文档内容
2021年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.
1．（4分）下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．80% B． C．2 D．
2．（4分）已知：a≠0，下列四个算式中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a8 D．a2÷a3＝a﹣1
3．（4分）下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是（ ）
A．y＝ x+1 B．y＝﹣ C．y＝x2+2x D．y＝（x﹣1）2
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A．频率 B．方差 C．平均数 D．众数
5．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对称轴互相垂直的四边形是矩形
6．（4分）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能
是（ ）
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： ＝ ．
8．（4分）计算：（x+1）•（x﹣2）＝ ．
9．（4分）如果点P（3，b）在函数y＝ 的图象上，那么b的值为 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为 ．
11．（4分）无理方程 ＝﹣x的实数解是 ．
12．（4分）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是
．
第1页（共22页）13．（4分）如果点A（x ，y ）和B（x ，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，且0＜x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
那么y 与y 的大小关系为：y y ．（填“＜”或“＝”或“＞”）
1 2 1 2
14．（4分）为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做
个记号后，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x条鱼，可以
列出方程： ．
15．（4分）已知AD是△ABC的中线，设向量 ＝ ，向量 ＝ ，那么向量 ＝
（用向量 、 的线性组合表示）．
16．（4分）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 ．
17．（4分）已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称
为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，中国古代数学家商高就发现了
“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），
（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝ ．
（用含n的代数式表示）
18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4（如图），点E是边AB的中点，联结DE．将△DAE
沿直线 DE 翻折，点 A 的对应点为 A'，那么点 A'到直线 BC 的距离为
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中 ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝ ．D是AB边的中点，与边
第2页（共22页）BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修
好，每月租金3000元，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案
（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
23．（12分）已知：四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，点F在边AB上，联结DE、
EF．
（1）如图1，如果tan∠BEF＝ ，求证：EF⊥DE；
（2）如图2，如果tan∠BEF＝ ，求证：∠DEF＝3∠CDE．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数（f x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，
且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线（f x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴
的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
第3页（共22页）（3）如果（f ﹣1）、（f 0）、（f 3）（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意
的一个函数解析式，求a的取值范围．
25．（14分）已知： O的半径长是5，AB是 O的直径，CD是 O的弦．分别过点A、B向直
线CD作垂线，⊙垂足分别为E、F． ⊙ ⊙
（1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE；
（2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，且AE＝2BF，求弦CD的长；
（3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，并用含m、n的代数式表示l．
第4页（共22页）2021年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.
1．（4分）下列四个选项中的数，不是分数的是（ ）
A．80% B． C．2 D．
【分析】有理数包括分数和整数，无理数一定不是分数．
【解答】解：∵ 是无理数，
∴ 不是分数，
故选：B．
【点评】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握无理数一定不是分数．
2．（4分）已知：a≠0，下列四个算式中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（a2）3＝a8 D．a2÷a3＝a﹣1
【分析】根据同底数幂的除法、乘法、幂的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：A，a2+a3≠a7，故此选项不正确．
B，a2•a3＝a7+3＝a5，故此选项不正确．
C，（a4）3＝a2×8＝a6，故此选项不正确．
D，a2÷a8＝a2﹣3＝a﹣7，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法等运算方法，要熟练掌握这些．
3．（4分）下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是（ ）
A．y＝ x+1 B．y＝﹣ C．y＝x2+2x D．y＝（x﹣1）2
