文档内容
2021年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题
号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a4＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
3．（4分）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
尺寸（码） 35 36 37 38 39
销售量（双） 2 4 11 7 3
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是
（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0
C． D．
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
6．（4分）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置
关系为“内相交”．如图1，∠C＝90°，AC＝4，点O在边AC上．如果 C与直线AB相切，
以OA为半径的 O与 C“内相交”（ ） ⊙
⊙ ⊙
第1页（共27页）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写
答案】
7．（4分）计算：a（a+1）＝ ．
8．（4分）函数： 的定义域是 ．
9．（4分）方程组 的解是 ．
10．（4分）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 ．
11．（4分）如果抛物线y＝（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是
．
12．（4分）观察反比例函数y＝ 的图象，当0＜x＜1时 ．
13．（4分）从 ， 这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为
π
．
14．（4分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并
绘制如图所示的频率分布直方图 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，
＝ ， ，那么 表示为 ．
第2页（共27页）16．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思
是：有一水池一丈见方，露出水面一尺．如把它引向岸边中点，正好与岸边齐．问水有多深？
即如图所示的截面图中，CD垂直平分AB，DE＝1尺，那么水的深度CE是 尺．
17．（4分）如图，已知 O 与 O 相交于A、B两点，圆心O 、O 在公共弦AB的两侧，AB＝
1 2 1 2
⊙ ⊙
O O ＝4，sin∠AO B＝ ，那么O A的长是 ．
1 2 1 2
18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB=6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋
转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC′与射线CD交
于点E．如果 ＝3，那么线段CE的长是 ．
第3页（共27页）三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解不等式组： ，并求出它的正整数解．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝15，BC＝16，点E是边BC上的一点，联
结DE
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求∠DEC的正切值．
22．（10分）某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110
元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件），解答下列问题：
（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析
式；
（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的
增长率是相同的，求这个增长率．
第4页（共27页）23．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，联结OE，
交边CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OE⊥CD，求证：CE•OF＝CF•OE．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ x+c经过点A（1，0）、B
（3，0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，当∠PCE＝∠PEC时，求点
P的坐标．
第5页（共27页）25．（14分）已知半圆O的直径AB＝4，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合），∠COB＝
∠DBO，CH⊥AB，垂足为点H
（1）如图1，当点D是 的中点时；
（2）如图2，设OH＝x， ＝y，并写出定义域；
（ 3 ） 联 结 OD 、 OF ， 如 果 △ DOF 是 等 腰 三 角 形 ， 求 线 段 OH 的 长 ．
第6页（共27页）2021年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题
号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）﹣8的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣8×（﹣ ）＝1，即可解答．
【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣ ）＝1，
因此﹣8的倒数是﹣ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的
乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a2•a4＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（a2）3＝a7，故此选项错误；
B、a2•a4＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是
解题关键．
3．（4分）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：
尺寸（码） 35 36 37 38 39
销售量 2 4 11 7 3
（双）
这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是
