文档内容
2021年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。]
1．（4分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
3．（4分）已知正比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个正比例函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ x C．y＝2x D．y＝ x
4．（4分）某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来
发现其中一位同学的身高记录错误，经重新计算后，正确的中位数是a厘米（ ）
A．大于158 B．小于158 C．等于158 D．无法判断
5．（4分）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三
角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm
6．（4分）已知 A、 B、 C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，那么这三个圆的位置关
系（ ）⊙ ⊙ ⊙
A． A与 B、 C外切， B与 C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
二、填空⊙题：（⊙本大题⊙共12题，每⊙题4分⊙，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
8．（4分）已知f（x）＝ ，那么f（2）＝ ．
9．（4分）如果反比例函数y＝ （m是常数，m≠1）的图象，在每个象限内y随着x的增大
而减小 ．
10．（4分）方程 的解是 ．
第1页（共26页）11．（4分）如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x+ ＝3
中任意选取一个方程 ．
12．（4分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 ．
13．（4分）为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了40名学生的报
名情况，得到如下数据．
项目 排球 篮球 足球
人数 10 15 15
根据此信息，估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为 人．
14．（4分）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于
．
15．（4分）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设 ，那么向量 表
示为 ．
16．（4分）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了
小张、小王步行所走的路程S（千米）（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息 分钟．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC
上的点A′重合时 ．
第2页（共26页）18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在对角线BD上，联结AE，若BF＝ ，那么
BE＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知 O的半径OA等于50cm（水的深度
指 的中点到弦AB的距离）． ⊙
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的 的长（结果保留 ）．
π
22．（10分）A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，
乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道
（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？
（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多
第3页（共26页）少千米？
23．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC
于F
（1）求证：四边形ABGD是菱形；
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．
24．（12分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知
直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝
ax2﹣4ax+b的表达式．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，AE交BC于点F（点F在点D
的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
第4页（共26页）①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求 ．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
第5页（共26页）2021年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。]
1．（4分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、 ＝2 ，不合题意；
B、 是最简二次根式；
C、 是三次根式；
D、 是四次根式；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），5﹣x＜2﹣y．
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．（4分）已知正比例函数的图象经过点（1，﹣2），那么这个正比例函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ x C．y＝2x D．y＝ x
【分析】设这个正比例函数解析式为y＝kx，利用待定系数法把（1，﹣2）代入y＝kx中求出
k即可得到解析式．
【解答】解：设这个正比例函数解析式为y＝kx，
∵正比例函数的图象经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝1•k，
第6页（共26页）解得：k＝﹣2，
∴这个正比例函数的解析式为：y＝﹣6x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系
数法求函数解析式．
4．（4分）某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来
发现其中一位同学的身高记录错误，经重新计算后，正确的中位数是a厘米（ ）
A．大于158 B．小于158 C．等于158 D．无法判断
【分析】根据中位数的定义得出最中间的数还是158厘米，从而选出正确答案．
【解答】解：∵原来的中位数158厘米，将160厘米写成166厘米，
∴a＝158，
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那
个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．（4分）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三
角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm
【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：依题意有4﹣2＜a＜2+2，
解得：2＜a＜2．
只有选项C在范围内．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否
构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线
段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6．（4分）已知 A、 B、 C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，那么这三个圆的位置关
系（ ）⊙ ⊙ ⊙
A． A与 B、 C外切， B与 C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙第7页（共26页）【分析】根据两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r
＜d＜R+r）．进行逐一判断即可．
【解答】解：∵ A、 B、3、4，
AB＝7＝2+3，AC⊙＝5＝⊙2+4，
根据圆与圆之间的位置关系可知： A与 B、 C外切．
故选：A． ⊙ ⊙ ⊙
【点评】本题主要考查两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d
＝R+r或内切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．解决本题的关键是掌握相交两圆的性质．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+7）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣8）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
8．（4分）已知f（x）＝ ，那么f（2）＝ 1 ．
【分析】把x＝2代人f（x）＝ ，求得答案即可．
【解答】解：当x＝2时，f（2）＝ ，
故答案为：4．
【点评】考查了函数值的知识，解题的关键是代人后正确的计算，难度不大．
9．（4分）如果反比例函数y＝ （m是常数，m≠1）的图象，在每个象限内y随着x的增大
而减小 m ＞ 1 ．
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象在每个象限内，