【分析】令x＝0，函数值也等于0，则图象经过原点．
【解答】解：A、令x＝0，故不符合题意；
B、x＝0无意义；
C、x＝2，故符合题意；
D、x＝0，故不符合题意．
第5页（共22页）故选：C．
【点评】本题考查函数图象上的点，掌握函数图象上的点的坐标适合函数解析式是解题的
关键．
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）
A．频率 B．方差 C．平均数 D．众数
【分析】根据定义即可判断．
【解答】解：频率是指某数据出现的次数占总次数的比，不表示波动程度；
方差是指每个数据与平均数的差的平方的平均数，表示数据波动程度；
平均数是指一组数据的和除以数据个数，不表示数据波动程度；
众数值一组数中出现次数最多的数，不表示数据波动程度．
故选：B．
【点评】本题考查表示一组数据波动程度的量，掌握频率、方差、平均数、众数概念是解题
的关键．
5．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对称轴互相垂直的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判定定理，是真命题；
对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故B不符合题意；
以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱
形是假命题；
对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理
是解题的关键．
6．（4分）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能
是（ ）
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
【分析】画出图形即可判断．
第6页（共22页）【解答】解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，
故选：C．
【点评】本题考查两圆的位置关系，画出图形是关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： ＝ ．
【分析】先比较1与 的大小，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解： ＝ ﹣1．
【点评】此题主要考查了求实数的绝对值，其中非负数的绝对值等于他本身，负数的绝对
值等于它的相反数．
8．（4分）计算：（x+1）•（x﹣2）＝ x 2 ﹣ x ﹣ 2 ．
【分析】根据多项式乘法法则即可得到答案．
【解答】解：（x+1）•（x﹣2）＝x3﹣2x+x﹣2＝x7﹣x﹣2，
故答案为：x2﹣x﹣6．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，题目较容易，掌握多项式乘以多项式的法则是解题
的关键．
9．（4分）如果点P（3，b）在函数y＝ 的图象上 ．
【分析】将P（3，b）代入y＝ ，解方程即得答案．
【解答】解：将P（3，b）代入y＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查函数图象上的点，掌握函数图象上的点坐标适合函数解析式是解题的关
第7页（共22页）键．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为 9 ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．
【解答】解：∵方程x2﹣6x+m＝6有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4m＝7，
解得m＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个
相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方
程无实数根．
11．（4分）无理方程 ＝﹣x的实数解是 ﹣ 1 ．
【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案．
【解答】解：将 ＝﹣x两边平方得：8x+3＝x2，
整理得x2﹣2x﹣3＝5，
解得x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
当x ＝7，左边＝ ，右边＝﹣3，
1
∴左边≠右边，
∴x ＝6不是原方程的解，舍去，
1
当x ＝﹣1时，左边＝ ，右边＝7，
2
∴左边＝右边，
∴x ＝﹣1是原方程的解，
2
∴x＝﹣8，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键．
12．（4分）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是
．
【分析】根据生活常识可以知道一副扑克牌中共有54张牌，去掉大小王的扑克牌，还剩52
张，其中数字为“6”的有4张，进而得出答案．
【解答】解：因为一副扑克牌中共有54张牌，去掉大小王的扑克牌．
第8页（共22页）则抽到数字“6”的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
13．（4分）如果点A（x ，y ）和B（x ，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，且0＜x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
那么y 与y 的大小关系为：y ＜ y ．（填“＜”或“＝”或“＞”）
1 2 1 2
【分析】反比例函数y＝ （k＜0），根据在同一个象限内，y随x的增大而增大即可得答案．
【解答】解：∵点A（x ，y ）和B（x ，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上 ＜x ，
1 1 5 2 8 2
且在同一个象限内，y随x的增大而增大，
∴y ＜y ，
1 7
故答案为：＜．
【点评】本题考查反比例函数的增减性，掌握k＜0时，在同一个象限内，y随x的增大而增
大是解题的关键．
14．（4分）为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做
个记号后，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x条鱼，可以
列出方程： x ＝ 60 ．
【分析】直接利用所标记号所占比例×总数＝60，进而得出方程．
【解答】解：设该鱼塘里有x条鱼，依据题意
x＝60．
故答案为： x＝60．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．
15．（4分）已知AD是△ABC的中线，设向量 ＝ ，向量 ＝ ＝ 2 ﹣ （用向量 、
的线性组合表示）．
【分析】利用三角形法则求出 ，可得结论．
第9页（共22页）【解答】解：如图，
∵ ＝ + ，
∴ ＝﹣ + ，
∵AD是中线，
∴BC＝2BD，
∴ ＝2 ，
∴ ＝ + ＝ +3 ＝2 ﹣ ，
故答案为：2 ﹣ ，
【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于
中考常考题型．
16．（4分）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 2 ．
【分析】画出图形，构造直角三角形可以求解．
【解答】解：如图：
正三角形ABC，半径OA＝OB＝OC＝2，