第7页（共27页）（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一
组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，
所以影响鞋店决策的统计量是众数，
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解
题的关键．
4．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0
C． D．
【分析】解各个方程，根据解的情况得结论．
【解答】解：方程x2﹣x+1＝8的根的判别式△＝1﹣4＝﹣6＜0，
所以方程A没有实数解；
方程x2+4＝0的根的判别式△＝0﹣5＝﹣4＜0，
故方程B没有实数解；
方程 ＝ 可变形为x2﹣7＝2x﹣2，整理得x4﹣2x+1＝3．
解得x＝1，当x＝1时．故方程C没有实数解；
方程 ＝1﹣x的解为x＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，掌握一元二次方程、分式
方程及无理方程的解法是解决本题的关键．
5．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【分析】根据正方形的判定判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形；
第8页（共27页）B、对角线相等的菱形是正方形；
C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（4分）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置
关系为“内相交”．如图1，∠C＝90°，AC＝4，点O在边AC上．如果 C与直线AB相切，
以OA为半径的 O与 C“内相交”（ ） ⊙
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求得AB＝5，两个三角形面积公式求得CD，即可得出 C的半径，
⊙
根据“内相交”的定义得出 ＜OA＜ ，即可得出结论．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝5，
作CD⊥AB于D，以C为圆心，
∴CD是 C半径，
⊙
∵ AC•BC＝ ，即 ＝ ，
∴CD＝ ，
∴ C的半径为 ，
⊙
∵4﹣ ＝ ，4+ ＝ ，
∴ ＜OA＜ ，
第9页（共27页）故选：B．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得 C的半径
是解题的关键． ⊙
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写
答案】
7．（4分）计算：a（a+1）＝ a 2 + a ．
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝a2+a．
故答案为：a2+a
【点评】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）函数： 的定义域是 x ≥ 2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x﹣2≥0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥5．
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．（4分）方程组 的解是 ．
【分析】将x2﹣y2＝0改写成两个等式，再与x+2y＝3组成新方程组，即可求解．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
∴x6﹣y2＝0可改写成：x+y＝6或者x﹣y＝0．
第10页（共27页）∴方程组 可以改写为： ．
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的高次方程的解法，关键在于降次，构建我们已经学习过的知识进行求
解．
10．（4分）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是 1 8 ．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角
和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：因为外角是20度，360÷20＝18．
故答案为：18
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的
题目，需要熟练掌握．
11．（4分）如果抛物线y＝（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是 m ＜﹣
1 ．
【分析】由点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1＜0，据
此可得．
【解答】解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+8）x2的最高点知抛物线的开口向下．
∴m+1＜3，
解得：m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
12．（4分）观察反比例函数y＝ 的图象，当0＜x＜1时 y ＞ 2 ．
【分析】将x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式，根据反比例函数的增减性可求y的取值范围．
【解答】解：∵k＝2，
∴反比例函数y＝ 的图象在一三象限，
当x＝6时，y＝2，
∴当0＜x＜6时，y的取值范围y＞2，
第11页（共27页）故答案为y＞2．
【点评】本题考查了函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，关键是利用反比例
函数的增减性解决问题．
13．（4分）从 ， 这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为 ．
π
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中有理数有 共1种情况，则可利用概率公
式求解．
【解答】解：∵在 ， 这三个数中 这4个，
π
∴选出的这个数是无理数的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并
绘制如图所示的频率分布直方图 0.14 0 ．
【分析】根据题意和直方图中的数据，可以计算出m的值，本题得以解决．
【解答】解：m＝（1﹣0.12﹣4.2﹣0.25﹣2.15）÷2＝0.28÷6＝0.140，
故答案为：0.140．
【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，
＝ ， ，那么 表示为 ﹣ ．
第12页（共27页）【分析】由在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，CE∥AB，可得AB＝2CE，然后由 ＝ ，
