文档内容
2017 年上海市黄浦区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（ ）
A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2
2．（4分）如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是
（ ）
A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC
C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE
3．（4分）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（ ）
A．i=sinα B．i=cosα C．i=tanα D．i=cotα
4．（4分）已知向量 和 都是单位向量，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．| |﹣| |=0
5．（4分）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单
位，则所得图象的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
6．（4分）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度
和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度
也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们
所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边
BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当
△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是
（ ）
第1页（共27页）图形 图① 图② 图③ 图④ 图⑤
绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？
绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？
A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=3，b=2，那么c= ．
8．（4分）化简： = ．
9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=
．
10．（4分）已知二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则f（1）
f（5）（填“＞”或“＜”）
11．（4分）求值：sin60°•tan30°= ．
12．（4分）已知G是等腰直角△ABC的重心，若AC=BC=2，则线段CG的长为
．
13．（4分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为 ．
14．（4分）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式
为 ．
15．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边
AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为 ．
16．（4分）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的
第2页（共27页）底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处
的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是
米．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P
位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 ．
18．（4分）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，
ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ，则cosA= ．
三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）用配方法把二次函数y= x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出
该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求线段EF的长；
（2）设 = ， = ，试用 、 表示向量 ．
第3页（共27页）21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA= ，将△ABC沿直线l翻折，
恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．
22．（10分）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面
C处和坡面D处各装一根等长的引拉线 BC和BD，过点D作地面MN的垂线
DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为
30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）
23．（12分）如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，
CA=6时，求证：DE=DF．
24．（12分）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B
（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，
若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶
第4页（共27页）点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．
25．（14分）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，
∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
第5页（共27页）2017 年上海市黄浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．（4分）下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（ ）
A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．
【解答】解：抛物线y=x2﹣2x+4的对称轴为x=1；
A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=﹣ ，不符合题意；
B、y=2x2﹣4x+1的对称轴为x=1，符合题意；
C、y=2x2﹣x+4的对称轴为x= ，不符合题意；
D、y=x2﹣4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难
度不大．
2．（4分）如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是
（ ）
A．AD•DB=AE•EC B．AD•AE=BD•EC
C．AD•CE=AE•BD D．AD•BC=AB•DE
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．
【解答】解：∵AD•CE=AE•BD，
∴ ，
第6页（共27页）∴DE∥BC，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定
理是解题的关键．
3．（4分）已知一个坡的坡比为i，坡角为α，则下列等式成立的是（ ）
A．i=sinα B．i=cosα C．i=tanα D．i=cotα
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡比的定义：斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即坡角的正弦值，据
此即可判断．
【解答】解：i=tanα．
故选：C．
【点评】本题考查了坡比的定义，理解坡比是斜坡垂直高度与水平宽度的比值，即
坡角的正弦值，是关键．
4．（4分）已知向量 和 都是单位向量，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．| |﹣| |=0
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据向量 和 都是单位向量，可知| |=| |=1，由此即可判断．
【解答】解：∵已知向量 和 都是单位向量，
∴| |=| |=1，
∴| |﹣| |=0，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键．
5．（4分）已知二次函数y=x2，将它的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单
位，则所得图象的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
第7页（共27页）【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移个单位得
到y=（x+2）2，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2的图象向上平移3个单位可
得到函数y=（x+2）2+3，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”
的原则是解答此题的关键．
6．（4分）Word文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度
和绝对宽度，同一个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度
也随之变化．如图①、②、③是同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们
所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有△ABC，已知AB=AC，当它以底边
BC水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，那么当
△ABC以腰AB水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是
（ ）
图形 图① 图② 图③ 图④ 图⑤
绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ？
绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ？
A．3.60和2.40 B．2.56和3.00 C．2.56和2.88 D．2.88和3.00
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理．
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【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理可求AB，即图⑤绝对宽度，再根据三角
形面积公式可求图⑤绝对高度．
【解答】解：图④，过A点作AD⊥BC于D，
BD=3.60÷2=1.80，
在Rt△ABD中，AB= =3，
图⑤绝对宽度为3；
第8页（共27页）图⑤绝对高度为：
2.40×3.60÷2×2÷3
=4.32×2÷3
=2.88．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握图形的
绝对高度和绝对宽度的定义．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知线段a是线段b、c的比例中项，如果a=3，b=2，那么c= ．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求c．
