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2015 年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，）
1．（4分）下列各数中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列代数式中是二次二项式的是（ ）
A．xy﹣1 B． C．x2+xy2 D．
3．（4分）若直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得新直线的解析式是（ ）
A．y=x+3 B．y=x﹣3 C．y=x﹣1 D．y=﹣x+1
4．（4分）一次数学单元测试中，初三（1）班第一小组的10个学生的成绩分别是：
58分、72分、76分、82分、82分、89分、91分、91分、91分、98分，那么这次测
试第一小组10个学生成绩的众数和平均数分别是（ ）
A．82分、83分 B．83分、89分 C．91分、72分 D．91分、83分
5．（4分）如图，AB∥CD，∠D=13°，∠B=28°，那么∠E等于（ ）
A．13° B．14° C．15° D．16°
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆
与斜边AB相切，那么BC的长等于（ ）
A．2cm B．2 cm C．2 cm D．4cm
二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣ |﹣ = ．
8．（4分）已知函数f（x）= ，那么f（3）= ．
9．（4分）分解因式：x3﹣x= ．
10．（4分）已知不等式 ≥3，那么这个不等式的解集是 ．
第1页（共27页）11．（4分）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，2），那么反比例函数的
解析式是 ．
12．（4分）方程 ﹣ =1的解是 ．
13．（4分）方程 的解为 ．
14．（4分）有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、
圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同）现将有图案的一面朝下任
意摆放，从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是 ．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，那么
m的取值范围是 ．
16．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=BD，AE=2EC．设 = ， =
，那么 = （用 、 的式子表示）
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y=x平行
的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为 ，那么圆
A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
18．（4分）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在
边AD上的E点处．若AE=2AM，那么EN的长等于 ．
三、（本题共有7题，满分78分）
19．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ + ．
20．（10分）解方程组 ．
21．（10分）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50
海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发
第2页（共27页）分别沿AP，BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知
甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．
22．（10分）为了解本区初中学生的视力情况，教育局有关部门采用抽样调查的方
法，从全区2万名中学生中抽查了部分学生的视力，分成如表四类进行统计
视力 类型 人数
视力在4.2及以下 A 10
视力在4.3﹣4.5之间 B 20
视力在4.6﹣4.9之间 C
视力在5.0及以上 D
注：（4.3﹣4.5之间表示包括4.3及4.5）
根据图表完成下列问题：
（1）填完整表格及补充完整图一；
（2）“类型D”在扇形图（图二）中所占的圆心角是 度；
（3）本次调查数据的中位数落在 类型内；
（4）视力在5.0以下（不含5.0）均为不良，那么全区视力不良的初中学生估计
人．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长
第3页（共27页）BC至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在
BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：四边形FHCG是正方形；
[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．
24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；
（2）求∠APB的正弦值；
（3）直线y=kx+2与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似
时，求点M的坐标．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=
（1）求BC的长；
（2）点D、E分别是边AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不
与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM，交于点O，设
第4页（共27页）MN=x，四边形ADOE的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②当△OMN是等腰三角形且BM=1时，求MN的长．
第5页（共27页）2015 年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分，下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，）
1．（4分）下列各数中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．
【解答】解：A．正确；
B. 与 不是同类二次根式，故错误；
C. ，故错误；
D. =2 ，故错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，