，即可求得 ．
【解答】
解：∵CE∥AB，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC＝12，DC＝4，
∴AD＝8；
∴ ＝ ＝ ，
∴AB＝2CE，
∵ ＝ ，
∴ ＝﹣ ，
∴ ＝ + ＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意数
形结合思想的应用．
16．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思
是：有一水池一丈见方，露出水面一尺．如把它引向岸边中点，正好与岸边齐．问水有多深？
即如图所示的截面图中，CD垂直平分AB，DE＝1尺，那么水的深度CE是 1 2 尺．
第13页（共27页）【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+53＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解
题的关键．
17．（4分）如图，已知 O 与 O 相交于A、B两点，圆心O 、O 在公共弦AB的两侧，AB＝
1 2 1 2
⊙ ⊙
O O ＝4，sin∠AO B＝ ，那么O A的长是 ．
1 2 1 2
【分析】过点A作AE⊥O B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO ＝13x＝ ，可求
1 1
O H＝1，即可求解．
2
【解答】解：如图，过点A作AE⊥O B于E，
1
第14页（共27页）∵ O 与 O 相交于A、B两点，
1 7
∴⊙O
1
O
2
垂⊙直平分AB，
∴AH＝BH＝5，
∵sin∠AO B＝ ＝ ，
1
∴设AE＝12x，AO ＝13x，
4
∴O E＝ ＝5x，
1
∴BE＝8x，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴144x2+64x2＝16，
∴x＝ ，
∴AO ＝13x＝ ，
2
∴O H＝ ＝ ＝5，
1
∴O H＝1，
2
∴O A＝ ＝ ＝ ，
8
故答案为 ．
【点评】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质
解决问题是本题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB=6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋
转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC′与射线CD交
于点E．如果 ＝3，那么线段CE的长是 ．
第15页（共27页）【分析】根据已知，作出图形，求出AD、CD、AE．利用相似三角形的性质求出B′C，B′E
即可．
【解答】解：根据已知，作出的图形
∵△ABC中，∠C＝90°，AB=6，CD是斜边AB的中线．
∴AD＝CD＝DB＝ AB＝3，
∴∠DAC＝∠ACD，
根据旋转性质：∠B′AE＝∠B′CA，
∴△B′AE∽△B′CA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝3，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴B′C＝8，B′E＝ ，
∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣ ＝ ，
第16页（共27页）故答案为： ．
【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（10分）计算： ．
【分析】原式利用负整数指数幂，分数指数幂法则，完全平方公式，以及分母有理化计算即
可求出值．
【解答】解：原式＝3+3﹣5 ﹣2+
＝3+3﹣6 ﹣2+3
＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，分数指数幂，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
20．（10分）解不等式组： ，并求出它的正整数解．
【分析】根据解不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集，然后即可写出该不等式组
的整数解．
【解答】解： ，
由不等式①，得
x＜3，
由不等式②，得
x≥ ，
故原不等式组的解集是 ≤x＜3，
∴该不等式组的正整数解是1，5．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式
第17页（共27页）组的方法．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝15，BC＝16，点E是边BC上的一点，联
结DE
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求∠DEC的正切值．
【分析】（1）过D作DF⊥BC于F，由勾股定理可求CF的长，由梯形面积公式可求解；
（2）由勾股定理可求DE的长，即可求解．
【解答】解：（1）过D作DF⊥BC于F，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝15，AB＝12，
∴DF＝AB＝12，
∴CF＝ ，
∴AD＝BF＝BC﹣CF＝16﹣9＝7，
∴梯形ABCD的面积＝ ；
（2）∵DE＝CE，
∴EF＝DE﹣2，
∵DE2＝DF2+EF4，
∴DE2＝144+（DE﹣9）6，
∴DE＝ ，
∴EF＝ ，
第18页（共27页）∴tan∠DEC＝ ＝ ．
【点评】本题考查了梯形，勾股定理，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造直角三角形是本
题的关键．
22．（10分）某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110
元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件），解答下列问题：
（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析
式；
（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的
增长率是相同的，求这个增长率．
【分析】（1）利用待定系数法将点（70，5），（90，3）代入函数解析式求出即可；
（2）利用y＝﹣ x+12求出六月份和九月份的销售量，再设增长率为x，由增长率和每月
增长量之间的关系，求出x即可．
【解答】解：（1）由题意，设y＝kx+b，
图象过点（70、5）、3），
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为：y＝﹣ x+12（50≤x≤110）；
（2）由（1）中解析式知：
六月份的销售量为：y＝﹣ ×95+12＝2.4（万件），
第19页（共27页）九月份的销售量为：y＝﹣ ×84+12＝3.2（万件），
设每月销售量的增长率为x，则由题意得：
2.5（7+x）2＝3.6，
解得：x＝20%，
