文档内容
2021年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3 B．2a2•3a＝5a3 C．2a2÷3a＝ a D．（2a2）3＝8a5
2．（4分）下列单项式中，可以与x2y3合并同类项的是（ ）
A．x3y2 B． C．3x2y D．2x2y3z
3．（4分）方程 ＝x的根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
4．（4分）已知两组数据：x 、x 、x 、x 、x 和x +2、x +2、x +2、x +2、x +2，下列有关这两组数据
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
的说法中，正确的是（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等
5．（4分）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，不一定能得到
△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，将△ABC绕着顶点B
旋转后，点C的对应点C′落在y轴上 在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是
（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（ ）
第1页（共29页）A．（3，2） B．（ ，4） C．（2，3） D．（4， ）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝ ，则 ＝ ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的
取值范围是 ．
11．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于
．
12．（4分）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 ．
13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水
日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，那么5月份这100户家庭节水量的
平均数是 吨．
每户节水 5 6 7.2
量（单位：
吨）
节水户户 62 28 10
数
14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、
4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签 ．
15．（4分）如图，两条平行线l 、l 分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那
1 2
么∠2＝ ．
第2页（共29页）16．（4分）如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，EF＝DE，设 ，
那么向量 、 表示是 ．
17．（4分）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以B为圆心BC为半径作 B，如果 A
与 B内切 ． ⊙ ⊙
18．（⊙4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，联结FC，如果
△FNC是以CN为底边的等腰三角形 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ＝1．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣ x+2分别与x轴、y轴交于点
A、B，点C的横坐标是1．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣ x+2于点D，如果交点D始终落
第3页（共29页）在线段AB上，求b的取值范围．
22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户
底边OE上，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为
17cm（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；
（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的
距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.4）
23．（12分）已知：如图，在 ▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，菱形的对角
第4页（共29页）线AF分别交DE、DC于点P、Q， ．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE•DQ＝FQ•PE．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣
2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝5，cosC＝ （如图）（不与点B、C重
合），以点M为圆心，CM为半径作圆
（1）设CE＝ ，求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；
第5页（共29页）（3）以点D为圆心，DA为半径作圆， D与 M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点
⊙ ⊙
第6页（共29页）2021年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3 B．2a2•3a＝5a3 C．2a2÷3a＝ a D．（2a2）3＝8a5
【分析】直接利用整式的混合运算以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a2+5a，无法计算；
B、2a2•3a＝6a3，故此选项错误；
C、2a2÷3a＝ a，故此选项正确；
D、（2a5）3＝8a7，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（4分）下列单项式中，可以与x2y3合并同类项的是（ ）
A．x3y2 B． C．3x2y D．2x2y3z
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可判断．
【解答】解：A、x3y2与x2y3，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，所以不能合并；
B、 与x2y2，所含字母相同，相同字母的指数相同，能合并；
C、x2y与x2y4，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，所以不能合并；
D、2x2y8z与x2y3，所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．
注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．
3．（4分）方程 ＝x的根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2
第7页（共29页）【分析】将方程两边分别平方，去掉根号，化成一元二次方程，解一元二次方程，检验，舍去
增根，得出原方程的根．
【解答】解：将方程两边平方得：
x+2＝x2．
解这个一元二次方程得：
