2021年6月上海市数学高考真题卷完整版-带详解_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
2021．6
一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）
1.已知z 1i,z 23i，z z  ．
1 2 1 2
2.已知A  x 2x1  ,B1,0,1  ，则AB ________．
3.若x2  y2 2x4y 0，则圆心坐标为________．
D C
 
4.如图，正方形ABCD的边长为3，求ABAC ________．
3
5.已知 f(x) 2，则 f 11________．
x
6.若代数式  xa 5 的展开式中，x2的系数为80，则a________． A B
x3

7.已知2xy20，z  x y，则z的最大值为___________．

3x y80
8.已知等比数列a 3,b a ，a 的各项和为9，则数列b 的各项和为________．
1 n 2n n n
9.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点，
绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围________．
10.已知花博会有四个不同场馆A、B、C、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们
恰有一个馆相同的概率为________．
11.已知抛物线： y2 2pxp 0 ，焦点为 F ，若 A、B在抛物线上且在第一象限，
AF 2, BF 4, AB 3，求直线AB的斜率为________．
12.已知a N*(i 1,2,9)，对任意的kN(2k 8)，a a 1或a a 1中有
i k k1 k k1
且仅有一个成立，且a 6,a 9，则a a 的最小值为________．
1 9 1 9上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A. y 3x B. y  x3 C. y 3x D. y log x
3
 x3t4t3
14.已知参数方程
,t1,1 
，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
y 2t 1t2
   
15.已知 f x3sinx2 ，对 于任 意的 x  0, ，都 存在 x  0, ，使 得
2   2   1   2  
f x +2f x 2成立，则下列选项可行的是（ ）
1 2
3 4 6 7
A. B. C. D.
5 5 5 5
16.已知两两不同的x ,y ,x ,y ,x ,y 满足x  y  x  y  x  y ，且
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
x  y ,x  y ,x  y ，若x y x y 2x y 0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2
A. 2x  x x B. 2x  x x C. x 2  x x D. x 2  x x
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】
17.如图，在长方体ABCDABC D 中，AB  BC  2,AA 3
1 1 1 1 1
（1）若P是AD 上一点，求三棱锥PADC的体积；
1 1
（2）求直线AB 与平面ACC A 的夹角大小.（结果用反三角函数值表示）
1 1 1
18.在△ABC中，内角A、B、C 所对边分别为a、b、c，已知a 3，b2c
2
（1）若A ，求△ABC的面积；
3
（2）若2sinBsinC 1，求△ABC的周长.
19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略.
已知某建设投资企业2021年第一季度（一年共4个季度）的营业额为1.1亿元，预计以后每
个季度的营业额比前一个季度增加0.05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为
0.16亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长4%.
（1）求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%？上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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20.已知椭圆:
x2
 y2 1，F,F 是其左右交点，直线l过点Pm,0

m  2

交 于
1 2
2
A,B两点，且A在线段BP上，且A,B都在轴上方
 
（1）若B为椭圆的上顶点，且 BF  PF ，求m的值；
1 1
  1 4 15
（2）若FAF A ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程；
1 2 3 15
 
（3）对任意点，是否存在唯一直线，使得FA//F B成立？若存在，求出直线的斜率；若
1 2
不存在，请说明理由.
21.已知函数 f x 的定义域为 R ，若对任意的 x ,x R ，满足 x x S 时总有
1 2 2 1
f x  f x S 成立，则称函数 f(x)是S 关联.
2 1
（1）判断函数 f(x)2x1是否在  0, 关联？是  0,1  关联嘛？若是，请证明；若不是，
请说明吗理由；
（2）若函数 f(x)是 3 关关联，当 f(x)在x 0,3 时， f(x) x2 2x ，求解不等式组：
2 f(x)3；
（3）证明： f(x)是 1 关联的，且是在  0, 关联的，当且仅当“ f(x)在  1,2  是关联”上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
2021．6
一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）
1.已知z 1i,z 23i，z z  ．
1 2 1 2
【答案】34i
由题易得，z z 34i
1 2
2.已知A  x 2x1  ,B1,0,1  ，则AB ________．
【答案】
1,0
由已知得，AB 1,0
3.若x2  y2 2x4y 0，则圆心坐标为________．
【答案】(1,2)
圆的方程为：x12 y22 5
所以圆心坐标为(1,2)
 
