文档内容
2020年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）在下列各式中，与 是同类项的是（ ）
A．2xy B．﹣y2x C． D．x2y
2．（4分）方程x2﹣2 x+3＝0根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．无实数根 D．有两个相等的实数根
3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0）图象在每个象限内，y随着x的增大
而增大，那么它的图象的两个分支分别在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．（4分）某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则
下列说法错误的是（ ）
A．其平均数为5 B．其众数为5
C．其方差为5 D．其中位数为5
5．（4分）顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（
）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
6．（4分）下列命题中正确的个数是（ ）
过三点可以确定一个圆；
①直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5；
②如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米；
③三角形的重心到三角形三边的距离相等．
④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：﹣5+22＝ ．
第1页（共27页）8．（4分）化简： ＝ ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）方程 的解是 ．
11．（4分）为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试
卷，每本试卷30份，那么样本容量是 ．
12．（4分）如果向量 与向量 方向相反，且 ，那么 ＝ ．
13．（4分）在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形
阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为 ．
14．（4分）把直线y＝﹣x+b向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析
式为 ．
15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，且
AC⊥BD，如果AD：BC＝2：3，那么DB：AC＝ ．
16．（4分）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，
共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数
据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为
米．（结果保留根号）
17．（4分）已知点（﹣1，y ），（ ，y ），（2，y ）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那
1 2 3
么y 、y 、y 按由小到大的顺序排列是 ．
1 2 3
18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，
使点B落在点B 处，点C落在点C 处，且BB ⊥AC．联结B C和C C，那么△B C C的面
1 1 1 1 1 1 1
积等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（1+ ）2﹣|﹣1|﹣2020+ ﹣ ．
第2页（共27页）20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交
BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
22．（10分）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水
价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档
水量和价格见下表．
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
分档 户年用水量 自来水价格 污水处理费
（立方米） （元/立方米） （元/立方米）
第一阶梯 0﹣220（含220） 1.92 1.70
第二阶梯 220﹣300（含300） 3.30 1.70
第三阶梯 300以上 4.30 1.70
注：1．应缴纳水费＝自来水费总额+污水处理费总额
2．应缴纳污水处理费总额＝用水量×污水处理费×0.9
（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费 元；
（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为 立方米；
（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）
第3页（共27页）的函数解析式为 ，定义域 ．
23．（12分）如图，已知在 ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝AB，点F为CE的中点，点G
在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC＝∠EGC．
（1）求证：CG＝DG；
（2）求证：CG2＝GM•AG．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫
做这条抛物线的“子抛物线”．
第4页（共27页）如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为 ，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为
m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．
25．（14分）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H分别在射线
CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．
（1）如图 ，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
第5页（共27页）
①（2）如图 ，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结②AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
第6页（共27页）2020年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）在下列各式中，与 是同类项的是（ ）
A．2xy B．﹣y2x C． D．x2y
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得
答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A、所含字母相同；相同字母的指数不同，故本选项不符合题意；
