文档内容
2021年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算2a•3a的结果是（ ）
A．5a B．5a2 C．6a D．6a2
2．（4分）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）某校对进校学生进行体温检测，在某一时段测得6名学生的体温分别为36.8℃，
36.9℃，36.6℃，36.9℃，那么这6名学生体温的平均数与中位数分别是（ ）
A．36.7℃，36.7℃ B．36.6℃，36.8℃
C．36.8℃，36.7℃ D．36.7℃，36.8℃
4．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯
形的是（ ）
A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，点O在边AB上，r为半径作圆，如果 O
与Rt△ABC的边有3个公共点，半径r不可以取的是（ ） ⊙
A．6 B．10 C．15 D．16
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）9的平方根是 ．
第1页（共30页）8．（4分）函数y＝ 的定义域是 ．
9．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是 ．
10．（4 分）如果一元二次方程 x2﹣px+3＝0 有两个相等的实数根，那么 p 的值是
．
11．（4分）将 ， ， ，0，﹣1这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，
π
取到无理数的概率为 ．
12．（4分）某小区一天收集各类垃圾共2.4吨，绘制成各类垃圾收集量的扇形图，其中湿垃圾
在扇形图中对应的圆心角为135° 吨．
13．（4分）某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里8升下降到每百公
里6.8升，那么该汽车油耗的下降率为 ．
14．（4分）如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设 ＝ ， ＝ ＝
（结果用 、 表示）
15．（4分）已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是
30米，那么该物体上升的高度是 米（结果保留根号）．
16．（4分）如图， O的半径为6，如果弦AB是 O内接正方形的一边，那么弦BC的长为
． ⊙ ⊙
17．（4分）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．
如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的
距离是 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，
第2页（共30页）点B落在平面上的B′处，那么 的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，已知，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，联结BD并延长至点E，使∠E＝
∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
22．（10分）为了预防“诺如病毒”，某校对专用教室采取“药熏”消毒．从开始消毒到结束，
室内含药量y（毫克/立方米）（分）这两个变量之间的关系如图中折线OA﹣AB所示．
（1）求20分钟至60分钟时间段之间的含药量y与时间x的函数解析式（不要求写定义
域）；
（2）开始消毒后，消毒人员在某一时刻对该专用教室的含药量进行第一次检测，时隔半小
时进行了第二次跟踪检测，求第一次检测时的含药量．
第3页（共30页）23．（12分）如图，已知，在平行四边形ABCD中，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣ ），且OA＝2OB，抛物
线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上
的点C′处；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，求点
F的坐标．
第4页（共30页）25．（14分）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°（点C不与点A重合），联结
CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．
（1）当cot∠ODC＝ ，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；
（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；
（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求 的值．
第5页（共30页）2021年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算2a•3a的结果是（ ）
A．5a B．5a2 C．6a D．6a2
【分析】利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可．
【解答】解：2a•3a
＝4a2．
故选：D．
【点评】本题考查了单项式乘以单项式的法则，解答本题的关键是利用法则进行计算．
2．（4分）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可．
【解答】解： + 的有理化因式是 ﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了分母有理化，注意：如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫
互为有理化因式，
3．（4分）某校对进校学生进行体温检测，在某一时段测得6名学生的体温分别为36.8℃，
36.9℃，36.6℃，36.9℃，那么这6名学生体温的平均数与中位数分别是（ ）
A．36.7℃，36.7℃ B．36.6℃，36.8℃
C．36.8℃，36.7℃ D．36.7℃，36.8℃
【分析】将这组数据重现排列，再根据中位数和平均数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为36.5℃，36.5℃，36.7℃，36.9℃，
所以这组数据的平均数为 ＝36.5（℃），
中位数为 ＝36.7（℃），
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和平均数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据
第6页（共30页）的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x
【分析】根据反比例函数及正比例函数的增减性即可得答案．
【解答】解：A、函数y＝ ，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，
B、函数y＝﹣ ，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，
C、函数y＝2x，故C不符合题意，
D、函数y＝﹣7x，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握正比例函数、反比
例函数的性质．
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，下列条件中，不一定能判断梯形ABCD是等腰梯
形的是（ ）
