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2015 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）下列分数中，可以化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列二次根式中最简根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）如表是某地今年春节放假七天最低气温（℃）的统计结果
日期 除夕 初一 初二 初三 初四 初五 初六
最低气温（℃） 4 4 5 6 10 6 4
这七天最低气温的众数和中位数分别是（ ）
A．4，4 B．4，5 C．6，5 D．6，6
4．（4分）将抛物线y=x2向下平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得新抛物
线的表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣1
5．（4分）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系
是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
6．（4分）下列命题中真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是矩形
D．四个内角都相等的四边形是矩形
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）计算：（a2）2= ．
8．（4分）分解因式：2x2﹣8x+8= ．
9．（4分）计算： + = ．
10．（4分）方程 =x﹣1的根是 ．
第1页（共23页）11．（4分）如果抛物线y=（2﹣a）x2+3x﹣a的开口向上，那么a的取值范围是
．
12．（4分）某校八年级共四个班，各班寒假外出旅游的学生人数如图所示，那么
三班外出旅游学生人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为 ．
13．（4分）将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，硬币正面均朝上的概率是 ．
14．（4分）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为 ．
15．（4分）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到
弦AB的距离是 ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC上的点，
且 = ．设 = ， = ，那么 可用 、 表示为 ．
17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，若点A绕点C顺时针旋转30°至点A′，联结
A′B，则∠ABA′度数是 ．
18．（4分）如图1，点P是以r为半径的圆O外一点，点P′在线段OP上，若满足
OP•OP′=r2，则称点 P′是点 P 关于圆 O 的反演点．如图 2，在 Rt△ABO 中，
∠B=90°，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点A′、B′分别是点A、B关于圆O的
反演点，那么A′B′的长是 ．
第2页（共23页）三、解答题（48分）
19．（6分）计算：40+ ﹣（ ﹣1）﹣1+|1﹣ |．
20．（6分）解方程组： ．
21．（6分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已
知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，如表列出了部分华氏度与摄
氏度之间的对应关系：
摄氏度数x（℃） … 0 … 35 … 100 …
华氏度数y（℉） … 32 … 95 … 212 …
（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式（不需要写出该函数的定义
域）；
（2）已知某天的最低气温是﹣5℃，求与之对应的华氏度数．
22．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=2，cot∠ACB= ，梯
形ABCD的面积是9；
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ACD的值．
23．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结
BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
第3页（共23页）（2）求证：BE∥DF．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a，3）（其中a＞
4），射线OA与反比例函数y= 的图象交于点P，点B、C分别在函数y= 的
图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴；
（1）当点P横坐标为6，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当AB=BO时，求点A坐标；
（3）联结BP、CP，试猜想： 的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出
的值；如果变化，请说明理由．
25．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E
为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段
DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
第4页（共23页）第5页（共23页）2015 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）下列分数中，可以化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】27：实数．
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【分析】根据分数与小数间的转化，可得答案．
【解答】解：A、 是无限循环小数，故A错误；
B、 是无限循环小数，故B错误；
C、 是有限小数，故C正确；
D、 是无限循环小数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，利用了分数与小数的相互转化．
2．（4分）下列二次根式中最简根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含开的尽的因数，故A错误；
B、被开方数含开的尽的因数，故B错误；
C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方