4.如图，正方形ABCD的边长为3，求ABAC ________． D C
【答案】9
由已知得，
A B
     
  2
ABAC  AB ABBC  AB 9上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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3
5.已知 f(x) 2，则 f 11________．
x
【答案】3
3
令 f(x) 21，解得x 1
x
所以 f 113
6.若代数式  xa 5 的展开式中，x2的系数为80，则a________．
【答案】2
通项公式为：T Crx5r ar
r1 5
因为x2的系数为80，所以令5r 2，即r 3
所有C3a3 80，解得a2
5
x3

7.已知2xy20，z  x y，则z的最大值为___________．

3x y80
【答案】4
画出可行域易得最优解为
3,1
所以z的最大值为4
8.已知等比数列a 3,b a ，a 的各项和为9，则数列b 的各项和为________．
1 n 2n n n
18
【答案】
5
因为a 的各项和为9，a 3
n 1
a 2 4 n1
所以 1 9，解得q  ，所以b a  2  
1q 3 n 2n 9
b 2 18
S  1  
即数列的各项和为 1q2 4 5
1
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9.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点，
绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围________．
【答案】[2, 5]
1
当点C在E点影时，面积最小S  ABh 2；
2
1
当点C在底面圆弧EF的中点时，面积最大S  ABh  5，
2
由于变化的连续性及任意性，因此ABC面积的取值范围为 [2, 5]
10.已知花博会有四个不同场馆A、B、C、D ，甲、乙两人每人选2个去参观，问两人他们
恰有一个馆相同的概率为________．
2
【答案】
3
【法一：直接法】甲、乙各选2个去参观：C2C2种，
4 4
其中两人恰有一个馆相同：C1C1C1种，
4 3 2
C1C1C1 2
所以P  4 3 2 
C2C2 3
4 4
【法二：间接法】总共情况为：C2C2种；都不相同的情况为：C2种；
4 4 4
两个馆相同的情况为C2种；
4
C2 C2 2
所以P 1 4  4 
C2C2 C2C2 3
4 4 4 4上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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11.已知抛物线： y2 2pxp 0 ，焦点为 F ，若 A、B在抛物线上且在第一象限，
AF 2, BF 4, AB 3，求直线AB的斜率为________．
5
【答案】
2
p p
【法一】由已知得，x 2 ,x 4 ，
A 2 B 2
由弦长公式得： AB  1k2  x x 3
A B
因为A、B在抛物线上且在第一象限
5 5
即k2  (k 0)，k 
4 2
【法二】如图，根据抛物线定义：在RtABH 中，
5
所以k  tan tanABH 
2
12.已知a N*(i 1,2,9)，对任意的kN(2k 8)，a a 1或a a 1中有
i k k1 k k1
且仅有一个成立，且a 6,a 9，则a a 的最小值为________．
1 9 1 9
【答案】31
1 1 1 1
【法一】①a a 1a a ,a a ,a a ,a a ,a
2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
此时最小值为67121212931
1 1 1 1
②a a 1，a ,a a ,a a ,a a ,a a
3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
此时最小值为61212128932
则a a 的最小值为31
1 9
【法二】因为a  a 1 a  a 1有且仅有一个成立，
k k1 k k1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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所以数列中的项两两一组互相关联
①a  a 1 7, a  a 1,a  a 1,a  a 1，
2 1 3 4 5 6 7 8
a  a ... a  25 2(a  a  a )，
1 2 9 3 5 7
当a  a  a 1时，a  a ... a 最小31
3 5 7 1 2 9
②a  a 1,a  a 1,a  a 1,a  a 1 8
2 3 4 5 6 7 8 9
a  a ... a  26 2(a  a  a )，
1 2 9 2 4 6
当a  a  a 1时，a  a ... a 最小32，则a a 的最小值为31
2 4 6 1 2 9 1 9
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13.下列函数中，既是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ）
A. y 3x B. y  x3 C. y 3x D. y log x
3
【答案】A
由题易知，只有y 3x既是奇函数又是偶函数，故选A
 x3t4t3
14.已知参数方程
,t1,1 
，则下列曲线方程符合该方程的是（ ）
y 2t 1t2
【答案】B
令 y 0t 1,0,1，
易得函数恒过定点 0,0,1,0,1,0 ，结合选项易得B
   
