2021年6月上海市数学高考真题卷完整版-带详解_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 2021．6 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分） 1.已知z 1i,z 23i，z z  ． 1 2 1 2 2.已知A  x 2x1  ,B1,0,1  ，则AB ________． 3.若x2  y2 2x4y 0，则圆心坐标为________． D C   4.如图，正方形ABCD的边长为3，求ABAC ________． 3 5.已知 f(x) 2，则 f 11________． x 6.若代数式  xa 5 的展开式中，x2的系数为80，则a________． A B x3  7.已知2xy20，z  x y，则z的最大值为___________．  3x y80 8.已知等比数列a 3,b a ，a 的各项和为9，则数列b 的各项和为________． 1 n 2n n n 9.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点， 绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围________． 10.已知花博会有四个不同场馆A、B、C、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们 恰有一个馆相同的概率为________． 11.已知抛物线： y2 2pxp 0 ，焦点为 F ，若 A、B在抛物线上且在第一象限， AF 2, BF 4, AB 3，求直线AB的斜率为________． 12.已知a N*(i 1,2,9)，对任意的kN(2k 8)，a a 1或a a 1中有 i k k1 k k1 且仅有一个成立，且a 6,a 9，则a a 的最小值为________． 1 9 1 9上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. y 3x B. y  x3 C. y 3x D. y log x 3  x3t4t3 14.已知参数方程 ,t1,1  ，则下列曲线方程符合该方程的是（ ） y 2t 1t2     15.已知 f x3sinx2 ，对 于任 意的 x  0, ，都 存在 x  0, ，使 得 2   2   1   2   f x +2f x 2成立，则下列选项可行的是（ ） 1 2 3 4 6 7 A. B. C. D. 5 5 5 5 16.已知两两不同的x ,y ,x ,y ,x ,y 满足x  y  x  y  x  y ，且 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 x  y ,x  y ,x  y ，若x y x y 2x y 0，则下列不等式中恒成立的是（ ） 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 A. 2x  x x B. 2x  x x C. x 2  x x D. x 2  x x 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】 17.如图，在长方体ABCDABC D 中，AB  BC  2,AA 3 1 1 1 1 1 （1）若P是AD 上一点，求三棱锥PADC的体积； 1 1 （2）求直线AB 与平面ACC A 的夹角大小.（结果用反三角函数值表示） 1 1 1 18.在△ABC中，内角A、B、C 所对边分别为a、b、c，已知a 3，b2c 2 （1）若A ，求△ABC的面积； 3 （2）若2sinBsinC 1，求△ABC的周长. 19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略. 已知某建设投资企业2021年第一季度（一年共4个季度）的营业额为1.1亿元，预计以后每 个季度的营业额比前一个季度增加0.05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为 0.16亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长4%. （1）求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额； （2）请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%？上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 20.已知椭圆: x2  y2 1，F,F 是其左右交点，直线l过点Pm,0  m  2  交 于 1 2 2 A,B两点，且A在线段BP上，且A,B都在轴上方   （1）若B为椭圆的上顶点，且 BF  PF ，求m的值； 1 1   1 4 15 （2）若FAF A ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程； 1 2 3 15   （3）对任意点，是否存在唯一直线，使得FA//F B成立？