B、所含字母相同；相同字母的指数相同，故本选项符合题意；
C、 是多项式，与 不是同类项，故本选项不符合题意；
D、所含字母相同；相同字母的指数不同，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母
的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”： 与字母的顺序无
关； 与系数无关． ①
2．（4分②）方程x2﹣2 x+3＝0根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．无实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（﹣2 ）2﹣4×1×3＝12﹣12＝0，
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
3．（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （k≠0）图象在每个象限内，y随着x的增大
而增大，那么它的图象的两个分支分别在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
第7页（共27页）C．第一、二象限 D．第三、四象限
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∴它的图象的两个分支分别在第二、四象限．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象的分布是解题关键．
4．（4分）某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则
下列说法错误的是（ ）
A．其平均数为5 B．其众数为5
C．其方差为5 D．其中位数为5
【分析】分别根据平均数、众数和方差、中位数的概念计算，从而得出答案．
【解答】解：这组数据的平均数为 ×（5+3+7+5+6+4+5+5）＝5，故A选项正确，不符合题意；
这组数据中5出现次数最多，有4次，所以众数为5，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的方差为 ×（[ 3﹣5）2+（4﹣5）2+4×（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝ ，故C选项
错误，符合题意；
将数据重新排列为3、4、5、5、5、5、6、7，
所以中位数为 ＝5，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数以及算术平均数的定义，牢记定义是关键．
5．（4分）顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（
）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：
所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻
边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的
中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
第8页（共27页）证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
观察选项，只有菱形的对角线互相垂直．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中点四边形，掌握矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键
是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
6．（4分）下列命题中正确的个数是（ ）
过三点可以确定一个圆；
①直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5；
②如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米；
③三角形的重心到三角形三边的距离相等．
④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理和勾股定理、两圆的位置关系、三角形的重心的概
念判断．
【解答】解： 过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，本说法错误；
直角三角形①的两条直角边长分别是5和12，
②
则斜边长＝ ＝13，
∴那么它的外接圆半径为6.5，本说法正确；
如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，本说法错误；
③三角形的内心到三角形三边的距离相等，本说法错误；
④故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
第9页（共27页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：﹣5+22＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的加法可以解答本题．
【解答】解：﹣5+22
＝﹣5+4
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
8．（4分）化简： ＝ ．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公
分母．
9．（4分）不等式组 的解集是 ＜ x ＜ 7 ．
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集
即可．
【解答】解： ，
解不等式 得：x＞ ，
①
解不等式 得：x＜7，
②
∴不等式组的解集为 ＜x＜7，
故答案为： ＜x＜7；
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解
第10页（共27页）集是解此题的关键．
10．（4分）方程 的解是 x ＝ 2 ．
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件
得出符合方程的x的值，可得答案．
【解答】解：两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝2或x＝1，
又 ，
解得：x≥2，
则x＝2，
故答案为：x＝2．
【点评】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来
解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，
因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
11．（4分）为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试
卷，每本试卷30份，那么样本容量是 150 0 ．
【分析】直接利用样本容量的定义分析得出答案．
【解答】解：∵从中抽取50本试卷，每本试卷30份，
∴样本容量是：50×30＝1500．
故答案为：1500．
【点评】此题主要考查了样本容量，正确把握定义是解题关键．
12．（4分）如果向量 与向量 方向相反，且 ，那么 ＝ ．
【分析】根据共线向量的定义解答．
【解答】解：∵向量 与向量 方向相反，且 ，
∴ ＝﹣ ．
∴ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量，根据题意得到 ＝﹣ 的解题的突破口．
