文档内容
2015 年上海市闸北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：
AD是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
2．（4分）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定
DE∥BC的是（ ）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD
C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
3．（4分）下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A． =﹣ B．| |=| |
C． + = D．| + |=| |+| |
4．（4分）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么
下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
5．（4分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
6．（4分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，
继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5
米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第1页（共27页）7．（4分）已知 = ，则 的值是 ．
8．（4分）点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则 = ．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE
相交于点F，若S =9，则S = ．
△AFD △EFC
10．（4分）如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α= 度．
11．（4分）计算：2sin60°+tan45°= ．
12．（4分）如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 ．（请写成
1：m的形式）
13．（4分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是 ．
14．（4分）将抛物线y=﹣（x﹣3）2+5向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点
坐标为 ．
15．（4分）已知抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（4，5），判断点D（﹣2，5）是
否在该抛物线上．你的
结论是： （填“是”或“否”）．
16．（4分）如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C=90°，AE=4，BF=9，则tanA=
．
17．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、
PC，且AB2=AP•PD，则图中有 对相似三角形．
第2页（共27页）18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针
旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果 =m， =n．那么m与n满足
的关系式是：m= （用含n的代数式表示m）．
三、解答题（本大题共7题，满分48分）
19．（10分）解方程： ﹣ =2．
20．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）2+k的
形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
21．（10分）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE=3ED，延长CE到点
F，使得EF=CE，设 = ， = ，试用 、 分别表示向量 和 ．
22．（10分）如图7，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大
树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．
又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考
数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
第3页（共27页）23．（4分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在
BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点
A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是
B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，
请求出点D的坐标．
25．（4分）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，
折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重
第4页（共27页）合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设
AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 = 时，求x的值．
第5页（共27页）2015 年上海市闸北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：
AD是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
【考点】K5：三角形的重心．
菁优网版权所有
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2倍可得
AG=2DG，那么AD=AG+DG=3DG，代入即可求得AG：AD的值．
【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴AD=AG+DG=3DG，
∴ = = ．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边
中点的距离的2倍是解题的关键．
2．（4分）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定
DE∥BC的是（ ）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD
C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
【考点】S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
第6页（共27页）【分析】根据已知选项只要能推出 = 或 = ，再根据相似三角形的判定推
出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出DE∥BC，即可得出
选项．
【解答】
解：A、∵BD：AB=CE：AC，
∴ = ，
∴ = ，
∴1﹣ =1﹣ ，
∴ = ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
B、∵根据DE：BC=AB：AD不能推出△ADE∽△ABC，
∴不能推出∠ADE=∠B，
∴不能推出DE∥BC，错误，故本选项正确；
C、∵AB：AC=AD：AE，
∴ = ，
∴ = ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
第7页（共27页）∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
D、∵AD：DB=AE：EC，
∴ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴ ﹣1= ﹣1，
∴ = ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，平行
线的判定的应用，解此题的关键是能推出△ADE≌△ABC，题目比较好，难度适
中．
3．（4分）下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A． =﹣ B．| |=| |
C． + = D．| + |=| |+| |
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】根据相反向量的知识可得 =﹣ ，根据向量模的定义，可得| |=| |，
由三角形法则，可得 + = ，即可得| + |≤| |+| |．
【解答】解：A、根据相反向量的知识，可得 =﹣ ，故正确；
B、根据向量模的定义，可得| |=| |，故正确；
C、 + = ，故正确；
D、| + |≤| |+| |，故错误．
第8页（共27页）故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用．
4．（4分）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么
下列关系中，正确的是（ ）
A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分
析即可．
【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则
A、cosA= ，故本选项错误；
B、tanA= ，故本选项错误；
C、sinA= ，故本选项正确；
D、cosA= ，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的
定义．
5．（4分）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
第9页（共27页）【考点】H1：二次函数的定义．
菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；
B、是分式方程，故B错误；
C、k=0时，不是函数，故C错误；
D、k=0是常数函数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
6．（4分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，
继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5
米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【考点】SA：相似三角形的应用．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；35：转化思想．
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根
据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），
∴ ，
设BC=x，则 ，
同理，得 ，
∴ ，
∴x=3，
第10页（共27页）∴ ，
∴AB=6．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到
有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中
