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2015年上海市黄浦区中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，AB＝c，那么BC等于（ ）
A．c•sin B．c•cos C．c•tan D．c•cot
α
2．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（
α α α α
）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
3．（4分）如果| |＝3．| |＝2，且 与 反向，那么下列关系中成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝﹣ C． ＝ D． ＝﹣
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下
列条件能够判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
5．（4分）抛物线y＝﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S ：
△ADE
S ＝1：2，则S ：S ＝（ ）
△BDE △ADE △BEC
A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9
第1页（共27页）二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 的值是 ．
8．（4分）计算：tan60°﹣cos30°＝ ．
9．（4分）如果某个二次函数的图象经过平移后能与y＝3x2的图象重合，那么这个
二次函数的解析式可以是 ．（只要写出一个）．
10．（4分）如果抛物线y＝ x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是
．
11．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、F．
1 2
如果AB＝2，BC＝3，那么 的值是 ．
12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD＝1，BC
＝3，那么BD长是 ．
13．（4分）如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC
的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是 ．
第2页（共27页）14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝
2．那么cos∠A的值是 ．
15．（4分）正六边形的中心角等于 度．
16．（4分）在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣
1），那么圆O与x轴的位置关系是 ．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，分别以A、B为圆心的两
圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，
∠AEB＝∠C，且cos∠C＝ ，若AD＝1，则AE的长是 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、 ．
（1）化简：2（3 ﹣ ）﹣（ + ）；
（2）求作 ，使得 ＝ ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向
量）．
第3页（共27页）20．（10分）在直角坐标平面内，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与
B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
21．（10分）已知：如图， O的半径为5，P为 O外一点，PB、PD与 O分别交
于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证： ＝ ；
（2）当PA＝1，∠BPO＝45°时，求弦AB的长．
22．（10分）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测
得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面
20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均
与地面BE处置），求楼AB的高度．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝
∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．
第4页（共27页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝ （x﹣3）2向下平移使之经过
点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．
（1）求∠OBA的正切值；
（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求
△ABC的面积；
（3）点D在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA＝
∠OBA时，求点D坐标．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点
E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于
点F、G、H（点F不与点C、E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；
（2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
第5页（共27页）2015 年上海市黄浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，AB＝c，那么BC等于（ ）
A．c•sin B．c•cos C．c•tan D．c•cot
α
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
α α α α
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【分析】根据题意画出图形，进而利用sinA＝ ，求出即可．
【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AB＝c，
∴sinA＝ ， α
∴BC＝AB•sinA＝c•sin ，
故选：A．
α
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题
关键．
2．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（
）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断
c的正负，由此解决问题．
第6页（共27页）【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个
系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
3．（4分）如果| |＝3．| |＝2，且 与 反向，那么下列关系中成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝﹣ C． ＝ D． ＝﹣
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由| |＝3．| |＝2，且 与 反向，根据平面向量的定义，即可求得答案．
【解答】解：∵| |＝3，| |＝2，
∴| |＝ | |，
∵ 与 反向，
∴ ＝﹣ ．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意理解平面向量的定义是
解此题的关键．