13．（4分）在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形
第11页（共27页）阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为 ．
【分析】根据题意，求得正方形与圆的面积，相比计算可得答案．
【解答】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；
由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，
圆的半径为1cm，其面积为 cm2，
π
故其概率为 ．
【点评】本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率＝
相应的面积与总面积之比．
14．（4分）把直线y＝﹣x+b向左平移2个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析
式为 y ＝﹣ x + 7 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则得到平移后的解析式y＝﹣x﹣2+b，再根
据在y轴上的截距是5，可得原来的直线解析式．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，若沿x轴向左平移2个单位所得直线的解析式为
y＝﹣（x+2）+b，即y＝﹣x﹣2+b，
∵在y轴上的截距是5，
∴﹣2+b＝5，
∴b＝7，
∴原来的直线解析式为：y＝﹣x+7，
故答案为：y＝﹣x+7．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，且
AC⊥BD，如果AD：BC＝2：3，那么DB：AC＝ ： 3 ．
【分析】过点A作AE∥BD交CB延长线于点E，根据AD∥BC，可得四边形AEBD是平行
四边形，可得AC⊥AE，证明△ABO∽△BCO，对应边成比例可得OB＝ x，进而可求
tan∠ACB＝ ＝ ，即可得结论．
【解答】解：如图，
第12页（共27页）过点A作AE∥BD交CB延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE，
∴tan∠ACB＝ ，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵DB⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB+∠OBC＝90°，
∠ABO+∠OBC＝90°，
∴∠ABO＝∠OCB，
∴△ABO∽△BCO，
∴ ＝ ，
设AO＝2x，OC＝3x，
∴OB＝ x，
∴tan∠ACB＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形，解决本题的关键是将梯形问题
转化为三角形问题．
第13页（共27页）16．（4分）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，
共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数
据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为
米．（结果保留根号）
【分析】如图所示：设无人机所在位置为点A，根据题意可得，∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，
BC＝47（米），设此时无人机距离地面的高度为x米，再根据三角函数即可求出x的值．
【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点A，
根据题意可知：
∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，BC＝47（米），
设此时无人机距离地面的高度为x米，
则CD＝x，则BD＝47﹣x，AD＝CD＝x，
在Rt△ADB中，tan60°＝ ，
即 ＝ ，
解得x＝ （米）．
答：此时无人机距离地面的高度为 米．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是仰角俯角定
义准确画图．
第14页（共27页）17．（4分）已知点（﹣1，y ），（ ，y ），（2，y ）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那
1 2 3
么y 、y 、y 按由小到大的顺序排列是 y ＜ y ＜ y ．
1 2 3 2 3 1
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较已知三点到直线x＝1的距离的大小，
再利用二次函数的性质可判断y 、y 、y 的大小．
1 2 3
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∵点（﹣1，y ）到直线x＝1的距离为2，点（ ，y ）到直线x＝1的距离为 ﹣1，点（2，
1 2
y ）到直线x＝1的距离为1，
3
∴点（﹣1，y ）到直线x＝1的距离最大，点（ ，y ）到直线x＝1的距离最小，
1 2
而抛物线的开口向上，
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故答案为y ＜y ＜y ．
2 3 1
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标其解析式．
也考查了二次函数的性质．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转，
使点B落在点B 处，点C落在点C 处，且BB ⊥AC．联结B C和C C，那么△B C C的面
1 1 1 1 1 1 1
积等于 8 ﹣ 4 ．
【分析】由直角三角形的性质可求BH＝2，可求△ABC的面积，由旋转的性质可得
＝4，∠CAB＝∠C AB ＝30°，AB＝AB ＝AC＝AC ＝4，可证△CAC 是等边三角
1 1 1 1 1
形，由面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，设BB 与AC交于H，
1
第15页（共27页）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，BB ⊥AC，
1
∴BH＝2，
∴S△ABC ＝ ×AC×BH＝ ×2×4＝4，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，
∴ ＝4，∠CAB＝∠C AB ＝30°，AB＝AB ＝AC＝AC ＝4，且BB ⊥AC，
1 1 1 1 1
∴BH＝B H＝2，∠CAB ＝∠CAB＝30°，
1 1
∴∠CAC ＝60°，且AC＝AC ＝4，
1 1
∴△CAC 是等边三角形，
1
∴△B C C的面积＝ + ﹣ ＝4+ ×4×2﹣ ×（4）2＝8﹣4 ，
1 1
故答案为：8﹣4 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性
质进行推理是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（1+ ）2﹣|﹣1|﹣2020+ ﹣ ．
【分析】原式利用完全平方公式，负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及分母有理化计
算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2 +2﹣1+2﹣ ﹣2
