，根据利润＝售价﹣进价列出方程即
可．
【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，选取的样本具有代表性，所以
方案②比较合适；
第18页（共26页）（2）（8.57+8.15）÷（10×20）×100%＝2.36%．
即估计这批橘子的损耗率为8.36%；
（3）10000×（1﹣5.36%）x﹣2×10000＝5000，
解得，x≈2.73．
答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为5.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利
目标．
【点评】本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，主要考查利用统计图表处理
数据的能力和利用样本估计总体的思想．从统计表中获取有用信息是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，四边形CBDE是平行四边形．
（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；
（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC
【分析】（1）由平行四边形的性质得出DE∥BC，由平行线的性质得出DF⊥AB，由直角三
角形的性质得出AD＝BD，则可得出结论；
（2）延长ED交AB于点F，由三角形中位线定理得出DF＝ BC，得出EF＝DF+DE＝
BC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形CBDE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴DF⊥AB，
又∵D为AC的中点，
∴AD＝BD，
第19页（共26页）∴AF＝BF，
即EF垂直平分AB；
（2）证明：延长ED交AB于点F，
由（1）知，EF垂直平分AB，
∴DF＝ BC，
∵四边形CBDE是平行四边形，
∴BC＝DE，
∴EF＝DF+DE＝ BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠FEB＝45°，
∴BF＝EF，
∴BF＝ BC，
∴AB＝2BF＝3BC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等
腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣ x+4与y轴和x轴分
别交于点A和点B，垂足为点D，设点E在x轴上
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果 ▱CEDF的顶点F正好落在y轴上；
（3）如果点E是BO的中点，且 ▱CEDF是菱形，求m的值．
第20页（共26页）【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝ ，即可求解；
（2）求出点D的坐标为（ ， ），如果 ▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，
且DE＝CF，进而求解；
（3）求出点D的坐标为（ ， ），由DE＝CE，即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣ x+8① x+4＝0，令x＝0，
故点A、B的坐标分别为（2、（3，
由点A、B的坐标知，OB＝3，
连接BC，如下图，
∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），
故BD＝OB＝8，则AD＝5﹣3＝6，
设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）8＝x2+4，解得x＝ ，
第21页（共26页）故点C的坐标为（0， ），
则抛物线的表达式为y＝ x2+ ；
（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，
由AB得表达式知，tan∠ABO＝ ，则tan∠DCH＝ ，
故直线CD的表达式为y＝ x+ ②，
联立①②并解得 ，故点D的坐标为（ ， ），
如果 ▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，
故DE＝y ＝ ，
D
则y ＝y +DE＝ + ＝ ，
F C
故点F的坐标为（0， ）；
（3）∵点E是BO的中点，故点E（ ，
由（2）知，直线CD的表达式为y＝ ，
联立①③并解得，点D的坐标为（ ， ），
而点E、C的坐标分别为（ 、（0，
∵ ▱CEDF是菱形，则DE＝CE，
即（ ﹣ ）2+（ ）3＝（ ）3+m2，
即9m6﹣36m＝0，
解得m＝4（舍去）或8，
故m＝0．
第22页（共26页）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三
角形等，有一定的综合性，难度适中．
25．（14分）如图，已知∠BAC，且cos∠BAC＝ ，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC
上的动点，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正
三角形PBM．
（1）如图2，当点E在射线AC上时，求x的值；
（2）如果 P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；
（3）如果⊙点E在∠MPB的边上，求AQ的长．
【分析】（1）当点E在AC上时，则∠AQP＝90°，利用解直角三角形的方法解求解；
（2） P经过D、M两点，则PQ＝PD＝PB＝AQ＝x，则AP＝2AH＝2xcosA＝ x，进而求解；
⊙
（3）①当点E在PC边上时，证明∠QPA＝75°，在Rt△PHQ中，设PH＝t，则GQ＝GP＝
2t，GH＝ t，则QH＝2t+ t＝xsinA＝ x，解得t＝ ，则AP＝AH+PH+PB＝
x+ +x＝10，即可求解；②当点E在AB边上时，则PH＝QH＝AQsinA＝ x，AH
＝xcosA＝ x，则PH＞AH，进而求解．
【解答】解：∵cosA＝ ，则sinA＝ ．
（1）当点E在AC上时，则∠AQP＝90°，
第23页（共26页）∵AQ＝PB＝x，则AP＝AB﹣PB＝10﹣x，
则cosA＝ ＝ ＝ ，
解得x＝ ；
（2）如图1，
过点Q作QH⊥AP于点H，
∵ P经过D、M两点，
∴⊙点H是AP的中点，
则AP＝3AH＝2xcosA＝ x，
则AB＝AP+PB＝x+ x＝10，
解得x＝ ，
即正三角形PBM的边长为 ，
此外，当P与A重合，
综上，△PMB的边长为 ；
（3）①当点E在PM边上时，如图8，
第24页（共26页）过点Q作QH⊥AB于点H，作PQ的中垂线交QH于点G，
则∠QPA＝180°﹣∠MPB﹣∠QPE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
则∠HQP＝90°﹣75°＝15°，则∠HGP＝15°×2＝30°，
在Rt△PHQ中，设PH＝t，GH＝ t，
∴QH＝8t+ t＝xsinA＝ x ，
则AP＝AH+PH+PB＝ x+ ，
解得x＝ ；
②当点E在AB边上时，如图8，
过点Q作QH⊥AB于点H，
则PH＝QH＝AQsinA＝ x，AH＝xcosA＝ x，
∴PH＞AH，
即点P在BA的延长线上，与题意不符；
第25页（共26页）综上，AQ＝ ．
【点评】本题为相似形综合题，主要考查了正方形和等边三角形的性质、三角形相似、中垂
线的性质、解直角三角形的应用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
第26页（共26页）