这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（4分）下列代数式中是二次二项式的是（ ）
A．xy﹣1 B． C．x2+xy2 D．
【考点】43：多项式．
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【分析】只要次数为2，项数为2即可作出选择．
【解答】解：A、xy﹣1是二次二项式，正确；
B、是分式，不是整式，错误；
C、x2+xy2是三次二项式，错误；
D、是根式，不是整式，错误；
故选：A．
【点评】考查了多项式，注意多项式中次数最高项的次数是这个多项式的次数，每
个单项式叫做多项式的项．
第6页（共27页）3．（4分）若直线y=x+1向下平移2个单位，那么所得新直线的解析式是（ ）
A．y=x+3 B．y=x﹣3 C．y=x﹣1 D．y=﹣x+1
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y=x+1﹣2=x﹣1，
即所得直线的表达式是y=x﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移
规律是解题的关键．
4．（4分）一次数学单元测试中，初三（1）班第一小组的10个学生的成绩分别是：
58分、72分、76分、82分、82分、89分、91分、91分、91分、98分，那么这次测
试第一小组10个学生成绩的众数和平均数分别是（ ）
A．82分、83分 B．83分、89分 C．91分、72分 D．91分、83分
【考点】W2：加权平均数；W5：众数．
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【分析】根据众数和平均数的概念求解．
【解答】解：这组数据中91出现的次数最多，
故众数为91分，
平均数为： =83．
故选：D．
【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数，众数可能不唯一．
5．（4分）如图，AB∥CD，∠D=13°，∠B=28°，那么∠E等于（ ）
A．13° B．14° C．15° D．16°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
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【分析】先根据平行线的性质求出∠BCD的度数，再由三角形外角的性质即可得
出结论．
第7页（共27页）【解答】解：∵AB∥CD，∠B=28°，
∴∠BCD=∠B=28°．
∵∠BCD是△CDE的外角，∠D=13°，
∴∠E=∠BCD﹣∠D=28°﹣13°=15°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆
与斜边AB相切，那么BC的长等于（ ）
A．2cm B．2 cm C．2 cm D．4cm
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，
∴CD=2cm，
∵∠B=45°，
∴CD=BD=2，
∴BC= = =2 （cm）．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求
解是解答此题的关键．
二、填空题（本题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算：|﹣ |﹣ = 0 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
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第8页（共27页）【分析】先进行绝对值的化简，然后合并．
【解答】解：原式= ﹣ =0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握绝对值的化简以
及二次根式的加法法则．
8．（4分）已知函数f（x）= ，那么f（3）= 1 ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】把x的值代入函数关系式进行计算即可得解．
【解答】解：f（3）= =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数值求解，是基础题，准确计算是解题的关键．
9．（4分）分解因式：x3﹣x= x （ x + 1 ）（ x﹣1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】44：因式分解．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
=x（x2﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差
公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
10．（4分）已知不等式 ≥3，那么这个不等式的解集是 x ≥ 7 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解： ≥3，
x﹣1≥6，
x≥7．
第9页（共27页）故答案为：x≥7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的
性质正确解一元一次不等式，难度适中．
11．（4分）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，2），那么反比例函数的
解析式是 y = ．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y= （k≠0）即可求得k
的值．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，2），
∴k=xy=1×2=2，
∴反比例函数的解析式是y= ．
故答案为y= ．
【点评】此题比较简单，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段
的重点．
12．（4分）方程 ﹣ =1的解是 x=﹣2 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】已知方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程变形得： + =1，
去分母得：1+2x=x﹣1，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解．
故答案为：x=﹣2．
第10页（共27页）【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．（4分）方程 的解为 3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3=x2
∴x2﹣2x﹣3=0，
解方程得：x =3，x =﹣1，
1 2
检验：当x =3时，方程的左边=右边，所以x =3为原方程的解，
1 1
