文档内容
2024－2025 学年上学期
东北师大附中 数学试卷
高一年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形
码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域
内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合 ，然后得到
【详解】 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D
2. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助根式与分式有意义的条件及对数函数性质计算即可得.
【详解】由题意可得 ，解得 ，故函数 的定义域为 .
故选：B.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式代入计算即可.
【详解】由两角和得正切公式得 .
故选：C.
4. 已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数函数与对数函数性质即可得.
【详解】由 ，则 ， ，
故 .
故选：C.
5. 函数 的图象大致形状为（ ）
A. B.
C. D.【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知当 时， ；当 时， ，
结合指数函数的图象与性质即可判断.
【详解】当 时， ；
当 时， ，
所以 时函数是减函数，
时函数是增函数，且图象是 的 部分关于 轴的对称图形.
故选：D.
6. 华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农
公式： ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道
带宽 ，信道内信号的平均功率 以及信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做
信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数 中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽
，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度 大约增加了（ ）
（参考数值： ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把两个信噪比代入 ，然后作商运算即可.
【详解】由题意
，
由参考数值可得： ，
大约增加了 ，
故选：B
7. 如图，矩形 的三个顶点 ， ， 分别在函数 ， ，
的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为2，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合矩形性质与对数函数、指数函数与幂函数的运算法则逐步计算 、 、
即可得.
【详解】由 ，则 ，即 ，即 ，
又 ，则 ，即 ，则 ，
即有 ，即 ，即 .
故选：A.
8. 已知定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，则 在区间 上的零点的个数为（ ）
A. 403 B. 404 C. 405 D. 406
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 由 可 得 函 数 是 周 期 为 的 周 期 函 数 ， 结 合
时的函数解析式可得 在一个周期内的零点个数，即可得 在区间
上的零点的个数.
【详解】由 ，则 ，
即 ，即 是周期为 的周期函数，
当 时， ，
令 ，解得 或 ，
则 无解，由 ，则当 时， 无解，故当 时， 有零点 、 ，
即当 时， 有零点 、 ，
即 在一个周期内有 个零点，
则当 时， 有 个零点.
当 时， 有零点 ，
故 在区间 上的零点的个数为 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则函数 的值可能为（ ）
A. 1 B. －1 C. －3 D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】分 为第一、二、三、四象限角讨论即可得.
【详解】当 为第一象限角时， ，即 ；
当 为第二象限角时， ，即 ；
当 为第三象限角时， ，即 ；
当 为第四象限角时， ，即 ；
综上所述， 的值可能为 或 .
故选：BD.
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 时，
B. 函数 的值域为
C. 若方程 有两个不相等的实数根，则
D. 函数 有 个零点
【答案】ABD【解析】
【分析】对A：；利用分段函数性质计算即可得；对 B：分 及 讨论即可得；对C：结
合B中所得即可得；对D：由题意可得 ，计算 的根可得 或
，再计算 的根即可得解.
【详解】对A：令 ，解得 ，符合要求，令 ，解得 ，不符，
故 时， ，故A正确；
对B：当 时， ，当 时， ，
故函数 的值域为 ，故B正确；
对C：结合B中所得，可得方程 有两个不相等的实数根时，
有 ，故C错误；
对D：令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，均符合要求，
即 或 时，均能使 ，
令 ，则 ，令 ，无解，
则 有 个零点，分别为 、 、 ，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知函数 的定义域为 ，并且对 ，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于 对称
B. 函数 为偶函数
C.
D. 若 时， ，则 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断AB，根据性质求出周期判断C，根据图象的对称性求解析
式判断D.
【详解】由 可知函数关于直线 轴对称，故A正确；由 可得 ，又 ，
所以 ，故函数 为奇函数，故B错误；
因为 ，
所以 ，故C正确；
由 知函数关于 成中心对称，
当 时，设 为函数 图象上任意一点，
则 在函数 图象上，且 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 已知 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】化简原式为 即得解.
【详解】原式分子分母同时除以 得:
= .
故答案为：
13. 已知 ， ， ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：由题意可得 ，则 ，又
，则 ，化简后借助基本不等式计算
即可得；法二：由题意可得 ，再借助权方和不等式计算即可得.
【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用：
由 ， ， ，则 ，
即 ，则 ，则
，
当且仅当 ，即 ，即 、 时，等号成立.
