文档内容
2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列说法中，不一定成立的是（ ）
A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞b
C．如果a＞b，那么ac2＞bc2 D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
3．（4分）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x4+1＝0 B． ＝﹣1
C． ＝﹣x D． ＝
4．（4分）已知A（x ，y ）和点B（x ，y ）是双曲线y＝ 上的两个点，如果x ＜x ，那么y 和y
1 1 2 2 1 2 1 2
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
5．（4分）为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分
析，在这项调查中（ ）
A．400名学生
B．被抽取的50名学生
C．400名学生的体重
D．被抽取的50名学生的体重
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a3•a﹣1＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝ ．
第1页（共27页）9．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为
．
12．（4分）一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9 ．
13．（4分）在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机
摸出两个球 ．
14．（4分）已知G是△ABC的重心，设 ， ，那么 ＝ （用 、
表示）．
15．（4分）如果一个正六边形的边心距为 厘米，那么它的半径长为 厘米．
16．（4分）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，那么tan∠AOC＝
．
17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫
做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝
2，那么线段EF的长为 ．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D是边BC的中点，将△BDE沿直线
DE翻折，点B落在B'处，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为 ．
第2页（共27页）三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣ ﹣（ ）﹣1÷ +（1﹣ ）2．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A
（a，3），过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C
（1）求a、k的值；
（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．
22．（10分）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，量
得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可
绕点C旋转
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，使点D落在直线
AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75， ≈1.73）
第3页（共27页）23．（12分）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），E是直径
AB上一点，且AE＝AD
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果 ＝3 ，延长EC与弦AD的延长线交于点F，求证：四边形OCFD是菱形．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，抛物线y
＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，求
点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
25．（14分）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15 ，点P是射线AB上一点，联结
PQ，与边AC相交于另一点D．
第4页（共27页）（1）当圆心O在射线AB上时，求 O的半径；
⊙
（2）当圆心O到直线AB的距离为 时，求线段AP的长；
（3）试讨论以线段PQ长为半径的 P与 O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范
围． ⊙ ⊙
第5页（共27页）2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中无理数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、 是无理数；
B、 是有理数；
C、 ＝2是有理数；
D、 ＝5是有理数；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（4分）下列说法中，不一定成立的是（ ）
A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞b
C．如果a＞b，那么ac2＞bc2 D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
【分析】根据不等式的性质1，不等式的两边同时加上或减去一个数或整式，不等号的方向
不变，可以排除A，B，根据不等式的性质2，不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等
号的方向不变即可排除D，即可得到答案．
【解答】解：根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式．可知A不符
合题意；
根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式．可知B不符合题意；
若c＝0则不等式不成立，C符合题意；
根据不等式的性质，不等式两边同时乘以或除以一个正数不等号的方向不变．
第6页（共27页）故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，当利用不等式的性质2，3时应注意乘数或除数不为0．
3．（4分）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x4+1＝0 B． ＝﹣1
C． ＝﹣x D． ＝
【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分
式方程可对D进行判断．
【解答】解：A、x4≥0，x7+1＞0，方程x8+1＝0没有实数解；
B、 ≥0；
C、两边平方得x+2＝x4，解得x ＝﹣1，x ＝2，经检验；
1 4
D、去分母得x＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，
在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 用乘方法（即将方程两边各自乘同
次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
4．（4分）已知A（x ，y ）和点B（x ，y ）是双曲线y＝ 上的两个点，如果x ＜x ，那么y 和y
1 1 2 2 1 2 1 2
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【分析】由于点A（x ，y ）、B（x ，y ）不一定在同一象限，所以无法判断出y 、y 的大小．
1 1 2 2 1 2
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴双曲线在一、三象限．
①当x ＜x ＜0时，y ＞y ；
2 2 4 2
②当0＜x ＜x 时，y ＞y ；
4 2 1 5
③当x ＜0＜x 时，y ＜y ；
1 2 1 2
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，分类讨论是解题的关键．
5．（4分）为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分
析，在这项调查中（ ）
A．400名学生
B．被抽取的50名学生
第7页（共27页）C．400名学生的体重
D．被抽取的50名学生的体重
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可．
【解答】解：为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进
行分析，样本是被抽取的50名学生的体重．
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样
本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的
大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧；
C、在同圆或等圆中，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定
理等知识，难度不大．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a3•a﹣1＝ a 2 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：原式＝a3+（﹣1）