当x =﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x =﹣1不是原方程的解．
2 2
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要
把x的值代入原方程进行检验．
14．（4分）有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、
圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同）现将有图案的一面朝下任
意摆放，从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是 ．
【考点】P3：轴对称图形；X4：概率公式．
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【分析】由有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正方形、
圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），其中轴对称图案的是等边
三角形、正方形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有五张分别印有等边三角形、直角三角形（非等腰）、直角梯形、正
方形、圆图形的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），其中轴对称图案的
是等边三角形、正方形、圆，
∴从中任意抽取一张，抽到有轴对称图案的卡片的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
15．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，那么
第11页（共27页）m的取值范围是 m ＜ 且 m ≠ 0 ．
【考点】A1：一元二次方程的定义；AA：根的判别式．
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【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=1﹣4m＞0且
m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴1﹣4m＞0且m≠0，
∴m＜ 且m≠0，
故答案为：m＜ 且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式
△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等
的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=BD，AE=2EC．设 = ， =
，那么 = ﹣ （用 、 的式子表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后由在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，
AD=BD，AE=2EC，求得 与 ，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=BD，AE=2EC，
∴ = = ， = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
第12页（共27页）【点评】此题考查了平面向量的知识．注意三角形法则的应用．
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y=x平行
的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为 ，那么圆
A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣ 4 ， 1 ），（ 0 ， 5 ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；MK：相切两圆的性质．
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【分析】如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y=x平行的两个圆分别为⊙B，
⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、
AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y=x平行并过点A，
∴过点A的直线与y=x平行，
∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y=x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C
如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB=AC=2 ，∴AE=BE=AF=CF=2，
∴C（﹣4，1），B（0，5）．
故答案为：（﹣4，1），（0，5）
【点评】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练
的运用数形结合思想是解决问题的关键．
18．（4分）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，把矩形ABCD沿直线MN翻折，点B落在
边AD上的E点处．若AE=2AM，那么EN的长等于 3 ．
第13页（共27页）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】设AM=x，表示出EM=BM=6﹣x，AE=2x，再利用勾股定理列出方程求出x，
然后求出BM，AE，过点N作NF⊥AD于F，求出△AME和△FEN，再利用相似三
角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：设AM=x，则EM=BM=6﹣x，AE=2AM=2x，
在Rt△AME中，由勾股定理得，AM2+AE2=EM2，
即x2+（2x）2=（6﹣x）2，
整理得，x2+3x﹣9=0，
解得x = ，x = （舍去），
1 2
所以，BM=6﹣ = ，AE=﹣3+3 ，
过点N作NF⊥AD于F，易求△AME∽△FEN，
所以， = ，
即 = ，
解得EN=3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作辅
第14页（共27页）助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于利用勾股定理列方程求出AM
的长度．
三、（本题共有7题，满分78分）
19．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ + ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利