A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA
【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形
是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、∵AD＝BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
B、∵∠ABC＝∠BAD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
C、∵AB＝2DC，
∴不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；
D、根据∠OAB＝∠OBA，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，
第7页（共30页）注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形
是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，点O在边AB上，r为半径作圆，如果 O
与Rt△ABC的边有3个公共点，半径r不可以取的是（ ） ⊙
A．6 B．10 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理得到AB＝ ＝30，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作
OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝18，
∴AB＝ ＝30，
∵BO＝5OA，
∴OA＝10，OB＝20，
过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴OD＝6，OE＝16，
当 O过点C时，连接OC ＝2 ，
⊙
如图，∵以点O为圆心，如果 O与Rt△ABC的边有3个公共点，
∴r＝3或10或16或2 ， ⊙
故选：C．
第8页（共30页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是
解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）9的平方根是 ± 3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴4的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，
正值为算术平方根．
8．（4分）函数y＝ 的定义域是 x ≠ 1 ．
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，
自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是 a ＜ 0
．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．
第9页（共30页）【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
故答案为a＜6．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和
大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项
系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称
轴在y轴右．
10．（4分）如果一元二次方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，那么p的值是 ± 2 ．
【分析】关于x的方程x2﹣px+3＝0有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求
p的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣px+3＝7有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣p）2﹣4×3×3＝0，
解得p＝ ，
故答案为：±2 ．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
根与根的判别式△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上述结论反过
来也成立．
11．（4分）将 ， ， ，0，﹣1这5个数分别写在5张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，
π
取到无理数的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况
的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：从写有 ， ， ，0，﹣1这5个数的相同卡片上任取一张，其中取到无理数的
π
有 、 ，
π
所以取到无理数的概率为 ，
故答案为： ．
第10页（共30页）【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件
的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12．（4分）某小区一天收集各类垃圾共2.4吨，绘制成各类垃圾收集量的扇形图，其中湿垃圾
在扇形图中对应的圆心角为135° 0. 9 吨．
【分析】根据扇形统计图的意义，求出湿垃圾占垃圾总数的百分比即可．
【解答】解：2.4× ＝3.9（吨），
故答案为：0.6．
【点评】本题考查扇形统计图，理解扇形统计图的意义是解决问题的关键．
13．（4分）某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里8升下降到每百公
里6.8升，那么该汽车油耗的下降率为 15% ．
【分析】先求出新款汽油车每百公里下降的油耗，然后再用下降的油耗除以原来的每百公
里油耗即为所求．
【解答】解：根据题意得，8﹣6.5＝1.2（升），
6.2÷8＝15%，
∴该汽车油耗下降率为15%．
故答案为：15%．
【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，解题的关键是理解题意、准确进行计算．
14．（4分）如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设 ＝ ， ＝ ＝ +
（结果用 、 表示）
【分析】首先利用三角形法则求得 ，则 ＝ ；然后再在△ABD中，利用三角形法则
求得 ．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
第11页（共30页）∵CD＝2BD，
则 ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用是解此
题的关键，注意数形结合思想的应用．
15．（4分）已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是
30米，那么该物体上升的高度是 3 米（结果保留根号）．
【分析】过A作AB⊥CB于B，根据坡度的概念求出BC＝3AB，再根据勾股定理计算得到答
案．
【解答】解：过A作AB⊥CB于B，如图所示：
由题意得，AC＝30米，
∵斜坡的坡度i＝1：3，
∴ ＝ ，
∴BC＝3AB，
由勾股定理得，AC＝ ＝ ，
∴AB＝3 （米），
故答案为：2 ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度
h和水平宽度l的比是解题的关键．
16．（4分）如图， O的半径为6，如果弦AB是 O内接正方形的一边，那么弦BC的长为 6
． ⊙ ⊙