＝a2．
故答案为：a2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．
8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝ x （ x ﹣ 4 ） ．
【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．
第8页（共27页）【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么自变量x的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义的条件进行计算即可．
【解答】解：∵2x+3≠4，
∴ ；
故答案为 ．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
10．（4分）不等式组 的解集是 x ＜ 1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣15≤0，得：x≤5，
解不等式 ＞2，
则不等式组的解集为x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为
10 ．
【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根得到△＝36﹣4（m﹣1）
＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m﹣8＝0有两个相等的实数，
∴△＝36﹣4（m﹣5）＝0，
∴m＝10，
故答案为10．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
第9页（共27页）（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．（4分）一⇔个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9 ．
【分析】先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准
差．
【解答】解：由题意知： ＝ ＝8，
方差S2＝ [（8﹣8）5+（6﹣8）7+（10﹣8）2+（5﹣8）2+（6﹣8）2]＝5
∴标准差是方差的平方根为 ．
故答案为： ．
【点评】计算标准差需先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数 ；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；
注意标准差和方差一样都是非负数．
13．（4分）在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机
摸出两个球 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，再由概
率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，
∴摸到的两个球颜色相同的概率为 ＝ ，
第10页（共27页）故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．（4分）已知G是△ABC的重心，设 ， ，那么 ＝ （用 、 表
示）．
【分析】首先根据题意作出图形，然后根据图，即可求得 的值，又由G是△ABC的重心，
即可求得 的值，继而求得 的值．
【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵D是BC的中点，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ （ + ），
∵G是△ABC的重心，
∴ ＝ ＝ × （ + ）＝ （ + ）．
故答案为： （ + ）．
【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．此题难度适中，注意掌握三角
形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
15．（4分）如果一个正六边形的边心距为 厘米，那么它的半径长为 2 厘米．
【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，再根据三角函数求出OA的长即可．
【解答】解：如图所示，
∵图中是正六边形，
第11页（共27页）∴∠AOB＝ ＝60°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∵OD⊥AB，OD＝ ，
∴OA＝ ＝4；
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
16．（4分）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，那么tan∠AOC＝
3 ．
【分析】如图，取格点E，连接AE、BE，通过计算得直角三角形△ABE，利用CD∥BE，得到
∠AOC＝∠ABE．在Rt△ABE中，依据正切值的意义可求解．
【解答】解：如图，取格点E、BE，
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝ ，
AE＝ ．
第12页（共27页）由网格可以看出：∠AED＝45°，∠BED＝45°．
∴∠AEB＝45°+45°＝90°．
同理，∠ACD＝90°．
∴CD∥BE．
∴∠AOC＝∠ABE．
∴tan∠AOC＝tan∠ABE．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝ ．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了解直角三角形．本题是网格问题，依据网格的特点，巧妙的构造直
角三角形是解题的关键．
17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫
做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝
2，那么线段EF的长为 2 ．
【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形
ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3 ＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2
﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，
∴BG＝4，AG＝3 ，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝2﹣3﹣2＝7，
第13页（共27页）∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣7＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D是边BC的中点，将△BDE沿直线
DE翻折，点B落在B'处，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为 或 2 ．
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和锐角三角函数可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，
∴AB＝4，BC＝ ，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD＝ ，
∵将△BDE沿直线DE翻折，
∴B'D＝BD＝ ，
∴点B'在以点D为圆心，BD为半径的圆上，当点B'与点C不重合时，连接AD，
在Rt△ACD和Rt△AB'D中，
，
第14页（共27页）∴Rt△ACD≌Rt△AB'D（HL），
∴∠DAC＝∠DAB'，
∵∠BDB'+∠B'DC＝180°＝∠B'AC+∠B'DC，
∴∠B'AC＝∠BDB'，
∵折叠，
∴∠BDE＝∠EDB'，
∴∠BDE＝∠DAC，
∴tan∠DAC＝tan∠BDE＝ ＝ ，
∴设EH＝ x，DH＝2x，
∵∠B＝30°，
∴BH＝ EH＝5x x
∵BH+DH＝BD＝ ，
∴x＝ ，
∴EH＝ ，BE＝ ，
∴AE＝ ，
当点B'与点C重合时，∠AB'D＝90°，
∴DE是BC的垂直平分线，
∴DE∥AC，
∴ ，
∴AE＝BE＝ AB＝2，
综上所述：AE＝ 或8．
故答案为： 或2．
【点评】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用
这些性质解决问题是本题的关键．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
第15页（共27页）19．（10分）计算： ﹣ ﹣（ ）﹣1÷ +（1﹣ ）2．
【分析】先根据负整数指数幂的意义、完全平方公式计算和除法运算化为乘法运算，再分
母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2 + ﹣8× +2
＝2 +2+ ﹣
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二
次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运
用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解方程： ．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（2分）
4x＝x2﹣3+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）
整理得：x7﹣4x+3＝7，（2分）
解得：x ＝4，x ＝3，（8分）
1 2
经检验：x ＝3是原方程的增根，（8分）
2
