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2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（4分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2＝0 B．x2+x＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
3．（4分）一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在
计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为
a千克，正确的平均数为b千克，那么（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断
5．（4分）已知 O 与 O 的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关
1 2
系是（ ⊙） ⊙
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC
与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：6a4÷2a2＝ ．
8．（4分）分解因式：4x2﹣1＝ ．
9．（4分）不等式组 的整数解是 ．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣ ）＝ ．
11．（4分）某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结
果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是 ．
第1页（共24页）12．（4分）木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出
一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是 ．
13．（4分）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1
厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 厘
米．
14．（4分）正五边形的一个内角的度数是 ．
15．（4分）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两
部分的面积之比是 ．
16．（4分）如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设 ＝ ， ＝ ，那么 用 ， 表示为
．
17．（4分）已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠
部分的面积记作S ，△ABC的面积记作S ，那么 的值是
1 2
18．（4分）已知 O的直径AB＝4， D与半径为1的 C外切，且 C与 D均与直径AB相
切、与 O内⊙切，那么 D的半⊙径是 ． ⊙ ⊙ ⊙
三、解答题⊙：（本大题共7⊙题，满分78分）
19．（10分）计算： +| ﹣ |﹣ ﹣3 ．
第2页（共24页）20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足
为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足 ＝2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，
求点D坐标．
22．（10分）如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮
匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．
（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度
约为多少米？（精确到整数）
（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：
≈1.41， ＝1.73）
第3页（共24页）23．（12分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，
6），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果
△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．
第4页（共24页）25．（14分）在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD
上，且FG⊥EF，EH⊥EF．
（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；
（2）如图2，当 ＝ 时，求 值；
（3）当cos∠D＝ ，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．
第5页（共24页）2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列正整数中，属于素数的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整
除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．
【解答】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的
是2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数，正确把握素数的定义是解题关键．
2．（4分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2＝0 B．x2+x＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．
【解答】解：A．此方程判别式△＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；
B．此方程判别式△＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；
C．此方程判别式△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；
D．此方程判别式△＝02﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac
有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
②当△＜0时，方程无实数根．
3．③（4分）一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可
得出结论．
第6页（共24页）【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，
函数图象经过一、二、四象限．
4．（4分）某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在
计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为
a千克，正确的平均数为b千克，那么（ ）
A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断
【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．
【解答】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，
所以中位数a＝54，
新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，
所以平均数b＞54，
则b＞a，
故选：A．
【点评】此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数
据中所有数据之和再除以数据的个数．
5．（4分）已知 O 与 O 的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关
1 2
系是（ ⊙） ⊙
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：r ＝2，r ＝4，
1 2
圆心距d＝2，
∴d＝r ﹣r ，
2 1
∴两圆相内切，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关
系来判断，本题属于基础题型．
6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC
第7页（共24页）与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的
性质是解题关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：6a4÷2a2＝ 3 a 2 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：6a4÷2a2＝3a2．
故答案为：3a2．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．（4分）分解因式：4x2﹣1＝ （ 2 x + 1 ）（ 2 x ﹣ 1 ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
