文档内容
2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．4 B． C． D．
2．（4分）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
3．（4分）一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
5．（4分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果
S ：S =1：2，那么S ：S 是（ ）
△ACD △ABC △AOD △BOC
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数y= 的定义域是 ．
8．（4分）方程 =2的根是 ．
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是
．
10．（4分）从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点
数之积为素数的概率是 ．
11．（4分）将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ．
12．（4分）如果点A（﹣2，y ）和点B（2，y ）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y
1 2 1
第1页（共25页）y ．（填“＞”、“=”、“＜”）
2
13．（4分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边
数为 ．
14．（4分）点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的
长是 ．
15．（4分）已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC=2：1．设 = ， = ．那么
= ．（用向量 、 的式子表示）
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边
于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是 ．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角
线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= ．
18．（4分）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的
点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么 的值是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ÷（a﹣1）+ ．
第2页（共25页）20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象与正
比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过
点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求平移后直线的表达式；
（2）求∠OBC的余切值．
22．（10分）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡
BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1： ．在离C点40米的D处，用测角仪
测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为
多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73．）
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F
在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．
第3页（共25页）24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的
正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，
连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形
相似，求点Q的坐标．
25．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD= ．点P是射
线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，
联结EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，
并写出它的定义域；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．
第4页（共25页）2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在下列各数中，属于无理数的是（ ）
A．4 B． C． D．
【考点】26：无理数；2F：分数指数幂．
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【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【解答】解：4 =2， ， 是有理数，
是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（4分）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基
本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第5页（共25页）【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质．
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【分析】一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过
第﹣象限．
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1（常数k＜0），b=﹣1＜0，
∴一次函数y=kx﹣1（常数k＜0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第﹣
象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，
满足解析式的点在函数图象上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要
熟记的内容．
4．（4分）抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求
出对应的y值，写成坐标形式即可．
【解答】解：把x=0代入抛物线y=2x2+4中，
解得：y=4，
则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：C．
【点评】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x轴交点
坐标就要令y=0，要求函数与y轴的交点坐标就要令x=0，是学生必须掌握的基
本题型．
5．（4分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【考点】LN：中点四边形．
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【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对
角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
第6页（共25页）∴EH= BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理
论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果
S ：S =1：2，那么S ：S 是（ ）
△ACD △ABC △AOD △BOC
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】首先根据S ：S =1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积
△ACD △ABC
的比的等于它们的相似比的平方，求出S ：S 是多少即可．
△AOD △BOC
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S ：S =1：2，
△ACD △ABC
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
第7页（共25页）∴S ：S =1：4．
△AOD △BOC
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应
用，要熟练掌握．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式
是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母
不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8．（4分）方程 =2的根是 x = ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】两边平方得出3x﹣1=4，求出即可．
【解答】解：∵ =2，
∴3x﹣1=4，
∴x= ，
经检验x= 是原方程组的解，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是
m ≤ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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第8页（共25页）【分析】方程有实数根即△≥0，根据△建立关于m的不等式，求m的取值范围．
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，
∴m≤1
答：m的取值范围是m≤1．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
10．（4分）从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点
⇔
数之积为素数的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的
点数之和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：
一共有6种等可能结果，其中和为素数的有4种，
∴点数之积为素数的概率是 = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树
状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之
比．
11．（4分）将抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是 y= x 2 + 4 x
﹣3 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．
第9页（共25页）【解答】解：∵抛物线y=x2+4x向下平移3个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x﹣3，
故答案为y=x2+4x﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标
要减|a|．
12．（4分）如果点A（﹣2，y ）和点B（2，y ）是抛物线y=（x+3）2上的两点，那么 y
1 2 1
＜ y ．（填“＞”、“=”、“＜”）
2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把点A、B的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．
【解答】解：当x=﹣2时，y =（﹣2+3）2=1，
1
当x=2时，y =（2+3）2=25，
2
y ＜y ，
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函
数解析式求出相应的函数值是解题的关键．
13．（4分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边
数为 6 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】多边形的外角和是 360°，内角和是它的外角和的 2倍，则内角和是
2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边
数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°=360°×2，
解得n=6．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一
种方法，需要熟记．
14．（4分）点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的
第10页（共25页）长是 4 ．
【考点】JA：平行线的性质；K5：三角形的重心．
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【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可
【解答】解：延长AG交BC与F，
∵点G是△ABC的重心，BC=6，
∴BF=3，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG：GF=2：1，
∵GD∥AB，
∴BD：DF=DG：GF=2：1，
∴BD=2，DF=1，
∴CD=3+1=4，
故答案为：4
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边
中点的距离的2倍是解题的关键．
15．（4分）已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC=2：1．设 = ， = ．那么
= + ．（用向量 、 的式子表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】由 =2得 = ，即AD= AC，在根据 = = + = （ ）+
可得答案．
【解答】解：如图，
第11页（共25页）∵ =2，
∴ = ，即AD= AC，
则 =
= +
= （ ）+
= +
= + ，
故答案为： + ．
【点评】本题主要考查平面向量，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合
思想的应用．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边
于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是 ．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题；554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】由DE垂直平分AB，得到AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=3﹣x，在直角三角