x ＝2，x ＝﹣8．
7 2
检验：把x ＝2，x ＝﹣1分别代入原方程，
1 2
x＝2是原方程的根，x＝﹣8是原方程的增根．
∴原方程的根为：x＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，将方程两边平方，化无理方程为一元二次方程
是解题的关键．
4．（4分）已知两组数据：x 、x 、x 、x 、x 和x +2、x +2、x +2、x +2、x +2，下列有关这两组数据
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
的说法中，正确的是（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，
∴这两组数据的波动幅度不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动
大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（4分）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，不一定能得到
△ABC≌△A′B′C′的是（ ）
A．BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90°
【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理．
【解答】解：A、由AB＝A′B′，BC＝B′C′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
B、由AB＝A′B′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
C、由AB＝A′B′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA）．
D、由AB＝A′B′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．
故选：C．
第8页（共29页）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若
有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，将△ABC绕着顶点B
旋转后，点C的对应点C′落在y轴上 在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是
（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（ ，4） C．（2，3） D．（4， ）
【分析】根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反
比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标．
【解答】解：设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，
设直线A′B的解析式为y＝kx﹣4，
把D（7，0）代入得0＝2k﹣4，
解得k＝2，
∴直线A′B的解析式为y＝3x﹣4，
由 解得 或 ，
第9页（共29页）∴点A′的坐标是（8，2），
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函
数的交点，求得直线A′B的解析式是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）因式分解：a3﹣4a＝ a （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a8﹣4）＝a（a+2）（a﹣3）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关
键．
8．（4分）已知f（x）＝ ，则 ＝ +1 ．
【分析】将x＝ 代入f（x）＝ ，再化简即可得．
【解答】解：当x＝ 时， ＝ ＝ ＝ +1，
故答案为： +1．
【点评】本题考查求函数值的能力，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．
9．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 4 ．
第10页（共29页）【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣3＜1，得：x＜6，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜4，
故答案为：﹣5＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的函数值y随x的值增大而减小，那么k的
取值范围是 k ＜ 0 ．
【分析】根据正比例函数图象的性质可以得出结论．
【解答】解：∵对于正比例函数y＝kx（k≠0），y随x的值增大而减小，
∴k＜0．
故答案为：k＜6．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟记一次函数图象的性质是解题的
关键．
11．（4分）如果关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于 ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．
【解答】解：∵方程x2﹣x+m﹣1＝7有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4（m﹣4）＝0，解得m＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个
相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方
程无实数根．
12．（4分）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线 x ＝﹣ ．
【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣ ，可以得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣ ，
第11页（共29页）∴抛物线y＝ax7+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣ ．
即对称轴是直线x＝﹣ ．
故答案为：x＝﹣ ．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记二次函数的对称轴方程为x＝﹣ 是解题
的关键．
13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水
日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，那么5月份这100户家庭节水量的
平均数是 5. 5 吨．
每户节水 5 6 7.2
量（单位：
吨）
节水户户 62 28 10
数
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：5月份这100户家庭节水量的平均数是 ＝2.5（吨），
故答案为：5.4．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、
4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签 ．
【分析】根据三角形的三边关系结合概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，