15.已知 f x3sinx2 ，对 于任 意的 x  0, ，都 存在 x  0, ，使 得
2   2   1   2  上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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f x +2f x 2成立，则下列选项可行的是（ ）
1 2
3 4 6 7
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【法一】因为 f

x
[2,5]，所以[2,1]2f 
x

，
1 2
 1
即 1,  f  x 
  2   2
    1
令t  x  ,  ，则 f(t)3sint2，即 1, 3sint2
2   2     2  
 1 
即 1, sint,t的区间长度为 ，故选D
 
 2 2
【法二】将选项代入，按计算器易得
16.已知两两不同的x ,y ,x ,y ,x ,y 满足x  y  x  y  x  y ，且
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
x  y ,x  y ,x  y ，若x y x y 2x y 0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2
A. 2x  x x B. 2x  x x C. x 2  x x D. x 2  x x
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3
【法一】设x sa ， y  sa,a 0，类似定义
1 1
x sb,y sb,x sc,y sc，b,c0，则已知条件可以按以下方式写出：
2 2 3 3
a2c22b2,s2b20，ac2bx x 2x ，ac22  a2c2  4b2，
1 3 2
剩下的选项找反例即可，故选A.
【法二】设x sa ， y sa,a0，类似定义x sb,y sb,x sc,y sc，
1 1 2 2 3 3
b,c0，则已知条件可以按以下方式写出：a2c22b2,s2b20，
ac2b x x 2x ， ac2 2  a2c2  4b2 。
1 3 2
x 2;y 6
1 1
令 ，对x ,y 分三种不同情况依次讨论
3 3
x 4 6;y 4 6
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x 3;y 52x 82 6 325，排除B；
3 3 2
 x 2 228 6 236，排除D；
2
x 1;y 7 x 2 228 6 122，排除C；故选A
3 3 2
【法三：群友清序老师提供】不妨设x  y  x  y  x  y  2，
1 1 2 2 3 3
所以x y x y  2x y 化为x  2x x  2x 2x  2x  ，
1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2
设u  x(2x)，又因为x  y ,x  y ,x  y ，所以x ,x ,x 1.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
由图可知，
易知2x  x x 恒成立，
2 1 3
【法四：群友欧阳老师提供】设x sa ， y  sa,a 0，
1 1
类似定义x sb,y sb，b0，x sc,y sc ，c0，
2 2 3 3
那么条件就可以写为a2 c2  2b2,s2 b2 0，我们有不等式
(ac)2 2  a2 c2 (ac)2 2  a2 c2  4b2
由于a,b,c 0，开方得到ac 2b x x  2x
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所以A恒成立，B恒错误，选A.
C选项是x2  x x ,D选项是x2  x x ，
2 1 3 2 1 3
实际上我们取x 4,y 5,x 2,y 7,x 1,y 8
1 1 2 2 3 3
就x2  x x ，C,D同时排除了.事实上C,D选项中的大于或小于或等于都是会发生的.
2 1 3
【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】
17.如图，在长方体ABCDABC D 中，AB  BC  2,AA 3
1 1 1 1 1
（1）若P是AD 上一点，求三棱锥PADC的体积；
1 1
（2）求直线AB 与平面ACC A 的夹角大小.（结果用反三角函数值表示）
1 1 1
（1）因为点P是AD 上一点，且平面AD AD 平面ABCD，
1 1 1 1
所以长方体的高，即为三棱柱PADC 的高h3，
1
又由于底面是直角三角形ADC ，所以底面面积为a  222，
2
1 1
所以V  232 2
PADC
2 3
（2）以为建立空间直角坐标系易得，
A2,0,0,C0,2,0,A2,0,3,B2,2,3
  