第12页（共25页）形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出CD的长，利用锐角三角函数定义
求出所求即可．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，
∴AD=BD，
设CD=x，则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：（3﹣x）2=x2+22，
解得：x= ，
则tan∠DBC= = ，
故答案为：
【点评】此题考查了解直角三角形，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质及定
理是解本题的关键．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角
线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= 6 ： 4 ： 5
．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】设AE=x，则DE=2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x，
AD∥BC，证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得 = = 、 = = ，即 = ，
设EF=2y，则CF=3y、GE= y，从而得出答案．
【解答】解：设AE=x，则DE=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF，
第13页（共25页）∴ = = ， = = ，
∴ = ，
设EF=2y，则CF=3y，
∴EC=EF+CF=5y，
∴GE= y，
则CF：EF：EG=3y：2y： y=6：4：5，
故答案为：6：4：5．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的
点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么 的值是
．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】由旋转的性质得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，根据三角形的内角和得到
∠ ABD=∠ ADB=72° ， ∠ BAD=36° ， 过 D 作 ∠ ADB 的 平 分 线 DF 推 出
△ABD∽△DBF，解方程即可得到结论．
【解答】解：如图，由旋转的性质得到AB=AD，∠CAB=∠DAB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠CAD=∠ABD，
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，
第14页（共25页）过D作∠ADB的平分线DF，
∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，
∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD，
∴△ABD∽△DBF，
∴ ，即 ，
解得 = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ÷（a﹣1）+ ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【分析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．
【解答】解：原式= × +
= +
= +
= ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运
第15页（共25页）算的运算法则．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】由①得出x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，
求出方程组的解即可．
【解答】解：由①得：x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2．
原方程可化为 ，
解得，原方程的解是 ， ．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解
此题的关键．
21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象与正
比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过
点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求平移后直线的表达式；
（2）求∠OBC的余切值．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移；T7：
解直角三角形．
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【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可求出点A的坐标，进而可求出正比
例函数表达式，根据平移的性质可设直线BC的函数解析式为y=2x+b，根据点
B的坐标利用待定系数法即可求出b值，此题得解；
第16页（共25页）（2）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点C的坐标，从而得出OC的值，
再根据余切的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）当x=2时，y= =4，
∴点A的坐标为（2，4）．
∵A（2，4）在y=kx（k≠0）的图象上，
∴4=2k，解得：k=2．
设直线BC的函数解析式为y=2x+b，
∵点B的坐标为（3，0），
∴0=2×3+b，解得：b=﹣6，
∴平移后直线的表达式y=2x﹣6．
（2）当x=0时，y=﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6），
∴OC=6．
∴ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐
标特征以及解直角三角形，根据点B的坐标利用待定系数法求出直线BC的解
析式是解题的关键．
22．（10分）某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡
BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1： ．在离C点40米的D处，用测角仪
测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为
多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73．）
第17页（共25页）【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利
用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函
数求得AF的长，进而求得AB的长．
【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中， =i=1： ，
∴设BF=k，则CF= ，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF= ．
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+6 ．
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH= ，
∴AH=tan37°×（40+6 ）≈37.785（米），
∵BH=BF﹣FH，
∴BH=6﹣1.5=4.5．
∵AB=AH﹣HB，
∴AB=37.785﹣4.5≈33.3．
答：大楼AB的高度约为33.3米．
第18页（共25页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用
三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常
用方法．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F
在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）先根据 CG2=GE•GD 得出 ，再由∠CGD=∠EGC 可知
△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结
论；
（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故 ．再由
∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．
【解答】证明：（1）∵CG2=GE•GD，
∴ ．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
第19页（共25页）∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．
（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴ ．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴ ．
∴FE•CG=EG•CB．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是
解答此题的关键．
24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的
正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，
连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形
相似，求点Q的坐标．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；
第20页（共25页）（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，
∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，
∴点B的坐标为（3，0）．
∴9a﹣12a+1=0，
∴ ．
∴ ．
（2）如图，
过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，
∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中， ，
∴△PMC≌△PNB，
∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC2=PB2，
∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2．
∴P（2，2）．
（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），
∴A（1，0）．
第21页（共25页）∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），
∴PO= ，AC= ，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，
在Rt△BOC中，tan∠OBC= ，
∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，
在Rt△OAC中，OC=OA，
∴∠OCA=45°，
∴∠ACB＜45°，
∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当 时，∴ ，
∴OQ=4，
∴Q（﹣4，0）．
（ii）当 时，∴ ，
∴OQ=2，
∴Q（﹣2，0）．
当点Q在点A右侧时，
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是判断出点Q只能
在点O的左侧，是一道很好的中考常考题．
25．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD，sin∠ABD= ．点P是射
第22页（共25页）线BC上的一个动点（点P不与点B重合），联结AP，与对角线BD相交于点E，
联结EC．
（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，
并写出它的定义域；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）由菱形的性质得出 BA=BC，∠ABD=∠CBD．由 SAS 证明
△ABE≌△CBE，即可得出结论．
（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形
的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO=OC= ，BO=OD= ．由菱形面积得
出AH=4，BH=3．由相似三角形的性质得出 ，求出EF的长，即可得出答
案；∴ ，
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：
①当∠ECP=90°时，②当∠CEP=90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质
即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．
第23页（共25页）（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：
垂足分别为点H、F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=5， ，
∴AO=OC= ，BO=OD= ．
∵ ，
∴AH=4，BH=3．
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵EF∥AH，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：
①当∠ECP=90°时
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵ ，
∴ ，∴BP= ．
第24页（共25页）②当∠CEP=90°时，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴ ，
∴ ， ．
∵AD∥BP，
∴ ，
∴ ，
∴BP=15．
综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为 或15．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三
角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定
难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
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日期：2018/12/24 0:12:49；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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