第12页（共30页）【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是 O内接正方形的一边，弦AC
⊙
是 O内接正十二边形的一边得到∠AOB＝ ＝90°，∠AOC＝ ＝30°，从而得
⊙
到∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+30°＝120°，然后求得BC的长即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OD⊥BC于点D，
∵AB是 O内接正方形的一边，弦AC是 O内接正十二边形的一边，
⊙ ⊙
∴∠AOB＝ ＝90° ＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+30°＝120°，
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠OBC＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝OCcos30°＝6 ，
∴BC＝2CD＝6 ，
故答案为：6 ．
【点评】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数，难度不大．
17．（4分）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．
如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的
距离是 2 ．
【分析】由题意得出B的坐标，然后根据勾股定理即可求得点A、B之间的距离．
【解答】解：由题意可知，B与A关于直线y＝x对称，
第13页（共30页）∵点A（2，4），
∴B（3，2），
∴AB＝ ＝2 ，
故答案为2 ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意求得B的坐标是解题的关
键．
18．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，
点B落在平面上的B′处，那么 的值为 ．
【分析】过A作AF⊥BC于F，过B'作B'G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，
用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m m，
第14页（共30页）Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°＝ m m，
∴BF＝BD+DF＝7m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°＝ m m，
∴FG＝DG﹣DF＝ m，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴ ＝ ＝ ，
∵FE+GE＝FG＝ m，
∴FE＝ m，
∴BE＝BF+EF＝ m，CE＝CF﹣EF＝ m，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
方法二：如图：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
第15页（共30页）∴B'D＝BD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADB'＝120°，
∴∠CDB'＝60°，
∴△CDB'是等边三角形，
∴B'C＝CD＝BD，∠B'CD＝60°，
∴∠B'CD＝∠ADC＝60°，AD∥B'C，
∴ ，
由BC＝5AD，设AD＝2m，B'C＝CD＝BD＝3m，
∴ ，
∴CE＝ CD＝ m CD＝ m，
∴BE＝BD+DE＝ m，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是
作垂线把60°角放入直角三角形．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝
第16页（共30页）＝ ，
当x＝ 时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 x﹣6＜2x，
解不等式 ≤ ，得：x≤5，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，已知，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，联结BD并延长至点E，使∠E＝
∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
第17页（共30页）【分析】（1）过D作DF⊥AB于F，求出DF和BD即可得答案；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，先求BE，再用相似三角形
性质得到答案．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，
∴AC＝ ＝2 ，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝ ，
∴BD＝ ＝ ，
Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝ ，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝ ＝ ；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G
第18页（共30页）∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴ ，
∵BC＝2，CD＝AD＝ ，
∴ ，解得AH＝ ，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝ ＝ ，
∴BE＝BD+DH+HE＝ ，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴ ，即 ，
∴EG＝ ．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴ ＝ ，
第19页（共30页）即 ，
∴BE＝ ，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴ ，即 ＝ ，
∴EG＝ ，
∴点E到直线BC的距离为 ．
【点评】本题考查解直角三角形及相似三角形性质、判定，解题的关键是作垂线构造直角
三角形．
22．（10分）为了预防“诺如病毒”，某校对专用教室采取“药熏”消毒．从开始消毒到结束，
室内含药量y（毫克/立方米）（分）这两个变量之间的关系如图中折线OA﹣AB所示．
（1）求20分钟至60分钟时间段之间的含药量y与时间x的函数解析式（不要求写定义
域）；
（2）开始消毒后，消毒人员在某一时刻对该专用教室的含药量进行第一次检测，时隔半小
时进行了第二次跟踪检测，求第一次检测时的含药量．
【分析】（1）先求得A的坐标，将A，B坐标分别代入解析式即可得到答案；
（2）根据图像分情况讨论，即可得出答案．
【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），
将（15，6）代入知：k＝ ，
第20页（共30页）故直线OA的解析式为y＝ x，
将x＝20代入y＝ x，得：y＝7，
∴A （20，8），
设直线AB即20分钟到60分钟时间段之间的含药量的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（20，8），0）代入得： ，
解得， ，
故直线AB的解析式为：y＝﹣ x+12；
（2）设第一次检测在x分，则第二次检测在（x+30）分，
①若第一次检测时，x＜20分，则第二次x＞20分，
由题意知：
x﹣[﹣ （x+30）+12]＝2，
解得：x＝ ，
故含药量y＝ x＝ 3，