用除法法则变形，约分后合并即可得到结果．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•x+ = •x+ =﹣
+ = = ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程组 ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】用代入法即可解答，即把①化为x=y﹣1，把x=y﹣1代入②得关于y的一元
二次方程，解方程求出y，把y代入x=y﹣1求出x即可．
【解答】解：
由①得，x=y﹣1③，
把③代入②得：（y﹣1）2﹣4（y﹣1）×y+4y2=4，
即y2+2y﹣3=0，
解得：y =1，y =﹣3，
1 2
把y =1，y =﹣3代入①得，
1 2
x =0，x =﹣4，
1 2
第15页（共27页）故原方程组的解为： ， ．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元一次方程变形，即用一个未
知数表示另一个未知数，代入二元二次方程，得到一个一元二次方程，再解关
于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中解方
程即可．
21．（10分）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50
海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发
分别沿AP，BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知
甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】根据题意画出图形，求出PC的长，利用三角函数求出PE的长，再根据勾
股定理求出DP的长，从而得到BD的长，进而求出船的速度．
【解答】解：设一小时后甲船位于C处，乙船位于D处，
∵AC=1×10=10海里，
∴PC=50﹣10=40海里，
∴PE=40×cos30°=40× =20 海里，
∴PD= =20 海里，
∴BD=（60﹣20 ）海里，
（60﹣20 ）÷1=（60﹣20 ）海里/小时．
第16页（共27页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问
题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想
22．（10分）为了解本区初中学生的视力情况，教育局有关部门采用抽样调查的方
法，从全区2万名中学生中抽查了部分学生的视力，分成如表四类进行统计
视力 类型 人数
视力在4.2及以下 A 10
视力在4.3﹣4.5之间 B 20
视力在4.6﹣4.9之间 C
视力在5.0及以上 D
注：（4.3﹣4.5之间表示包括4.3及4.5）
根据图表完成下列问题：
（1）填完整表格及补充完整图一；
（2）“类型D”在扇形图（图二）中所占的圆心角是 16 2 度；
（3）本次调查数据的中位数落在 C 类型内；
（4）视力在5.0以下（不含5.0）均为不良，那么全区视力不良的初中学生估计
11000 人．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．
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第17页（共27页）【分析】（1）根据C类人数除以C类所占的百分比，可得总人数，根据有理数的减
法，可得答案；
（2）根据圆周角乘以D类所占抽测人数的百分比，可得答案；
（3）根据中位数的定义，可得答案；
（4）根据有理数的加法，可得A、B、C所占的百分比，根据总人数乘以A、B、C所占
百分比，可得答案．
【解答】解：（1）统计表
视力 类型 人数
视力在4.2级以下 A 10
视力在4.3﹣4.5级之间 B 20
视力在4.6﹣4.8之间 C 80
视力在5.0级以上 D 90
（2）162度
（3）
统计图
（2）“类型D”在扇形图（图二）中所占的圆心角是360°× =162°
（3）本次调查数据的中位数落在C类型内，
（4）20000×（ + + ）=11000人，
故答案为：162，C，11000．
【点评】本题考查了条形统计图，观察统计图获得有效信息是解题关键．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长
BC至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在
第18页（共27页）BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：四边形FHCG是正方形；
[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LF：正方形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（!）根据已知条件利用两边及夹角对应相等得到三角形全等．
（2）由（1）证得△BCE≌△ACD，得到对应角相等，利用∠AFE=∠BCE=90°，推出
∠BFG=90°，根据CG∥BF，证得∠CGF=∠AFE=90°，因为∠HCE=∠DCG，得到
∠GCH=∠ACD=90°，推出四边形FHCG是矩形，通过三角形全等作出一组邻边
相等，即可证得结果．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AC=BC，CE=CD，
在△BCE与△ACD中， ，
∴△BCE△ACD；
（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠DAC=∠EBC，
∵∠AEF=∠CEB，∴∠AFE=∠BCE=90°，
∴∠BFG=90°，
∵CG∥BF，
∴∠CGF=∠AFE=90°，
∵∠HCE=∠DCG，
第19页（共27页）∴∠GCH=∠ACD=90°，
∴四边形FHCG是矩形，
在△CDG与△CEH中，
∴△CDG≌△CEH，
∴CG=CH，
∴四边形FHCG是正方形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，等腰直角三角形的
性质，平行线的性质，找准全等三角形是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴
交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；
（2）求∠APB的正弦值；
（3）直线y=kx+2与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似
时，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，列出a