所以AA (0,0,3),AC (2,2,0),AB (0,2,3)
1 1
 
  AA n0 z 0
设平面ACC A 的法向量n (x,y,z)，则 1  
1 1 ACn0 2x2y 0
  
令x1，则n (1,1,0)，设AB与平面ACC
1
A
1
所成角为,
 
0,
2  
  26
则sin cos AB,n 
13
26
所以AB 与平面ACC A 的夹角大小arcsin .
1 1 1
13上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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18.在△ABC中，内角A、B、C 所对边分别为a、b、c，已知a 3，b2c
2
（1）若A ，求△ABC的面积；
3
（2）若2sinBsinC 1，求△ABC的周长.
b2 c2 a2 1 (2c)2 c2 9 1
（1）由已知得，cosA   
2bc 2 2xcc 2
9 1 1 3 9 3
c2  ,S  bcsinA 2c2 
5 2 2 2 14
（2）b2csinB 2sinC 4sinCsinC 1
1 2 2 2 5
sinC  ,cosC  ,sinB ,cosB
3 3 3 3
4 2  5
所以sin Asin(BC)
9
a c a sinC 4 2 5
因为  ，所以C  
sin A sinC sin A 3
C abca3c 3 4 2 5
ABC
19.“十四五”期间，上海市将全力推进“五个新城建设”，更好服务长三角一体化发展国家战略.
已知某建设投资企业2021年第一季度（一年共4个季度）的营业额为1.1亿元，预计以后每
个季度的营业额比前一个季度增加0.05亿元，已知该企业2021年第一季度的毛利润为
0.16亿元，预计以后每个季度的毛利润比前一季度增长4%.
（1）求该企业自2021年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问该企业自2021年起哪一年哪一季度利润首次超过该季度营业额的18%？
（1）设a 为第n季度的营业额，b 为利润，
n n
由题意得，a 的首项为1.1亿元，公差为0.05亿元
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2019
所以2021到2025年，20季度营业收入总额为：S 20a  d 31.5（亿元）
20 1 2
（2）由已知得，a a (n1)d 1.10.5(n1)
n 1
由已知的， b 的首项为0.16亿元，公比为1.04
n
即b b qn1  0.161.04n1
n 1
所以a 18%b ，利用计算器991可得，n 26
n n min
所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18%
20.已知椭圆:
x2
 y2 1，F,F 是其左右交点，直线l过点Pm,0

m  2

交 于
1 2
2
A,B两点，且A在线段BP上，且A,B都在轴上方
 
（1）若B为椭圆的上顶点，且 BF  PF ，求m的值；
1 1
  1 4 15
（2）若FAF A ，且原点O到直线l的距离为 ，求直线l的方程；
1 2 3 15
 
（3）对任意点，是否存在唯一直线，使得FA//F B成立？若存在，求出直线的斜率；若
1 2
不存在，请说明理由.
 
（1）因为B是上顶点，则|BF |a 2，则|PF |1m 2，故m  1 2
1 1
       
2 2
（2）F AF A (AOOF )(AOOF )  AO OF
1 2 1 1 1
x 2 x 2 1 6 6
 x 2  y 2 1 x2 1 A 1 A  ，得x  ,y 
A A 2 2 3 A 3 A 3
6
| (k1)|
设l  y 6 k(x 6 )，则d  3  4 15 ，解得k3
AB 3 3 1k2 15
4
l :y 3x 6
AB 3
（3）设A(x ,y ),B(x ,y )，直线l:x hym
1 1 2 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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  y 1m m1 m1
若FA//F B，则 2   ，y  y
1 2 y 1m m1 2 m1 1
1
xhym

联立直线与椭圆得x2   h22  y22mhym220.