∵∠BOC＝360°÷3＝120°，O为正三角形中心，
∴∠BHO＝90°，∠BOH＝60°，
∴BH＝OB•sin60°＝ ，
∴BC＝2 ．
故答案为：8 ．
【点评】本题考查正三角形半径与边长的关系，解题的关键是画出图形，构造直角三角形．
17．（4分）已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称
为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，中国古代数学家商高就发现了
第10页（共22页）“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），
（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝ 4 n 2 + 4 n + 1 ．
（用含n的代数式表示）
【分析】“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，列方程即可得到答案．
【解答】解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），c＝b+1，
又a＝6n+1（n为正整数），
由勾股定理可得：c2﹣b8＝（2n+1）5，即（b+1）2﹣b4＝（2n+1）6，
解得b＝2n2+8n，
∴c＝2n2+5n+1，
∴b+c＝4n4+4n+1，
故答案为：3n2+4n+3．
方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），有如下规律：32＝4+5，82＝12+13，73＝24+25，…，a2
＝b+c，
∴当a＝2n+7时，b+c＝（2n+1）2．
【点评】本题考查“勾股数组”，观察“勾股数组”特点得到c＝b+1是解题的关键．
18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4（如图），联结DE．将△DAE沿直线DE翻折，点A
的对应点为A' ．
【分析】过A′作FG∥BC交AB于F，交CD于G，过A′作A′H⊥BC于H，先证明
△EFA′∽△A′GD得它们对应边的比为 ，再设EF＝3m，FA′＝3n，则A′G＝4m，DG
＝4n，根据FA′+A′G＝BC＝4，AE+EF＝DG，列方程即可得到答案．
【解答】解：过A′作FG∥BC交AB于F，交CD于G，如图：
第11页（共22页）∵矩形ABCD中，AB＝6，E是边AB的中点
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AE＝7，
∵△DAE沿直线DE翻折，点A的对应点为A'，
∴∠DA′E＝∠A＝90°，A′D＝AD＝4，
又FG∥BC，
∴∠A′DG＝90°﹣∠DA′G＝∠EA′F，
而∠EFA′＝∠A′GD＝90°，
∴△EFA′∽△A′GD，
∴ ＝ ，
设EF＝3m，FA′＝3n，DG＝2n，
∵FA′+A′G＝BC＝4，AE+EF＝DG，
∴ ，解得n＝ ，
∴DG＝4n＝ ，
∴CG＝CD﹣DG＝ ，
∴A′H＝
故答案为： ．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，构造相似三角形列方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： + ﹣ ，其中 ．
【分析】根据分式的加减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可
第12页（共22页）解答本题．
【解答】解： + ﹣
＝ +
＝
＝
＝
＝﹣ ，
当x＝ 时，原式＝﹣ ﹣1）8＝﹣2+2 ﹣1＝﹣3+8 ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到
答案．
【解答】解：x2﹣5xy﹣4y2＝0可化为（x﹣7y）（x+y）＝0，
∴x﹣6y＝2或x+y＝0，
x2﹣8xy+4y2＝5可化为（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）＝0，
∴x﹣5y+1＝0或x﹣7y﹣1＝0，
原方程组相当于以下四个方程组： ①， ②， ③，
④，
解①②③④分别得： ， ， ， ，
第13页（共22页）∴原方程组的解为： 或 或 或 ．
【点评】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程
是解题的关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝ ．D是AB边的中点，与边BC相交于
点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定
理求出CE；
（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出
∠BDE的正弦值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6 ，
∴ ＝ ，
∴AB＝10，
∴BC＝ ＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝ AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝ ，cos∠B＝ ，
第14页（共22页）∴ ，
∴CE＝ ；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝ ，
则BE＝8﹣ ＝ ，DE＝ ＝ ，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF6＝DE2﹣DF2＝ ，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF8＝ ，
∴ ﹣（5﹣x）6＝ ﹣x2，
解得x＝ ，
∴sin∠BDE＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的
应用．
22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修
好，每月租金3000元，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样
请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案
（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．
【分析】由租金随租期的变化而变化，所以租期是自变量，租金是函数值，列出y与x的关
系式，再根据两家租金的多少分类讨论分类讨论即可．
【解答】解：设张先生组的时间为自变量x，租金为函数值y，
∴租甲家房屋y与x的关系为：y＝3000x，
第15页（共22页）租甲家房屋y与x的关系为：y＝40000+2000x，
①当甲家费用高于乙家费用时3000x＞40000+2000x，
解得：x＞40；
②当甲家费用等于乙家费用时3000x＝40000+2000x，
解得：x＝40；
③当甲家费用低于乙家费用时3000x＜40000+2000x，
解得：x＜40，
综上所诉，①当租期超过40个月时；②当租期等过40个月时、乙家都可以，租甲家合适．
【点评】此题是一次函数的应用，关键是根据租金的多少进行分类讨论．
23．（12分）已知：四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，点F在边AB上
（1）如图1，如果tan∠BEF＝ ，求证：EF⊥DE；