∴m﹣1＞4，
解得，m＞1．
故答案是：m＞1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝ ，当k＞0时，在每一个象限
第8页（共26页）内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x
增大而增大．
10．（4分）方程 的解是 x ＝﹣ 1 ．
【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．
【解答】解：把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x＝8或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣7．
【点评】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
11．（4分）如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x+ ＝3
中任意选取一个方程 ．
【分析】根据概率公式及整式方程的概念求解即可．
【解答】解：∵在所列的6个方程中，整式方程有x+1＝3，x2﹣2x﹣2＝0，x4﹣6＝0这3个，
∴取到的方程是整式方程的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所
有可能出现的结果数．
12．（4分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 k ＜ 1
．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即
可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
∴△＝b6﹣4ac＝（﹣2）8﹣4×1×k＝8﹣4k＞0，
解得：k＜2．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
⇔ 第9页（共26页）（3）△＜0 方程没有实数根．
13．（4分）为了⇔了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了40名学生的报
名情况，得到如下数据．
项目 排球 篮球 足球
人数 10 15 15
根据此信息，估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为 18 0 人．
【分析】用总人数乘以样本中初三学生报名足球的学生人数所占比例即可．
【解答】解：估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为480× ＝180（人），
故答案为：180．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们
很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相
应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
14．（4分）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于 5 4
．
【分析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED于H，由
特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE的面积，进
而可得出正六边形ABCDEF的面积．
【解答】解：连接OE、OD
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF＝120°，
∴∠OED＝60°，
∵OE＝OD＝6，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6× ，
∴S△ODE ＝ DE•OH＝ ＝9 ，
∴S正六边形ABCDEF ＝6S△ODE ＝54 ．
故答案为：54 ．
第10页（共26页）【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；根据题意
作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
15．（4分）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设 ，那么向量 表
示为 2 ﹣ 3 ．
【分析】利用三角形重心的性质求出 ，再根据三角形法则求解即可．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵ ＝ + ，
∴ ＝ ﹣ ，
∴ ＝2 ，
∵ ＝ + ，
∴ ＝3 ﹣ ＝2 ，
故答案为：2 ﹣4 ．
【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
16．（4分）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了
小张、小王步行所走的路程S（千米）（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息 6 分钟．
第11页（共26页）【分析】由函数图像求出OA、PB解析式，再把y＝8代入解析式就可以求出小张、小王所用
时间．
【解答】解：由图像可知：
设OA的解析式为：y＝kx，
∵OA经过点（60，5），
∴5＝60k，得k＝ ，
∴OA函数解析式为：y＝ x①，
把y＝8代入①得：3＝ x，
解得：x＝96，
∴小张3到达乙地所用时间为96（分钟）；
设PB的解析式为：y＝mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴PB的解析式为：y＝ x﹣1②，
把y＝3代入②得：8＝ x﹣7，
解得：x＝90，
则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟），
∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）．
第12页（共26页）故答案为：6．
方法二：有图象可知，小王比小张先到时间为：
﹣10＝6（分钟）．
故答案为：6．
【点评】本题考查的一次函数的应用，关键是由图象求函数解析式．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC
上的点A′重合时 ．
【分析】作AD⊥BC于D．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝ BC＝3，利用
勾股定理求出AD，再根据旋转的性质可知A′B＝AB＝4，根据勾股定理可得AA′．进而
可得∠AA′B的余弦值．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝DC＝ BC＝3，
∴AD5＝AB2﹣BD2＝52﹣36＝7，
由旋转的性质可知：A′B＝AB＝4，
∴A′D＝A′B﹣BD＝6﹣3＝1，
根据勾股定理，得
AA′＝ ＝ ＝2 ，
第13页（共26页）∴∠AA′B的余弦值等于 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，解题的关键掌握旋转
的性质．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在对角线BD上，联结AE，若BF＝ ，那么
BE＝ ．
【分析】连接AF，过点E作EH⊥BC于H，由勾股定理可求BD，AF的长，通过证明点A，点
B，点F，点E四点共圆，可得∠DBC＝∠EAF，由锐角三角函数可求EF的长，由勾股定理
可求解．
【解答】解：如图，连接AF，
∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝ ＝ ＝2，
∵AB＝3，BF＝ ，
∴AF＝ ＝ ＝ ，
∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
第14页（共26页）∴点A，点B，点E四点共圆，
∴∠DBC＝∠EAF，
∴sin∠DBC＝sin∠EAF＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ，
∵tan∠DBC＝ ，
∴ ＝ ，
设EH＝3x，BH＝2x，
∵EF2＝FH2+EH8，
∴ ＝9x2+（5x﹣ ）2，
∴x＝ 或x＝ ，
∴EH＝ ，BH＝3，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，四点共圆等知识，添加恰当辅
助线构造直角三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2+ ﹣ ﹣（
＝3﹣2+ ﹣1﹣ ﹣
第15页（共26页）＝ ．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础
题型．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】变形组中的①代入②，求出一个未知数的值，再代入求出两一个未知数的值．
【解答】解： ，
由①，得y＝2x﹣1③．
把③代入②，得5x2+x（2x﹣2）﹣（2x﹣1）5＝5，
整理，得3x﹣5＝6，
所以x＝2．
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣8＝3．
∴原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了解高次方程，掌握一次方程的解法是解决本题的关键．
21．（10分）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知 O的半径OA等于50cm（水的深度
指 的中点到弦AB的距离）． ⊙
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的 的长（结果保留 ）．
π
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交 O于D，根据垂径定理得出AH＝BH， ＝
，求出OH，根据勾股定理求出AH，再求⊙出答案即可；
（2）求出∠AOH的度数，根据等腰三角形求出∠AOH＝∠BOH，求出∠AOB，再根据弧长
公式求出答案即可．
第16页（共26页）【解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交 O于D，