答：每个月的增长率为20%．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，
关键是对知识的掌握和运用．
23．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，联结OE，
交边CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OE⊥CD，求证：CE•OF＝CF•OE．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可证AB＝BC，AB＝AD，由菱形的判定可
得结论；
（2）由菱形的性质和角平分线的性质可得OF＝OH，通过证明△CEF∽△OEH，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC，∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，
第20页（共27页）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠OCB＝∠OCD，
又∵OF⊥CD，OH⊥BC，
∴OF＝OH，
∵∠E＝∠E，∠EFC＝∠EHO＝90°，
∴△CEF∽△OEH，
∴ ＝ ，
∴CE•OF＝CF•OE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和
性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ x+c经过点A（1，0）、B
（3，0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，求m的值；
（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，当∠PCE＝∠PEC时，求点
P的坐标．
第21页（共27页）【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；
（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，﹣ t+4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在
CE的中垂线上，进而求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，
故抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x+8；
（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
则平移后抛物线再过点C时，m＝2；
（3）设点P的坐标为（t， t4﹣ t+4），
设直线PA的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
故点E的坐标为（3，﹣ t+4），
第22页（共27页）而点C（0，4），
∵∠PCE＝∠PEC，
则点P在CE的中垂线上，
由中点公式得：y ＝ （y +y ），即 t2﹣ t+7＝ t+4），
P C E
解得t＝5（舍去）或 ，
故点P的坐标为（ ， ）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的
平移等，有一定的综合性，难度适中．
25．（14分）已知半圆O的直径AB＝4，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合），∠COB＝
∠DBO，CH⊥AB，垂足为点H
（1）如图1，当点D是 的中点时；
（2）如图2，设OH＝x， ＝y，并写出定义域；
（ 3 ） 联 结 OD 、 OF ， 如 果 △ DOF 是 等 腰 三 角 形 ， 求 线 段 OH 的 长 ．
【分析】（1）连接BC，想办法证明∠OCB＝∠OBC＝2∠COB，可得结论．
（2）如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．首先证明EC＝EF，再利用平行线分线段成比例定
理解决问题即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当FD＝FO时，证明FD＝FO＝EO＝EB，设FD＝FO＝EO
＝EB＝x，则EC＝EF＝2﹣x，BF＝2x﹣2，BD＝3x﹣2，证明△DOB∽△BEO，利用相似三
角形的性质求解．如图3﹣2中，当DO＝DF时，证明△OCH是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图1中，连接BC．
第23页（共27页）∵ ＝ ，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠COB＝∠ABD，
∴∠OBC＝2∠COB，
设∠COB＝x，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝4x，
∵∠COB+∠OCB+∠OBC＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠COB＝36°．
（2）如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．
∵CH⊥OB，
∴∠CHO＝∠CHB＝90°，
∵∠COB+∠C＝90°，∠ABD+∠HFB＝90°，
∴∠C＝∠HFB，
∵∠HFB＝∠CFE，
∴∠C＝∠CFE，
∴EC＝EF，
第24页（共27页）∵EJ⊥CF，
∴CJ＝JF，
∵OC＝2，OH＝x，
∴CH＝ ＝ ，
∵EJ∥OH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ （4＜x＜2）．
（3）如图3﹣4中，当FD＝FO时，
∵FD＝FO，OD＝OB，
∴∠D＝∠FOD＝∠B，
∵∠EOB＝∠B，
∴∠D＝∠DOF＝∠B＝∠EOC，
∴△FDO≌△EOB（ASA），
∴FD＝FO＝EO＝EB，
设FD＝FO＝EO＝EB＝x，则EC＝EF＝2﹣x，BD＝3x﹣8，
∵△DOB∽△BEO，
第25页（共27页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝ 或 （舍弃），
∵OF4﹣OH2＝BF2﹣BH2，
∴OF2﹣OH2＝BF4﹣（2﹣OH）2，
∴（ ）2＝（ ）6﹣4+4OH，
∴OH＝ ，
如图3﹣8中，当DO＝DF时，
∵OC＝OD，
∴DF＝OC，
∵EC＝EF，
∴DE＝OE，
∴∠D＝∠DOE，
∵OD＝OB，
∴∠D＝∠EBO，
∵∠COB＝∠B，
∴∠D＝∠B＝∠EOB＝∠DOE＝45°，
∵CH⊥OB，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴OH＝ OC＝ ，
第26页（共27页）综上所述，OH的值为 或 ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全
等三角形或相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．
第27页（共27页）