若存在，求出直线的斜率；若 1 2 不存在，请说明理由. 21.已知函数 f x 的定义域为 R ，若对任意的 x ,x R ，满足 x x S 时总有 1 2 2 1 f x  f x S 成立，则称函数 f(x)是S 关联. 2 1 （1）判断函数 f(x)2x1是否在  0, 关联？是  0,1  关联嘛？若是，请证明；若不是， 请说明吗理由； （2）若函数 f(x)是 3 关关联，当 f(x)在x 0,3 时， f(x) x2 2x ，求解不等式组： 2 f(x)3； （3）证明： f(x)是 1 关联的，且是在  0, 关联的，当且仅当“ f(x)在  1,2  是关联”上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 2021．6 一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分） 1.已知z 1i,z 23i，z z  ． 1 2 1 2 【答案】34i 由题易得，z z 34i 1 2 2.已知A  x 2x1  ,B1,0,1  ，则AB ________． 【答案】 1,0 由已知得，AB 1,0 3.若x2  y2 2x4y 0，则圆心坐标为________． 【答案】(1,2) 圆的方程为：x12 y22 5 所以圆心坐标为(1,2)   4.如图，正方形ABCD的边长为3，求ABAC ________． D C 【答案】9 由已知得， A B         2 ABAC  AB ABBC  AB 9上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 3 5.已知 f(x) 2，则 f 11________． x 【答案】3 3 令 f(x) 21，解得x 1 x 所以 f 113 6.若代数式  xa 5 的展开式中，x2的系数为80，则a________． 【答案】2 通项公式为：T Crx5r ar r1 5 因为x2的系数为80，所以令5r 2，即r 3 所有C3a3 80，解得a2 5 x3  7.已知2xy20，z  x y，则z的最大值为___________．  3x y80 【答案】4 画出可行域易得最优解为 3,1 所以z的最大值为4 8.已知等比数列a 3,b a ，a 的各项和为9，则数列b 的各项和为________． 1 n 2n n n 18 【答案】 5 因为a 的各项和为9，a 3 n 1 a 2 4 n1 所以 1 9，解得q  ，所以b a  2   1q 3 n 2n 9 b 2 18 S  1   即数列的各项和为 1q2 4 5 1 9上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 9.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点， 绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围________． 【答案】[2, 5] 1 当点C在E点影时，面积最小S  ABh 2； 2 1 当点C在底面圆弧EF的中点时，面积最大S  ABh  5， 2 由于变化的连续性及任意性，因此ABC面积的取值范围为 [2, 5] 10.已知花博会有四个不同场馆A、B、C、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们 恰有一个馆相同的概率为________． 2 【答案】 3 【法一：直接法】甲、乙各选2个去参观：C2C2种， 4 4 其中两人恰有一个馆相同：C1C1C1种， 4 3 2 C1C1C1 2 所以P  4 3 2  C2C2 3 4 4 【法二：间接法】总共情况为：C2C2种；都不相同的情况为：C2种； 4 4 4 两个馆相同的情况为C2种； 4 C2 C2 2 所以P 1 4  4  C2C2 C2C2 3 4 4 4 4上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 11.已知抛物线： y2 2pxp 0 ，焦点为 F ，若 A、B在抛物线上且在第一象限， AF 2, BF 4, AB 3，求直线AB的斜率为________． 5 【答案】 2 p p 【法一】由已知得，x 2 ,x 4 ， A 2 B 2 由弦长公式得： AB  1k2  x x 3 A B 因为A、B在抛物线上且在第一象限 5 5 即k2  (k 0)，k  4 2 【法二】如图，根据抛物线定义：在RtABH 中， 5 所以k  tan tanABH  2 12.已知a N*(i 1,2,9)，对任意的kN(2k 8)，a a 1或a a 1中有 i k k1 k k1 且仅有一个成立，且a 6,a 9，则a a 的最小值为________． 