和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）设对称轴直线x=1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，先求出AB、
PD、AP和BP的长，进而求出AH的长，即可求出sin∠APB的值；
（3）△MNC与△AOC相似时，分①∠MNC=∠AOC=90°和②∠NMC=∠AOC=90°，利
第20页（共27页）用相似三角形的性质以及全等三角形的知识求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣8，
∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9，
∴顶点P坐标为（1，﹣9）；
（2）设对称轴直线x=1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，如图1，
∵A（﹣2，0），B（4，0），P（1，﹣9），
∴AB=6，PD=9，AP=BP=3 ，
∵ AB×PD= PB×AH，
∴AH= ，
在Rt△APH中，
∴sin∠APB= = ；
（3）∵∠ACO=∠MCN，
∴△MNC与△AOC相似时，
①∠MNC=∠AOC=90°，
∴ ，
∵AO=2，OC=8，NC=10，
∴MN= ，
直线直线AC的解析式是：y=﹣4x﹣8，
设M点坐标为（a，﹣4a﹣8），
∵MN= ，
第21页（共27页）∴a=﹣ ，
∴M（﹣ ，2），
②∠NMC=∠AOC=90°，
设MN与x轴交于点E，
∵ ，
∴△ENO≌△AOC（AAS），
∴OE=OC=8，
∴E（﹣8，0），
∵A（﹣2，0），C（0，﹣8）
∴直线MN的解析式是：y= x+2，
直线AC的解析式是：y=﹣4x﹣8，
联立
∴M（﹣ ， ），
综上M点的坐标为（﹣ ，2）或（﹣ ， ）．
第22页（共27页）【点评】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次
函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质以及锐角三角形函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握全等三
角形的性质以及相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类思想解决问题，
此题有一定的难度．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=
（1）求BC的长；
（2）点D、E分别是边AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不
与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM，交于点O，设
MN=x，四边形ADOE的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②当△OMN是等腰三角形且BM=1时，求MN的长．
第23页（共27页）【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）作AH⊥BC于D，如图1，根据等腰三角形的性质得 BH=CH，在
Rt△ABH中利用正切的定义的tan∠B= = ，设AH=4a，BH=3a，由勾股定理得
到AB=5a，则5a=10，解得a=2，所以BC=2BH=12；
（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，利用三角形中位线性质
得到DE∥MN，DE= BC=6，JK= AH=4，则△DOE∽△NOM，根据相似比得OJ=
，然后利用三角形面积公式和y=S +S 得y= （0＜x＜12）；
△ADE △DOE
②作EF⊥BC于F，如图2，由于EF=JK=4，CE= AC=5，则CF=3，MF=8，分类讨论：当
OM=ON时，根据等腰三角形性质得MK=MN= x，证明△MOK∽△MEF，利用相
似比得到 OK= x，然后利用△DOE∽△NOM 得到 = ，解得 x=10；当
OM=MN=x，利用相似比可证得DE=EO=6，接着在Rt△MEF中利用勾股定理计
算出 ME=4 ，则 x+6=4 ，所以 x=4 ﹣6；当 MN=ON=x 时，同理得
DO=DE=6，则DN=6+x，作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，GN=BM+MN
﹣BG=x﹣2，然后在Rt△DNG中利用勾股定理得到∴42+（x﹣2）2=（x+6）2，解得
x=﹣1（舍去），于是得到MN的长为10或4 ﹣6．
【解答】解：（1）作AH⊥BC于D，如图1，
∵AB=AC=10
第24页（共27页）∴BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠B= = ，
设AH=4a，BH=3a，
∴AB= =5a，
∴5a=10，解得a=2，
∴BC=2BH=12；
（2）①连结DE，过点O作OK⊥BC于K，交DE于J，如图2，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥MN，DE= BC=6，JK= AH=4，
∴△DOE∽△NOM，
∴ = ，即 = ，
∴OJ= ，
∴y=S +S
△ADE △DOE
= ×6×4+ ×6×
= （0＜x＜12）；
②作EF⊥BC于F，如图2，
∵EF=JK=4，CE= AC=5，
∴CF= =3，
∴BF=9，
而BM=1，
∴MF=8，
当OM=ON时，∵OK⊥MN，
∴MK=MN= x，
第25页（共27页）∵OK∥EF，
∴△MOK∽△MEF，
∴ = ，即 = ，解得OK= x，
∴△DOE∽△NOM，
∴ = ，即 = ，解得x=10，
即MN=10；
当OM=MN=x，
∵DE∥BC，
∴ = ，
∴DE=EO=6，
在Rt△MEF中，∵EF=4，MF=8，
∴ME= =4 ，
而ME=OM+OE，
∴x+6=4 ，解得x=4 ﹣6，
即MN的长为4 ﹣6；
当MN=ON=x时，同理得DO=DE=6，
∴DN=6+x，
作DG⊥BC于G，如图2，易得DG=4，BG=3，
∴GN=BM+MN﹣BG=x+1﹣3=x﹣2，
在Rt△DNG中，∵DG2+GN2=DN2，
∴42+（x﹣2）2=（x+6）2，解得x=﹣1（舍去），
综上所述，MN的长为10或4 ﹣6．
第26页（共27页）【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三
角形的性质；合理添加辅助线构造相似图形，然后利用相似的性质计算相应线
段的长；同时会利用勾股定理和三角形中位线定理；学会运用分类讨论的思想
解决数学问题．
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日期：2018/12/24 0:28:14；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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