的“ ”．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 = ，则 的值是 ．
【考点】S1：比例的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解：由分比性质，得 = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质： = = ．
⇒
8．（4分）点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则 = ．
【考点】S3：黄金分割．
菁优网版权所有
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例
中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴ = = ．
第11页（共27页）故答案为 ．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE
相交于点F，若S =9，则S = 4 ．
△AFD △EFC
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】17：推理填空题．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE：BC=2：
3，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的
性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD、BC=AD，
而CE：BC=2：3，
∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，
∴S ：S =（ ）2，
△AFD △EFC
而S =9，
△AFD
∴S =4．
△EFC
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的
构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．
10．（4分）如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α= 7 0 度．
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．
菁优网版权所有
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
【解答】解：∵tanα=cot20°，
∴∠α+20°=90°，
即∠α=90°﹣20°=70°．
第12页（共27页）故答案为70．
【点评】本题考查了互为余角的锐角三角函数关系：一个角的正切值等于它的余
角的余切值．
11．（4分）计算：2sin60°+tan45°= + 1 ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】根据特殊三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2× +1
= +1，
故答案为： +1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的
三角函数值．
12．（4分）如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 1 ： ．（请写
成1：m的形式）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【分析】坡比等于坡角的正切值，据此即可求解．
【解答】解：i=tanα=tan30°= =1： ，
故答案是：1： ．
【点评】本题主要考查了坡比与坡角的关系，注意坡比一般表示成1：a的形式．
13．（4分）如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是 m ＞ 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．
【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
【点评】解答此题要掌握二次函数图象的特点．
14．（4分）将抛物线y=﹣（x﹣3）2+5向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点
坐标为 （ 3 ，﹣ 1 ） ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的性质得抛物线y=﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），然后
第13页（共27页）根据点平移的规律，点（3，5）经过平移后得到对应点的坐标为（3，﹣1），从而
得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y=﹣（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），点（3，5）向下平移6个单
位得到对应点的坐标为（3，﹣1），所以新抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
15．（4分）已知抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（4，5），判断点D（﹣2，5）是
否在该抛物线上．你的
结论是： 是 （填“是”或“否”）．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用点A与点B的坐标特征得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据抛
物线的对称性可判断点C（4，5与点D（﹣2，5）是抛物线上的对称点．
【解答】解：∵抛物线经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3），
而点A与点B关于直线x=1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C（4，5）关于直线x=1的对称点D（﹣2，5）在抛物线上．
故答案为：是．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
16．（4分）如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C=90°，AE=4，BF=9，则tanA=
．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
第14页（共27页）【分析】根据条件可证明△ADE∽△GFB，利用相似三角形的性质可求得DE，在
Rt△ADE中，由正切函数的定义可求得tanA．
【解答】解：∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEA=∠GFB=90°，DE=GF，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△GFB，
∴ = ，即 = ，解得DE=6，
∴tanA= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件证明三角形相似求得DE
的长是解题的关键．
17．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、
PC，且AB2=AP•PD，则图中有 3 对相似三角形．
【考点】S8：相似三角形的判定．
菁优网版权所有
【分析】由 AD∥BC，AB=DC 可判断梯形 ABCD 为等腰梯形，则∠A=∠D，由
AB2=AP•PD得AB•CD=AP•PD，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等
的两个三角形相似判断△ABP∽△DPC，由相似的性质得∠ABP=∠DPC，接着利
用AD∥BC得到∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，则∠PCB=∠ABP，于是根据有两
组角对应相等的两个三角形相似得到△ABP∽△PCB，所以△DPC∽△DPC．
【解答】解：∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，
∵AB2=AP•PD，
第15页（共27页）∴AB•CD=AP•PD，即 = ，
∴△ABP∽△DPC，
∴∠ABP=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABP，
∴△ABP∽△PCB，
∴△DPC∽△DPC．
故答案为3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的
两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针
旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果 =m， =n．那么m与n满足
的关系式是：m= 2n + 1 （用含n的代数式表示m）．
【考点】R2：旋转的性质；S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】作DH⊥AC于H，如图，根据旋转的性质得DE=DC，则利用等腰三角形的性
质得EH=CH，由 =n可得AE=2nEH=2nCH，再根据平行线分线段成比例，由
DH∥BC得到 = ，所以m= ，然后用等线段代换后约分即可．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，
∴DE=DC，
第16页（共27页）∴EH=CH，
∵ =n，即AE=nEC，
∴AE=2nEH=2nCH，
∵∠C=90°，
∴DH∥BC，
∴ = ，即m= = =2n+1．
故答案为：2n+1．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定
理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考
查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
三、解答题（本大题共7题，满分48分）
19．（10分）解方程： ﹣ =2．
【考点】B3：解分式方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣3x+x+2=2x2﹣8，
整理得：x2+x﹣6=0，即（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x=2或x=﹣3，
经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（4分）已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y=a（x+m）2+k的
第17页（共27页）形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
【考点】H9：二次函数的三种形式．
菁优网版权所有
【分析】（1）将A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函
数的解析式；再利用配方法先提出二次项系数，然后加上一次项系数的一半的
平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）由顶点式可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面
积．
【解答】解：（1）将A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c，