∴设第2根竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：3＜x＜7，
故只有4cm，符合题意，
则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角
形的概率是： ．
故答案为： ．
第12页（共29页）【点评】此题主要考查了概率公式以及三角形三边关系，正确得出符合题意的竹签长是解
题关键．
15．（4分）如图，两条平行线l 、l 分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝20°，那
1 2
么∠2＝ 92 ° ．
【分析】根据正五边形的内角和平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°，
∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，
∵l ∥l ，∠3＝88°，
4 2
∴∠4＝180°﹣88°＝92°，
故答案为：92°．
【点评】此题考查的知识点是平行线的性质及正多边形的性质，解题的关键是由正多边形
的性质和已知得出答案．
16．（4分）如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，EF＝DE，设 ，
那么向量 、 表示是 2 ﹣ ．
第13页（共29页）【分析】根据三角形中位线定理和已知条件求得EF＝ BC；然后在△AEF中，利用三角形
法则得到 ；最后易得 ＝2 ．
【解答】解：如图，在△ABC中，D、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝ ．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∵EF＝DE，
∴ ＝ ＝ ．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ．
∵点E是AC的中点，
∴ ＝2 ﹣ ）＝2（ ﹣ ﹣ ．
故答案是：2 ﹣ ．
【点评】本题考查三角形中位线定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法
第14页（共29页）则，属于中考常考题型．
17．（4分）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以B为圆心BC为半径作 B，如果 A
与 B内切 3 ． ⊙ ⊙
【分⊙析】根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计
算，得到答案．
【解答】解：∵ A的半径为2， B的半径为6，
∴AB＝7﹣2＝4，⊙ ⊙
过点A作AD⊥BC于D，
则BD＝ BC＝3，
由勾股定理得，AD＝ ＝ ＝ ，
∴△ABC的面积＝ ×8× ，
故答案为：8 ．
【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切 d＝R﹣r是
解题的关键． ⇔
18．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，联结FC，如果
△FNC是以CN为底边的等腰三角形 ．
【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出
第15页（共29页）AB＝A′C＝4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数
的关系，得出cos∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求得
结论．
【解答】解：延长AE，DC交于点A′，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，AB∥CD，
∴∠1＝∠A′，
在△ABE和△A′CE中，
，
∴△ABE≌△A′CE（AAS），
∴AB＝A′C＝4，
∵E为边BC的中点，
∴BE＝EC＝ BC＝2，
∴AE＝ ，
∴sin∠3＝ ，
∴sin∠A′＝ ，
∵AE⊥MN，
∴∠A′FN＝90°，
∴∠A′+∠2＝90°，
第16页（共29页）∴cos∠4＝sin∠A′＝ ，
∵FN＝FC，FH⊥CN，
∴NH＝CH＝ CN，
设NH＝x，则NC＝2x，
∴A′N＝A′C+NC＝2+2x，
在Rt△FHN中，cos∠2＝ ＝ ，
∴FN＝ x，
在Rt△A′FN中，cos∠8＝ ，
∴ ，
∴x＝ ，
∴FC＝FN＝ x＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利
用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分
19．（10分）计算： ．
【分析】直接利用分数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝﹣1+3 ﹣（2﹣
＝﹣1+ ﹣2+
＝5 ﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解方程： ＝1．
第17页（共29页）【分析】直接去分母进而解分式方程，再检验得出答案．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣1）得：
6x（x﹣1）﹣24＝（x+3）（x﹣4），
整理得：2x2﹣8x﹣24＝x2+2x﹣5，
则x2﹣4x﹣21＝8，
（x﹣7）（x+3）＝4，
解得：x ＝7，x ＝﹣3，
1 8
检验：当x＝﹣3时，（x+5）（x﹣1）＝0，
故x＝﹣6是方程的增根，
当x＝7时，（x+3）（x﹣3）≠0，
故x＝7是原方程的根．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题方法是解题关键．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线y＝﹣ x+2分别与x轴、y轴交于点
A、B，点C的横坐标是1．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线y＝﹣ x+2于点D，如果交点D始终落
在线段AB上，求b的取值范围．
第18页（共29页）【分析】（1）先求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）求得A、B的坐标，把A的坐标代入平移后的直线解析式，求得b的值，根据图象即可
求得符合题意的b的取值．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝﹣ x+2得 ，
∴C（1， ），
设正比例函数解析式为y＝kx，
把C的坐标代入得k＝ ，
∴正比例函数的解析式为y＝ x；
（2）直线y＝﹣ x+2中，则x＝4，
∴A（2，0），2），
设平移后的直线解析式为y＝ x+b，
把A（4，8）代入得， ，
解得b＝﹣2，
∴符合题意的b的取值范围是﹣6≤b≤2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数
的性质，数形结合是解题的关键．
第19页（共29页）22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户
底边OE上，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为
17cm（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；
（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的
距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ≈1.4）
