文档内容
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A．2﹣1 B． C． D．2
π
2．（4分）直线y＝﹣x+1不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为（
）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
4．（4分）如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是（
）
A．8，7.5 B．8，7 C．7，7.5 D．7，7
5．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AB
6．（4分）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），
那么交点O是△ABC的（ ）
示意图 作图步骤
第1页（共28页）（1）分别以点B、C为圆心，大于 BC长为半径作圆弧，
两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D；
（2）分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径作圆弧，
两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E；
（3）联结AD、BE，相交于点O
A．外心 B．内切圆的圆心
C．重心 D．中心
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（a2）3＝ ．
8．（4分）化简： ＝ ．
9．（4分）方程 ＝1的解为 ．
10．（4分）函数y＝ 的定义域为 ．
11．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是
．
12．（4分）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 ．
13．（4分）某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得
数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率
分别为0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有 位
学生．
14．（4分）某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（件）成一次函数关系，
其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收
入是 元．
第2页（共28页）15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD的度
数是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知 ＝ ， ＝ ，那么用 ，
表示 ＝ ．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，
如果以E为圆心，r为半径的 E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 ．
⊙
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，
DE∥AC，BD＝5 ，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E（' 点D、E分别与点D'，E'对应），
如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为 ．
第3页（共28页）三、解答题(本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ +2．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲
线y＝ 交于点C（a，6），已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．
第4页（共28页）22．（10分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端
B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为
45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，
满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．
（1）求证：CA平分∠DCE；
（2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B
第5页（共28页）（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点
B对应点C），点C恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．
25．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝ ，DC＝5，BC＝6，以点
B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；
（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧
D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x
的函数关系式（不需要写定义域）．
第6页（共28页）2020年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A．2﹣1 B． C． D．2
π
【分析】根据有理数的分类和无理数的概念求解可得．
【解答】解：A．2﹣1＝ ，是分数，属于有理数；
B． ＝4是整数，属于有理数；
C． 是分数，属于有理数；
D．2 是无理数；
故选：πD．
【点评】本题主要考查无理数，解题的关键是了解它的三种形式： 开方开不尽的数，
① ②
无限不循环小数， 含有 的数，如 是无理数，因为 是无理数．
③ π π
2．（4分）直线y＝﹣x+1不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由k＝﹣1＜0，b＝1＞0，即可判断出图象经过的象限．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴直线的图象经过第一，二，四象限．
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
①当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减
③小；
当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减
④
第7页（共28页）小．
3．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为（
）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【分析】由方程有两个不相等的实数根得出△＝（﹣4）2﹣4m＞0，解之可得．
【解答】解：根据题意知△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac
有如下关系：
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
①当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
②当△＜0时，方程无实数根．
4．（③4分）如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是（
）
A．8，7.5 B．8，7 C．7，7.5 D．7，7
【分析】先根据折线图将这10个数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：由折线图知，这10个数据分别为3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
所以这组数据的众数为8，中位数为 ＝7.5，
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数
最多的数据叫做众数．
5．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
第8页（共28页）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AB
【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
故A、B、C正确，
故错误的是D，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．
6．（4分）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），
那么交点O是△ABC的（ ）
示意图 作图步骤
（1）分别以点B、C为圆心，大于 BC长为半径作圆
弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D；
（2）分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径作圆
弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E；
（3）联结AD、BE，相交于点O
A．外心 B．内切圆的圆心
C．重心 D．中心
【分析】根据尺规作图得到AD、BE是△ABC的中线，根据重心的概念判断即可．
【解答】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线，