9．（4分）不等式组 的整数解是 x ＝ 1 ．
【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组
的解集，进一步得到不等式组的整数解．
第8页（共24页）【解答】解： ，
解 得x＞ ，
①
解 得x＜2．
②
综上可得 ＜x＜2，
∵x为整数，
∴x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不
等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解
不了．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣ ）＝ ．
【分析】把x＝3代入函数关系式，计算求值即可．
【解答】解：当x＝﹣ 时，
f（﹣ ）＝ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式
的值．
11．（4分）某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结
果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是 2 5 人
．
【分析】先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数
所占百分比，再乘以总人数即可得．
第9页（共24页）【解答】解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1﹣（25%+70%）
＝5%，
∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%＝25（人），
故答案为：25人．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大
小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同
总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数
的百分数．
12．（4分）木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出
一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是 ．
【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，
所以两次都摸到黄球的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1
厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 4 厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，
解一元二次方程得到答案．
【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
第10页（共24页）整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x ＝﹣2（舍去），x ＝4，
1 2
故答案为：4．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出
合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
14．（4分）正五边形的一个内角的度数是 108 ° ．
【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一
个内角的度数．
【解答】解：∵正多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，
∴正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
则每个内角是：540÷5＝108°．
【点评】本题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识
点．
15．（4分）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两
部分的面积之比是 5 ： 7 ．
【分析】设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位
线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设梯形的上底为a，则下底为2a，
∴梯形的中位线＝ ＝ a，
∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，
∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝ ＝ ，
故答案为：5：7．
【点评】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题的
关键．
16．（4分）如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设 ＝ ， ＝ ，那么 用 ， 表示为
﹣ + ．
第11页（共24页）【分析】利用三角形法则可知： ＝ + ，只要求出 即可解决问题．
【解答】解：∵M是AB的中点，
∴AM＝ AB，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ + ，
∴ ＝﹣ + ，
故答案为﹣ + ，
【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
17．（4分）已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠
部分的面积记作S ，△ABC的面积记作S ，那么 的值是
1 2
【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平
分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边
三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则
QH＝a，根据等边三角形的面积健康得到结论．
【解答】解：如图，∵点G是等边△ABC的重心，
∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AG＝2GN，
设AB＝3a，则AN＝ ×3a＝ a，
∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，
∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，
∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，
第12页（共24页）∴△AQH是等边三角形，
∴AQ＝HQ＝AH＝ AB＝a，
∴AP＝ a，
∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，
∴S ＝6× a2，S ＝ ×（3a）2，
1 2
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计
算，正确的作出图形是解题的关键．
18．（4分）已知 O的直径AB＝4， D与半径为1的 C外切，且 C与 D均与直径AB相
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
切、与 O内切，那么 D的半径是 或 1 ．
⊙ ⊙
【分析】分 D与 C在直径AB的同侧、 D与 C在直径AB的两侧两种情况，根据圆心
距与两圆半⊙径的数⊙量关系、勾股定理列方⊙程计算⊙，得到答案．
【解答】解：当 D与 C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，
连接OD并延长⊙交 ⊙O于G，
设 D的半径为r，⊙则OD＝2﹣r，CD＝1+r，
∵⊙O的直径AB＝4， C的半径为1， C与 O内切，
∴⊙C与 O内切于点⊙O， ⊙ ⊙
⊙ ⊙
第13页（共24页）∴CO⊥AB，
∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，
∴四边形HOND为矩形，
∴OH＝DN＝r，DH＝ON＝ ，
∴CH＝1﹣r，
在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，即（1﹣r）2+（2﹣r）2﹣r2＝（1+r）2，
解得，r＝ ，
当 D与 C在直径AB的两侧时， C与 D的半径相等，都是1，
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
故答案为： 或1．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关
系来判断．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +| ﹣ |﹣ ﹣3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2 + ﹣ ﹣（ +1）﹣
＝2 + ﹣ ﹣ ﹣1﹣
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关
键．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】由 得：y＝3﹣x，代入 并整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求