第6页（共23页）数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（4分）如表是某地今年春节放假七天最低气温（℃）的统计结果
日期 除夕 初一 初二 初三 初四 初五 初六
最低气温（℃） 4 4 5 6 10 6 4
这七天最低气温的众数和中位数分别是（ ）
A．4，4 B．4，5 C．6，5 D．6，6
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据
定义即可求解．
【解答】解：将一周气温按从小到大的顺序排列为4，4，4，5，6，6，10，
中位数为第四个数5；
4出现了3次，故众数为4．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶
数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（4分）将抛物线y=x2向下平移1个单位，再向左平移2个单位后，所得新抛物
线的表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】把抛物线的平移问题转化为点平移的问题：先确定抛物线y=x2的顶点坐
标为（0，0），再根据点平移的规律得到把向下平移1个单位，再向左平移2个
单位后得到对应点的坐标为（﹣2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线
解析式．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移1个单位，再向
左平移2个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，﹣1），
所以所得抛物线的表达式是y=（x+2）2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
第7页（共23页）a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（4分）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系
是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为 R和r，且
R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内
切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：∵两圆半径之差=6﹣2=4=圆心距，
∴两个圆的位置关系是内切．
故选：B．
【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两
圆半径的差求解．
6．（4分）下列命题中真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是矩形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是矩形
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据矩形的判定方法对四个命题进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四个角都相等的四边形是矩形，所以C选项错误；
D、四个角都相等的四边形是矩形，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实
第8页（共23页）的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）计算：（a2）2= a 4 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（a2）2=a4．
故答案为：a4．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积
的乘方的运算法则．
8．（4分）分解因式：2x2﹣8x+8= 2 （ x﹣2 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11：计算题．
【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式=2（x2﹣4x+4）
=2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
9．（4分）计算： + = ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．
【解答】解：原式= = ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（4分）方程 =x﹣1的根是 x=3 ．
【考点】AG：无理方程．
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第9页（共23页）【分析】把方程两边平方去根号后求解，注意检验．
【解答】解：两边平方得7﹣x=（x﹣1）2，
即（x+2）（x﹣3）=0，
解得：x=﹣2或x=3，
代入原方程，当x=﹣2时，左边= =3，右边=﹣3，原方成不成立．
当x=3时，左边= ，右边=2，原方程成立．
故方程 =x﹣1的根是x=3，
故本题答案为：x=3．
【点评】在解无理方程时最常用的方法是换元法或两边平方法，用此类方法解得
答案时要验根．
11．（4分）如果抛物线y=（2﹣a）x2+3x﹣a的开口向上，那么a的取值范围是 a ＜
2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数2﹣a＞0，解
不等式即可求得a的取值．
【解答】解：因为抛物线y=（2﹣a）x2+3x﹣a的开口向上，
所以2﹣a＞0，即a＜2．
故答案为：a＜2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜
0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
12．（4分）某校八年级共四个班，各班寒假外出旅游的学生人数如图所示，那么
三班外出旅游学生人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为 40% ．
【考点】VC：条形统计图．
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【分析】根据条形统计图给出的数据求出外出旅游学生的总人数，再用三班外出
第10页（共23页）旅游学生人数除以总人数即可得出答案．
【解答】解：三班外出旅游学生人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为
×100%=40%；
故答案为：40%．
【点评】此题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．
13．（4分）将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，硬币正面均朝上的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：如图所示：