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下
列条件能够判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当 ＝ 或 ＝ 时，
DE∥BD，然后可对各选项进行判断．
【解答】解：当 ＝ 或 ＝ 时，DE∥BD，
第7页（共27页）即 ＝ 或 ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对
应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．
5．（4分）抛物线y＝﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先根据判别式的值得到△＝﹣3＜0，根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴
的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所
以抛物线y＝﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．
【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
而抛物线y＝﹣x2+x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线y＝﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数
a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程
即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与
一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的
交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，
抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若S ：
△ADE
S ＝1：2，则S ：S ＝（ ）
△BDE △ADE △BEC
第8页（共27页）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】首先证明△ADE∽△ABC，进而证明S ＝9S ；运用S ＝2S ，
△ABC △ADE △BDE △ADE
得到S ＝6S ，即可解决问题．
△BEC △ADE
【解答】解：∵ ，且S ：S ＝1：2，
△ADE △BDE
∴ ， ；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴S ＝9S ，而S ＝2S ，
△ABC △ADE △BDE △ADE
∴S ＝6S ，
△BEC △ADE
∴S ：S ＝1：6．
△ADE △BEC
故选：B．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是
牢固掌握相似三角形的判定及其性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．
第9页（共27页）二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 的值是 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：由 ＝ ，那么 ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用合比性质： ＝ ＝ ．
⇒
8．（4分）计算：tan60°﹣cos30°＝ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
9．（4分）如果某个二次函数的图象经过平移后能与y＝3x2的图象重合，那么这个
二次函数的解析式可以是 y ＝ 3 （ x + 2 ） 2 + 3 ．（只要写出一个）．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】26：开放型．
【分析】先设原抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线
y＝3x2重合可知a＝3，然后根据平移的性质写出解析式，答案不唯一．
【解答】解：先设原抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，
∵经过平移后能与抛物线y＝3x2重合，
∴a＝3，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝3（x+2）2+3．
故答案为：y＝3（x+2）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质
第10页（共27页）是解答此题的关键．
10．（4分）如果抛物线y＝ x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是
1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．
【解答】解：∵y＝ x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数
为0是解题的关键．
11．（4分）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、F．
1 2
如果AB＝2，BC＝3，那么 的值是 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入可求得答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥FC，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成
比例是解题的关键．
第11页（共27页）12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，如果AD＝1，BC
＝3，那么BD长是 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】如图，证明∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，得到△ABD∽△DCB，列出比
例式即可解决问题．
【解答】解：如图，∵AD∥BC，AB⊥AD，BD⊥CD，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△DCB，
∴AD：BD＝BD：BC，而AD＝1，BC＝3，
∴BD＝ ．
故答案为 ．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似
三角形的判定及其性质是解题的基础和关键．
13．（4分）如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC
的铅垂高度为8米，那么该斜坡的坡比是 1 ： 0.7 5 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫
第12页（共27页）做坡比，进而得出答案．
【解答】解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂
高度为8米，
∴水平距离BC＝ ＝6（m），
则该斜坡的坡比是： ＝ 可以写为：1：0.75．
故答案为：1：0.75．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝
2．那么cos∠A的值是 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出cosA＝cos∠BCD进
而求出即可．
【解答】解：如图所示：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵CD＝3，BD＝2，
∴BC＝ ，
∴cosA＝cos∠BCD＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题