1 9 1 9 【答案】31 1 1 1 1 【法一】①a a 1a a ,a a ,a a ,a a ,a 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 此时最小值为67121212931 1 1 1 1 ②a a 1，a ,a a ,a a ,a a ,a a 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 此时最小值为61212128932 则a a 的最小值为31 1 9 【法二】因为a  a 1 a  a 1有且仅有一个成立， k k1 k k1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 所以数列中的项两两一组互相关联 ①a  a 1 7, a  a 1,a  a 1,a  a 1， 2 1 3 4 5 6 7 8 a  a ... a  25 2(a  a  a )， 1 2 9 3 5 7 当a  a  a 1时，a  a ... a 最小31 3 5 7 1 2 9 ②a  a 1,a  a 1,a  a 1,a  a 1 8 2 3 4 5 6 7 8 9 a  a ... a  26 2(a  a  a )， 1 2 9 2 4 6 当a  a  a 1时，a  a ... a 最小32，则a a 的最小值为31 2 4 6 1 2 9 1 9 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. y 3x B. y  x3 C. y 3x D. y log x 3 【答案】A 由题易知，只有y 3x既是奇函数又是偶函数，故选A  x3t4t3 14.已知参数方程 ,t1,1  ，则下列曲线方程符合该方程的是（ ） y 2t 1t2 【答案】B 令 y 0t 1,0,1， 易得函数恒过定点 0,0,1,0,1,0 ，结合选项易得B     15.已知 f x3sinx2 ，对 于任 意的 x  0, ，都 存在 x  0, ，使 得 2   2   1   2  上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） f x +2f x 2成立，则下列选项可行的是（ ） 1 2 3 4 6 7 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】D 【法一】因为 f  x [2,5]，所以[2,1]2f  x  ， 1 2  1 即 1,  f  x    2   2     1 令t  x  ,  ，则 f(t)3sint2，即 1, 3sint2 2   2     2    1  即 1, sint,t的区间长度为 ，故选D    2 2 【法二】将选项代入，按计算器易得 16.已知两两不同的x ,y ,x ,y ,x ,y 满足x  y  x  y  x  y ，且 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 x  y ,x  y ,x  y ，若x y x y 2x y 0，则下列不等式中恒成立的是（ ） 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 A. 2x  x x B. 2x  x x C. x 2  x x D. x 2  x x 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 【法一】设x sa ， y  sa,a 0，类似定义 1 1 x sb,y sb,x sc,y sc，b,c0，则已知条件可以按以下方式写出： 2 2 3 3 a2c22b2,s2b20，ac2bx x 2x ，ac22  a2c2  4b2， 1 3 2 剩下的选项找反例即可，故选A. 【法二】设x sa ， y sa,a0，类似定义x sb,y sb,x sc,y sc， 1 1 2 2 3 3 b,c0，则已知条件可以按以下方式写出：a2c22b2,s2b20， ac2b x x 2x ， ac2 2  a2c2  4b2 。 1 3 2 x 2;y 6 1 1 令 ，对x ,y 分三种不同情况依次讨论 3 3 x 4 6;y 4 6 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） x 3;y 52x 82 6 325，排除B； 3 3 2  x 2 228 6 236，排除D； 2 x 1;y 7 x 2 228 6 122，排除C；故选A 3 3 2 【法三：群友清序老师提供】不妨设x  y  x  y  x  y  2， 1 1 2 2 3 3 所以x y x y  2x y 化为x  2x x  2x 2x  2x  ， 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 设u  x(2x)，又因为x  y ,x  y ,x  y ，所以x ,x ,x 1. 