共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．
故答案是 ．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得
到所求的情况数是解决本题的关键．
14．（4分）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为 3 ．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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【分析】设出梯形的上底长，直接运用梯形的中位线定理列出关于上底λ的方程，
求出λ即可解决问题．
【解答】解：设梯形的上底长为λ；
由题意得： ，
解得：λ=3，
故答案为3．
【点评】该题主要考查了梯形的中位线定理及其应用问题；应牢固掌握梯形的中
位线定理并能灵活运用．
第11页（共23页）15．（4分）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到
弦AB的距离是 ．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出AD的长，
在Rt△OAD中，利用勾股定理及可求出OD的长．
【解答】解：如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=4，
∴AD= AB= ×4=2，
在Rt△OBD中，
∵OA=5，AD=2，
∴OD= = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求
解是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC上的点，
且 = ．设 = ， = ，那么 可用 、 表示为 ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先由四边形ABCD是平行四边形，求得 = = ，又由点M是边CD中
第12页（共23页）点，点N是边BC上的点，且 = ，求得 与 ，再利用三角形法则求解即可
求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = ，
∵点M是边CD中点，点N是边BC上的点，且 = ，
∴ = = ， = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的
应用是解此题的关键．
17．（4分）如图，△ABC是等边三角形，若点A绕点C顺时针旋转30°至点A′，联结
A′B，则∠ABA′度数是 15 ° ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】如图，首先运用旋转变换的性质得到AC=A′C，∠ACA′=30°；运用等腰三角
形的性质得到，∠A′BC=45°，借助∠ABC=60°，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：
AC=A′C，∠ACA′=30°；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，AC=BC，
∴BC=A′C，∠A′BC=∠BA′C= =45°，
∴∠ABA′=60°﹣45°=15°．
第13页（共23页）【点评】该题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、旋转变换的性质
等几何知识点及其应用问题；灵活运用旋转变换的性质等知识点来分析、判断
解答是解题的关键．
18．（4分）如图1，点P是以r为半径的圆O外一点，点P′在线段OP上，若满足
OP•OP′=r2，则称点 P′是点 P 关于圆 O 的反演点．如图 2，在 Rt△ABO 中，
∠B=90°，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点A′、B′分别是点A、B关于圆O的
反演点，那么A′B′的长是 ．
【考点】M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】23：新定义．
【分析】先证明△AOB∽△B′OA′，然后根据相似三角形的对应角相等可以推知
∠OA′B′=∠OBA=90°，根据勾股定理即可求得．
【解答】解：∵A′、B′分别是点A、B关于圆O的反演点，
∴ = ，
又∵∠O=∠O，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠OA′B′=∠OBA=90°，
∵AB=2，BO=4，圆O的半径为2，
∴OA=2 ，
∴OA′= = ，OB′= =1，
第14页（共23页）∴A′B′= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆的综合题．解题时涉及到的知识点有：相似三角形的判定与
性质、圆周角定理、等式的性质等．
三、解答题（48分）
19．（6分）计算：40+ ﹣（ ﹣1）﹣1+|1﹣ |．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】先根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及数的开方
法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=1+2﹣ + ﹣1
=3﹣（ +1）+ ﹣1
=3﹣ ﹣1+ ﹣1
=1．
【点评】本题考查的是实数的运算，数值0指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝
对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键．
20．（6分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】把x﹣y=1化为x=y+1，代入方程①，求出y，再把y值代入x=y+1，求出x即
可．
【解答】解：由②得：x=y+1 ③，
把③代入①得：（y+1）2﹣2y2=﹣2，
即y2﹣2y﹣3=0，
解得：y =﹣1，y =3，
1 2
把y =﹣1，y =3代入③得x =0，x =4．
1 2 1 2
故方程组的解为 ， ．
第15页（共23页）【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把其中的二元一次方程变形，用一
个未知数表示另一个未知数，代入二元二次方程，得到一个一元二次方程，解
出未知数，代入求解，得到原方程组的解．
21．（6分）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已
知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，如表列出了部分华氏度与摄
氏度之间的对应关系：
摄氏度数x（℃） … 0 … 35 … 100 …
华氏度数y（℉） … 32 … 95 … 212 …
（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式（不需要写出该函数的定义