＝4﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，分数指数幂，以及负整数指数幂，熟客掌握运算法则是解
本题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【分析】用代入法即可解答，把 化为x＝1+y，代入 得（1+y）2+2y+3＝0即可．
① ②
【解答】解：
由 得y＝x﹣2
把①代入 ，得③x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2＝0，
③ ②
第16页（共27页）即x2﹣4x+3＝0
解这个方程，得x ＝3，x ＝1
1 2
代入 中，得 或 ．
③
∴原方程组的解为 或 ．
【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解
关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交
BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F．根据AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，可得BF＝FC
＝2，∠BFA＝90°，再根据三角函数即可求出CD的长；
（2）过C点作CH⊥ED于点H，根据CH⊥ED，AB⊥ED，可得∠DEB＝∠DHC＝90°，即
CH∥AB，对应边成比例即可求出CH的长．
【解答】解：如图，
（1）过A点作AF⊥BC于点F．
∵AB＝AC＝6，BC＝4，AF⊥BC，
第17页（共27页）∴BF＝FC＝2，∠BFA＝90°，
∴在Rt△ABF中， ，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠DEB＝90°，
在Rt△DEB中， ，
∴BD＝9，
∴CD＝5．
（2）过C点作CH⊥ED于点H，
∵CH⊥ED，AB⊥ED，
∴∠DEB＝∠DHC＝90°，
∴CH∥AB，
∴ ，
∵BE＝3，BD＝9，CD＝5，
∴ ．
∴点C到ED的距离CH为 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握
等腰三角形的性质．
22．（10分）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水
价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档
水量和价格见下表．
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
分档 户年用水量 自来水价格 污水处理费
（立方米） （元/立方米） （元/立方米）
第一阶梯 0﹣220（含220） 1.92 1.70
第二阶梯 220﹣300（含300） 3.30 1.70
第三阶梯 300以上 4.30 1.70
注：1．应缴纳水费＝自来水费总额+污水处理费总额
2．应缴纳污水处理费总额＝用水量×污水处理费×0.9
第18页（共27页）（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费 34 5 元；
（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为 27 0 立方米；
（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）
的函数解析式为 y ＝ 4.8 3 x ﹣ 303. 6 ，定义域 22 0 ＜ x ≤ 30 0 ．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出小静家2019年上半年共计用水量100立方米，
应缴纳水费多少元；
（2）根据表格中的数据，先计算第一阶梯最多缴费多少和第二阶梯最多缴费多少，然后即
可判断小静家2019年全年用水量在哪个阶梯内，然后设出未知数，即可得到相应的方程，
从而可以求得2019年全年用水量；
（3）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以先设出第二阶梯（线段AB）的函数解析
式，该函数过点（220，759）、（300，1145.4），即可得到相应的函数解析式，写出定义域．
【解答】解：（1）100×1.92+100×1.70×0.9
＝192+153
＝345（元），
即小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费345元，
故答案为：345；
（2）220×1.92+220×1.70×0.9＝759（元），
759+（300﹣220）×3.3+（300﹣220）×1.70×0.9＝1145.4（元），
∵759＜1000.5＜1145.4，
∴小静家2019年全年用水量在220﹣300之间，
设小静家2019年全年用水量为x立方米，
759+（x﹣220）×3.3+（x﹣220）×1.70×0.9＝1000.5
解得，x＝270，
即2019年全年用水量为270立方米，
故答案为：270；
第19页（共27页）（3）设第二阶梯（线段AB）的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
即第二阶梯（线段AB）的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（220＜x≤300），
故答案为：y＝4.83x﹣303.6，220＜x≤300．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
23．（12分）如图，已知在 ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝AB，点F为CE的中点，点G
在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC＝∠EGC．
（1）求证：CG＝DG；
（2）求证：CG2＝GM•AG．
【分析】（1）证明△ECG≌△DCF得到CG＝CF，再利用点F为CE的中点得到CF＝
CE，所以CG＝ CD，从而得到CG＝DG；
（2）延长AG、BC交于点H，如图，由△ECG≌△DCF得到∠CEG＝∠CDF，再证明
△ADG≌△HCG得到AG＝HG，则根据斜边上的中线性质得AG＝HG＝EG，所以∠CEG
＝∠H，接着证明△ADG∽△DMG，利用相似比得到DG2＝GM•AG，然后利用CG＝DG
得到结论．
【解答】证明：（1）∵ ▱ABCD，CE＝AB，
∴AB＝CD＝EC，
又∵∠DFC＝∠EGC，∠BCD＝∠BCD，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG＝CF，
∵点F为CE的中点，
∴CF＝ CE；
第20页（共27页）∴CG＝ CD，
即CG＝DG；
（2）延长AG、BC交于点H，如图，
∵△ECG≌△DCF，
∴∠CEG＝∠CDF，
∵ ▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠H，∠ADC＝∠DCH．
∴△ADG≌△HCG（AAS），
∴AG＝HG，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴AG＝HG＝EG，
∴∠CEG＝∠H，
∴∠CDF＝∠DAH，
又∵∠AGD＝∠DGA，
∴△ADG∽△DMG，
∴ ，
∴DG2＝GM•AG，
又∵CG＝DG，
∴CG2＝GM•AG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作
辅助线构造相似三角形．
第21页（共27页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A为顶点的抛物线叫