【解答】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴a2=bc，
即32=2×c，
∴c= ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
8．（4分）化简： = ﹣ ﹣ 7 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解： =2 ﹣4 ﹣3 ﹣3 =﹣ ﹣7 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此
第9页（共27页）题的关键．
9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP= 2
﹣4 ．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP= AB= ﹣1，
则BP=2﹣AP=3﹣ ，
∴AP﹣BP=（ ﹣1）﹣（3﹣ ）=2 ﹣4，
故答案为：2 ﹣4．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC
（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
10．（4分）已知二次函数y=（f x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，则（f 1） ＞
f（5）（填“＞”或“＜”）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
【解答】解：∵二次函数y=f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=4，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴f（1）＞f（5），
故答案为：＞．
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增
减性，难度不大．
11．（4分）求值：sin60°•tan30°= ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式的乘法进行计
算即可．
【解答】解：原式= ×
第10页（共27页）= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解
答此题的关键．
12．（4分）已知G是等腰直角△ABC的重心，若AC=BC=2，则线段CG的长为
．
【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．
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【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可
【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC=BC=2，
∴CG= ，
故答案为：
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边
中点的距离的2倍是解题的关键．
13．（4分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为 4 ： 9 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积之比为4：9．
故答案为：4：9
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的
平方．
14．（4分）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式
为 S = C 2 ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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第11页（共27页）【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答
案．
【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的周长为C，
∴AB=BC=AC= ，
∴DC=BD= ，
∴AD= = C，
∴S= × C× = C2．
故答案为：S= × C× = C2．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三
角形的高是解题关键．
15．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边
AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为 4 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似
比，列方程求解．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：
第12页（共27页）∵△ABC的面积= BC•AH=9，BC=6，
∴AH=3，
设正方形DEFG的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴ ．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH=ED，AP=AH﹣PH，
即 ，
由BC=6，AH=3，DE=DG=x，
得 ，
解得x=2．
故正方形DEFG的面积=22=4；
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得
到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
16．（4分）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的
底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处
的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是
27 米．
第13页（共27页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据
AB=2AE即可求解．
【解答】解：作PE⊥AB于点E，
在直角△AEP中，∠APE=∠α，
则AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），
则AB=2AE=27（米）．
故答案是：27．
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角
形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P
位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 4 或 ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种
情况进行讨论即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10．
∵D是边AB的中点，
第14页（共27页）∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时， = ，即 = ，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时， = ，即 = ，解得AP= ．
故答案为：4或 ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不
要漏解．
18．（4分）如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，
ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ，则cosA= ．
【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分线，同
理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，
易知四边形BMDN是菱形，设S =S =S =S =a，因为四边形BMDN的
△OMB △ONB △OMD △OND
面积是菱形ABCD面积的 ，所以S =S =S =S =4a，推出AM=4OM，
△AMB △AMD △CNB △CND
CN=4ON ， 设 ON=OM=k ， 则 AM=CN=4k ， 由 △ ABO∽ △ BNO ， 推 出
OB2=OA•ON=5k2，推出 OB= k，AB=AD= = k，由 AD•BH=
•BD•AO，推出BH= = k，再利用勾股定理求出AH即可解决问题．
第15页（共27页）【解答】解：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．
∵AB⊥BN，AD⊥DN，
∴∠ABN=∠ADN=90°，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
，
∴△ABN≌△ADN，
∴∠BAN=∠DAN，
∴AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC
交于点O，
易知四边形BMDN是菱形，设S =S =S =S =a，
△OMB △ONB △OMD △OND
∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ，
∴S =S =S =S =4a，
△AMB △AMD △CNB △CND
∴AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，
∵△ABO∽△BNO，
∴OB2=OA•ON=5k2，
∴OB= k，AB=AD= = k，
∵ AD•BH= •BD•AO，
∴BH= = k，
∴AH= = = k，
∴cosA= = = ．
第16页（共27页）故答案为
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问
题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．
三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．（10分）用配方法把二次函数y= x2﹣4x+5化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出
该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【考点】H9：二次函数的三种形式．
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【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：y= x2﹣4x+5= （x﹣4）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=4，顶点（4，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次根式的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点
式是解题的关键．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，点E、F分别在两腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求线段EF的长；
（2）设 = ， = ，试用 、 表示向量 ．
【考点】LH：梯形；LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N两点，将问题转化到△ABM中，利用相
似三角形的判定与性质求EN，由EF=EN+NF=EN+AD进行求解；
（2）由 = 、 = 得BC= AD，EB= AB，根据 = 可得答案．
【解答】解：（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N两点，
第17页（共27页）又AD∥BC，EF∥AD，
∴四边形BCFN与MNFD均为平行四边形．
∴BC=NF=MD=2，
∴AM=AD﹣MD=1．
又 =2，
∴ = ，
∵EF∥AD，