域）；
（2）已知某天的最低气温是﹣5℃，求与之对应的华氏度数．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；
（2）当x=﹣5时代入（1）的解析式求出其解即可．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
把（0，32）和（35，95）代入得： ，
解得： ，
∴y= ．
（2）当x=﹣5时，y=﹣9+32=23．
∴某天的最低气温是﹣5℃，与之对应的华氏度数为23℉．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的
解析式是关键．
22．（6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=2，cot∠ACB= ，梯
形ABCD的面积是9；
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ACD的值．
第16页（共23页）【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据锐角三角函数设出边长，利用梯形的面积公式列方程即可；
（2）作DH⊥AC于H，利用三角形相似，列比例式求出DH= ，AH= ，CH=AC﹣AH=
，即可求出tan∠ACD= = ．
【解答】解：（1）在RABC中，cot∠ACB= = ，
t
设BC=4k，AB=3k，
∴S = （AD+BC）•AB= （2+4k）•3k=9，
梯形ABCD
∴k=1或k=﹣ （舍），
∴AB=3；
（2）作DH⊥AC于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠ACB，
∴△ADH∽△CAB，
∴ = = = ，
∴DH= ，AH= ，
∴CH=AC﹣AH= ，
∴tan∠ACD= = ．
第17页（共23页）【点评】本题考查了锐角三角函数，梯形的面积，相似三角形的判定和性质，作辅
助线构造相似三角形是解题的关键．
23．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结
BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应
边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即
可证出平行线．
【解答】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
第18页（共23页）∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的
性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a，3）（其中a＞
4），射线OA与反比例函数y= 的图象交于点P，点B、C分别在函数y= 的
图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴；
（1）当点P横坐标为6，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当AB=BO时，求点A坐标；
（3）联结BP、CP，试猜想： 的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出
的值；如果变化，请说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
第19页（共23页）（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得
A点坐标；
（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得P点坐标，根据自变量与
函数值的对应关系，可得B、C点坐标，根据三角形面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）当x=6时，y=2，∴P（6，2），
设直线AO的解析式为y=kx，
代入P（6，2）得k= ，
∴直线AO的解析式为y= x；
（2）由AB∥x轴，得B点横坐标为4．
当y=3时，x=4，
∴B（4，3）．
OB= =5，
∵AB=OB，
∴5=a﹣4，即a=9，
∴A（9，3）；
（3）直线AO的解析式为y= x，联立y= ，得 ，
解得 ．
∴P（2 ， ），
作PM⊥AB，PN⊥AC．
当x=a时，y= ，即C（a， ），当y=3时，x=4，即B（4，3）．
AC=3﹣ ，PN=a﹣2 ，AB=a﹣4，PM=3﹣ ，
∴S = （a﹣4）（3﹣ ），S = （a﹣2 ）（3﹣ ），
△ABP △ACP
第20页（共23页）∴ = =1．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）
利用平行x轴直线上的点的纵坐标相等得出B点的纵坐标，再利用函数值与自
变量的关系得出B点坐标，利用两线段相等得出A点坐标；（3）利用解方程组
得出P点坐标，利用自变量与函数值的对应关系得出B、C点坐标，利用三角形
的面积公式得出答案．
25．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E
为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段
DE分别交于点F、G；
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）利用特殊角的三角函数可知sin∠B= ，tan∠A= ，由此求得线段
CD、AD的长；
（2）证得△CDE∽△BFC，得出 = ，整理得出答案即可；
（3）分两种情况考虑：①当△EGF∽△DGC时；②当△FEG∽△CGD时；利用相似的
性质探讨得出答案即可．
第21页（共23页）【解答】解：（1）在Rt△BCD中，
BC=2，∠B=90°﹣∠A=60°，
sin∠B= ，
即CD= ×2= ，
同理tan∠A= ，
AD= =3；
（2）∵∠CDE=∠BFC=90°﹣∠DCF，∠ECD=∠B=60°，
∴△CDE∽△BFC，
∴ = ，
即 = ，
∴y= ﹣1，（ ≤x＜2 ）；
（3）∠EGF=∠CGD=90°
①当△EGF∽△DGC时，∠GEF=∠GDC，
∴EF∥DC，
∴ = ，
即 = = ，
解得x= ；
②当△FEG∽△CGD时，
∴∠GEF=∠GCD=∠GDF，
∴EF=DF，
又∵CF⊥DE，
∴EG=DG，
第22页（共23页）∴CD=CE= ；
综上，CE= 或 ；
【点评】此题考查相似的综合题，综合考查了特殊角的三角函数，相似三角形的判
定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
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日期：2018/12/24 0:27:25；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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