②若两次检测时，x＞20分，
则﹣ x+12﹣[﹣ ，
该方程无解，
故含药量为 mg/m3．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确理解题意并观察图像是解题的关键．
23．（12分）如图，已知，在平行四边形ABCD中，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
第21页（共30页）【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证
明△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证
明AB＝BC，从而得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴ ．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴ ．
∴ ．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
第22页（共30页）∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键
在于熟悉各个知识点在本题中运用．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣ ），且OA＝2OB，抛物
线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上
的点C′处；
（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，求点
F的坐标．
【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2+bx即可得答案；
（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；
（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答
案．
【解答】解：（1）∵B（0，2），
∴OB＝5，
∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，
∴A（4，7），
第23页（共30页）∴将A（4，0），﹣ ）代入y＝ax2+bx得：
，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝ x8﹣2x；
（2）设直线AB的解析式是y＝mx+n，
将A（4，4），2）代入得：
，解得 ，
∴直线AB的解析式是y＝﹣ x+2，
∵抛物线y＝ x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移5个单位，再向上平移1个单位，﹣
），
∴C′（1+m，﹣ ），
∵C′（1+m，﹣ ）在直线AB上，
∴﹣ ＝﹣ ，
∴m＝4；
（3）∵y＝ x2﹣6x对称轴为x＝2，B（0，点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，
∴B′（8，2），
∵A（4，6），
∴直线AB′为x＝4，
点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO
①F在A上方，如图：
第24页（共30页）过A作AG⊥CF于G，过G作GH∥x轴交直线x＝4于H，
∵B（7，2），0），
∴tan∠BAO＝ ，
∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，
∴tan∠ACF＝ ，即 ，
而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，
∴△MCG∽△HGA，
∴ ，
∴MC＝2GH，MG＝8AH，
设G（m，n），MG＝m﹣1．AH＝n，
∴n+1.5＝2（4﹣m），且m﹣7＝2n，
解得m＝2.2，n＝0.9，
∴G（7.8，0.7），
又C（1，﹣1.4），
∴直线GC解析式为：y＝ x﹣ ，
令x＝4得y＝
∴F（4， ），
第25页（共30页）②F在A下方，
延长AC交y轴于D，过C作CF∥x轴交直线x＝4于F，
∵A（4，3），﹣1.5），
∴直线AC解析式为y＝ x﹣2，
∴D（6，﹣2），
∵B（0，6），
∴B，D关于x轴对称，
∴∠BAO＝∠DAO，
若∠ACF＝∠BAO，
则∠ACF＝∠DAO，
∴CF∥x轴，
∴F（4，﹣1.7）．
综上所述，∠ACF＝∠DAO， ）或（2．
【点评】本题考查二次函数、相似三角形等综合知识，难度较大，解题的关键是画出图形，
构造相似三角形．
25．（14分）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°（点C不与点A重合），联结
CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．
（1）当cot∠ODC＝ ，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；
第26页（共30页）（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；
（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求 的值．
【分析】（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝ ＝ ，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD
＝5k，证明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝ ，可得结论．
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证
明△PCB是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当OC∥PD时，如图3﹣2中，当PC∥OD时，分别求解即
可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝ ＝ ，
∴可以假设OD＝3k，OC＝4k，
∵以CD为半径的圆D与圆O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD+DB＝3K+5K＝8，
第27页（共30页）∴k＝ ，
∴CD＝ ．
（2）如图2中，连接OP，PF⊥OB于F．
∵ ＝ ，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.6°，
∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90°﹣22.6°＝67.5°．
（3）如图3﹣6中，当OC∥PD时，
第28页（共30页）∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，
则有 ，可得x＝2 ，
∴PD＝2 ﹣3，
∴ ＝ ＝ ﹣1．
如图6﹣2中，当PC∥OD时，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
第29页（共30页）∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝6，OC＝2，
∴PC＝ ＝ ＝2 ，
∴PD＝PC＝2 ，
∴PE＝ ＝ ＝2 ，
∴EC＝OD＝8 ﹣2 ，
∴ ＝ ＝ ＝3+ ，
综上所述， 的值为 ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，
梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于
中考压轴题．
第30页（共30页）
