文档内容
2024－2025 学年上学期
东北师大附中 数学试卷
高一年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形
码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域
内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3 已知 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D.
4. 已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A B.
C. D.
5. 函数 的图象大致形状为（ ）A. B.
C. D.
6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农
公式： ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道
带宽 ，信道内信号的平均功率 以及信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做
信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数 中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽
，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度 大约增加了（ ）
（参考数值： ）
A. B. C. D.
7. 如图，矩形 的三个顶点 ， ， 分别在函数 ， ，
的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标
为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，则
在区间 上的零点的个数为（ ）A. 403 B. 404 C. 405 D. 406
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则函数 的值可能为（ ）
A. 1 B. －1 C. －3 D. 3
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 时，
B. 函数 的值域为
C. 若方程 有两个不相等的实数根，则
D. 函数 有 个零点
11. 已知函数 的定义域为 ，并且对 ，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于 对称
B. 函数 偶函数
C.
D. 若 时， ，则 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 已知 ，则 的值为______.
13. 已知 ， ， ，则 最小值为______.
14. 设奇函数 在 上是增函数，且 ，若不等式
对任意的 ， 都成立，则 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，单位圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，且点
位于第一象限，点 的坐标为 ， ， 为正三角形.（1）求 的值；
（2）化简 ，并求其值.
16. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在 上存在最小值，求实数 的取值范围.
17. 设函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）设常数 ，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）若函数 在 上存在零点，求实数
的取值范围.
19. 若函数 满足：对于任意正数 ， ，都有 ， ，且
，则称函数 为“ 函数”.
（1）试判断函数 是否是“ 函数”，并说明理由；
（2）若函数 （其中 为自然对数 底数， ）为“函数”，求实数 的取值范围；
（3）若函数 为“ 函数”，且 ，求证：对任意 ，都有
.