∴点D、E分别是BC、AC的中点，
∴AD、BE是△ABC的中线，
∴点O是△ABC的重心，
故选：C．
第9页（共28页）【点评】本题考查的是尺规作图、三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三条
中线的交点是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）（a2）3＝ a 6 ．
【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可．
【解答】解：原式＝a6．
故答案为a6．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘法：（am）n＝am（n m，n是正整数）；（ab）n＝anb（n n是
正整数）．
8．（4分）化简： ＝ ．
【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1﹣ |，
然后再去绝对值．
【解答】解：因为 ＞1，
所以 ＝ ﹣1
故答案为： ﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．
9．（4分）方程 ＝1的解为 x ＝ 1 ．
【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检
验即可．
【解答】解：方程两边平方，得：2﹣x＝1，
解得：x＝1．
经检验：x＝1是方程的解．
故答案是：x＝1．
【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元
法，本题用了平方法．
10．（4分）函数y＝ 的定义域为 x ≥﹣ 1 且 x ≠ 0 ．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答
案．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，x≠0，
第10页（共28页）解得，x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式被开方数是非负数、
分式的分母不为0是解题的关键．
11．（4分）如果抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 k
＜ 1 ．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k﹣1＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和
大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
12．（4分）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数．
13．（4分）某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得
数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率
分别为0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有 36 0 位
学生．
第11页（共28页）【分析】先根据频率之和为1求出第四组的频率，再结合第四组的频数，利用总数＝频数÷
频率求解可得．
【解答】解：∵图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.1，
∴第四小组的频率为1﹣（0.05+0.1+0.25+0.1）＝0.5，
又∵第四小组的频数是180人，
∴该校初三学生人数为180÷0.5＝360（位），
故答案为：360．
【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率之和为1、总数＝频数
÷频率．
14．（4分）某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（件）成一次函数关系，
其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收
入是 300 0 元．
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式，然后令x＝0，求出相应的
y的值，即可解答本题．
【解答】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
第12页（共28页）解得， ，
即y与x的函数关系式为y＝50x+3000，
当x＝0时，y＝3000，
即当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是3000元，
故答案为：3000．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD的度
数是 20 ° ．
【分析】根据题意可得三角形BDC和三角形ABD是等腰三角形，再根据AD∥BC，可得
∠BDA＝∠DBC，再根据三角形内角和即可求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝50°，
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC＝80°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDA＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣2∠A＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了梯形，解决本题的关键是掌握梯形的性质．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知 ＝ ， ＝ ，那么用 ，
表示 ＝ 2 ．
第13页（共28页）【分析】利用三角形法则可知： ＝ + ，求出 ， 即可解决问题．
【解答】解：∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵DE∥AB，
∴AE＝EC，
∴AB∥DE，AB＝2DE，
∴ ＝2 ，
∵ ＝ ＝ ， ＝ + ，
∴ ＝2 + ，
故答案为：2 + ．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，
如果以E为圆心，r为半径的 E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 3
+5 ． ⊙
【分析】设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG
＝ AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝ BC＝ CD＝5，推出点H是以CD为直径
第14页（共28页）的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2 ，根据勾股定理得到BH＝ ＝5
，求得EH＝BH﹣BE＝3 ，于是得到结论．
【解答】解：设AB的中点为G，
连接EG，延长BE交CD于H，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴EG＝ AB＝5，
∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠BAE，
∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝ ＝2，
∴CH＝ BC＝ CD＝5，
∴点H是以CD为直径的圆的圆心，
设BE＝k，AE＝2k，
∴AB＝ k＝10，
∴k＝2 ，
∴BE＝2 ，
∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5，
∴BH＝ ＝5 ，
∴EH＝BH﹣BE＝3 ，
∵r为半径的 E与以CD为直径的圆相交，
∴r的取值范⊙围为3 +5，
故答案为：3 +5．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三
第15页（共28页）角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，
DE∥AC，BD＝5 ，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E（' 点D、E分别与点D'，E'对应），
如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出
AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．
【解答】解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
第16页（共28页）∴DE＝ ，
∵∠AD′B＝90°，
∴AD′＝ ＝ ＝5 ，
∴AE′＝AD′+D′E′＝5 + ＝ ，
如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′＝AD′﹣D′E′＝5 ﹣ ＝
综上所述，满足条件的AE′的长为 或 ．
故答案为 或 ．
【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问
题，属于中考常考题型．
三、解答题(本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ +2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
第17页（共28页）＝ ，
当x＝ +2时，
原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 ，得：x＜3，
解不等式 ，得：x≥﹣①1，
则不等式②组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A、B，与双曲
线y＝ 交于点C（a，6），已知△AOB的面积为3，求直线与双曲线的表达式．