做这条抛物线的“子抛物线”．
如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为 ，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为
m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．
【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；
（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为 ．求出x＝0时y的值可
知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；
（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点
E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝
m+n ＝ OF ＝ ED ． 结 合 OB ＝ EF 得 m2 ＝ m+2n ． 再 由 ∠ BCA ＝ ∠ ADE 知
，联立方程组 ，解之可得答案．
【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），
当m＝1时，A（1，1），
∴这条“子抛物线”的解析式： ；
第22页（共27页）（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．
∴“子抛物线”的解析式为 ．
令x＝0，则 ，
∴点C的坐标（0， ）， ，
∴ ．
在Rt△ABC中， ．
（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长
线于点E，交x轴于点F，
∵∠OAC＝135°，
∴∠OAD＝45°，
又∵OD⊥CA，
∴∠OAD＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OD，
∴△AED≌△DFO（AAS），
∴AE＝DF，DE＝OF，
设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．
又∵OB＝EF，
∴m2＝m+2n．
第23页（共27页）又∵∠BCA＝∠ADE，
∴ ，
解方程组 ，得m ＝2， （舍去），
1
∴m的值为2．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、
余切函数的概念、全等三角形的判定与性质等知识点．
25．（14分）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H分别在射线
CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．
（1）如图 ，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图 ①，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结②AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．
【分析】（1）连接OQ，由正六边形的性质得出BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，得出
＝ ，∠EBC＝ ∠ABC＝60°，证出 ＝ ，得出∠BOQ＝∠EOQ，证出∠BOQ＝
∠EOQ＝90°．进而得出结论；
（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，证△HEM是等边三角形，得出EM＝HE＝HM＝y，
∠HME＝60°，证△BCG∽△BMH，得出 ．进而得出结论；
（3）当点G在边CD上时．当点G在CD的延长线上时．分别分两种情况，根据相似三角形
的性质和解分式方程解答即可．
【解答】解：（1）连接OQ，如图 所示：
①
第24页（共27页）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，
∴ ＝ ，∠EBC＝ ∠ABC＝60°，
∵点Q是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ，
∴∠BOQ＝∠EOQ，
∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，
∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．
∵BO＝OQ，
∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，
∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；
（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图 所示：
∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8， ②
∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，
∴∠FEB＝ ∠FED＝60°，
∵EM＝HE，
∴△HEM是等边三角形，
∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，
∴∠BCD＝∠HMB＝120°，
∵∠EBC＝∠GBH＝60°，
∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，
即∠GBC＝∠HBE，
∴△BCG∽△BMH，
∴ ．
又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，
∴ ，
第25页（共27页）∴y与x的函数关系式为 （0＜x＜4）．
（3）如图 ，当点G在边CD上时．
由于△AFH③∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，
当 ．
①
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即： ，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
当 ．即： ，
②
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图 ，当点G在CD的延长线上时．
由于④△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，
当 ．
①
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即： ，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
当 ．即： ，
②
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．
综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．
第26页（共27页）【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、正六边形的
性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分式方程的解法、分类讨论
等知识；本题综合性强，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第27页（共27页）