第13页（共27页）关键．
15．（4分）正六边形的中心角等于 6 0 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．
【解答】解：∵正六边形的六条边都相等，
∴正六边形的中心角＝ ＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．
16．（4分）在直角坐标平面内，圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣
1），那么圆O与x轴的位置关系是 相切 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】确定圆O的半径，然后根据点O到x轴的距离与圆的半径的大小进行判
断即可．
【解答】解：∵圆心O的坐标是（3，﹣5），如果圆O经过点（0，﹣1），
∴圆的半径为 ＝5，
∵O到x轴的距离为5，
∴圆O与x轴的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形的性质的知识，解题的关键
是求得圆的半径，难度不大．
17．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，分别以A、B为圆心的两
圆外切，如果点C在圆A内，那么圆B的半径长r的取值范围是 0 ＜ r ＜ 2 ﹣
．
【考点】M8：点与圆的位置关系．
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【分析】首先根据题意求得斜边AB和直角边AC的长，要使得点C在圆A内圆A
的半径就满足比AC长、比AB短，从而得解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，AC＝ ＝ ，
第14页（共27页）∵以A、B为圆心的两圆外切，
∴两圆的半径的和为2，
∵点C在圆A内，
∴圆A的半径长r的取值范围是0＜r＜2﹣ ，
故答案为：0＜r＜2﹣ ．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心
的距离和半径的大小关系．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥CD，垂足为点E，连结AE，
∠AEB＝∠C，且cos∠C＝ ，若AD＝1，则AE的长是 ．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，先求得四边形
ABCD是平行四边形，四边形EGFH是矩形，从而求得FC＝AD＝1，GE＝FH，
由cos∠C＝ 求得CH，然后根据勾股定理求得FH，最后根据cos∠AEB＝ 即
可求得AE的长．
【解答】解：作AF∥DC，交BE于G，BC于F，作FH∥BE，交DC于H，
∵AD∥BC，BE⊥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，FH⊥DC，AF⊥BE，
∴FC＝AD＝1，∠FHC＝90°，∠AG，E＝90°，
∵cos∠C＝ ＝ ，
∴HC＝ ，
∴FH＝ ＝ ，
第15页（共27页）∵FH⊥DC，AF⊥BE，BE⊥CD，
∴四边形EGFH是矩形，
∴GE＝FH＝ ，
∴cos∠AEB＝ ，
∵∠AEB＝∠C，且cos∠C＝ ，
∴cos∠AEB＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，
勾股定理的应用，解直角三角形等，作出辅助线关键直角三角形、平行四边形、
矩形是本题的关键．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、 ．
（1）化简：2（3 ﹣ ）﹣（ + ）；
（2）求作 ，使得 ＝ ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向
量）．
第16页（共27页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的
符号变化；
（2）利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：（1）2（3 ﹣ ）﹣（ + ）＝6 ﹣2 ﹣ ﹣ ＝5 ﹣3 ；
（2）如图， ＝ ， ＝ ，
则 ＝ ＝ ﹣ ．
∴ 即为所求．
【点评】此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则
的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（10分）在直角坐标平面内，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与
B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）把原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点分别代入函数解析式，求得
a、b、c的数值得出函数解析式即可；
（2）把函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，
∴ ，
解得： ，
第17页（共27页）∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2﹣3x．
（2）y＝﹣2x2﹣3x
＝﹣2（x+ ）2+ ，
抛物线的顶点坐标为（﹣ ， ）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标．
21．（10分）已知：如图， O的半径为5，P为 O外一点，PB、PD与 O分别交
于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证： ＝ ；
（2）当PA＝1，∠BPO＝45°时，求弦AB的长．
【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据角平分线的
性质得OE＝OF，根据垂径定理得AE＝BE，CF＝DF，则可利用“HL”证明
Rt△OBE≌Rt△ODF，得到BE＝DF，则AB＝CD，根据圆心角、弧、弦的关系得
到 ＝ ，所以 ＝ ；
（2）在Rt△POE中，由于∠BPO＝45°，则可判断△POE为等腰直角三角形，所以
OE＝PE＝1+AE，则OE＝1+BE，然后在Rt△BOE中根据勾股定理得（1+BE）
2+BE2＝52，解方程求出BE即可得到AB．
【解答】（1）证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，AE＝BE，CF＝DF，
在Rt△OBE和Rt△ODF中，
，
第18页（共27页）∴Rt△OBE≌Rt△ODF，
∴BE＝DF，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ；
（2）解：在Rt△POE中，∵∠BPO＝45°，
∴△POE为等腰直角三角形，
∴OE＝PE＝PA+AE＝1+AE，
而AE＝BE，
∴OE＝1+BE，
在Rt△BOE中，∵OE2+BE2＝OB2，
∴（1+BE）2+BE2＝52，解得BE＝﹣4（舍去）或BE＝3，
∴AB＝2BE＝6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
22．（10分）如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB蛾高度，小明在河边C处测
得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房中距地面
20米的D处测得楼顶A的仰角是30°（点B、C、E在同一直线上，且AB、DE均
与地面BE处置），求楼AB的高度．
第19页（共27页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点D作DF⊥AB于点F，设AB的长度为x米，则AF＝x﹣20米，在
Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE﹣CB，
代入数值求出x的值．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
则四边形BFDE为矩形，
设AB的长度为x米，则AF＝x﹣20米，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝60°，