值即可．① ②
第14页（共24页）【解答】解：由 得：y＝3﹣x… ，
把 代入 得：①x2+3x（3﹣x）+（③3﹣x）2＝5，
整③理得：x② 2﹣3x﹣4＝0，
解这个方程得，x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
把x的值分别代入 ，得y ＝﹣1，y ＝4．
1 2
③
∴原方程组的解为 ， ．
【点评】考查了高次方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再
解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足
为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足 ＝2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，
求点D坐标．
【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；
（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．
【解答】解：∵点A坐标（2，3），
∴AH＝3，
∵ ＝2，
∴BH＝1，AB＝2，
∴点B（2，1），
设反比例函数的解析式为y＝ （k≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝2×1＝2，
第15页（共24页）∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥x轴，
∴点D纵坐标2，
∴点D坐标（1，2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运
用这些性质进行推理是本题的关键．
22．（10分）如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮
匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．
（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度
约为多少米？（精确到整数）
（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：
≈1.41， ＝1.73）
【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义
计算，得到答案；
（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计
算即可．
【解答】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，
吊舱每分钟转过的角度＝ ＝15°，
∴3分钟转过的角度为45°，
在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50× ＝25 ，
第16页（共24页）∴HM＝60﹣25 ≈25，
答：该游客离地面高度约为25米；
（2）如图2，线段CD距离地面85米，
则OE＝85﹣60＝25，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴距离地面不低于85米的时间为： ＝8（分）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正确求出吊舱每分钟转过的角度是解题的关
键．
23．（12分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【分析】（1）连接 OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明
△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA
＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
第17页（共24页）∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴ ，
解得， ，
∴BC＝2a＝3 ．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列
出方程组．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，
6），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
第18页（共24页）（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果
△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝ AB×AD，即可求解；
（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝ ＝
＝ 或3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2+2x；
（2）对于y＝ x2+2x，顶点D（﹣2，﹣2），
则AD＝ ＝2 ，
同理AB＝6 ，BD＝4 ，
故BD2＝AB2+AD2，
∴△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝ AB×AD＝ 6 ×2 ＝12；
第19页（共24页）（3）在△ABD中，tan∠ABD＝ ＝ ，
∵△OCH与△ABD相似，
∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，
即tan∠COH＝ 或3，
设点C（m， m2+2m），则tan∠COH＝ ＝ ＝ 或3，
解得：m＝﹣10或﹣ （不合题意的值已舍去），
故点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣ ， ）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形
相似等，综合性比较强，难度适中．
25．（14分）在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD
上，且FG⊥EF，EH⊥EF．
（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；
（2）如图2，当 ＝ 时，求 值；
（3）当cos∠D＝ ，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．
第20页（共24页）【分析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF＝EH，
从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结
论；
（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF＝∠DEH，及∠B＝∠D，从而判定
△BGF∽△DEH，结合 ＝ 及菱形的性质可得答案；
（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D＝
及菱形的边长可求得BM＝AN＝ ，MG＝NE＝ ．设AF＝x，则MF＝ ﹣x，当四边
形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列
式计算即可： △GMF∽△FNE， △GMF∽△ENF．
【解答】解：①（1）连接AC、BD，②
∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，
∴AF＝AE＝ AB，EF∥BD，
∵FG⊥EF，EH⊥EF．
∴GF∥EH∥AC，
∴GF＝HE＝ AC，
第21页（共24页）∴四边形EFGH是平行四边形，
∵FG⊥EF，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）连接EG，
∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BGE＝∠DEG，
∵FG∥EH，
∴∠FGE＝∠HEG，
∴∠BGF＝∠DEH，
又∵菱形ABCD中，∠B＝∠D，
∴△BGF∽△DEH，
∴ ＝
∵ ＝ ，
∴BG＝ BC，
DE＝ AD＝ BC，
∴ ＝ ＝ ；
（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，
第22页（共24页）∵四边形EFGH是矩形，
∴GF＝EH，
∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，
∴此时△BGF≌△DEH，
又∵菱形ABCD边长为2，
∴BG＝DE＝1，
∴BG＝CG＝1，
∴cos∠B＝cos∠EAN＝cos∠D＝ ，
∴BM＝AN＝ ，
∴MG＝NE＝ ．
设AF＝x，则MF＝2﹣ ﹣x＝ ﹣x，
当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．
若△GMF∽△FNE，
①
则 ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x ＝ ，x ＝1（点F不与AB中点重合，舍去）；
1 2
若△GMF∽△ENF，
②
则 ＝ ，
第23页（共24页）∴ ＝1，
解得x＝ ．
综上，AF的长为 或 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及
相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
第24页（共24页）