⊙
∵OH⊥AB，OH过O，
∴∠OHA＝90°，AH＝ ， ＝ ，
∵水的深度等于25cm，
∴HD＝25（cm），
∵OA＝OD＝50cm，
∴OH＝OD﹣HD＝25（cm），
∴AH＝ ＝ ＝25 ，
∴AB＝50 cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝ OA，
∵∠OHA＝90°，
∴∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，
第17页（共26页）∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠BOH＝∠AOH＝60°，
即∠AOB＝120°，
∴ 的长是 ＝ ．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂径定理等知识
点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
22．（10分）A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，
乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道
（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？
（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多
少千米？
【分析】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可分别求出甲、乙两工程队完成任务所
需时间，比较后即可得出结论；
（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，利用工作时
间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队所需时间比乙工程队所需时间多3天，即可得出
关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）甲工程队完成任务所需时间为18÷3＝6（天），
乙工程队完成任务所需时间为18÷（5+1）＝4.5（天）．
6﹣4.6＝1.5（天）．
答：乙工程队比甲工程队提前3.5天完成．
（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，
依题意得： ﹣ ＝3，
整理得：x2+x﹣8＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝2，
1 2
经检验，x ＝﹣3，x ＝5是原方程的解，x ＝﹣3不符合题意舍去，x ＝2符合题意，
7 2 1 2
∴x+1＝7（千米）．
答：甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计
算；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．（12分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC
第18页（共26页）于F
（1）求证：四边形ABGD是菱形；
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．
【分析】（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABE≌△GBE，可得EG＝AE，由相似三角形的性质可得 ，即
可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，
∵∠DGB＝∠DAB，
∴∠ABG＝∠ADG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ADB＝∠GDB，
∵AD∥BG，
∴∠ADB＝∠DBG＝∠BDG，
∴BG＝DG，
∴四边形ABGD是菱形；
（2）如图，连接EG，
∵四边形ABGD是菱形，
∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，
第19页（共26页）在△ABE和△GBE中，
，
∴△ABE≌△GBE（SAS），
∴EG＝AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ，
∵DF∥AB，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵AD＝BG，AE＝EG，
∴ ，
∴BG•EG＝BC•EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（12分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知
直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝
ax2﹣4ax+b的表达式．
第20页（共26页）【分析】（1）直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线
AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用 求出PN列方程即可得答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），8）两点，
∴ ，解得 ，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+3；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣8ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+7＝a（x﹣2）2+8﹣4a，
∴顶点是（2，7﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴6﹣4a≤0，即a≥ ；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N
第21页（共26页）∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣7ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的
右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，8），
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝ ，
∴tan30°＝ ，解得OM＝ ，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+ ，
∴ ，即 ＝ ，
∴PN＝2+2 ，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2 ，
∴a＝﹣ ，
第22页（共26页）∴抛物线y＝ax7﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣ x2+2 x+2．
【点评】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP
与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝2 ，∠BAC＝120°，AE交BC于点F（点F在点D
的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求 ．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
【分析】（1）求出∠B、∠C，证明∠BAF＝∠ADC即可；
（2）①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF，从而
即可得出答案；
②作AH⊥BC于H，求出BC，利用△ABF∽△DCA列方程求出BD＝2或3，分情况画出
图形分别求出BE．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠B＝∠C＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF＝∠ADC，
第23页（共26页）∴△ABF∽△DCA；
（2）①
∵△ABF∽△DCA，
∴ ，即 ，
∵AD＝ED，
∴∠DAE＝DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠EFC＝∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴ ，
∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF），
∴ ，
第24页（共26页）∴ ＝（ ）2＝ ；
②作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝3 ，∠ABC＝30°，
∴BC＝2BH，AH＝ ，BH＝ ，
∵△ABF∽△DCA，
∴ ，即CD•BF＝AB•AC，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
∵DF＝1，
∴BF＝x+1，
∴（3﹣x）•（x+1）＝2 ×2 ，
∴BD＝8或3，
当BD＝2时，BF＝5，如图：
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AD＝AE，
∴AF＝EF，即BC垂直平分AE，
∴BE＝BA＝2 ，
当BD＝6时，D为BC中点
第25页（共26页）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝ ，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
作DG⊥AE于G，
∴AG＝AD•cos30°＝ ，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AG＝8，
∴BE＝ ＝ ，
综上所述，DF＝8时 或 ．
【点评】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相
似三角形性质求出BD的长度．
第26页（共26页）