∴BC＝ ，
在Rt△ADF中，
∵∠ADF＝30°，
∴DF＝ （x﹣20），
∵EB＝DF，CE＝60米，
∴ （x﹣20）﹣ ＝60，
解得：x＝30 +30．
即楼AB的高度为（30 +30）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝
∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE．
第20页（共27页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE＝∠ACB，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明EM＝EF；由sin ＝ ，sin ＝ ，得到 ，根据
α α
ME＝EF，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴B、C、E、D四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACB，而∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EF；设∠ADE＝∠ACB＝ ，
则sin ＝ ，sin ＝ ， α
α α
∴ ，而ME＝EF，
∴DE＝CE．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相
似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．
第21页（共27页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝ （x﹣3）2向下平移使之经过
点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．
（1）求∠OBA的正切值；
（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求
△ABC的面积；
（3）点D在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA＝
∠OBA时，求点D坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设平移后的抛物线表达式为y＝ （x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达式
可得k的值，可得出平移后的抛物线表达式，把把x＝0代入得y的值，可得出
B坐标，即可得出tan∠OBA的值．
（2）利用平移后的抛物线可得出点C的坐标，从而得出直线AC的解析式，由AC
与y轴交于点E，可得出点E的坐标，利用S ＝S +S 求解即可，
△ABC △BCE △ABE
（3）设对称轴交线段与 AB 与 N，交 x 轴于点 F，利用角的关系可得
△NAD∽△DAB，由相似比可得AD2＝AN•AB，由FN∥BO，可得AN＝ AB，再
结合AF2+m2＝AD2，即可求出点D的坐标．
【解答】解：（1）设平移后的抛物线表达式为y＝ （x﹣3）2+k，把A（8，0）代入表达
式解得k＝﹣ ，
∴平移后的抛物线表达式为y＝ （x﹣3）2﹣ ，
如图，
第22页（共27页）把x＝0代入得y＝ （x﹣3）2﹣ ，得y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
在RT△AOB中，tan∠OBA＝ ＝2，
（2）把y＝6代入y＝ （x﹣3）2﹣ ，解得x ＝﹣4或x ＝10（舍去），
1 2
∴C（﹣4，6），
如图，
∴直线AC解析式为y＝﹣ x+4，
设AC与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，4），
∴S ＝S +S ＝ BE•|C |+ BE•OA＝16+32＝48，
△ABC △BCE △ABE 横坐标
（3）如图，设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，
第23页（共27页）∵FN∥BO，
∴∠OBA＝∠DNA，
∵∠BDA＝∠OBA
∴∠BDA＝∠DNA，
∴△NAD∽△DAB，
∴ ＝ ，即AD2＝AN•AB，
∵FN∥BO，
∴ ＝ ＝ ，
∴AN＝ AB，
设点D的坐标为（3，m），
由题意得AF2+m2＝AD2，即52+m2＝ （4 ）2，
解得m＝5（负值舍去），
∴点D（3，5）．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题涉及勾股定理，相似三角形，三角形面积
等知识，解题的关键是确定平移后的抛物线表达式．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC、BD交于点O，点
E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于
点F、G、H（点F不与点C、E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；
（2）设BE＝x，OH＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
第24页（共27页）（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）首先利用勾股定理得出AC的长，证得△ACF≌△AEF，得出BE＝2，
进一步得出△CBE∽△ABG，△CGF∽△CBE，利用三角形相似的性质得出
CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；
（2）作 BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为 M、N，利用△ONH∽△BMH，
△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出
y关于x的函数解析式，根据y＝0，得出x的定义域即可；
（3）分三种情况探讨： 当BH＝BG时， 当GH＝GB， 当HG＝HB，分别探讨
得出答案即可．
① ② ③
【解答】解：（1）∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵点F是线段CE的中点，
∴CF＝EF，
在△ACF和△AEF中，
∴△ACF≌△AEF，
∴AE＝AC＝10，
∴BE＝2，
∵∠CGF＝∠AGB，∠GFC＝∠ABG，
∴∠FCG＝∠GAB，∠CBE＝∠ABG，
∴△CBE∽△ABG，
第25页（共27页）∴ ＝ ，
即 ＝ ，
BG＝ ，
∴CG＝ ，
∵∠GCF＝∠BCE，∠CFG＝∠CBE，
∴△CGF∽△CBE，
∴ ＝ ，
又CE＝2CF，
∴2CF2＝BC•CG，
∴CF＝ ，
∴GF＝ ＝ ；
（2）如图，
作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M、N，
∵AF⊥CE，
∴ON∥BM∥CE，
∴△ONH∽△BMH，△ANO∽△AFC，△BMG∽△CFG，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵△CBE∽△ABG，
第26页（共27页）∴ ＝ ，BE＝x，
∴BG＝ x，
∴ ＝ ，
则y＝ （0＜x＜ ）．
（3）当△BHG是等腰三角形，
当BH＝BG时，△AHD∽△BHG， ＝ ，则5+y＝6，y＝1，由y＝ ，解
①
得x＝3；
当GH＝GB，△GBH∽△OBC，同理解得x＝ ；
②当HG＝HB，得出∠HGB＝∠HBG＝∠OCB不存在．
③所以BE＝3或 ．
【点评】此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰
三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位
思考解决问题，渗透分类讨论的思想．
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日期：2018/12/26 20:08:20；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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