∴△BEN∽△BAM，
∴ ，即 ，
∴EN= ，
则EF=EN+NF= ；
（2）∵ = ， = ，
∴BC= AD，EB= AB，
∴ = = ， = = ，
则 = = + ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及
向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质得出对应边的长度之比和向
量的基本运算是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA= ，将△ABC沿直线l翻折，
第18页（共27页）恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】（1）根据∠A的正切用BC表示出AC，再利用勾股定理列方程求出BC，再
求出AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）设CE=x，表示出AE，再根据翻折变换的性质可得BE=AE，然后列方程求出x，
再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，tanA= ，
∴ = ，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，
即BC2+4BC2=25，
解得BC= ，
所以，AC=2 ，
△ABC的面积= AC•BC= × ×2 =5；
（2）设CE=x，则AE=AC﹣CE=2 ﹣x，
∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，
∴BE=AE=2 ﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
即 2+x2=（2 ﹣x）2，
解得x= ，
第19页（共27页）所以，CE= ，
BE=2 ﹣x=2 ﹣ = ，
所以，sin∠CBE= = = ．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，利用勾股
定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键．
22．（10分）如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面
C处和坡面D处各装一根等长的引拉线 BC和BD，过点D作地面MN的垂线
DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为
30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】作BE⊥AD于点E，设AB=x米，在直角△ABE中，根据三角函数，利用x表
示出AE和BE的长，则在直角△BED中，利用勾股定理表示出BD的长，在直角
△ABC中利用勾股定理表示出BC，根据BC=BD即可列方程求解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，设AB=x米，
在直角△ABE中，∠BAE=90°﹣∠DAH=90°﹣30°=60°，
则AE=AB•cos∠BAE=xcos60°= x（米），
BE=AB•sin∠BAE=xsin60°= x（米）．
则DE=AD﹣AE=12﹣ x，
在直角△BED中，BD2=BE2+DE2=（ x）2+（12﹣ x）2=144+x2﹣12x，
第20页（共27页）在直角△ABC中，BC2=AC2+AB2=72+x2=49+x2．
∵BC=BD，
∴144+x2﹣12x=49+x2．
解得x= ≈7.9
答：电线杆AB的高度约是7.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，正确作出辅助线，利用
AB的长表示抽BD和BC是关键．
23．（12分）如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．
（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，
CA=6时，求证：DE=DF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）证出△ABD∽△ACB，得出对应角相等即可；
（2）由相似三角形的性质得出对应边成比例求出AD= ，BD= ，得出BD=CD，由
等腰三角形的性质得出∠DBC=∠ACB，证出∠ABD=∠BDC，再证明点B、E、D、F
四点共圆，由圆周角定理得出 ，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB是AD与AC的比例中项．
∴ ，
又∵∠A=∠A，
第21页（共27页）∴△ABD∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABD；
（2）证明：∵△ABD∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：AD= ，BD= ，
∴CD=AC﹣AD=6﹣ = ，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°﹣∠ABC，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴点B、E、D、F四点共圆，
∴ ，
∴DE=DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共
圆、圆周角定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四点共圆是
解决问题（2）的关键．
24．（12分）平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B
（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，
若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶
点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．
第22页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；
（2）设出D，E坐标，根据平移，用k表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上
点的特点得出m+n=16，mn=63﹣ ，进而利用相似三角形得出比例式建立方程
即可求出k
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵C（4，6），
∴6=a（4﹣1）（4﹣3），
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；
（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），
∵A（1，0），
∴AD=m﹣1，AE=n﹣1
由（1）知，抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；
∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x﹣
8）2﹣2；
∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；
令y=0，则2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，
∴2x2﹣32x+126﹣k=0，
根据根与系数的关系得，
第23页（共27页）∴m+n=16，mn=63﹣ ，
∵A（1，0），C（4，6），
∴AC2=（4﹣1）2+62=45，
∵△ACD∽△AEC，
∴ ，
∴AC2=AD•AE，
∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∴45=63﹣ ﹣16+1，
∴k=6，
即：k=6，向下平移6个单位．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角
形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点D，E的坐标，借助韦达
定理直接求出k．
25．（14分）如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，
∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
第24页（共27页）【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KY：三角形综合题；S9：相似三角形
的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【专题】16：压轴题；4A：面积法．
【分析】（1）先根据∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求得AB=5，sinA= ，tanB= ，再根据
△ACD为直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后根据BE=AB﹣AD
﹣DE进行计算即可；
（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞
∠B=∠DCE，进而得出∠CED=∠CDE，再根据∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，得到
∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，最后求得AD的长；
（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的长，在Rt△CDH中，根据勾股
定理得出：CD2=x2﹣ x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出CD2=DE•DB，即x2﹣
x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），最后求得y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【解答】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，sinA= ，tanB= ，
如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，
∴CD=AC•sinA= ，
∴AD= = ，
又∵∠DCE=∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE= × = ，
∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣ ﹣ = ；
第25页（共27页）（2）当△CDE 时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞
∠B=∠DCE，
∴唯有∠CED=∠CDE，
又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，
∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴AD=5﹣4=1；
（3）如图所示，作CH⊥AB于H，
∵ ×BC×AC= AB×CH，
∴CH= ，
∴Rt△ACH中，AH= = ，
∴在Rt△CDH中，CD2=CH2+DH2=（ ）2+（ ﹣x）2=x2﹣ x+9，
又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD2=DE•DB，
即x2﹣ x+9=（5﹣x﹣y）（5﹣x），
解得 ．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角
第26页（共27页）形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助
线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．
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日期：2018/12/24 0:13:12；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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