1 1 2 2 3 3 1 2 3 由图可知， 易知2x  x x 恒成立， 2 1 3 【法四：群友欧阳老师提供】设x sa ， y  sa,a 0， 1 1 类似定义x sb,y sb，b0，x sc,y sc ，c0， 2 2 3 3 那么条件就可以写为a2 c2  2b2,s2 b2 0，我们有不等式 (ac)2 2  a2 c2 (ac)2 2  a2 c2  4b2 由于a,b,c 0，开方得到ac 2b x x  2x 1 3 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 所以A恒成立，B恒错误，选A. C选项是x2  x x ,D选项是x2  x x ， 2 1 3 2 1 3 实际上我们取x 4,y 5,x 2,y 7,x 1,y 8 1 1 2 2 3 3 就x2  x x ，C,D同时排除了.事实上C,D选项中的大于或小于或等于都是会发生的. 2 1 3 【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】 17.如图，在长方体ABCDABC D 中，AB  BC  2,AA 3 1 1 1 1 1 （1）若P是AD 上一点，求三棱锥PADC的体积； 1 1 （2）求直线AB 与平面ACC A 的夹角大小.（结果用反三角函数值表示） 1 1 1 （1）因为点P是AD 上一点，且平面AD AD 平面ABCD， 1 1 1 1 所以长方体的高，即为三棱柱PADC 的高h3， 1 又由于底面是直角三角形ADC ，所以底面面积为a  222， 2 1 1 所以V  232 2 PADC 2 3 （2）以为建立空间直角坐标系易得， A2,0,0,C0,2,0,A2,0,3,B2,2,3    所以AA (0,0,3),AC (2,2,0),AB (0,2,3) 1 1     AA n0 z 0 设平面ACC A 的法向量n (x,y,z)，则 1   1 1 ACn0 2x2y 0    令x1，则n (1,1,0)，设AB与平面ACC 1 A 1 所成角为,   0, 2     26 则sin cos AB,n  13 26 所以AB 与平面ACC A 的夹角大小arcsin . 1 1 1 13上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 18.在△ABC中，内角A、B、C 所对边分别为a、b、c，已知a 3，b2c 2 （1）若A ，求△ABC的面积； 3 （2）若2sinBsinC 1，求△ABC的周长. b2 c2 a2 1 (2c)2 c2 9 1 （1）由已知得，cosA    2bc 2 2xcc 2 9 1 1 3 9 3 c2  ,S  bcsinA 2c2  5 2 2 2 14 （2）b2csinB 2sinC 4sinCsinC 1 1 2 2 2 5 sinC  ,cosC  ,sinB ,cosB 3 3 3 3 4 2  5 所以sin Asin(BC) 9 a c a sinC 4 2 5 因为  ，所以C   sin A sinC sin A 3 C abca3c 3 4 2 5 ABC 19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略. 已知某建设投资企业2021年第一季度（一年共4个季度）的营业额为1.1亿元，预计以后每 个季度的营业额比前一个季度增加0.05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为 0.16亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长4%. （1）求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额； （2）请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%？ （1）设a 为第n季度的营业额，b 为利润， n n 由题意得，a 的首项为1.1亿元，公差为0.05亿元 n上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2019 所以2021到2025年，20季度营业收入总额为：S 20a  d 31.5（亿元） 20 1 2 （2）由已知得，a a (n1)d 1.10.5(n1) n 1 由已知的， b 的首项为0.16亿元，公比为1.04 n 即b b qn1  0.161.04n1 n 1 所以a 18%b ，利用计算器991可得，n 26 n n min 所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18% 20.已知椭圆: x2  y2 1，F,F 是其左右交点，直线l过点Pm,0  m  2  交 于 1 2 2 A,B两点，且A在线段BP上，且A,B都在轴上方   （1）若B为椭圆的上顶点，且 BF  PF ，求m的值； 1 1   1 4 15 （2）若FAF A ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程； 1 2 3 15   （3）对任意点，是否存在唯一直线，使得FA//F B成立？若存在，求出直线的斜率；若 1 2 不存在，请说明理由.   （1）因为B是上顶点，则|BF |a 2，则|PF |1m 2，故m  1 2 1 1         2 2 （2）F AF A (AOOF )(AOOF )  AO OF 1 2 1 1 1 x 2 x 2 1 6 6  x 2  y 2 1 x2 1 A 1 A  ，得x  ,y  A A 2 2 3 A 3 A 3 6 | (k1)| 设l  y 6 k(x 6 )，则d  3  4 15 ，解得k3 AB 3 3 1k2 15 4 l :y 3x 6 AB 3 （3）设A(x ,y ),B(x ,y )，直线l:x hym 1 1 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）   y 1m m1 m1 若FA//F B，则 2   ，y  y 1 2 y 1m m1 2 m1 1 1 xhym  联立直线与椭圆得x2   h22  y22mhym220.   y2 1  2 2mh m2 2 即 y  y  , y y  1 2 h2 2 1 2 h2 2  m1 2mh m1 m22 所以1  y  , y2  m1 1 h22 m1 1 h22 h(2n1) m1 h2(m1)2 m22 代入 y  ，   1 h2 2 m1  h2 2 2 h22      所以 m2 1 h2  m2 2 h2 2 ，m2h2 h2 m2h2 2h2 2m2 4 h0 1 h2  2m2 4h 2m2 4k  ，即证 2m2 4   即对于任意m 2，使得FA//F B的直线有且仅有一条 1 2 21.已知函数 f x 的定义域为 R ，若对任意的 x ,x R ，满足 x x S 时总有 1 2 2 1 f x  f x S 成立，则称函数 f(x)是S 关联. 2 1 （1）判断函数 f(x)2x1是否在  0, 关联？是  0,1  关联嘛？若是，请证明；若不是， 请说明吗理由； （2）若函数 f(x)是 3 关关联，当 f(x)在x 0,3 时， f(x) x2 2x ，求解不等式组： 2 f(x)3； （3）证明： f(x)是 1 关联的，且是在  0, 关联的，当且仅当“ f(x)在  1,2  是关联” 【法一】（1）  0, 是，  0,1  不是上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （2） f (x) x  x2 3x是以3为周期的函数， 然后就是要在[2 x,3 x]里面，可以看出只有 [0,3),[3,6)两个周期中可以找到解。 答案是[1 3,5] （3）充分性：  f (x1)  f (x)1，且 f(x)递增，所以对 于x1 y  x2 f (x)1 f (x1) f (y) f (x2) f (x)2成立。 必要性： f (x1) f (x)1， f (x2) f (x1)1， f (x2) f (x) 2 可以得到 f (x1)  f (x)1 故对x  y  x1，我们对x,y1用[1,2]关联的条件得到 f (x)1 f (y1)  f (y)1 于是 f (x) f (y).对于正整数n，xn  y  xn1 则有 f (y) f (yn)n f (x)n  f (x).也成立。 【法二】（1）①设x x  0, ，x x 1且为  0, ， 1 2 1 2 f(x ) f(x )2x 12x 1 =2(x x )2且满足  0, ， 1 2 1 2 1 2 故 f(x)2x1是  0, 关联的. ②设x x  0,1  ， f(x ) f(x )2x 12x 1=2(x x ) 0,2  ，故 1 2 1 2 1 2 1 2 f(x)2x1不是  0,1  关联的. （2）因为 f(x)是  3  关联的，所以当任意的xR 时， f(x3) f(x)3， 又 x 0,3  时， f(x) x2 2x， 函数图像如下图：上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 易知，a1 3，∴原不等式的解为  a,5  即为 1 3,5 .   （3）证明： f(x)是  1  关联，可知对任意的xR 有 f(x1) f(x)1， x x 0  f(x)是  0, 关联，可知对任意的x ,x  0, 有 1 2 ，为不减函数； 1 2 f(x ) f(x )0 1 2 可以设g(x) f(xx) f(x) ， 当x 1时，g(1) f(x1) f(x)1， 当x  2时，g(2) f(x2) f(x) f(x1)1 f(x)2， 因为当x确定时，g(x)是关于x的不减函数， 所以x 1，2  ，g x  1，2  有 f(x)是  1,2  关联. ②当 f(x)是  1,2  关联，有x 1,2  ， ∴g(x) f(xx) f(x) 1,2  ， 当g(1) f(x1) f(x) 1,2  ，g(2) f(x2) f(x) 1,2  时， 假设g(1)>1，有 f(x1) f(x)>1.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师）  f(x2) f(x)>f(x1)1 f(x)2， 又∵g(2) f(x2) f(x) 1,2  ，矛盾. 故只有g(1)1，易得g(2)2. 利用 f(x1) f(x)1 得 f(x)是  1  关联， ， 依次可得g(n)n，nZ ， 即当x n,n1  ，有g(x) n,n1  ， 当在n时，x 0, ，g x  0, .