得 ，
解得 ，
所以此函数的解析式为y=﹣2x2﹣4x+4；
y=﹣2x2﹣4x+4=﹣2（x2+2x+1）+2+4=﹣2（x+1）2+6；
（2）∵y=﹣2（x+1）2+6，
∴C（﹣1，6），
∴△CAO的面积= ×4×1=2．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种
形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式
是解题的关键．
21．（10分）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE=3ED，延长CE到点
F，使得EF=CE，设 = ， = ，试用 、 分别表示向量 和 ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 = = ， = = ，又由AE=3ED，即
第18页（共27页）可求得 与 的长，然后由三角形法则，求得向量 和 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = ， = = ，
∵AE=3ED，
∴ = = ， = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ；
∵EF=CE，
∴ = = ﹣ ，
∴ = + = + ﹣ = + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）如图7，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大
树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．
又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考
数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
【分析】过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，求出AD、CD的值，然后在Rt△BCD中
求出BD的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点C⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=35°，AC=100m，
第19页（共27页）∴AD=100•sin∠ACD=100×0.574=57.4（m），
CD=100•cos∠ACD=100×0.819=81.9（m），
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=81.9m，
则AB=AD+BD=57.4+81.9≈139（m）．
答：A、B之间的距离约为139米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角
三角形，利用三角函数解直角三角形．
23．（4分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，点E在
BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．
【考点】LJ：等腰梯形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据等腰梯形可得到∠ABE=∠C，结合条件可证得结论；
（2）过D作DG⊥BC，则可求得BG、CG，在Rt△DCG中可求得DG，在Rt△BGD中
由正切函数的定义可求得tan∠DBC；
（3）由（2）可求得BD，结合（1）中的相似可求得BE，再利用平行线分线段成比例
第20页（共27页）得到 = ，代入可求得BF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠ABE=∠C，且∠BAE=∠DBC，
∴△ABE∽△BCD；
（2）解：过D作DG⊥BC于点G，
∵AD=1，BC=3，
∴CG= （BC﹣AD）=1，BG=2，
又∵在Rt△DGC中，CD=2，CG=1，
∴DG= ，
在Rt△BDG中，tan∠DBC= = ；
（3）解：由（2）在Rt△BGD中，由勾股定理可求得BD= ，
由（1）△ABE∽△BCD可得 = ，即= = ，解得BE= ，
又∵AD∥BC，
∴ = ，且DF=BD﹣BF，
∴ = ，
解得BF= ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，在（2）中构造
直角三角形，求得DG是解题的关键，在（3）中求得BE、BD的长是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系内，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点
A和点C，抛物线y=x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是
第21页（共27页）B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；
（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，
请求出点D的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式，就可求出该抛物线
的解析式，然后根据抛物线的对称轴方程x=﹣ 求出抛物线的对称轴，根据
抛物线上点的坐标特征求出点B的坐标；
（2）易得∠OAC=∠OCA，∠ABC＞∠ADC，由此根据条件即可得到△CAD∽△ABC，
然后运用相似三角形的性质可求出CD的长，由此可得到OD的长，就可解决问
题．
【解答】解：（1）由x=0得y=0+4=4，则点C的坐标为（0，4）；
由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；
把点C（0，4）代入y=x2+kx+k﹣1，得k﹣1=4，
解得：k=5，
∴此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，
∴此抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ ．
令y=0得x2+5x+4=0，
解得：x =﹣1，x =﹣4，
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
第22页（共27页）（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，
∴AC= =4 ，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．
∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．
又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．
∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得：CD= ，
∴OD=CD﹣CO= ﹣4= ，
∴点D的坐标为（0，﹣ ）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、相
似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，弄清两相似三角形的
对应关系是解决第（2）小题的关键．
25．（4分）如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，
折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重
合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设
第23页（共27页）AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 = 时，求x的值．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；KP：直角三
角形斜边上的中线；P2：轴对称的性质；SO：相似形综合题；T1：锐角三角函数
的定义；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；32：分类讨论．
【分析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）易得 DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK 可得到 = ，从而可得
y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ；然后只需先求出在两个临界位置（点F在
点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半可得OC=OD= EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，
且CH=DH= CD．由 = 可得tan∠HOC= = ，从而得到∠HOC=60°．①若
点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，
再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，
如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函
数解析式就可求出x的值．
【解答】（1）证明：如图1，
第24页（共27页）由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；
（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2﹣x．
∵△DFB∽△DEK，
∴ = ，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ．
当点F在点B处时，
DB=BC=AB•sinA=2× = ，AD=AB﹣AD=2﹣ ；
当点E在点A处时，
AD=AC=AB•cosA=2× = ；
∴该函数的解析式为y= ，定义域为2﹣ ＜x＜ ；
第25页（共27页）（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD= EF．
设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．
∵ = ，∴sin∠HOC= = ，
∴∠HOC=60°
①若点K在线段AC上，如图2，
∵CO= EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC= ∠HOC=30°，
∴y=cot30°= ，
∴ = ，
解得：x= ﹣1；
②若点K在线段AC的延长线上，如图3，
∵OC=OF，∠FOC=60°，
第26页（共27页）∴△OFC是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°= ，
∴ = ，
解得：x=3﹣ ；
综上所述：x的值为 ﹣1或3﹣ ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，在解决本题的过程中还用到了临
界值法、分类讨论的思想，而运用（1）中的结论则是解决第（2）小题的关键，取
EF的中点O，将 转化为 则是解决第（3）小题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:30:13；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