第18页（共28页）【分析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A点
坐标为（2，0），接着把A点坐标代入y＝kx+3中求出k得到一次函数解析式为y＝﹣
x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式．
【解答】解：当x＝0时，y＝kx+3＝3，则B（0，3），
∵△AOB的面积为3，
∴ ×3×OA＝3，解得OA＝2，
∴A点坐标为（2，0），
把A（2，0）代入y＝kx+3得2k+3＝0，解得k＝﹣ ，
∴一次函数解析式为y＝﹣ x+3，
把C（a，6）代入得﹣ a+3＝6，解得a＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，6），
把C（﹣2，6）代入y＝ 得m＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22．（10分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端
B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为
第19页（共28页）45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根
据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO＝∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠COA＝45°，
∴AC＝OC，
设AC＝x，则OC＝x，BC＝35﹣x，
∵∠ABC＝37°，tan37°≈0.75，
∴ ＝0.75，
解得，x＝15，
∴35﹣x＝20，
∴AB＝ ＝25（厘米），
即AB的长为25厘米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数
解答．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，
第20页（共28页）满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC．
（1）求证：CA平分∠DCE；
（2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三
角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论；
（2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明
AE∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴CA平分∠DCE；
（2）证明：∵AB2＝BD•BC，
∴ ＝ ，
又∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠ACB，
第21页（共28页）∴AE∥BD，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∵AE∥BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形
的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B
（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点
B对应点C），点C恰好落在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．
【分析】（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△PMC≌△BNP（AAS），则PM＝BN，MC＝PN，即可求解；
（3）设MH＝3x，用x表示AM、GM，利用AG＝AM+GM＝ ，求出x的值；在△AOH中，
OH＝ ，求得点H的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3 ；
函数的对称轴为：x＝1； ①
第22页（共28页）（2）设点C（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，点P（1，s），
如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，
∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，
∴∠MPC＝∠PBN，
∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，
∴△PMC≌△BNP（AAS），
∴PM＝BN，MC＝PN，
∴ ，解得： ，
故点C（2，3），点P（1，1）；
故点P的坐标为（1，1）；
（3）设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，
由（2）知，点C（2，3），而点A（﹣1，0），
过点C作CK⊥x轴于点K，则CK＝AK＝3，
故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，
第23页（共28页）∴tan∠ABC＝ ＝3
∵∠QAC＝∠ABC，
∴tan∠QAC＝3；
在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH＝3x，
∵∠AGO＝45°，则GO＝AO＝1，
∴MG＝MH＝3x，
∵tan∠QAC＝3，则AM＝x，
AG＝AM+GM＝x+3x＝ ＝ ，
解得：x＝ ，
在△AHM中，AH＝ ＝ x＝ ，
在△AOH中，OH＝ ＝ ，故点H（0，﹣ ），
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣ x﹣ ，
②
联立 并解得：x＝﹣1（舍去）或 ，
①②
故点Q的坐标为：（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三
角形全等、解直角三角形等，本题的难点是用解三角形的方法求点H的坐标．
25．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝ ，DC＝5，BC＝6，以点
B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；
第24页（共28页）（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧
D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x
的函数关系式（不需要写定义域）．
【分析】（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法
求出BJ，BD即可解决问题．
（2）分两种情形分别求解： 当△ADG∽△BCE时． 当△ADG∽△ECB时，分别利用相
似三角形的性质求解即可．① ②
（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交 于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点
Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可
解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．
在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝ ＝ ，
∴CK＝3，
∵BC＝6，
∴BK＝CK＝3，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°
∵DK⊥BC，
∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，
∴四边形ABKD是矩形，
∴AD＝BK＝3，
∴DB＝DC＝5，DK＝ ＝ ＝4，
∵S△DCB ＝ •BC•DK＝ •CD•BJ，
第25页（共28页）∴BJ＝ ，
∴DJ＝ ＝ ＝ ，
∵BD＝BE，BJ⊥DE，
∴DJ＝JE＝ ，
∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣ ＝ ，
∴sin∠BDC＝ ＝ ＝ ．
（2）如图2中，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠DBC，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADG＝∠C，
∵△ADG相似△BEC，
∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
第26页（共28页）∴DG＝ ，
当△ADG∽△ECB时，
＝ ，
＝ ，
∴DG＝ ．
（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交 于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点
Q作QK⊥JH于K．
由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，
∵JB＝JH，JG⊥BH，
∴BG＝GH＝ x，
∴JG＝ ＝ ，
∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，
∴四边形BGKQ是矩形，
∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝ x，
在Rt△QKJ中，
∵JQ2＝QK2+KJ2，
∴y2＝ x2+（ ﹣y）2，
第27页（共28页）∴y＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，
相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
第28页（共28页）