法二：借助权方和不等式：
由 ， ， ，则 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
14. 设奇函数 在 上是增函数，且 ，若不等式
对任意的 ， 都成立，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数 在 上是增函数，且 得 最大值为5，则有
对任意的 成立，将 看成变量，得出不等式组，解之可得结果．
【详解】因为奇函数 在 上是增函数，且 ，
所以 的最大值为5．
所以只需
即 对任意的 恒成立即可，
令 ，
则 ，即
解得 或 或 ．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，单位圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，且点位于第一象限，点 的坐标为 ， ， 为正三角形.
（1）求 的值；
（2）化简 ，并求其值.
【答案】（1）
（2） ；
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，数形结合，由三
角函数的定义求出答案；
（2）利用诱导公式化简得到 ，凑角法，结合
，得到答案.
【小问1详解】
，
由图知：角 对应的终边为 ，因为点 的坐标为 ，
且圆 为单位圆，由三角函数定义得 ．
【小问2详解】．
其中 ，
由（1）知： ，
所以 ．
16. 已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在 上存在最小值，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数 ，令
，解得函数递减区间；
（2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数 的单调区间，结合对称性得出函数 有最小
值的条件.
【小问1详解】
，
，
，
，
令 ，则 ，即 的单调递减区间为： .
【小问2详解】
令 ，解得 ，
即 是函数 的对称轴，
又由（1）可知函数 区间 上单调递增，
结合对称性可知当 时， ，
此时函数 在 上不存在最小值，
当 时， ，
在区间 上最小值
或者在 处取得，
或者在整个函数 最低点处取得，
当 时， ，即 时 取得最小值，
所以实数 的取值范围 .
17 设函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）增函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2） 在 上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；（3）由 的奇偶性和单调性，可得 ，再解一元二次不等式，可得所求范
围．
【小问1详解】
由 解得 ，
函数 的定义域为 ，
，
可得 是定义域为 的奇函数；
【小问2详解】
函数 在 上为减函数．
证明：设 ， ，且 ，
，
由 ，可得 ，所以 ，
由 ，可得 ， ,
所以 ，则 ，所以 ，
即 ，
所以 在 上为增函数；
【小问3详解】
因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
不等式 化为 ，因为 在 上为增函数，所以 ，
解得： 或 ，
，解得：
，解得： ,
综上：实数 的取值范围
18. 已知函数 ，且 .
（1）求 的解析式；
（2）设常数 ，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）若函数 在 上存在零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，可解得 ，结合已知，可得 的解析式；
（2）先求出 的表达式，再根据正弦函数的单调递增区间的性质，结合给定的区间
，来确定 的取值范围；
（3）先求出 的表达式，然后根据函数在 上存在零点，转化为方程 在
该区间有解，
进而转化为 在 有解的问题，通过对勾函数的性质来确定
的取值范围.
【小问1详解】∵ ，且 ，
∴ ，则 ， ，即 ，
∵ ，∴ .得： .
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
当 时， 即 ， 时
单调递增，
∵ 则在 上单调递增，
∴ 解得：
，当 时， ，当 时， 无解.
综上, 的取值范围是
【小问3详解】
∵ ，
∴
令 ， ，则 ，则 ，
令 ， ，则 .
所以 ，在 上存在零点，
即 ，使得 有解，即 时， 有解，
即 在 上有解，
令 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
∵
的值域为 ，所以 在 有解等
∴
价于 .
综上 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象，利用数形结合的方法求解.
19. 若函数 满足：对于任意正数 ， ，都有 ， ，且
，则称函数 为“ 函数”.
（1）试判断函数 是否是“ 函数”，并说明理由；
（2）若函数 （其中 为自然对数的底数， ）为“ 函
数”，求实数 的取值范围；
（3）若函数 为“ 函数”，且 ，求证：对任意 ，都有
.
【答案】（1）是“L函数”，理由见解析；（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“L函数”的定义分析判断即可；
（ 2 ） 由 为 “ L 函 数 ” ， 可 得 ， 则 ， 得 ，
可得 ，得 ，从而可求出实数a的取值范围；
（3）由函数f（x）为“L函数”，可得对任意整数 ，有 ，再讨论 是否为整数，结
合“L函数”定义即可证得 ，从而得出结论.
【小问1详解】
对于 ，当 时， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 是“L函数”；
【小问2详解】
当 时，由 是“L函数”，得
，即 对一切正数 恒成立，
因 ，所以 对一切正数 恒成立，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
由 对一切正数 恒成立，
所以 ，即 ，
综上可知，实数a的取值范围为 ；
【小问3详解】
因为函数f（x）为“L函数”，
所以对于任意正数 都有 ， ，且 ，
所以
所以对任意整数 ，有 ，若 为整数，显然 ，
若 不为整数，设 ,
则 ， ， ，
又因为
所以 ，
所以对任意 ，都有 .
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条
件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.