【分析】（1）由锐角三角函数可求AH＝12cm，由勾股定理可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AH的长，由勾股定理可求BH的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图2，过点A作AH⊥OF于H，
∵sinO＝ ＝0.8，
∴AH＝20×0.6＝12（cm），
∴OH＝ ＝ ＝16（cm），
∴BH＝16﹣7＝5（cm），
第20页（共29页）∴AB＝ ＝ ＝15（cm）；
（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，
∴AH＝OH＝10 （cm），
∴BH＝ ＝ ＝5（cm），
∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），
答：时窗钩端点B与点O之间的距离为5cm．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的
关键．
23．（12分）已知：如图，在 ▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，菱形的对角
线AF分别交DE、DC于点P、Q， ．
求证：（1）四边形ABCD为矩形；
（2）BE•DQ＝FQ•PE．
【分析】（1）通过证明△ABF∽△EPF，可得结论；
（2）通过证明△DPQ∽△FCQ，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，
∴AF⊥DE，
∴∠EPF＝90°，
∵ ，∠PFE＝∠AFB，
∴△ABF∽△EPF，
∴∠ABE＝∠EPF＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
第21页（共29页）∴AD＝BC＝EF，
∴EC+CF＝BE+CE，
∴BE＝CF，
∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，
∴△DPQ∽△FCQ，
∴ ，
∴ ，
∴BE•DQ＝FQ•PE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，灵活运用
这些性质解决问题是本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣
2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得 ，即可求解；
第22页（共29页）（3）由相似三角形的性质可得 ＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ x3+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），7），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣6x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣6），
设直线BC解析式为y＝mx+n，
则 ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图7，过点E作EH⊥OC于H，
∵点C（0，﹣6），2），0），
第23页（共29页）∴OB＝OC＝6，OA＝7，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6 ＝ ＝3 ，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝ ，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝ ，
∴OH＝ ，
∴点E（ ，﹣ ）；
（3）∵点D的横坐标为d，
∴点D（d， d5﹣2d﹣6），（8＜d＜6），
如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，
第24页（共29页）∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
∵点F在直线BC上，
∴点F（ d2﹣7d， d2﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣ d3，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角
形的判定和性质等知识，根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝5，cosC＝ （如图）（不与点B、C重
合），以点M为圆心，CM为半径作圆
（1）设CE＝ ，求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；
（3）以点D为圆心，DA为半径作圆， D与 M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点
⊙ ⊙
第25页（共29页）【分析】（1）如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝ ，通过计算证
明AD＝CM，可得结论．
（2）如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．由cosC＝ ＝ ，设EC
＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝ CE＝ k，CH＝ EC＝
k，想办法构建方程，求解即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形
ABPD是矩形．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于
N．分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接EM，则EG＝CG＝ ，
在Rt△CGM中，CM＝ ＝ ，
∴AD＝CM，
∵AD∥CM，
∴四边形AMCD是平行四边形．
（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H．
第26页（共29页）∵ME＝MC，MT⊥EC，
∴CT＝ET，
∴cosC＝ ＝ ，
设EC＝6k，则CT＝ET＝8k，
在Rt△CEH中，EH＝ k，CH＝ k，
∴MH＝CM﹣CH＝ k，
∴tan∠EMH＝ ，
∵∠FMB＝∠EMC，
∴tan∠FMB＝ ＝ ＝ ，
∴BM＝ ，
∴CM＝BC﹣BM＝ ＝4k，
∴CE＝6k＝ ．
（3）如图6﹣1中，当公共弦经过点A时，则四边形ABPD是矩形．
第27页（共29页）∴AD＝BP＝3，
在Rt△CDP中，cosC＝ ＝ ，
∵CD＝5，
∴PC＝7，AB＝PD＝4，
∴BC＝3+6＝6，
设CM＝AM＝x，
在Rt△ABM中，则有x2＝52+（6﹣x）7，
解得x＝ ，
∴ M的半径为 ．
⊙
如图2﹣2中，当公共弦经过点D时，MP．
第28页（共29页）设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，
∵DM7＝MN2+DN2＝MP5﹣DP2，
∴42+（x﹣3）2＝x3﹣32，
∴x＝ ，
综上所述，满足条件的 M的半径为 或 ．
⊙
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，直角梯形的性质，平行四边形的
判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会
利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
第29页（共29页）