 y2 1
 2
2mh m2 2
即 y  y  , y y 
1 2 h2 2 1 2 h2 2
 m1 2mh m1 m22
所以1  y  , y2
 m1 1 h22 m1 1 h22
h(2n1) m1 h2(m1)2 m22
代入 y  ，  
1 h2 2 m1  h2 2 2 h22
    
所以 m2 1 h2  m2 2 h2 2 ，m2h2 h2 m2h2 2h2 2m2 4
h0
1
h2  2m2 4h 2m2 4k 
，即证
2m2 4
 
即对于任意m 2，使得FA//F B的直线有且仅有一条
1 2
21.已知函数 f x 的定义域为 R ，若对任意的 x ,x R ，满足 x x S 时总有
1 2 2 1
f x  f x S 成立，则称函数 f(x)是S 关联.
2 1
（1）判断函数 f(x)2x1是否在  0, 关联？是  0,1  关联嘛？若是，请证明；若不是，
请说明吗理由；
（2）若函数 f(x)是 3 关关联，当 f(x)在x 0,3 时， f(x) x2 2x ，求解不等式组：
2 f(x)3；
（3）证明： f(x)是 1 关联的，且是在  0, 关联的，当且仅当“ f(x)在  1,2  是关联”
【法一】（1）  0, 是，  0,1  不是上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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（2） f (x) x  x2 3x是以3为周期的函数，
然后就是要在[2 x,3 x]里面，可以看出只有
[0,3),[3,6)两个周期中可以找到解。
答案是[1 3,5]
（3）充分性：
 f (x1)  f (x)1，且 f(x)递增，所以对
于x1 y  x2
f (x)1 f (x1) f (y) f (x2) f (x)2成立。
必要性： f (x1) f (x)1， f (x2) f (x1)1， f (x2) f (x) 2
可以得到 f (x1)  f (x)1
故对x  y  x1，我们对x,y1用[1,2]关联的条件得到 f (x)1 f (y1)  f (y)1
于是 f (x) f (y).对于正整数n，xn  y  xn1
则有 f (y) f (yn)n f (x)n  f (x).也成立。
【法二】（1）①设x x  0, ，x x 1且为  0, ，
1 2 1 2
f(x ) f(x )2x 12x 1 =2(x x )2且满足  0, ，
1 2 1 2 1 2
故 f(x)2x1是  0, 关联的.
②设x x  0,1  ， f(x ) f(x )2x 12x 1=2(x x ) 0,2  ，故
1 2 1 2 1 2 1 2
f(x)2x1不是  0,1  关联的.
（2）因为 f(x)是  3  关联的，所以当任意的xR 时， f(x3) f(x)3，
又 x 0,3  时， f(x) x2 2x，
函数图像如下图：上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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易知，a1 3，∴原不等式的解为  a,5  即为 1 3,5 .
 
（3）证明： f(x)是  1  关联，可知对任意的xR 有 f(x1) f(x)1，
x x 0
 f(x)是  0, 关联，可知对任意的x ,x  0, 有 1 2 ，为不减函数；
1 2 f(x ) f(x )0
1 2
可以设g(x) f(xx) f(x)
，
当x 1时，g(1) f(x1) f(x)1，
当x  2时，g(2) f(x2) f(x) f(x1)1 f(x)2，
因为当x确定时，g(x)是关于x的不减函数，
所以x 1，2  ，g x  1，2 
有 f(x)是  1,2  关联.
②当 f(x)是  1,2  关联，有x 1,2  ，
∴g(x) f(xx) f(x) 1,2  ，
当g(1) f(x1) f(x) 1,2  ，g(2) f(x2) f(x) 1,2  时，
假设g(1)>1，有 f(x1) f(x)>1.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】
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 f(x2) f(x)>f(x1)1 f(x)2，
又∵g(2) f(x2) f(x) 1,2  ，矛盾.
故只有g(1)1，易得g(2)2.
利用 f(x1) f(x)1 得 f(x)是  1  关联，
，
依次可得g(n)n，nZ
，
即当x n,n1  ，有g(x) n,n1  ，
当在n时，x 0,
，g
x  0,
.