所以，原方程的解为x＝1
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点A
（a，3），过点B作BD⊥x 轴，交反比例函数的图象于点C
（1）求a、k的值；
（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．
第16页（共27页）【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求
出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝6，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行
计算即可．
【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y＝ ，2＝ ，
解得a＝2，
∴点A（3，3），k＝ ；
（2）当BD＝6＝y时，代入y＝ ，x＝4，
∴OB＝4，
当x＝8代入y＝ 得，y＝ ，
∴CD＝BD﹣BC＝8﹣ ＝ ，
∴S△ACD ＝ × ×（8﹣2）＝ ．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，
求得交点的坐标是解题的关键．
22．（10分）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，量
得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可
绕点C旋转
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，使点D落在直线
AB上，求线段BC旋转的角度．
第17页（共27页）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75， ≈1.73）
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、CF，即
可求出点D到直线AB的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角
关系求出相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图2，过D作DM⊥AB，过点C作CN⊥AB于点N，过点D作DQ⊥CN交
CB于点Q，
在Rt△CNB中，∠ABC＝60°，
∴CN＝CB•sin∠ABC＝8× ≈6.92（cm），
∵∠BCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝70°，
∴∠DCF＝70°﹣30°＝40°，
在Rt△DCF中，∠DCF＝40°，
∴CF＝CD•cos40°≈4×0.77＝4.62（cm），
∵∠DMN＝∠MNF＝∠NFD＝90°，
∴四边形MNFD是矩形，
∴DM＝FN＝CN﹣CF＝3.92﹣4.62＝2.8（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′＝70°+20°＝90°，
第18页（共27页）∵BC＝8cm，CD＝6cm，
∴tan∠C′BD′＝ ＝0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′＝37°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝60°﹣37°＝23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三
角形是常用的方法，也是基本的方法．
23．（12分）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），E是直径
AB上一点，且AE＝AD
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果 ＝3 ，延长EC与弦AD的延长线交于点F，求证：四边形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
第19页（共27页）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵ ＝3 ，
∴∠AOD＝4∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
第20页（共27页）∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，
∴平行四边形OCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性
质解决问题是本题的关键．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，抛物线y
＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，求
点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；
（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求
CN解析式及D坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣7，
∴A（5，0），﹣8），
第21页（共27页）将A（5，0），﹣7）代入y＝ax2+6x+c得：
，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣3中令y＝0得x ＝2，x ＝5，
1 2
∴C（5，0），
点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，
则BP的中点为（ ， ），CQ的中点为（ ， ），
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴线段BP的中点，即是CQ的中点，
∴ ，解得 或 ，
∴Q（3，﹣6）；
（3）设CD与AB交于N，如图：
∵B（0，﹣5），4），﹣2），
∴CQ＝2 ，BQ＝3 ，
∵∠QCD＝∠ABC，且∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴ ，即 ＝ ，
∴QN＝ ，
设N（t，t﹣5），﹣2），
第22页（共27页）∴ ＝ ，
∴t＝ 或t＝ ，
∵在∠QCB内作射线CD，
∴t＝ ，N（ ，﹣ ），
设CN解析式为y＝kx+b，将N（ ，﹣ ），8）代入得：
，解得 ，
∴CN解析式为y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝6．
【点评】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利
用相似三角形性质求出ND的长度．
25．（14分）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15 ，点P是射线AB上一点，联结
PQ，与边AC相交于另一点D．
（1）当圆心O在射线AB上时，求 O的半径；
⊙
（2）当圆心O到直线AB的距离为 时，求线段AP的长；
（3）试讨论以线段PQ长为半径的 P与 O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范
围． ⊙ ⊙
第23页（共27页）【分析】（1）解直角三角形求出PA即可．
（2）分两种情形：如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，如图2﹣2中，当点O在射线
AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
（3）求出两圆内切时AP的值，条件 O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中， ⊙
∵点O在PA上，PQ是 O的切线，
∴PQ⊥AP， ⊙
∵cot∠PAQ＝ ＝ ，
∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，
∴k＝2，
∴PA＝9，PQ＝12，
∴ O的半径为 ．
⊙
（2）如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，过点O作OH⊥AB于H．
第24页（共27页）∵PQ是 O的切线，
∴∠PHO⊙＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，
∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，
∴△PHO∽△QKP，
∴ ＝ ，
设PA＝4m，则AH＝PH＝m，
∴ ＝ ，
解得，m＝ ，
经检验，x＝ ，且符合题意．
∴AP＝4或6．
如图2﹣6中，当点O在射线AB的下方时 ．
第25页（共27页）综上所述，满足条件的AP的值为3或 ．
（3）如图3﹣8中，当 P与 O内切时，
⊙ ⊙
由△PHO∽△QKP，可得 ＝ ＝ ，
∵OH⊥AP，
第26页（共27页）∴AH＝PH，
∴AP＝5PH，QK＝2PH，
∴PA＝QK＝12，
如图3﹣6中，当 O与AC相切于点A时，
⊙
∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，
∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），
∴AQ＝PQ，
∵OA＝OP，
∴OQ垂直平分线段AP，
∴AP＝2AH＝18，
观察图像可知：当 O与 P内含时，0＜AP＜12．
当 O与 P内切时⊙，AP⊙＝12．
当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．
【点⊙评】本⊙题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，
两圆的位置关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位
置解决数学问题，属于中考压轴题．
第27页（共27页）