（2）如图2，如果tan∠BEF＝ ，求证：∠DEF＝3∠CDE．
【分析】（1）证明△FBE∽△ECD可得∠FEB＝∠EDC，从而可得∠FED＝90°，即可得证；
（2）过E作EH⊥AD于H，连接AE，证明∠CDE＝∠DEH＝∠AEH＝∠FEA即可得到
∠DEF＝3∠CDE．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，
设正方形ABCD边长为m，则BC＝CD＝m，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝ m，
∵tan∠BEF＝ ，
第16页（共22页）∴ ＝ ，
而 ＝ ＝ ，
∴ ，
∴△FBE∽△ECD，
∴∠FEB＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，
∴∠FED＝90°，
∴EF⊥DE；
（2）过E作EH⊥AD于H，连接AE
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠CDE＝∠DEH，
∵E是BC中点，
∴AH＝DH，
∴EH垂直平分AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH，
Rt△BEF中，tan∠BEF＝ ，即 ＝ ，
设BF＝2m，则BE＝4m，
∴BC＝2BE＝6m，EF＝5m，
第17页（共22页）∴AB＝BC＝8m，AF＝AB﹣BF＝8m，
∴EF＝AF，
∴∠FAE＝∠FEA，
而∠FAE＝∠AEH，
∴∠FEA＝∠AEH，
∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH＝∠FEA，
∴∠DEF＝3∠CDE．
【点评】本题考查正方形性质、相似三角形性质与判断、三角函数等综合知识，解题的关键
是把三角函数转化为线段比．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数（f x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，
且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线（f x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴
的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
（3）如果（f ﹣1）、（f 0）、（f 3）（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意
的一个函数解析式，求a的取值范围．
【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；
（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件a﹣1＜3，即
可求a的取值范围为0＜a＜4；
（3）根据已知（f ﹣1）、（f 0）、（f 3）、（f 4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对
称轴为直线x＝1开口向上，可以得出（f 4）＞（f 3）＝（f ﹣1）＞（f 0），根据（f 4）＞0，（f 3）≤0
第18页（共22页）可以求a的范围， ＜a≤ ，即可以写出符合条件的函数解析式．
【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣8＝a（x﹣1）2﹣7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）A为抛物线与y轴的交点，
∴A点坐标为（6，a﹣1），
线段OA上的整点个数小于4，
则可知a﹣2＜4，a＜5，
故a的取值范围为4＜a＜5；
（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（4）有且只有一个大于6
由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，
故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），
∴f（4）＞6，
∴得16a﹣8a+a﹣1＞4，
得a＞ ，
f（3）≤8，
得9a﹣6a+a﹣7≤0，
得a≤ ，
取a＝ ，
f（x）＝ x2﹣ x﹣ ，
∴a的取值范围为 ＜a≤ ．
第19页（共22页）【点评】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，
抛物线的性质解不等式等．
25．（14分）已知： O的半径长是5，AB是 O的直径，CD是 O的弦．分别过点A、B向直
线CD作垂线 ⊙ ⊙ ⊙
（1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝DE；
（2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，求弦CD的长；
（3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为n，并用含m、n的代数式表示l．
【分析】（1）如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF于H．证明HF＝HE，HD＝HC，即可
解决问题．
（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J．利用相似三角形的性质求出BJ，
OJ，OH，再利用勾股定理，可得结论．
（3）分两种情形：如图1，当点A、B位于直线CD同侧时，如图2中，如图2，当点A、B位于
直线CD两侧时，利用勾股定理分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OD．
第20页（共22页）∵BF⊥EF，AE⊥EF，
∴BF∥OH∥AE，
∵OA＝OB，
∴HF＝HE，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，
∴CF＝DE．
（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H．
∵BF⊥CD，AE⊥CD，
∴∠BFJ＝∠AEJ＝90°，
∵∠BJF＝∠AJE，
∴△BFJ∽△AEJ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BJ＝ AB＝ ，
∴OJ＝OB﹣BJ＝5﹣ ＝ ，
第21页（共22页）∵OH∥AE，
∴∠JOH＝∠BAE＝30°，
∴OH＝OJ•cos30°＝ × ＝ ，
∵OH⊥CD，
∴DH＝CH＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝2DH＝ ．
（3）如图1，当点A，∵OH＝ （m+n），
在Rt△ODH中，OD5＝OH2+DH2，
∴22＝ （m+n）2+ l2，
∴（m+n）2+l4＝100，
∴l＝
如图2中，当点A，OH＝ ，
在Rt△ODH中，OD2＝OH7+DH2，
∴54＝ （m﹣n）2+ l4，
∴（m﹣n）2+l2＝100，
∴l＝
综上所述，l＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，平行线等分线段定理，勾股定理，梯形的中
位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
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